2012考研必备_高等数学_难点精讲.pdf

2012考研必备 高等数学 难点精讲 内部使用 考研必备 高等数学 难点精讲 内部使用 you stupid cunt ! cunnilingus penis vagina 第八章 曲线积分与曲面积分 (14学时） ?本章将积分的概念推广到积分区域为一段曲线或一块曲面的 情形，从而得到曲线积分与曲面积分。与重积分类似，它们 是定积分的某些特定和式的极限在另一范畴的深化和推广。 ?曲线积分与曲面积分各分为两类。它们都有鲜明的物理意 义，要掌握好曲线积分与曲面积分的概念，其关键在于掌握 好它们的物理意义。学习本章须弄懂基本概念，掌握性质， 熟练运算。熟知两类曲线积分与两类曲面积分之间的联系。 特别要掌握第二类曲线积分及第二类曲面积分与重积分之间 的关系， 即格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。 本章的 具体要求如下： ?理解两类曲线积分的概念，理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两 类曲线积分的关系。 ?会计算两类曲线积分。 ?掌握格林（掌握格林（green）公式，）公式，会使用平面曲线积分与路径无 关的条件。 ?了解两类曲面积分的概念及高斯（gauss）、斯托克斯 （stockes）公式并会计算两类曲面积分。 ?了解散度、旋度的概念及其计算方法。 ?会用曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（如曲面 面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等）。 () () iiiii n iii 0 i 1 8 1 1 2 l(x,y),m. m,s ,mm , mlim,s ()180 = = = 第一类曲线积分对弧长的积分 引例 柱面的面积。 引例 曲线形构件的质量。 曲线 ，线密度求质量 分析 采用元素法：分割近似求和逼近 解： 定义： 第一类曲线积分 教材页。 b a l d ll l l l f(x)dx 1. f(x,y)ds f(x,y)d 2. f(x,y)ds,l 3.ah(x,y)ds m(x,y)ds 4.1 dsu(l)l 5.181 = = = ? 解释五个问题： 之区别。 表是闭曲线 几何意义：柱面面积 物理意义：构件质量 特别地，曲线 的弧长 性质（线性性质，可加性等）教材页。 2222 tttt l 222 ttt t xx(t) 1. ll:(t) yy(t) dsxydt, f(x,y)dsfx(t),y(t) xydt xx(t) 2. : yy(t) zz(t) f(x,y,z)dsfx(t),y(t),z(t) xyzdt = = =+=+ = = = =+ 第一类曲线积分的计算法转化为定积分 由参数方程给出： 推广到空间曲线 ()() 2 b 2 la 2 l 22222 l 2 xx 3. l yy(x) yy(x) ds1y dx f(x,y)dsfx,y(x) 1y dx 1 yds,lyx0 011 2 r -x -y dslxyrx,y0. xrcos l yrcos = = = =+ =+ = += = = 由直角坐标方程给出 例计算其中 是由抛物线介于点， 与点 ，之 间的一段弧。 例计算，其中 为上半圆弧 分析参数方程表达式： sin 3 r,2 例求半径为中心角为的均匀物质圆弧对于其对称轴 （选择坐标系） 的转动惯量。 ()() () 22 222 x l- 323 - 222 xrcos (-) yrsin iy(x,y)dsr sin-rsinrcosd r sindr ( -sin cos ) 4 xyz ds,xacost, = = =+ = += 解：适当选择坐标系 例计算曲线积分其中 为螺旋线 222 2 yasint,zktt02 xyz1 5 x ds,. xyz0 = + += ? 上相应于 从 到的一段弧。 例计算其中 为曲线 () 222 2222 222 2 d x dsy dsz ds 1 x dsxyz ds 3 112 dsu( ) 333 xyz1 x d , d z0 178-186187-195 8-1 1862(1) = =+ = = += = ? ? ? ? 