【精品】平面向量中三点共线定理的扩展及其应用

1 向量三点共线定理及其 扩展 应用 详解 一、平面向量中三点共线定理的扩展及其应用 一、问题的提出及证明。 1、 向量三点共线定理： 在平面中 A、 B、 C 三点 共线的 充 要条件是 ： x O B y O C（ 面内 任意一点），其中 1。 那么 1、 1时 分别有什么结证？并给予证明。 结论扩展如下： 1、如果 C 外任意一点，则 当 1时 点在直线 侧， 1时， 点在直线 异侧，证明如下： 设 O A x O B y O C 且 A 与 B、 C 不共线 ，延长 C 交于 设 1O A O A （ 0、 1） 、 C 共线 则 存在两个不全为零的实数 m、 n 1O A m O B n O C 且 1 则 O A m O B n O C O B O C 、 1 （ 1） 1 则 1 则 111O A O A O A 点在直线 同侧（如图 1） （ 2） 0 ,则 1 01 ，此时 向 在直线 同侧（如图 2） B C A C 图 1 2 图 2 （ 3） 1o ，则 1 此时 111O A O A O A A 与 O 在直线 异侧（如图 3） 图 3 2、如图 4过 O 作直线 平行 延长 O 侧区 域划分为 6个部分 ，并设 O P x O A y O B, 则 点 x 、 y 满足的条件是： （）区： 0001 （ ）区： 0001 （ ）区： 0001 （ ）区： 0011 （ ）区： 00（ ）区： 0010 （证明略） 二、用扩展定理 解高考题。 （ 1） 2006 年湖南（文） 10 如图 5 B ，点 M ,线段 含边界），且 O P x O A y O B，则实数对（ x 、 y ）可以是 （ ） A.（ 14， 34） B.（ 23， 23） C.（ 14， 34） D.（ 15， 75） 解：根据向量加法的平等四边 形 法则及扩展定理，则 0x ，且 1O x y ，则选 C （ 2） 2006 年湖南（理） 15 如图 5B ，点 M ，线段 含边界）运动，且 O P x O A y O B，则 x 的取值范围是 。当 12x时， y 的取值范围是 。 解：根据向量加法的平行四边形法则及扩展定理，则有： O A A B C A B O 图 4 3 0x ，且当 12x，有： 1O x y ，即 1 1 312 2 2O y y 答案为： 0x ，（ 12， 32） M B A O P 图 5 4 二 、 向量共线定理的几个推论及其应用 人教版数学（必修）第一册（下） 介绍了一个定理：向量 b 与非零向量 a 共线 有且仅有一个实数 ，使 b = a 。谓之 “ 向量共线定理 ” 。以它为基础，可以衍生出一系列的推论，而这些推论在解决一些几何问题（诸如 “ 三点共线 ”“ 三线共点 ” 等）时有着广泛的应用。以下通过例题来 加以说明 。 一、定理的推论 推论一： 向量 b 与向量 a 共线 存在不全为 0 的实数12,，使120，这实质是定理的另外一种表述形式。 推论二： 三个不同点 A、 B、 存在一组全不为 0的实数12,，使12 0A B A C。 注意推论（二）与推论（一）的区别：推论（二）中 ,C 均不为零向量，而推论（一）中，向量 , 。 推论三 : 设 O、 A、 B 三点不共线，且 O P x O A y O B，（ x， yR ），则 P、 A、 B 三点共线 x+y=1。 这实质是直线方程的向量形式。 推论四 : 设 O 为平面内任意一点，则三个不同点 A、 B、 C 共线 存在一组全不为 0 的实数1 2 3, 使1 2 3O A O B O C O 且1 2 3 =0 证： 当 O 点与 A、 B、 C 三点中任一点重合，则推论（四）即为推论（二）； 当 O 点与 A、 B、 C 三点均不重合，则三点 A、 B、 C 共线 存在 s， tR ，且 st0 ，使得 s A B t A C O，此时， s 则 C ，从而 B 点与 C 点重合，这与已知条件矛盾，故有：( ) ( )s O B O A t O C O A O ，即： ()s O B t O C s t O A O 。显然 s+t+-(s+t)=0 令1 2 3( ) 0 , 0 , 0s t s t ,故1 2 3 0 得证 。 推论五： 设 O 为平面内任意一点，则三个不同点 A、 B、 C 不共线 若存在实数1 2 3, ，使1 2 3O A O B O C O 且 1 2 3 0 则 1 2 3 =0。 推论五实质是推论四的逆否命题 。 推论六： 点 内部（不含边界） 存在正实数12,，使得 12O P O A O B， 且121。 证： ：如图，必要性：若点 P 在 内部（不含边界），则 12O P O A O B，延长 过 A、 别交 B O P 5 M， N 点，过 A， 平行线，分别交 然 11| | | | M，11| | | | N，12O P O M O N O A O B 。其中 | | | |,| | | |O M O O B显然120, 0。 由于1 1 1 112 | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |P N P O N P N P O B O A O B O A O B 11| | | | | 1| | | | | |P B A P A B A B 事实上，我们可以将推论三与推论六整合在一起，导出推论 七 ： 推论 七 ： 已知平面内不共线向量 12A P A B A C。分别记过点 A 且与 行的直线为1l，直线 别为234,l l P 点在直线2 ； P 点在直线2 点一侧121 ； P 点在直线21201 ； P 点在直线1 ； P 点在直线1120； P 点在直线3 点一例 2 0, R； P 点在直线3 点一侧210, R ； P 点在直线4 点一侧 120, R， P 点在直线4点一侧120, R 。 