福建省漳州市2017届高三5月教学质量检查数学理科试卷含答案

2017 年漳州市普通高中毕业班质量检查试卷 理科数学 本试卷分第 卷和第 卷两部分。第 卷 1 至 3 页，第 卷 4 至 6 页，满分 150 分。 第 卷 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （ 1）已知集合 l g , | 1A x y x B y y x ，则 （ A） 1, ) （ B） 1, （ C） 0, ) （ D） 0, （ 2）已知复数 z 满足 (1 i) 2 ，则复数 z 的共轭复数为 （ A） 13 B） 13 C） 1 3i （ D） 1 3i （ 3）已知 随机 变量 服从正态分布 2(2, )N ，若 ( 0 2 ) = 0 ，则 ( 4)=P （ A） （ B） （ C） （ D） （ 4） 若 双曲线 22131的 渐近线方程为 12，则 m 的值为 （ A） 1 （ B） 13（ C） 113（ D） 1 或 13（ 5） 如图，网格纸的小正方形的边长是 1 ，粗线表示一正方体被某平面截得的几何体的三视图，则该几何体的体积为 （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 （ 6）一个球从 100 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，则右边程序框图输出的 S 表示的是 （ A） 小球第 10 次着地时向下的运动共经过的路程 （ B）小球第 10 次着地时一共经过的路程 （ C）小球第 11 次着地时向下的运动共经过的路程 （ D）小球第 11 次着地时一共经过的路程 （ 7）已知点 P 的坐标 ( , )足 22 2 0 ， ，过 点 P 的直线 l 与圆 22:7O x y交于A ， B 两 点，则 最小值为 （ A） 2 （ B） 22 （ C） 3 （ D） 23 (8) 如图 为 中国传统 智力玩具鲁 班锁 ，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮 合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称 ， 六根 完全相同 的正四棱柱 分成三组， 经 90 榫卯起来 现有一 鲁班锁 的正四棱柱 的底面 正方形 边长为 1 ， 欲将其 放 入 球形容器内（容器壁的厚度忽略不计）， 若 球形容器 表面积的 最小值为 30 ，则正四棱柱 的高为 （ A） 26 （ B） 27 （ C） 42 （ D） 5 (9) 已知 4 2 3 40 1 2 3 42 3 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )x a a x a x a x a x ，则2a（ A） 24 （ B） 56 （ C） 80 （ D） 216 (10) 函数 1 c o s s i nf x x x 在 , 上的图象大致是 (11) 已知函数 2s i n 2 2 3 c o s 1 ( 0 )f x x x 在区间 ( ,2 )内没有极值点，则 的取值范围为 （ A） 5 11,12 24 （ B） 5 1 1 10 , ,1 2 2 4 2 （ C） 10,2（ D） 5 5 1 10 , ,2 4 1 2 2 4 (12) 曲线 C 是平面内与两个定点1( 2,0)F ，2(2,0) 积等于 9 的点的轨迹给出下列命题： 曲线 C 过坐标原点； 曲线 C 关于坐标轴对称； 若点 P 在曲线 C 上，则12周长有最小值 10 ； 若点 P 在曲线 C 上，则12积有最大值 92 其中正确 命题 的个数为 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 2 （ D） 3 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 。 第 （ 13） 题 第 （ 21） 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 （ 22）、（ 23） 题为选考题，考生根据要求做答 。 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 (13) 已知向量 a ， b 满足 2a b= ，且 (1, 3)b= ，则 b 方向上的投影为 . (14) 甲、乙、丙 三位同学获得某项竞赛活动的前三名 ， 但具体名次未知 3 人 作出如下预测： 甲说：我不是第三名； 乙说：我是第三名； 丙说：我不是第一名 若 甲、乙、丙 3 人 的 预测结果 有且 只有一个 正确， 由此判断 获得第一名的 是 . (15) 已知函数 2( ) l nf x x x a x在 (0, ) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是 . (16) 在 中， 90， 4， 延长线段 点 D ，使得 4D ， 若30，则 . 