管理运筹学案例

管理运筹学案例 案例 1 高压电器强电流试验计划的安排 某高压电器研究所属行业归口所，是国家高压电器试验检测中心，每年都 有大量的产品试验、中试、出口商检等任务。试验计划安排及实施的过程一般 如下： 提前一个月接受委托试验申请 按申请的高压电器类别及台数编制下月计划 按计划调度，试验产品进入试验现场 试验检测，出检测报告 试验完成，撤出现场 高压电器试验分强电流试验和高压电试验两部分，该研究所承担的强电流 实验任务繁重，委托试验的电器量很大，因此科学地计划安排试验计划显得非 常重要。 高压电器分十大类，委托试验的产品有一定随机性，但是试验量最多的产 品（占 85%以上）是以下八类： 135KV 断路器 210KV 等级断路器 335KV 开关柜 410KV 等级开关柜 5高压熔断器 6负荷开关 7隔离开关 8互感器 这八类产品涉及全国近千个厂家，市场广阔，数量庞大。当前的强电流产 品试验收费标准见表 1-1。 表 1-1 强电流产品试验收费标准 产品类别 1 2 3 4 5 6 7 8 试验收费（万元） 8 6 4 2.5 1 2.2 1.5 1.4 由于强电流试验用的短路发电机启动时,会给城市电网造成冲击,严重影响市 网质量,故只能在中午 1 点用电低谷时启动,从而影响全月连续试验工时只有约 108 小时,任务紧张时只能靠加班调节。正常情况下各种试验所需试验工时见表 8-2。 表 1-2 各类产品试验所需工时 产品类别 1 2 3 4 5 6 7 8 试验收费（万元） 5 4 3 2 2 1.5 1 1.5 强电流试验特点是开机时耗电量大，而每次实验短路时，只持续几秒钟， 虽然短路容量在“0”秒时达 2500 MVA，但瞬时耗电量却很小。每天试验设备 提供耗电量限制为 5000 千瓦，每月 135 千千瓦，那麽每种产品耗量如表 8-3 所 示。各类产品的冷却水由两个日处理能力为 14 吨的冷却塔供给。每月按 27 天 计，冷却水月供给量为 1427=378 吨。每月各类产品冷却水处理量见表 8-3。 表 1-3 各类产品试验耗电量与冷却水处理量 产品类别 1 2 3 4 5 6 7 8 耗电量（千瓦） 5000 75000 3000 3000 500 600 700 700 冷却水用量（吨） 10 9 8 8 1 4 2 2 根据以往的经验和统计报表显示第一类产品和第二类产品每月最多试验台 数分别为 6 台和 4 台，第三类和第四类产品则每月至少需分别安排 8 台和 10 台。 根据上述资料，尝试建立数学模型辅助产生排产计划，对模型的优化结果进行解 释，并与实际情况做对比分析。 案例 2.福州市某乡作物种植计划的制定 福州市近郊某乡共有可耕地 2000 亩,其中沙质土地 400 亩,粘质土地 600 亩, 中性土地 1000 亩,主要种植 3 类作物: 第 1 类是以水稻为主的粮食类作物,第 2 类是蔬菜类,第 3 类是经济作物,以本地特产茉莉花为代表作物。乡政府希望能制 定一个使全乡总收益最大的作物种植计划，据此指导个作业小组和农户安排具 体生产计划。 研究所面临的困难是缺乏历史统计资料及定量数据，只能靠实地调研及与 有经验的老农交谈而获得。因此建立的模型及计算结果只能作为乡政府做决策 的参考，但整个思路和运作过程无疑为科学决策起到了良好的示范作用。 为了简化问题，只考虑水稻、茉莉花作为粮食作物和经济作物的代表，蔬 菜则以当地出产的主要品种为基础测算出每亩的收益及成本的平均值。 每亩土地的费用主要统计和测算外购化肥、劳力工时、灌溉用水及用电等 可以计算的部分，每亩的收益也是根据可能收集到的数据如交公购粮、收购茉 莉花以及在农贸市场上出售蔬菜所得销售收入的平均值，均为近似值。通过以 上调研和数据处理得到表 2-1。 表 2-1 种植各类作物所需费用及收益表 费 用 （元/亩） 作物种类砂质土地 粘质土地 中性土地 收 益 （元/亩） 水 稻 蔬 菜 茉 莉 花 200 300 260 160 290 260 150 280 240 300 500 450 考虑将不同土质土地上种植的各类作物的面积设置为决策变量，用表 2-2 表示。 表 2-2 决策变量设置表 种植 土地 亩数 类别 作物种类 砂质土地 粘质土地 中性土地 水 稻 蔬 菜 茉 莉 花 X1 X4 X7 X2 X5 X8 X3 X6 X9 为防止作物的单一种植倾向，在保证全乡留有足够口粮的基础上，各种作 物种植的协调发展。