河南省六市2017届高三第二次联考数学试题（理）含答案

2017 年河南 省六市高三第二次联考 数学 （理科） 第 卷（共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 集合 2 2 3 0A x x x ， B x y x ， 则 （ ） A. 1,3 B. 1,3 C. 1,2 D. 1,2 数 221 iz i （ i 为 虚数单位），则 z 的 虚部是（ ） A. 1 x的 图象大致为（ ） A B C D G ， H ， M ， N 分别 是正三 棱 柱的顶点或所在棱的中点，则表示 异面直线 的 图形的序号为（ ） A. B. C. D. 圆 2 22: 1 0C x y r r p ： 03r ， 条件 q ： 圆 C 上 至多有 2 个 点 到直线 3 3 0 的 距离为 1， 则 p 是 q 的 （ ） 21 1a x ， 则 61a 的 展开式中的常数项（ ） 52 D. 15 等式 组 205 1 0 08 0 ， 所表示的平面区域存在点 00,使0020x 成立 ，则实数 a 的 取值范围是（ ） A. 1a B. 1a C. 1a D. 1a 法框图，如果输出的函数值在区间 1,8 上 ，则输入的实数 x 的 取值范围 是 （ ） A. 0,2 B. 2,7 C. 2,4 D. 0,7 学用 “ 随机 模拟方法 ” 计算曲线 与 直线 ， 0y 所 围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 10 个 在区间 1,e 上 的均匀随机数0 个 区间 0,1 上 的均匀随机数*， 1 10i ） ，其数据如下表的前两行 . x y 此可 得 这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ） A. 3 15 eB. 2 15 eC. 3 15 eD. 2 15 e10.九章算术是我国古代数学 名著，书中有如下问题： “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等 得几何 .” 其 意思 为 “ 已知甲、乙、丙、 丁 、 戊 五人分 5 钱 ，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？ ” （ “ 钱 ” 是古代的一种重量单位） 问题中，甲所得为（ ） 函数 s i n 3 c o sf x x x x R ， 先将 y f x 的 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 12倍 （纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 （ 0 ） 个单位长度，得到的 图 象关于直线 34x 对称 ，则 的 最小值为（ ） 双曲线 221 : 1 0 , 0xy 的 左、右焦点分别为1F、2F， 椭圆 222 :186 的离心率为 e ， 直线 2曲线交于 M ， N 两点 ，若1 1 2c o s c o N F F M ，11 则双曲线1的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） 和 150 和 135 和 120 165 第 卷（共 90 分） 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 1,1a ， 1,0b ，若 2a b a b ， 则 项为 32 的 等比数列，前 n 项 和，且636564 ， 则数列 2前 10 项 和为 网 格 纸上小正方形的边长为 1， 粗实线与粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 线 21 :0C y ax a与 曲线2 : xC y e存在 公共切线，则 a 的 取值范围 为 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 在 中 ，角 A ， B ， C 的 对边分别为 a ， b ， c ， 且 s in c o s 0a B b A. （ 1） 求角 A 的 大小； （ 2） 若 25a ， 2b ， 求 的 面积 . 校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知这些学生的原始成绩均分布在 50,100 内， 发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定 ： A 、 B 、C 三 级为合格等级， D 为 不合格等级 . 