江西省南昌市2017届高三第二次模拟考试数学试题（理）含答案解析

第二次模拟测试卷 理科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必 将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、 姓名 、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致 2 第 卷 每小题选出答案后，用 2B 铅笔 把 答题卡上对应题目的答案 标号 涂黑 ， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其它 答案标号 第 卷用 米的黑色墨水 签字笔 在答题卡上书写作答 若在试题卷上作答，答题无效 3 考试结束后，监考员将答题卡收回 第 卷 （选择题部分，共 60分） 一 选择题： 共 12 小题，每小题 5分，共 60分 有一项是符合题目要求的 . 1 已知集合 l g ( 3 2 ) A x y x , 2 4B x x, 则 （ ） A. 3 2 2 B. 2 C. 3 2 2 D. 22 若 i ia t （ i 为 虚数单位 ， , ），则 等于 （ ） A. 1 B. 0 C. 1 D. 2 3 已知 随机变量 服从 正态分布 2( , )N ，若 ( 2 ) ( 6 ) ， 则 (2 4)P 等于 （ ） A. B. C. D. 4 已知函数 () 上可 导，则“0( ) 0是“0()函数 () （ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既 不充分 也不 必要条件 5 执行 如右图程序框图，输出的 S 为 （ ） 主 ） 视方向17B. 27C. 47D. 676 已知数列 前 n 项和为825，则11 ） A. 110 B. 55 C. 50 D. 不能确定 7 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 的 坐 标 分 别 是1( 0 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 , ( 0 , 1 , 1 ) , ( , 1 , 0 )2） ，绘制该四面体三视图时 , 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为 （ ） 221234九章 算术 卷 第五 商功 中 ，有问题 “ 今 有 刍 甍，下广三丈，袤四 丈，上袤二丈，无广，高一丈 问 积 几何？ ” ，意思 是： “ 今有底面为矩形的屋脊状 的 楔体， 下底面宽 3 丈 ，长 4 丈 ；上棱长 2 丈 ，无宽，高 1 丈 （ 如图 ） 问 它的体积是多少 ? ”这个 问题的答案是（ ） A. 5 立方 丈 B. 6 立方丈 C. 7 立方 丈 D. 9 立方 丈 9 已知抛物线 2:4C y x ,过焦点 F 且 斜率为 3 的直线与 C 相交于 ,且 ,则 （ ） A. 83B. 833C. 163D. 16 3310 函数22 s i n 3 3( , 0 ) ( 0 , )1 441 的图像大致是 （ ） 2A. B. C. D. 11 若对 圆 22( 1 ) ( 1 ) 1 上 任意一点 ( , )Px y ， | 3 4 | | 3 4 9 |x y a x y 的 取值与 ,实数 a 的 取值范围是（ ） A. 4a B. 46a C. 4a 或 6a D. 6a 12 已知递增 数列 意 *均满足 * , 3 a n，记123 ( * )a n N，则数列 n 项 和 等于 （ ） A. 2n n B. 121n C. 1332n n D. 1332n 第 卷（非选择题部分，共 90分） 本卷包括必考题和选考题两个部分 . 第 13题 第 21题为必考题，每个考生都必须作答 . 第 22题 第 23题为选考题，考生根据要求作答 . 二 填空题：本大题共 4小 题，每小题 5 分 ,共 20分 . 13 已知 向量 (3,4)a ， ( ,1)， 若 ()a b a，则实数 x 等于 14 设 2 5 2 1 00 1 2 1 0( 3 2 )x x a a x a x a x ，则 1a 等于 15 已知 等腰梯形 ， 2 4 , 6 0A B C D B A D ， 双曲线以 ,与 线段 包括端点 C 、 D )有 两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 16 网店和实体店各有 利弊 ， 两者 的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向某品牌行车记录仪 支架 销售公司从 2017 年 1 月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式 根据几个月运营发现，产品的月销量 x 万件 