根据前些年的种植情况及取得的效益，乡政府认为水稻、 蔬菜、茉莉花三种作物的播种面积比例大致以 2：1：1 为宜。按全乡 2000 亩种 植面积计算，可设定三种作物种植面积的最高限额分别为 1000、500、500 亩。 目标函数 Z 取总收益，要求极大化。试通过建立优化模型给出当前条件下的最 优种植方案，进行结果分析及进一步讨论。 案例 3 南方某百泥矿合理配车问题的研究 南方某白泥矿是一个南北狭长的露天矿，划分为北区、中区、南区三个开 采区，主要开采生产盆、碗用的白泥，在采矿场附近设有 5 个排土场。 由于开采条件日趋恶化，矿山运输设备效率又不高，人们普遍认为运输问 题已成为影响生产的主要矛盾，希望通过改善管理，挖掘运输潜力，提高经济 效益。 全矿共有 4 种型号的运输车辆 34 台，当前的平均单位运费为 0.6490 元/t,运 输车辆的数量和使用费见表 3-1,核定的标准定额见表 3-2。 表 3-1 运输车辆的数量及使用费 汽 车 型 号 在 册 台 数 可 用 台 数使用费（元/台班） 太 脱 拉 贝 拉 斯 T-20 北京-370 5 4 8 30 3 2 5 24 210 540 340 240 合 计 47 34 表 3-2 运输标准定额表 标准定额 作业 （t/台班） 类型 汽车型号 南区运矿北区运矿南区运岩北区运岩 太 脱 拉 504378480516 贝 拉 斯 T-20 北京-370 650 510 459 600 374 323 630 546 448 756 490 420 由于不同型号的汽车在各类采区运输不同类型的采剥物时效率和成本均不 相同，于是可以考虑按不同型号的汽车分配运输任务。现有 4 类型号的汽车进 行 4 类不同的作业，可以归结为“指派问题”，使运输作业的总成本最小。根 据表 3-1 和表 3-2 的数据，用各种型号汽车的使用费与核定的不同作业标准定 额相除即可得到单位运输成本，见表 3-3。 表 3-3 单位运输成本表 标准定额 作业 （t/台班） 类型 汽车型号 南区运矿北区运矿南区运岩北区运岩 太 脱 拉 贝 拉 斯 T-20 北京-370 04167 08308 06667 05228 05556 09000 09091 07430 04375 08571 06227 05357 04070 07143 06939 05714 讨论给出使单位总运费最小最优分配车方案，请注意运输汽车必须是整数，该如 何建模优化？ 案例 4 某开发区养老保险定量分析模型 养老保险属于社会保障系统的重要内容，社会保障系统作为一个国家社会 制度的重要组成部分，其内容、形式和其中所使用的各种计算方法不仅关系到 国民的自身利益，而且对一个国家的政治和社会经济的发展具有重要的作用。 社会保障系统中所包含的定量分析和计算是多种多样的，主要包括三个方面： 第一，对社会保障基金提取量的测算；第二，对职工享受社会保障待遇的标准 测算；第三，对社会保障基金各阶段收付额的预测。 基本养老保险金的提取比例一般是一年或若干年调整一次，从数学模型的 角度看两者并无实质性区别，这里定义一年为一个阶段。考虑到养老保险制度 是一个长期制度，具体年限并不确定，因而阶段数可以根据实际问题的研究目 标制定。如：要确定 10 年内各年的提取比例，则阶段数就定为 10；也可以将 老龄化程度最高、养老保险金支付额最大的年份作为决策过程的终止年。不失 一般性，将整个决策过程定义为 n 个阶段。 状态变量 xk定义为阶段 k 开始时的储备基金，M 是最大储备金额。 决策变量 uk为阶段 k 基本养老保险金按工资总额提取的比例，这一比例也 应在一定范围之内。按照国际标准，提取比例达到 20%时即为社会预警线，29% 即达到社会承受的极限，因此我们设定 R 为提取的最大比例，若 sk为阶段 k 的 工资总额，则有： dk-xkskukminskR,dk+dk+1+dn+A-xk 其中 skR 就是基本养老保险金所能提取的最大金额。 已知阶段 k 开始时的储备基金是 xk，阶段 k 的基本养老保险金收入额为 skuk ，支付额是 dk。假定储备基金的年增值率为 ik，考虑资金的时间价值， 则阶段末即阶段 k+1 的初始储备基金为： xk+1=（1+ik）xk+skuk-dk，即状态转移方程。 可以看出，k+1 阶段的储备基金 xk+1完全由 k 阶段的储备基金 xk和基本养 老保险金的提取比例 uk所决定，与前面的状态和决策无关，即满足无后效性。 