高阶微分方程的解法及应用

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Then introduce higher-order homogeneous linear differential equation methods and high-order non-homogeneous linear differential equation method for solving homogeneous linear differential equation where the main use of the eigenvalue method; in solving inhomogeneous linear differential equations in mainly uses the comparison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of more complex higher order differential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described.Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations; constant variation; eigenvalue method; reduction method前 言常微分方程作为数学系重要专业的一门基础课程，对学习好其他的科目起到了至关重要的作用。它的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。而高阶微分方程是常微分方程中的一个重要的组成部分，在现实的生活中也有着广泛的应用，比如工程问题。常系数线性微分方程的解法，高阶微分方程的降阶问题又是高阶微分方程的重中之重。常微分方程是在生产实践和科学技术中产生的。目前，常微分方程在很多学科领域内有着重要的应用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性质的问题。人们对于二阶以及简单的高阶微分方程求解的方法有了很多理论成果，而高阶常微分方程并没有固定的解法，例如，高阶常系数线性齐次微分方程，我们可以运用特征根的方法进行求解，高阶常系数线性非齐次微分方程，我们可以运用常数变易法，比较系数法，拉普拉斯变换法进行求解。而对于可以降阶的高阶微分方程，我们通常采用降阶法，也就是通过一定的变换把高阶微分方程求解的问题转化成低阶微分方程的求解问题。本篇论文我总结了形如，恰当导数方程和Euler方程的降阶方法，并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题，进而介绍此类问题在科学技术中的应用。第一章 高阶微分方程的理论与结构定义1（方程的阶） 在一个常微分方程里，未知函数的最高阶导数的阶数叫做方程的阶。n阶隐式方程的一般形式为n阶显式方程的一般形式为定义2（解） 设函数在区间上有直到阶的导数。如果把代入到方程得到在区间上关于的恒等式是则称是方程在区间上的一个解。微分方程的解可以包括任意的常数，其中任意常数的个数可以多到和方程的阶数相等，当然也可以不包括任意常数。我们把方程的含有个独立的任意常数的解称做该方程的通解。如果方程的解不包含任意常数，则把它叫做特解。方程 （1-1）称做n阶线性微分方程，它关于未知函数以及各阶导数都是线性的。在这里，我们通常假设和是区间上的连续函数。如果都是常数，则把方程（1-1）叫做n阶常系数线性方程。如果方程的右端项，即则称方程（1-1）是齐次的，否则为非齐次的。所以对于方程（1-1）的齐次方程是 （1-2）定理1（叠加原理） 设和是齐次方程（1-2）的解，则对于任意常数和，也是方程（1-2）的解。定理2 设是方程的解，则也是方程的解。定理3 设是齐次方程（1-2）的n个线性无关的特解，则是方程（1-2）的通解，其中是任意常数。定理4 设是非齐次线性方程（1-1）的任意一个确定的解，是（1-1）对应的齐次线性方程（1-2）的通解。则 是（1-1）的通解。 第二章 高阶常系数线性微分方程2.1 高阶常系数线性齐次微分方程对于n阶常系数线性齐次方程 （2-1）其中是关于的未知函数，系数是实常数。如果是方程的根，把他代入到方程中，得因为，因此 （2-2）反之，如果满足等式（2-2），则是方程(2-1)的解。式子（2-2）是关于的n次代数方程，则把他叫做微分方程（2-1）的特征方程，它的根就称做特征根。下面根据特征根的不同情形分别进行讨论方程解的情况。2.1.1 特征根是单根的情况定义 我们把称为方程的特征方程，它的根叫做特征根。