与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足 231x t函数关系 式 已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元 ，产品每 1 万 件进货价格为 32 万元 ，若每件产品的售价定为“进 货 价的 150% ” 与 “ 平均每件产品的实体店体验安装费用的一半 ” 之和，则该公司 最大月利润 是 万元 三 解答题：本大题共 6小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12分） 已知 函数 ( ) 2 s i n s i n ( + )3f x x x （ ） 求 函数 ()增区间； （ ） 锐角 的 角 , 对边分别是 ,角 A 的 平分线交 D ， 直线 是 函数 ()一条对称轴， 22A D B D， 求边 a 18 （本小题满分 12分） 近年来随着我国在教育科研上的投入不断加大，科 学技术得到迅猛发展 ,国内企业的国际竞争力得到大幅提升 内有实力企业纷纷进行海外布局，第二轮企业出海潮到来 国产品牌已在赶超国外巨头，某品牌手机公司一直默默拓展海外市场，在海外共设 30 多个分支机构，需要国内公司外派大量 70 后、 80 后中青年员工 分层抽样的方式从 70 后和 80 后的员工中随机调查了 100 位，得到数据如下表： 愿意被外派 不 愿意被外派 合计 70 后 20 20 40 80 后 40 20 60 合计 60 40 100 （ ） 根据调查 的 数据，是否有 90% 以上的把握认为 “ 是否 愿意被外派与年龄有关 ” ，并说明理由； （ ） 该公司举行参观驻海外分支机构的交流体验活动 ，拟安排 6 名 参与调查的 70 后、80 后员工参加 员工中有愿意被外派的 3 人和不愿意被外派的 3 人报名参加，从中随机选出 3 人，记选到愿意被外派的人数为 x ； 80 后员工中有愿意被外派的 4 人和不愿意被外派的 2 人报名参加，从中随机选出 3 人，记选到愿意被外派的人数为 y ，求 概率 参考数据： 2()P K k k （参考公式： 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d ） . y F 2 F 1 P N M B A O 19 （本小题满分 12 分） 已知 四棱锥 S 中 ，底面 边长为 2 的 菱形，60 ， 5 , 7S A S D S B ，点 E 是 棱 中点， 点 F 在棱 ，且 C ， （ ） 求 实数 的 值； （ ） 求 二面角 S 的 余弦值 20 （本小题满分 12 分） 如图， 椭圆 22: 1 ( 0 )a 的右 顶点为 (2,0)A ，左、右 焦点分别为1F、2F，过 点 A 且斜率为 12的 直线与 y 轴交于点 P ， 与 椭圆交于另一个点 B ，且 点 B 在 x 轴上 的射影恰好为 点1F （ ） 求 椭圆 C 的 标准方程； （ ） 过点 P 且斜率大于 12的 直线与 椭圆交于 ,（ | | | |N ），若 :P A M P B ，求实数 的取值范围 21 （本小题满分 12分） 已知 函数 2( ) l n ( 1 )f x x x a x b x ( , , ,a b R a b 为 常数 ， e 为自然对数的底 数 ） （ ） 当 1a 时 ， 讨论 函数 ()间 1( 1, 1)上极值 点的个数； （ ） 当 1a ， 2 时 ，对任意的 (1, )x 都有 12() xf x 成立 ， 求 正 实数 值范围 请考生在第（ 22） 、（ 23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题记分，作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22 （本小题满分 10分） 选修 4标系与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 133（ t 为参数）在以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为2 4 c o s 2 3 s i n 4 0 （ ） 求直线 l 的 普通方程和 曲线 C 的直角坐标方程； （ ） 设 直线 l 与曲线 C 交于 ,求 | | | |B 23 （本小题满分 10分） 选 修 4等式选讲 已知 ( ) | 2 3 | | 2 1 |f x x x （ ） 求不等式 ( ) 2的解集； （ ） 若 存在 ， 使得 ( ) | 3 2 |f x a成立 ，求 实数 a 的取值范围 目第二次模拟测试卷 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C A B B A B A D D 1、 D【解析】因为 3 l g ( 3 2 ) 3 2 0 2A x y x x x x x ， 2 2 B x x 所以 2A B x xU ，故答案选 D 2 A【解析】因为 i i i i ( 1 2 i ) = i - 2 ia t a t t ，则 1 22t 所以 1 ，故答案选 A 3 B【解析】由题意可得 1 0 . 