河南省郑州市2017届高三4月模拟调研数学试题（文）含答案

河南省郑州市第一中学 2017 届高三 4 月模拟调研 数学（文）试题 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2|2A x y x x ，集合 2| ,B y y x y Z ，则 ） A 1 B 2 C 3 D 4 i 为虚数单位，且复数 z 满足 22 a ，若 z 为实数，则实数 a 的值为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 2 ,1上的偶函数，且在 0,1 b 上单调递增，则 不等式 1f x f 的解集为（ ） A 1,2 B 3,5 C 1,1 D 13,22 2 s x x 图象上所有点的横坐标扩大到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移4个单位，得到函数 函数 ） A4x B 1912x C. 1312x D6x x 轴上，渐近线方程为 34的双曲线和曲线 222 104xy 的离心率之积为 1 ，则 b 的值为（ ） A 65B 103C. 3 或 4 D 65或 出的 S 的值为（ ） A 0 B 12C. 1 D 32该几何体的体积为（ ） A 33B 233C. 433D ） 对于不重合的两条直线，“两条直线的斜率相等”是“两条直线平行”的必要不充分条件； 命题“ ， x ”的否定是“ ， x ”； “若 2x ，则 2 4x ”的否命题是真命题； 已知直线 a ， b 和平面 ，若 a ， /b 则 . A 1 B 2 C. 3 D 4 n 项和为 12，则 32 21f x x k x x 的极大值为（ ） A 2 B 3 C. 72D 5210.“今有垣厚七尺八寸七有五，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚 ，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两 鼠相逢需要的天数为（ ） A 2 B 3 C. 4 D 5 x （道）与做题时间 y （分钟）的几组对应数据： 根据上表中的 数据可知， y 关于 x 的回归直线方程为 ，则把学生的做题时间看作样本，则 y 的方差为（ ） A 3 B 72C. 52D 2 0 ,2 , 0 ,x x 且方程 2 2 3 0f x f x a 有 8 个不同的实根，则实数 a 的取值范围为（ ） A 3,42B 3 13,28C. 3,2D 2,4 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 0 , 0O A a O B b O C a b ，且 ,点在同一条直线上，则 11最小值为 0,2 0,2 0, 则目标函数 2382x 的取值范围为 2与抛物线 2 8交于 ,物线的焦点为 F ，则 B 的值为 2a， 1 1n n nn a a a ， 则对于任意的 2,2a ，不等式21 211na t 恒成立，则实数 t 的取值范围为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 文字说明、证明过程或演算步骤 .） 13 s i n c o s c o s 0 , 022f x x x x ，函数 相切，切点的横坐标依次组成公差为 的等差数列，且 （）试确定函数 t 的值； （）在 中，三边 ,且满足 122， 的面积为312c ，试求 最小值 . 了了解某 学科的考试成绩，根据学生的考试成绩利用分层抽样抽取 50 名学生的成绩进行统计（所有学生成绩均不低于 50 分），得到学生成绩的频率分布直方图如图，回答下列问题； （）根据频率分布直方图计算本次考试成绩的平均分； （）已知本次全校考试成绩在 50,60 内的人数为 84 ，试确定全校的总人数； （）若本次考试抽查的 50 人中考试成绩在 90,100 内的有 2 名女生，其余为男生，从中选择两名学生，求选择一名男生与一名女生的概率 . 中， 面 /C ， D ， 2D， 4，点 E 为 中点 . （）求证：面 面 （）若直线 面 成角的正切值为 12，试求三棱锥 P 的外接球的体积与多面体 的体积比 . 与圆 2240x y x 外切，与圆 22 4 1 2 0x y x 内切 . （）试求动圆圆心的轨迹 C 的 方程； （）与圆 221相切的直线 轨迹 C 交于 ,直线 ,B 斜率成等比数列，试求直线 方程； 2f x x x a x ， 323g x x x. （）若函数 x 处的切线平行于 x 轴，求函数 1,2 上的最大值与最小值； （）对于任意的 12, 1,2 12f x g x恒成立，试求实数 a 的取值范围 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 1,31（ t 为参数），以坐标原点为极点， 线 C 的极坐标方程为22 . （）写出直线 l 的极坐标方程与曲线 C 的直角坐标方程； （）已知与直线 l 平行的直线 l 过点 2,0M ，且与曲线 C 交于 ,求 等式选讲 已知函数 3 2 2f x x x ， g x x a a x . （）解不等式 10； （）若对于任意的1都有2使得 12f x g x，试求实数 a 的取值范围 . 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： 二、填空题 13. 4 14. 14,215. 11 16. , 2 2 , 三、解答题 ） 2 1 c o s 2 21 3 13 s i n c o s c o s s i n 2 22 2 2 2xf x x x x x 31s i n 2 2 c o s 2 2 s i n 2 22 2 6x x x ， 由 相切可得 1t . 