百 分 制 85 分 及以上 70 分 到 84 分 60 分 到 69 分 60 分 以下 等级 A B C D 为 了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名 学生的原始成绩作为样本进行统计，按照 50,60 ， 60,70 ， 70,80 ， 80,90 ， 90,100 的 分组做出频率分布直方图如图甲所示，样本中分数在 80 分 及以上的所有数据的茎 叶 图如图 乙所示 . （ 1） 求 n 和 频率分布直方图中的 x ， y 的 值； （ 2） 根据利用样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为事件时间发生的概率，若在 该校高一学生中任选 3 人 ，求至少有 1 人 成绩 是 合格等级的概率； （ 3） 在选取 的 样本中，从 A 、 C 两个 等级的学生中随机抽取了 3 名 学生进 行调研，记 表示 所抽取的 3 名 学生中成绩为 C 等级 的人数，求随机变量 的 分布列及数学期望 . 半圆 O 的 直径， C 是 半圆 O 上 除 A 、 B 外 的一个动点， 直 于半圆 O 所在的平面， B ， B ， 4， 1. （ 1） 证明 ： 平面 平面 （ 2）当 三棱锥 C 体积 最大时，求二面角 D 的 余弦值 . 面直角坐标 系 ，椭圆 22: 1 0a 的 离心率为 12， 右焦点 1,0F . （ 1） 求椭圆 C 的 方程； （ 2）点 P 在 椭圆 C 上 ， 且 在第一象限 内， 直线 圆 2 2 2:O x y b相 切于点 M ， 且Q ， 求点 Q 的 纵坐 标 t 的 值 . 函数 s i n c o x e x x， c o s 2 xg x x x e， （其中 e 是 自然对数的底数） . （ 1）1 0,2x ，2 0,2x 使得 不 等式 12f x g x m成立， 试 求实数 m 的取值 范围 . （ 2）若 1x ， 求证： 0f x g x. 坐标系中，曲线 C 的 方程为2 231 2 ， 点 2 2,4R . （ 1） 以极点为原点，极轴为 x 轴 的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线 C 的 极坐标方程化为直角坐标方程， R 点 的极坐标化为直角坐标； （ 2） 设 P 为 曲线 C 上 一动点，以 对角线的矩形 一边垂直于极轴，求矩形长 的最小值，及此时 P 点 的直角坐标 . 数 f x x a ， . （ 1）当 2a 时， 解不等式 6 2 5f x x ； （ 2） 若关于 x 的 不等式 4的 解集为 1,7 ， 且两正数 s 和 t 满足 2s t a ， 求证：186 . 2017 年河南 省六市高三第二次联考 数学 （理科） 参考 答案 一、选择题 1 6 11、 12： 、填空题 6. 2,4e三、解答题 （ 1） 在 中 ，由正弦定理得 s i n s i n s i n c o s 0A B B A， 即 s i n s i n c o s 0B A A，又 角 B 为 三角形内角， B ， 所 以 ， 即 2 s i n 04A ， 又 因为 0,A ， 所以 34A . （ 2） 在 中 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 则 2 22 0 4 42 ， 即 2 2 2 1 6 0 ， 解得 42c （ 舍）或 22c ， 又 1 ， 所以 122 2 2 222S . （ 1） 由题意可知，样本容量 6 500 2 1 0n . 2 0 45 0 1 0x ， 1 0 . 0 4 0 . 1 0 . 1 2 0 . 5 6 0 . 0 1 810y . （ 2）样 本中成绩是合格 等级 的人数为 1 0 0 4 5 人 ，成绩是合格等级的频率为45 950 10 ， 故从该校学生中任选 1 人 ， 成绩 是合格等级的概率为 910 . 