1 5 2( 2 4 ) 0 . 3 52P ，故答案选 B 4 C【解析】由“0( ) 0不可以推出“0()同时由“0()以推出“0( ) 0，所以“0( ) 0是“0()必要不充分条件故答案选 C 5、 A【解析】考虑 进入循环状态， 根据程序框图可知，当 1i 时，有 27S；当 2i 时，有 47S；当 3i 时，有 17S；当 4i 时，有 27S；当 5i 时，有 47S；当 6i 时，有 17S；所以可知其循环的周期为 3T ，当退出循环结构时 6 3 2i ，所以输出的 17S，故答案选 A 6 B 【 解 析 】7 8 1 1 1 62 2 ( 6 ) ( 7 ) 5a a a d a d a d a ，1 1 11 1 61 1 1 1 5 52 故答案选 B 7 B【解析】满足条件的四面体如左图，依题意投影到 面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故 答案 选 B 8 A 【解析】 将 该 几 何 体 分 成 一个 直 三 棱 柱 ， 两 个 四 棱 锥 ， 即113 1 2 2 1 3 1 523V ，故答案选 A 9 B 【 解 析 】 由 题 意 可 得 直 线 : 3 ( 1 )P Q y x与 抛 物 线 2 4联 解 得 ：23 1 0 3 0 ， 所以点 (3, 2 3)P ， 1 2 3( , )33Q ，则 2 3 8 32333 在 中， h ，则 1 8 3 8 322 3 3M N ，故答案选 B 方法二 :不防设交点 P 在 x 轴上方 ,由抛物线焦点弦性质得 | | | |M ,| | | |N 且 1 1 2 1| | | |P F Q F p , | | | | | | | | 1| | | | | | | | 2P M Q N P F Q Q N P F Q F， 故 | | 4，4|3， 所以 1 1 4 3 8 3| | ( 4 ) 22 2 3 2 3M N N p ， 故答案选 B 10 A【解析】 因为函数22 s i n()11xy f 可化简为 222 s i n() 1x 可知函数为奇函数关于原点对称，可排除答案 C；同时有 42224 s i n 2 c o s 2 c o s ( )( 1 )x x x x x xy f 3222 ( 2 s i n c o s c o s )( 1 )x x x x x ，则当 (0, )2x ( ) 0,可知函数在2x 处附近单调递增，排除答案 ，故答案选 A 11 D【解析】要使符合题意 ， 则 圆上所有点在直线12: 3 4 0 , : 3 4 9 0l x y a l x y 之间， 因为 圆心到直线2离22| 3 4 9 | 213 ( 4 )d 且 3 1 4 1 9 0 ，则所有 圆心到直线1离1 22| 3 4 | 13 ( 4 )， 且 3 1 4 1 0a ， 解得 6a ， 故答案 选 D 12 D【解析】法一：1 133 ,讨论： 若111aa a a ， 不合；若1223 ； 若11333aa a a ，不合 ；即122, 3，2 366 ， 所以3 699 ， 所以69 18，918 27，1827 54，2754 81，猜测 3，所以 数列 n 项 和 等于 113 3 3 31 3 2 故答案选 D 法二： *3,n a N ，结合数列的单调性分析得122, 3，1 3b，而3, 3，同时 3，故 3 3，又 1 2 2 12 3 3 2 3 2 333n n a a a b ，数列 其前 n 项 和 等于 113 3 3 31 3 2 故答案选 D 二 填空题：本大题共 4小题，每小题 5分 ,共 20分 . 13 7 【解析】因为 ( 3 , 3 )a b x ，所以 ()a b a ( 3 ) 3 3 4 0 7 ，故答 案为 7 14 240 【 解 析 】 2 5 0 5 1 4 255( 3 2 ) ( 2 3 ) ( 2 3 )x x C x C x x ， 所以0 1 4 11 5 52 ( 3 )a C C 240 ，故答案为 240 15 3 1, ) 【解析】 双曲线 过 点 C 时 ， 2 312 c A Be a C A C B ， 开口越大，离心率越 大 ，故答案为 3 1, ) 16 解析】由题知 2 13t x,(1 3)x ，所以月 利润： ( 4 8 ) 3 2 32ty x x 111 6 3 1 6 32 3 2x 14 5 . 5 1 6 ( 3 ) 3x x 4 5 . 5 2 1 6 3 7 . 