由 262k k Z ， 26k ， 0,2 ，6，由题意得 22 ， 1 ，函数 s i n 2 c o s 22f x x x . （）由 f x x ， 122，得 1， 又 0,C ， 23C ， 1 1 2 3s i n s i 3 1 2a b C a b c ， 3c ，根据余弦定理可得 2 223 2 c o s 3a b a b a b ， 即 2 2 2 29 2 3a b a b a b a b a b a b ， 13当且仅当 时，取等号，故 最小值为 13. ）根据频率分布直方图可知，本次考试成绩的平均分为 5 5 0 . 0 0 8 1 0 6 5 0 . 0 2 8 1 0 7 5 0 . 0 3 2 1 0 8 5 0 . 0 2 1 0 9 5 0 . 0 1 2 1 0 7 5 （分） . （）本次全校考试成绩在 60 分以下的频率为 0 ，所以全校的总人数为84 050. （）根据频率分布直方图可知，考试成绩在 90,100 内的学生人数为 50 0 6 ，则有 4 名男生 . 设男生分别为1 2 3 4, , ,A A A A，女生分别为12,有情况有 12, 13, 14, 11, 12, 23, 24, 21, 22, 34, 31, 32, 41, 42, 12,共 15 种， 其中一名男生与一名女生的情况有 11, 12, 21, 22, 31, 32, 41, 42,共 8 种，故所求概率为 815 . ）证明：如图，过 D 作 C 交 F ， D ， /C ， C ，四边形 矩形， 又 D ，四边形 正方形， 2C， 2 2 2 22 2 2 2D C D F F C ， 2 2 2 22 2 2 2B D B F F D ， 222 2 22 2 2 2 1 6B D D C B C ， C ， 又 面 C ， 又 D B ， 面 又 面 面 面 （）如图，连接 则 /B ， 面 为 面 成的角， 1ta F ， 2， 1， 2，设三棱锥 P 的外接球的半径为 R ，可知 2 2 2 22 R P B A B A D ， 2 2222 2 2 2R ， 3R ， 3344 3 4 333 球. 又 2 4 211 243 2 3 2P A B C D A D B C A B ， 1 1 1 1 41 2 43 2 3 2 3E B D F A B B C ， 48433P E B A D P A B C D E B D V ， 4 3 3 38 23P E B A 球. ）圆 2240x y x 可化为 2 224 ，圆 22 4 1 2 0x y x 可化为 2 22 1 6 ， 设动圆 P 的半径为 R ，两定圆的圆心分别为 1 2,0F ， 2 2,0F，则1 2， 2 4，126F，根据椭圆的定义可知，轨迹 C 是以12, 2c ， 3a ，则 2 2 2 9 4 5b a c ， 故轨迹 C 的方程为 22195. （）由题意知直线 斜率存在且不为 0 . 设直线 方程为 0y m x n n ， 联立 221,95,mx n 消去 y 得 2 2 25 9 1 8 9 4 5 0m x m n x n ， 设 11,A x y， 22,B x y， 则 12 2212 218 ,599 4 5 ,59 根据直线 ,B 斜率成等比数列， 可知21212 ， 即 21 2 1 2y y m x x ， 221 2 1 2 1 2 1 2y y m x n m x n m x x m n x x n ， 212 0m n x x n ，2218 059n ， 53m， 由直线 圆 221相切可得2 11，可得 143n， 故所求直线方程为 5 1433或 5 1 433 . )对 2f x x x a x 求导可得， 1 2f x x ， 由题意知 1 1 2 0 ， 1a ， 2 2 1 11 2 121 x xx x x ， 又函数 0, ， 函数 1,2 上单调递减， 对 1,2x ， m a x 12f x f， m i n 2 l n 2 4 2 2 l n 2f x f ， 故函数 1,2 上的最大值与最小值分别为 2 与 （） 323g x x x， 232g x x x . 令 0 ，得 0x 或 23x， 函数 0,3上单调递减，在 2,23上单调递增，则对 1,2x ， m a x 21g x g. 2 1f x x x a x 在 1,2 上恒成立， 即 1 , 2xa x ， 设 1 , 2xh x x ， 则 22 2 21 1 l n l x x x x ， 所以 m a x l n 2 1 3 l n 222 2 2 2 2h x h ， 故实数 a 的取值范围为 3 ,22 . ）把直线 l 的参数方程化为直角坐标方程为 3 1 1 ，将 代入直线 l 的 方程可得其极坐标方程为 3 c o s s i n 3 1 0 . 由22 ，可得 221 c o s 2 c o ， 则曲线 C 的直角坐标方程为 2 2. （）直线 l 的倾斜角为3，所以直线 l 的斜角也为3，又直线 l 的过点 2,0M ，所以直线 l 的 参数方程为12,232 （ t 为参数）， 代入曲线 C 的直角坐标方程可得 23 4 16 0 ， 由一元二次方程的根与系数的关系知12 163，1243 ， 故 221 2 1 2 1 24 1 6 4 4 1 343 3 3A B t t t t t t . ）当 1x 时， 3 2 2 3 5f x x x x ， 由 3 5 10x ，解得 53x， 53x； 当 13x 时， 3 2 2 1f x x x