证： 设直线 直线 ，则设 BP ，则 ( ) (1 )A P A B B P A B t B C A B t A C A B t A B t A C 故 P 若在直线 ，则121,又 ,P 共线， 则 AP k ,故： 12 ( 1 ) A B A C k t A B t A C ,则 12( ) ( )k t k A B k t A C , 共线，则 1200kt . 1 2 2()k k t （ 1）若 P 在 区域内，则 01，则2 0 ，1 0，且1201 ; l3 l4 P3 A 1P 3P B C 6 （ 3）若 P 在 区域内，则 121, 0，121; （ 8）若 P 在 区域内，则 k1，则120, 0，121; （ 9）若 P 在 区域内，则 k1，则120, 1，121. 综上： 当 P 点 位于120;当 P 点位于12(0,1);当 P 点位于2;当 P 点位于3 0 ，3 0 ;当 P 点位于4 0，4从而得证。 注：推论（七）的相关结论还可以分得更细，它对解决“区域”问题很有重要的作用。 二、应用举例 例 1 如图，在平行四边形 ，点 M 是 中点，点 D 上。 3证： M、 N、 证： 设1AB e，2AD e，（1 则21BD e e. N 为 三等分点， 2111()33B N B D e e ,而11122B M B A e , 2 1 2 1 21 1 1 2 1 1 2 1 2()3 3 3 3 2 3 3 3 3B N e e e e e B M B C B M , 12,33，且 m+n=1，且 B、 M、 C 三点不共线，则点 M、 N、 C 三点共线。 例 2 设 M， N 分别是正六边形 对角线 内分点，且 E ，若 B、 M、 N 三点共线，求 的值。 分析：要求 的值，只需建立 f( )=0 即可，而 f( )=0 就隐含在直线方程的向 量形式中 。 解： 延长 于点 P，设正六边形的边长为 1,易知 P=3 ， ,A 是 中点， 1N, 1 1 1 1 3( ) 32 2 2 2 2C A C E C P C N C B C N C B , 又 E ， 11C A C M ； A M B C N D B C D E F A P M N 7 1 1 3 1 3 ( 1 )1 2 2 2 2C M C N C B C M C N C B ； B 、 M、 N 三点共线 ）知， 1 3 (1 ) 312 2 3 即为所求 例 3 （ 06 年江西高考题） 已知等差数列 前 n 项和为 1 2 0 0O B a O A a O C，且 A、 B、C 三点共线，（设直线不过点 O），则 A 100 B 101 C 200 D 201 解： 易知 a1+,1 2 0 0200 2 0 0 ( ) 1002,故选 A。 例 4 （ 06 年湖南高考题） 如图 B ， 点 P 在由射线 段 B 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且 O P x O A y O B，则实数对（ x， y）可能的取值是 A 13( , )44B 22( , )33C 13( , )44D 17( , )55解： 由 P 点所处的区域，利用推论（七）的结论 我们不难判定 O P x O A y O B中的线性组合 系 数对（ x， y）应满足00。 从而应选 C。 例 5 （梅涅劳斯定理） 若直线 l 不经过 顶点，并且与 三边 它们的延长线分别交于 P、 Q、 R，则 Q A =1 证： 如图，设 P、 Q、 R 三点分有向线段 所成的比分别为1 2 3, ，则1 2 31 | | | | | | 1B P C Q A Q A R B ， 又 P、 Q、 R 三个分点中有一个或三个外分点，所以1 2 3 0 ，因而只需证明1 2 3 1 。 任 取 一 点 O ， 则 由 定 比 分 点 的 向 量 公 式 得 ：12,11O B O C O C O O Q, 331O A O , P 、 Q、 R 三点共线 , 由推论 4 知存在全不为 0 的实数 3121 2 31 2 31 2 3( ) ( ) ( ) 01110O A O O C O C O Ak k kk k k 即3 3 32 2 1 1 1 22 3 3 1 1 2( ) ( ) ( ) 01 1 1 1 1 1k k O B O C , A O M P Q B A Q P C B L R 8 且3 3 32 2 1 1 1 22 3 3 1 1 2( ) ( ) ( ) 01 1 1 1 1 1k k k ,而 A、 B、 C 三点不共线，由推论 5 得 3 3 32 2 1 1 1 22 3 3 1 1 201 1 1 1 1 1k k k , 1 2 1 ，原命题得 证。 例 6 （塞瓦定理） 若 P、 Q、 R 分别是 上的点，则， 线共点的充要条件是 1B P C Q A Q A R B 。 证： 必要性 ： 如图，设 P、 Q、 R 分有向线段 3, ， 则1 2 311B P C Q A Q A R B . 在平面 任取一点 O，令 线交点为 M，则 A、 M、 P 三点共线，由推论 4 知，存在实数 11 1 1 11( 1 ) ( 1 ) 1O B O k O A k O P k O A k 111111 A O B O C 同理存在实数 ) 111 O A k O B O C , 33 3311 O A O B k O C , - 得 :2 1 1 21 2 2 12 1 1 21 1 1 1( ) ( ) ( ) 01 1 1 1k k k A k O B O C ； -得 :33 111 3 1 33 1 3 111 11( ) ( ) ( ) 01 1 1 1kk A O B k O C . 又 A 、 B、 C 三点不共线，且2 1 1 21 2 2 12 1 1 21 1 1 1( ) ( ) ( ) 01 1 1 1k k k , 及33111 3 1 33 1 3 11111( ) ( ) ( ) 01 1