解： 注意：当为由时 不能用本题所用方法。 复习：页，预习：页 习题： （页）(2)(3)(5),3 l xyxy 22 xy xy 8 2 m(x,y)dsm(x,y,z)ds 187 zz(x,y), xoyd : (x,y)d (x,y,z)ds 1. f(x,y,z)fx,y,z(x,y) 2. ds1 zz d 3. d 第一类曲面积分对面积的曲面积分 定义：教材页 第一类曲面积分计算法：设曲面 ：在 平面上投影区域为 将曲面积分二重积分 = = =+ xy 22 xy d 2222 2222 2222 2222 xy f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y) 1zzd 1 1 ds, z xyzazhza (0ha) xyza xyza() zh d :xya -h () 故知 例计算曲面积分其中是求面 夹在平面与 之间的一部分。 解：，交线 圆域 =+ += += 解： 对吗？ 偏导数在 内有间断点（奇点），不能 应用格林公式，怎么办？ 选择适当小的半径使圆周 连通区域，则可应用格林公式 1 - r - rr rr d d l c l cc 222 cc 2 2 qp 0-dpdxqdy xy pdxqdypdxqdy pdxqdy-pdxqdypdxqdy xdx-ydy1 xdx-ydy xyr 2 r2 r + =+ =+ +=+=+ = + = ? ? ? ? 故得 208213213220 84 220 1(1),3(1)(2)(5),4 复习：页，预习：页 习题： （页） d d 84 qp -dp(x,y)dxq(x,y)dy xy 2 gp(x,y),q(x,y) g 1p(x, + =+ ? 格林公式（续） 一 格林公式： 二 平面曲线积分与路径无关的条件 定理 ：设 是平面上单连通区域，函数 在 上具有一阶连续偏导数，则以下四个命 题等价： （ ） l l y)dxq(x,y)dy 0, lg 2pdxqdyg + + ? ? 为 内任一闭曲线 （ ）在 内与路径无关。 () () 00,0 u(x,y) x,y m mx y uu 3u(x,y),p(x,y),q(x,y), xy dp(x,y)dxq(x,y)dy qp 4 g xy 12 23pdxqdypdxqdyu(x,y) = =+ = +=+ 令 （ ）存在二元函数有 即 （ ）在 处处成立。 证明：（ ） （ ），易证 （ ） （ ）， () () () () 0,0 0,0 xx,y x y x xx,y x y u(xx,y)pdxqdy uu(xx,y)-u(x,y) p(x,y)dxq(x,y)dy + + +=+ =+ =+ 。可求全微分方程之通解 有向折线计算简洁。求第二类曲线积分选择 路径无关最方便条件是验证第二类曲线积分与注意： 由格林公式及证之。）（）（ ）（）（ 3. 2. . y p x q 1. 14 x q xy u y p yx u y)q(x, y u y),p(x, x u 43 y)p(x, x xy)x,p(x lim x u lim x u 1)x(0y)x,p(x 22 0x x 0x = = = = = = + = = + = += = + = 在右半平面内，在某个函数 的全微分，并求出一个这样的函数来。 解：先验证特别地取点 全微分方程 满足通解为 例求微分方程 的通解。 例 验证 qp 1.= xy 2.u(x,y),u(x,y)=c 31 52233 3.u(x,y)=x+xy-xy+y, 23 u(x,y)=c 213220221233 84 220 2(1)(3),5(1)(2),6,7 解 ： 先 验 证 全 微 分 方 程 求 出再 令即 为 通 解 。 求 出 通 解 为。 复 习 ：页 ， 预 习 ：页 习 题 ：（页 ） - xy xy 85 1 1zz(x,y),n-z ,-z ,1 nz ,z ,-1 2 + = = ? ? 第二类曲面积分 一 第二类曲面积分的概念 空间定向曲面的侧：定向曲面与是不同的曲面 （ ）设方程为取上侧，法向量朝上， 取下侧，法向量朝下， （ ）设方程 xz xz yz yy(x,z),n-y ,1-y ny ,-1,y 3xx(y,z),n1,-x ,-x = = = ? ? ? 