三 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知等差数列 项和为 50，7 22a ，数列 n 项和为 1b，1 31. （）求数列 （）若数列 足 12112 n c c ab b b ,n N ，求 1 2 2 0 1 7c c c 的值 . (18)（本小题满分 12 分） 漳州 水仙 鳞茎 硕大，箭多花繁，色美香郁，素雅娟丽，有 “天下 水仙数 漳州 ”之美誉 现某水仙花雕刻师受雇每天雕刻 250 粒水仙花 ，雕刻师每雕刻一粒可赚 ，如果雕刻师当天超额完成任务，则超出的部分每粒多赚 ；如果当天未能按量完成任务，则按完成的雕刻量领取当天工资 （） 求雕刻师当天收入 (单位：元 )关于雕刻量 n （单位：粒， nN ）的函数解析式 () （） 该雕刻师记录了过去 10 天每天的雕刻量 n （单位：粒） ，整理得下表： 雕刻量 n 210 230 250 270 300 频数 1 2 3 3 1 以 10 天记录的各雕刻量的频率作为各雕刻量发生的概率 （ ）在当天的收入不低于 276 元的条件下，求当天雕刻量不低于 270 个的概率； （ ）若 X 表示雕刻师当天的收入（单位：元），求 X 的分布列和数学期望 （ 19） （本小题满分 12 分） 如图，在底边为等边三角形的斜三棱柱1 1 1A B C A B C中，1 3B ，四边形111 （ ） 证明： B ； （ ）若1 10o ， 求二面角11B A C C的余弦值 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 32，短轴长为 2 B C 1 D （ ）求 椭圆 C 的标准方程 ； （ ）若圆 22:1O x y的切线 l 与曲线 E 相交于 A 、 B 两点，线段 中点为 M ，求 最大值 （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 ( ) ( 3 ) e xf x x a x ， aR （ ） 当 1a 时，求曲线 ()2, (2)f 处的切线方程； （ ） 当 0,e)a 时， 设 函数 () 1, 上 的 最小值为 ()求函数 ()值域 请考生在第 （ 22） 、 （ 23） 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。 (22)（本小题满分 10 分） 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ， 已知点 P (2,0) ， 曲线 C 的参数方程为 24,4(t 为参数 ) 以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴 建立 极坐标系 （ ） 求 曲线 C 的普通方程 和极坐标方程 ； （ ）过 点 P 且倾斜角为 4的直线 l 交曲线 C 于 两点，求 (23)（本小题满分 10 分） 选修 4等式选讲 已知函数 ()f x x a x a ， aR （ ） 若 1a ，求 函数 ()小值 ； （ ） 若 不等式 ( ) 5的 解集为 A ，且 2 A ， 求 a 的取值范围 2017 年 漳州市 普通高中毕业班质量检查 理 科数学试题答案及评分参考 评分说明： 1本解答给出了 一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 (1) C (2) B (3) A (4) B (5) B (6) B (7) B (8) D (9) A (10) A (11) D (12) C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 (13) 3 (14)乙 (15) 1 , )2 (16)577三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （ 17） 解 : （ ）设 等差数列 d 依题意 得11545 5 0 ,26 2 2 , 解 得1 4a， 3d ， 2 分 所以1 ( 1 ) 3 1na a n d n . 3 分 当 1n 时 ，213 1 4 ， 当 2n 时，1 31， 131， 以上两式相减得1 3n n nb b b ，则1 4， 4 分 又214 所以1 4， n N . 5 分 所以 ，公比为 4 的等比数列， 所以 14 6 分 （ ） 因为12 112n c c ab b b ， n N 当 2n 时，1 2 11 2 1n c c ab b b ， 以上两式相减得1 3n ， 所以 13 3 4 ， 2n . 8 分 当 1n 时 ，1 21c ，所以 1 2 1 7c a b，不符合上式， 9 分 所以1 2 2 0 1 7c c c 2 2 0 1 67 3 ( 4 4 4 ) 10 分 201620174 ( 1 4 )7 3 4 314 . 12 分 (18)解：（ I）当 250n 时， ( ) 2 5 0 1 . 2 1 . 7 ( 2 5 0 ) 1 . 7 1 2 5f n n n , 当 250n 时， ( ) n n , 所以 1 . 7 1 2 5 , 2 5 0 ,( ) ( )1 . 