在这里把叫做待定系数。定理 如果特征方程有个互异的根，则是方程的一个基本解组。特征方程可能有复根，由于他的系数是实的，他的复根一定是共轭成对的出现。即此时在相异特征根中有复数。例如，则也是的根。这两个特征根所对应的解是实变量复值函数例1 求方程的通解。解 特征方程的根是，其中有两个实根和两个复根，但他们都是单根，所以所求方程的通解是在这里是任意的常数。2.1.2 特征根是重根的情况定理 假设方程有互异的特征根，他们的重数分别是，并且，则与他们相对应的的特解是，并且该特解构成在区间上的基本解组。例2 解初值问题解 特征方程是，特征根是所以方程的通解是又因为 根据初始条件，得再解方程组，得于是初值问题的解是2.2 高阶常系数线性非齐次方程对于n阶常系数线性非齐次方程 （2-3）他的通解等于齐次方程的通解再加上加其对应的非齐次方程的一个特解。在上一节中我们知道了怎样求解齐次方程的通解，下面我们主要来研究求解非齐次方程的特解的方法。2.2.1 常数变易法常数变易法 实际上是一种变量变换的方法,在这里我们 简单的介绍一下 在n阶方程中的应用。可以设方程（2-3）的特 解是： (2-4)其中是待定的 常函数。并且把它代入到方程(2-3)中,再附加上n-1个条件,就可以得到 方程组 （2-5）解方程 组(2-5)就会得到关于的表 达式,把它们分别进行 积分进而得 到,再把它 们代入到(2-4)式中,继而求得方程（2-3）的一个特解。由于这种方法 对于自由项的形式没有任何的限制,因此使用的范围会比较广,但是求解的工作量相对来说会大一些。例3 求解 方程的通解,已知 它所对应的齐次线性微 分方程的基本解组是。解 运用常数变易法,设并且把它代入到方程里,就可以得到关于和的两个方程和 解得 ,据此得到所以原方程的通解是 其中是 任意的常数。2.2.2 比较系数法对于常系数非线性方程（2-3）,我们通常采用的方法是比较系数法,它是把所要求解的微分方程的问题转化成代数问题,在自由项是(其中分别是次,次,次的多项式。都是实常数)时,就可以确定特解的形式,即分别令是一个待定的次的多项式,是方程的特征方程有根时的次数)或者(其中是两个待定的次多项式,是方程含有根的次数)然后把它代入到方程（2-3）中,再进行比较等式的左右两边同次幂的系数来确定待定系数多项式。再根据线性微分方程解的结构便可以求解出方程的通解。例4 求方程的通解。解 特征方程有三重根,所对应的齐次方程的通解是 并且方程有的特解,将它代入到方程中得 再比较两边的系数求得 进而所以所求的方程的通解是其中是任意的常数。2.2.3 拉普拉斯变换法根据积分所定义的确定在复平面（）上的复变数的函数，叫做函数的拉普拉斯变换，其中在上有定义，并且满足不等式在这里是某两个正常数。我们把称为原函数，而把称为象函数。设所给定的微分方程 （2-6）和初始条件其中是常数，而是连续的并且满足原函数的条件。可以证明，假如是方程（2-1）的任意解，则以及它的各阶的导数都是原函数。记那么，根据原函数的微分性质就有于是，再对方程（2-6）的两边进行拉普拉斯变换，并且运用线性性质就可以得到即或者其中和都是已知的多项式，由此得到这就是方程（2-6）所满足所给初始条件的解的象函数。而可以直接查表或者根据反变换公式计算求解出来。例5 求方程的满足初始条件的解。解 对方程的左右两边进行拉普拉斯变换得到由此得到再把上面式子的右面分解成为部分分式对上面式子的右端的各项分别求出或者查表得出他们的原函数，则他们的和就是的原函数这就是所要求的解。2.3 Euler方程定义：形如的方程叫做Euler方程，其中是实常数，并且。它的特点就是包含的阶导数项的系数是。当时，各阶导数项的系数是0，所以我们令。在现实里，我们仅需要考虑的这种情况，因为在的时候，在上述的方程里做自变量变换，则方程就化成求出他的解，再用替换就可以得出方程关于的解。再做自变量变换则，一般的，假如，其中是常数，则所以，对于每一个正整数是的常系数的线性组合，进而把Euler方程化成了常系数线性方程。例5 求解方程解 设，方程化做他的特征方程是他的特征值是-2和，方程的通解是 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法本部分我将介绍4类比较常见的高阶微分方程的解法，在这些解法里有一个比较类似的思路，就是把这些的高阶微分方程通过某些变换降成比较低阶的微分方程再进行求解。所以，我们把这种方法称做“降阶法”。3.1 形如的高阶方程方程 （3-1）这种类型的方程比较简单，通常令，则积分得也就得到同理可以令得到如此继续下去，再通过次积分就可以求出（3-1）的通解是例1 求解微分方程的通解。