为取右侧，法向量朝右， 取左侧，法向量朝左， （ ）设方程为取前侧，法向量朝前， 取后 yz n-1,x ,x = ? 侧，法向量朝后， n iiiiniiii i 0 i 2 (x,y,z)p(x,y,z)iq(x,y,z)j r(x,y,z)k ? a,acos ae ( ,) e ( ,) s lim =+ = = = = ? ? ? ? ? ? ? ? 引例流体流向曲面一侧的流量 设流体流速 且若是光滑定向曲面，问单位时 间通过流量 解：设面积为斜柱体体积为 元素法： 故得 n iiiniii 1 ( ,) e ( ,)ds = = ? ? n f(x,y,z)dsf(x,y,z) e (x,y,z)ds p(x,y,z)cos dsq(x,y,z)cos ds r(x,y,z)cos ds pdydzqdzdxrdxdy :zz(x,y),r(x,y,z)dxdyrx,y,z(x = =+ + =+ = ? ? ? 定义： 第二类曲面积分计算法 xy d ,y)d :yy(x,z)xx(y,z) = 与类推之。 12 11 222 2222 xy 22 1 xyzdxdy,xyz1 x0,y0 zz(x,y) z1-x -y ,d :xy1,x0,y0 xyzdxdyxy 1-x -y d cos += = = + =+ = = 例 计算曲面积分其中是球面 的外侧，且满足的部分。 解：将球面用表示 xy 2 d 1 2 32 00 sin1-d 1 sin2 d1-d 2 = () ()()() 2xy 1 22 d 1 2 xyzdxdy-xy - 1-x -yd xyzdxdy 2xy dydzyz dzdxzx dxdy, a aaa :z, x, y, 222 : = = + = ? 例 计算其中 是以原点为中心，边长为 的轴向正方体的整 个表面的外侧。 解：将定向、闭曲面分为六块 （上面）取上侧，“”号 （下面） 3 aaa z-, x, y, 222 aaa :x, z, y, 222 = = 取下侧，“”号 （前面）取前侧，“”号 () ()()() 1256 34 4 5 6 1256 aaa :x-, z, y, 222 aaa :y, z, x, 222 aaa :y-, z, x, 222 yoz xy dydz0,0 xy dydzxy dydzxy dydz （后面）取后侧，“”号 （右面）取右侧，“”号 （左面）取左侧，“”号 ， ， ， 这四个面均垂直于平面 故 = = = += +=+ ? yzyz dd 3 aa y d -y d 22 a =+ = ()() 3 3 yz dzdx xz dxdya 3a 221 233234247 85 233 1,4(1)(2)(3) +=+= ? 同理可得： 故原式得 复习：页，预习：页 习题： （页） 86 p(x,y,z),q(x,y,z), r(x,y,z) pqr dp(x,y,z)d xyz 高斯公式与散度 一 高斯公式 定理：设 是一空间有界闭区域，其边界曲面 由光滑曲面组成，若 在 上具有一阶连续偏导数，则： v += ydzq(x,y,z)dzdx r(x,y,z)dxdy 其中是 边界曲面的外侧。 + + + + ? 2 xy1 xy 12xy 123 z (x,y) d z (x,y) 21 d zy z (x,y)zz (x,y),(x,y)d d rr ddxdydz zz rx,y,z (x,y)-rx,y,z (x,y)dxdy v + = + + = = 证：设 是型空间区域 （均取外侧） 左边： 123xy 2 d d 1 rx,y,z (x,y)- rx,y,z (x,y)dxdy + =+= ? 右边： 3 1 (xy)dydz(yz)dzdx (zx)dxdy. p(x,y,z)xy,q(x,y,z)yz,r(x,y,z)zx pqr 1 1 13 xyz 3d3u( )3a f(x,y,z)p(x,y,z)iq(x,y,z)jr(x,y,z) + + =+=+=+ += + + = = = =+ ? ? 例利用高斯公式计算 解： 原式 二 散度 设 d k p