2 , 2 5 0n N 4 分 （ ）设当天的收入不低于 276 元为事件 A ，设当天雕刻量不低于 270 个为事件 B , 由（ I）得 “利润不低于 276 元 ”等价于 “雕刻量不低于 230 个 ”，则 ， 所以 0 . 3 0 . 1 4| 0 . 9 9P A A 7 分 （ ）由题意得 ( 2 1 0 ) 2 5 2 , ( 2 3 0 ) 2 7 6 ,( 2 5 0 ) 3 0 0 , ( 2 7 0 ) 3 3 4 , ( 3 0 0 ) 3 8 5 ,f f f X 的可能取值为 2 5 2 , 2 7 6 , 3 0 0 , 3 3 4 , 3 8 5 所以 ( 2 5 2 ) 0 . 1 , ( 2 7 6 ) 0 . 2 ,P X P X ( 3 0 0 ) 0 . 3 , ( 3 3 4 ) 0 . 3 , ( 3 8 5 ) 0 . 1 ,P X P X P X 10 分 X 的分布列为 X 252 276 300 334 385 P ( ) 2 5 2 0 . 1 2 7 6 0 . 2 3 0 0 0 . 3 3 3 4 0 . 3 3 8 5 0 . 1 3 0 9 . 1 （元） 12 分 （ 19）解： （ ）连接1C 于点 E ，连接 因为1面1面1面1平面1A E， 所以1E 2 分 又因为四边形11为平行四边形， 所以 E 为1以 1中位线，所以 D 为 中点 又因为 为等边三角形，所以 B . 4 分 （ ）过 A 作 平面1 1 1 ，连接1 2 因为1 10o ，所以1 60A A O o 在1A O中，因为1 23 所以1 3 3 因为 平面1 1 11面1 1 1 所以 1又因为 四边形11以111 因为11A，所以111因为1A A A O AI，1平面1 平面1以11面1 因为1平面1以11所以 O 为11 7 分 以 O 为原点，以11,B x 轴， y 轴， z 轴 的正方向建立空间直角坐标 系，如图 1 3, 0, 0A， 1 0, 1, 0C ， 0,0,3A ， 1 0,1,0B. 因为 11 3 , 1 , 0A B A B u u u 所以 3,1, 3B ， 31, , 322D， 因为 11 3 , 1 , 0A C A C u u ur u u 所以 3 , 1, 3C , 1 2 3 , 1 , 3 11 0 , 2 , 0B C B C u u u 1 2 3 , 1 , 3 3 3 1, , 322 u u 8 分 设平面1 ,x y zn ， 由 1 00 2 3 3 00 x y ， B C 1 D E B C 1 D x y z O 令 3x ，得 2z ， 所以平面1 3 , 0, 2n 设平面11 ,a b cm ， 由 1110,0 302 3 3 0b c ， ， 令 3a ，得 3, 1 ， 所以平面11 3 , 3,1m 10 分 所以 5 9 1c o s ,91 因为所求二面角为钝角，所以 二面角11B A C C的余弦值为 5 9191 12 分 （ 20） 解：（ I） 22b ，所以 1b ,又 22 32，解得 2a 所以椭圆 C 的标准方程 2 2 14x y 4 分 （ 11( , )A x y，22( , )B x y，00( , )M x y，易知直线 l 的斜率不为 0 ，则设 :l x my t 因为 l 与圆 O 相切，则2 11，即 221； 6 分 由 2244my t 消去 x ，得 2 2 2( 4 ) 2 4 0m y m t y t ， 则 2 2 2 2 2 2= 4 4 ( 4 ) ( 4 ) 1 6 ( 4 ) 4 8 0m t t m m t ，12 22 4m ， 0 2 4m ，00 24 4tx m y t m ，即224( , )44t m tM ， 8 分 2 2 2 22 222 2 2 2 2 24 ( 1 6 ) ( 1 ) ( 1 6 )( ) ( )4 4 ( 4 ) ( 4 )t m t t m m m m m m ， 9 分 设 2 4，则 4x ， 2 222( 3 ) ( 1 2 ) 3 6 9 1 1 2 5 2 51 3 6 ( )8 1 6 1 6x x x x ， 当 8x 时等号成立，所以 最大值等于 54 12 分 （ 21）解 : 由题意得 ( ) ( 2 ) xf x x e a ， 1 分 ( )当 1a 时， ( ) ( 2 ) 1xf x x e ， 所以 (2) 1f ， 又因为 2(2) 2 ， 则所求的切线方程为 2( 2 ) 2y e x ，即 2 0x y e 4 分 （ ） 设 ( ) ( )h x f x ，则 ( ) ( 1 ) 0xh x x e 对于 1x成立， 所以 () (1, ) 上是增函数，又因为 0, )，则 (1) 0h e a ， (2) 0 ， 所以 () (1, ) 上有唯一零点 （ (1,2m ） 6 分 则 函数 ()1, )m 上单调递减，在 ( , )m 上单调递增 ， 因此当 0, )时，函数 ()1, ) 上的 最小值 为 () 8 分 因为 ( 2 ) 0mm e a ， 则 ( 2) ma m e ，当 0, )时，有 (1,2m 所以 函数 ()( ) ( 3 ) ( 2 ) ( 3 3 )m m mf m m e m m e m m e ， 10 分 令 2( ) ( 3 3 ) m