设单位资金的管理费用为 L，则阶段 k 的管理费用为：Lskuk；设储备基 金的机会损失率为 jk，则阶段 k 时储备基金的机会损失额为： jkxk+1=jk（1+ik）xk+skuk-dk，于是可写出阶段效益的表达式： rk(xk,uk)=Lskuk+jk（1+ik）xk+skuk-dk 目标函数为各阶段效益之和，即 在此基础上，即可写出动态规划基本方程： 根据这一模型得到的阶段 k 的提取比例 uk对于全过程而言是最优的。 值得注意的是 sk、dk、jk都是利用预测技术得出的今后若干年的预测值， 它们本身的准确程度会受到就业率、工资增长率，人口死亡率、退休率、生活 费指数，各种投资利率等的影响，必须进一步进行理论分析以提高预测的准确 程度。 根据开发区职工年龄结构上的特点是以中青年为主和职工平均年龄 30 岁的 抽样统计结果，开发区在 25 年后养老保险金的支付将达到一次高潮。因而在计 算过程中选择整个计划期为 25 年，共分为 5 个阶段，每个阶段代表 5 年。 根据开发区各年龄段人数（见表 4-1），期望寿命按 70 岁计算，推算出今 后 25 年中各阶段的退休人数；结合开发区未来 25 年发展规模及经济增长速度， 预测出各阶段新增职工人数和新增职工退休人数，在此基础上计算出开发区 25 年中各阶段退休职工人数，见表 4-2。 表 4-1 开发区职工按年龄段分布人数 年 龄20-2425-2930-3435-3940-44 人 数6137115521335732491805 表 4-2 开发区 25 年中各阶段退休职工人数 阶 段 1 2 3 4 5 人 数 0 0 3427 10830 39202 各阶段每个职工平均养老保险金支付额的计算以年平均工资 4800 元为基数， 分 90%，80%，70%三个档次计算。各期职工年平均工资分别按年平均工资增 长率 5%、10%来计算。 由于开发区内大多数企业属于电子及化工行业，查这两类企业平均投资利 润率为 14%，按银行三年整存整取利率 10.8%计算，年机会损失率为 3.2%，基 金管理费按缴纳量的 5%提取。选取支付额占工资 90%，年平均工资增长率 5% 的计算结果为代表，见表 4-3。 表 4-3 支付额占工资 90%，年平均工资增长率 5%的计算结果 阶 段 1 2 3 4 5 提取比例00025 00917015015 最小费用307632278624200769925733253637920152 期初储备量 01000000167000061617084188480528 动态规划模型从开发区整体出发，以退休人员养老保险金的支付额来确定应从在 职职工中按工资总额提出养老保险金的比例，并在保证各阶段最大提取比例限制条件 基础上，使得整个计划期内总的费用或损失最小。实际应用中，还结合其它模型的计 算进行对比和综合调整，进一步进行了可行性分析和提出相应的政策建议。 案例 5 利用最短路算法确定自动充气站位置 电缆的气压维护是保障通讯完好畅通的重要手段，某城市经调查分析， 并结合电缆分布情况确定安装 14 个传感器，建立相应的 14 个遥测点。在选定 的测试头上有 3 处可供建立自动充气站，见图 5-1 所示。 在详细分析了技术上的要求之后，最终将问题抽象成如何确定自动充气 站位置，使以充气站为起点，所需建设的遥测点总线路最短的问题。已知建立 遥测点每 100M 的造价是 1200 元，因此归结为一个使总造价最省的问题。 试进行讨论分析自动充气站位置应如何确定? 追踪该案例的研究实施过程与结果,得知,原计划要进行一周的调查、定 线工作，现经计算并结合现场情况略加修正，仅用 1 天半的时间就确定了方案， 费用比原计划至少节省了 16800 元，且缩短了工期，提前使自动充气站投入运 行。 案例 6 某厂运输网络改善方案设计 v1、v2、v3为某工厂下属三个分厂所在地。已知三个分厂的产品生产能力 各为 40、20、10 个单位，产品每天均需运往车站仓库 vt。现有的运输网络如图 8-3 所示，箭杆边的数字为相应运输线路的日运输能力。由于目前的运输网络不 能保证每天将所有的产品及时运送到仓库，试分析原因何在？为了改善目前的 运输状况，该厂计划在车站新建一个仓库，并考虑开通 的单方向行驶运输道路（图 8-3 中虚线所示）， 对于新开通的运输通道设计运输能力要求如何确定才能保证每天将所有的产品 及时运送到车站仓库？单行道方向如何确定？通过分析计算，对该厂改善运输 状况的计