解 对原方程的左右两边依次进行积分，得再次进行积分，求解出原方程的通解是例2 求方程的通解解 所以所求原方程的通解是 3.2 形如的高阶方程方程 （3-2a）这种方程的特点极其容易看出，方程不显含或者在这时我们只要把代入到上述的方程中，原方程就可以化作 （3-2b) 如果方程（3-2b）可以求解出通解.则再对方程积分次，便可以求出了。在这里需要注意的是每积分一次，就需要增加一个独立的任意常数.例1 求解方程 解 设则代入到上面的方程中得再积分得即积分四次就可以求解出原方程的通解 例2 求微分方程的通解解 设则。所以原方程就可以写成左右两边进行积分得所以也就是，两边再次进行积分得出3.3 形如的高阶方程方程 （3-3）这类方程也有一定的特点，就是不显含自变量，这时，我们总可以利用代换使这类方程降低一阶。以二阶方程为例，设于是便有代入到原方程中，就有这是一个关于未知函数的一个一阶方程。如果用它可求出就有这是一个关于的变量可分离方程，进而可以求解出通积分。例1 求解方程解 根据上面的分析，我们可以令则代到原方程里得 即左右两边进行积分得 求解出得积分后得于是便有例2 求解方程解 首先令则于是原方程就化成了再令则即进而即进而可以积分求解出通积分3.4 恰当导数方程假如方程 （3-4）的左面正好是某一个函数对的导数，则（3-4）就可化为于是我们就把（3-4）称作恰当导数方程。其实这类方程的解法和全微分方程的解法很类似，可以降低一阶，化成之后，再想办法求解这个方程。例1 求解方程 解 我们可以把方程写成所以就有即积分后就可以得出通积分这样的问题虽然简单，但是需要具有很强的观察能力和比较牢固的基础才可以观察出来。下面有一个关于这方面的例子，解法技巧很高明，关键还是配导数的方法。例2 求解方程解 经过观察我们可以先把等式的两边同时乘以一个不是的因子便有所以从而通解是第四章 高阶微分方程的应用要利用微分方程解决实际问题，首先必须要根据物理和几何关系规律来建立微分方程，然后再对进一步的问题进行分析与微分方程的建设，并且考虑初始条件，边界条件，收敛条件来确定定解的条件，这是数学建模过程。模型建立好了就有了微分方程，我们就可以根据前面的内容来解除方程，因为解决的是实际问题，我们还要用解出来的结果来分析问题。这部分内容因为实际应用相对比较强，所以我用三个简单的例子来简单的介绍一下。 例1 设质量是的物体自由悬挂在一个一端固定的弹簧上，当重力跟弹簧力相互抵消的时候，物体就会处在一个平衡的状态，若用手向下拉物体使它离开平衡的位置以后放开，物体在弹性力与阻力的作用下将做往复运动，阻力的大小与运动的速度成正比，方向相反。 （1) 建立位移所满足的微分方程解 设时刻物体的位移是。 1. 自由振动的情况，物体所受到的力有弹力恢复力 阻力根据牛顿第二定律得到令就可以得到阻尼自由振动方程 2. 强迫振动情况，如果物体在运动的过程里还受到铅直外力的作用，设得到强迫振动的方程(2)在没有外力的作用下做自由运动，设时物体的位置是，初始的速度为，求物体的运动规律解 由（1）知，位移满足的定解问题是1. 无阻尼自由振动的情况方程 解得方程的通解是再利用初始条件可以得到所以所求的特解是1有阻尼自由振动情况,方程特征方程是 特征值 在这个时候我们需要三种情况来进行讨论小阻尼则大阻尼则临界阻尼则例2 人类将要向宇宙发射一颗人造地球卫星，为了让她摆脱地球引力，初始速度应该不少于第二宇宙速度，试求该速度。解 在物理问题中，关键是要通过建立模型，把物理问题转化成数学问题，在这个题目里设人造地球卫星的质量是，地球的质量是,卫星的质心到地心的距离是，根据牛顿第二定律得 (是引力系数）再设卫星的初速度是，已知地球的半径于是就有初值问题.于是以上的物理问题就转化成了求二阶常微分方程的特解的问题，设代入到上述方程组的第二个式子就可以得到从而就有两边进行积分得到 再利用初始条件得所以注意到为了让应该满足 (4-1)因为在h=R（在地面上）时，引力跟重力是相等的，即 所以代入到方程(4-1)中得这就说明第二宇宙速度是例3 在船上向海里沉放某一种探测器，按照探测的要求，需要确定仪器的下沉深度和下沉的速度之间的函数关系。假设仪器在重力的作用下在海平面由静止开始往下沉，在下沉的过程中还受到了阻力和浮力的作用，我们设仪器的质量是，体积是，海水的比重是，仪器所受到的阻力跟下沉的速度成正比，比例系数是试着建立与所满足的微分方程，并且求出函数关系式解 同样也是首先把实际的问题转化成常微分方程，根据题目中的条件和牛顿第二定律可以将问题转化成求解初始条件是的二阶微分方程的特解的问题。我们有得初始条件是再利用分离变量法解上述初值问题得参考文献1金福临,李训经.常微分方程.上海科技出版社, 1997.（书籍） 2同济大学应用数学系.高等数学（下册, 第五版) .高等教育出版社,2002.（书籍）3华北师范大学常微分方程教研室.常微分方程（第二版）.高等教育出版社,2005.（书籍）4史金麟,张剑峰.常微分方程分类原理.科