5 ， 当 且仅当 114x时 取等号，即月最大利润为 元 另解：利润 1 6 32 （利润 =12 进价 - 12 安装费 ，也可留 t 作为变量求最值 三 解答题：本大题共 6小题，共 70 分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17 【解析】 （ ） 因为 213( ) 2 s i n ( s i n c o s ) 3 s i n c o s s i x x x x x x x 3 1 1 1s i n 2 c o s 2 s i n ( 2 )2 2 2 6 2x x x ， 令 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ， 解得 ,63k x k k z ， 所以递增 区间是 , ( )63k k k Z ； （ ） 直线 是 函数 ()一条对称轴 ， 则 2,6 2 2 3kA k A k z ， 由 02A 得到3A ， 所以角6,由 正弦定理得 2s i ns i n s i n 2B D A D D B ， 所以4B ， 53 4 1 2C ， 556 1 2 1 2C D A ， 所以 2D， 52 c o s 6 212D C A D ， 所以 6a B D A D 18 【解析】 （ ） 222 ( ) 1 0 0 ( 2 0 2 0 4 0 2 0 )( ) ( ) ( ) ( ) 6 0 4 0 6 0 4 0n a d b cK a b c d a c b d 0 4 0 0 1 0 0 2 . 7 7 8 2 . 7 0 65760000 所以 有 90% 以上的把握认为“是否愿意被外派与年龄有关” （ ） “ ” 包含： “ 0, 1” 、 “ 0, 2” 、 “ 0, 3” 、 “ 1, 2” 、 “ 1, 3” 、 “ 2, 3” 六个互斥事件 且 03 1233 4233664( 0 , 1 )400CP x ， 03 2133 42336612( 0 , 2 )400CP x 03 3033 4233664( 0 , 3 )400CP x ， 12 2133 423366108( 1 , 2 )400CP x 12 3033 42336636( 1 , 3 )400CP x ， 21 3033 42336636( 2 , 3 )400CP x 所以： 4 1 2 4 1 0 8 3 6 3 6 2 0 0 1()4 0 0 4 0 0 2P x y 19 【解析】 （ ） 连接 设 E G ， 则 平 面 面 G ， /面 /G ， G E A G B C， 12A G A B C ， 1123S F A G S F S G C ， 13； （ ） 5 , , 2S A S D S E A D S E ， 又 2 , 6 0A B A D B A D ， 3 2 2 2S E B E S B ， E， 平面 以 ,B 在 直线分别为 x 轴 ， y 轴 ， z 轴 建立空间直角坐标系，则(1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 2 )A B S，平面 法向量 (1 , 0 , 0 )m E A ， 设平面 法向量 ( , , )n x y z ， 则 ( , , ) ( 0 , 3 , 0 ) 0 0n E B x y z y ， ( , , ) ( 1 , 0 , 2 ) 0 2n G F n A S x y z x z ， 令 1z ， 得 (2, 0,1)n ， 25c o s ,5| | | | ，即 所求二面角的余弦值是 255 20 【解析】 （ ） 因为1BF x轴 ，得到点 2( , )， 所以22 2 22 21 3( ) 21a ab ba a b c ， 所以椭圆 C 的 方程是 22143 （ ）因为1 s i 2 )1 12s i P M A P M P N P P N B P N ， 所以2N由 （ ） 可知 (0, 1)P ，设 程 :1y ，1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y， 联立方程 221143y 得： 22( 4 3 ) 8 8 0k x k x 即得 12 212 2843843 （ *） 又1 1 2 2( , 1 ) , ( , 1 )P M x y P N x y ，有122， 将122代入（ *）可得： 222( 2 ) 1 643 因为 12k，有 2221 6 1 6 (1 , 4 )343 4， 则 2( 2 )14且 2 4 4 2 3 综上所述，实数 的取值范围为 (4, 4 2 3 ) 21 【解析】 （ ） 1a 时 ， ( ) l n ( 1 ) 2 +1xf x x x ，记 ( ( )g x f x b） ， 则2232 ( )11 2( ) 21 ( 1 ) ( 1 )x x x ， 3( ) 0 2g x x ， 当 13(1 , )2x e时 ， ( ) 0， 3( , 1)2时 ， ( ) ， 所以 当 32x时 ， ()得 极 小 值 6 ， 又 12( 1 ) 2 ，1( 1 ) 2 4g e e e ， ( ) 0 ( )f x g x b ，所以 （）当 6 b ,即 6b时 ， ( ) 0， 函数 ()间