设 从该校高一学生中 任 选 3 人 ，至少有 1 人 成绩是合格等级的 事件为 A ， 则 39 9 9 911 1 0 1 0 0 0 . （ 3） 样本中 C 等级 的学生人数为 0 9人 ， A 等级 的学生人数为 3 人 ，故 的 所有可能取值为 0， 1， 2， 3， 0P 3331210 220 ， 1293312271 220 ， 21933121 0 8 2 72 2 2 0 5 5 ， 393128 4 2 13 2 2 0 5 5 ， 所以 的 分布列为： 0 1 2 3 P 122027220275521551 2 7 5 7 2 1 90 1 2 32 2 0 2 2 0 5 5 5 5 4E . （ 1） 因为 直径，所以 C ， 因为 平面 所以 C ， 因为 C C ， 所以 平面 因为 E ， E ， 所 以四边形 平行四边形， 所 以 E ， 所以 平面 因为 平面 所以平面 平面 （ 2） 因为 平面 E ， 所 以 平面 B ， 在 中 ， 1t a n 4 14E B A B E A B ， 由 （ 1） 知 2 2 21 1 1 1 1 1 43 3 2 6 1 2 1 2 3C A D E E A C D A C S D E A C C D D E A C B C A C B C A B ， 当 且仅当 22C 时， 等号成立 . 如图 所示，建立空间直角坐标系，则 0,0,1D ， 0, 2 2,1E ， 2 2, 0, 0A ， 0, 2 2, 0B . 则 2 2 , 2 2 , 0 ， 0, 0,1， 0 , 2 2 , 0 ， 2 2 , 0 , 1. 设 平面 一个法向量为 1 1 1 1,n x y z， 则1100n A ， 即1112 2 02 2 0， 1 0y， 取1 1x， 则 1 1, 0, 2 2n ， 设 平面 一个法向量为 2 2 2 2,n x y z， 则2200n B ， 即22202 2 2 2 0 ， 2 0z ， 取2 1x， 则 2 1,1,0n ， 12121212c o s ,692 ， 二面角 D 的 余弦值为 26. （ 1） 121， 1c ， 2a ， 3b ， 椭圆方程为 22143. （ 2） 当 PM x 轴 时， 33, 2P， 3, 由 0Q， 解得 23t . 当 垂直于 x 轴 时， 设 00,P x y， 程 为 00y y k x x ， 即00 0kx y kx y ， 圆 O 相 切， 002 31kx ， 2 200 33kx y k ， 2 2 2 20 0 0 02 3 3k x y k x y k ， 又00,t y ， 所以由 0Q， 得 0 0 000x y ， 22 2222 00 0 0 0 0 022 2 2 2 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0 0 000332 3 3y k x x k x k y k x y x k y k x y kx k y 2202 2 2 2 20033 1231 1 3 3 34x k x k 23t . 综 上： 23t . （ 1） 因为不等式 12f x g x m等 价于 12f x m g x， 所 以1 0,2x ，2 0,2x 使得 不等式 12f x g x m成立 ，等价于 12m i n m i nf x m g x ， 即 12m i n m a xf x m g x ， 当 0,2x 时， s i n c o s s i n 0x e x e x x ， 故在区间 0,2上 单调递增，所以 0x时， y f x 取得 最小值 1 . 又 c o s s i n 2 xg x x x x e ， 由于 0 x， ， 22 ， 所 以 0， 故 间 0,2上 单调递 减，因此 0x 时， 大值 2 . 所 以 12m ， 所以 21m . 所 以实数 的 取值范围为 , 1 2 . （ 2） 当 1x 时， 要证 0f x g x， 只要证 f x g x ， 只 要证 s i n c o s c o s 2x x x x e ， 只 要证 s i n 2 1 c o x x x ， 由 于 0x ， 10x ， 只要证 c o s1 s x . 下 面证明 1x 时， 不等式 c o s1 s x 成立 ， 令 11x ， 则 221 11xx xe x e ， 当 1,0x 时， 0， 减； 当 0,x 时， 0， 增 . 所 以当且仅当 0x 时， 小值也就是最小值为 1. 令 xk x ， 其可看作点 x x 与 点 2,0B 连 线的 斜率 ， 所 以直线 方程为 2y k x， 由 于点 A 在 圆 221， 所以直线 圆 221相 交 或相切 . 当 直线 圆 221相 切且切点在第二象限时，直线 斜率 k 取得 最大值为 1. 故 0x 时， 2 102 ； 0x 时， 1h x k . 综 上所述： 时 1x 时， 0f x g x成立 . （ 1） ， ， 曲线 C 的 直角坐标方程为 22 13x y. 点 R 的 直角坐标为 2,2R . （ 2） 设 3 c o s , s ， 根据题意可得 2 3 c o ， 2 ， 4 2 s