2015年广东省揭阳市高考一模理科数学试题及参考答案

揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 1 页（共 4 页 ） 绝密启用前 揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学 (理科 ) 本试卷共 4 页， 21 小题，满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案不能答在试卷上 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后 再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 参考公式：棱锥的体积公式：13V 其中 S 表示棱锥的底面积， h 表示棱锥的高 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分 在每小题给出的四个选项中 ， 只有一项是符合题目要求的 1 设集合4,5,6,8, 3,5,7,8，则 A 8 B 7 C 6 D 5 2 已知复数( 8 7)( 3)z i i ，则 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3 “ 是 “22ac 的 C. 充要条件 D. 既不充分也不 必要条件 4 已知 双曲线221( 0, 0)的 一条 渐近线 的斜率为12，则 该双曲线的 离心率为 A. 3 B. 5 D. 525 不等式组5 3 1 5+15 3 ，表示的平面区域的面积为 A. 7 C. 3 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 2 页（共 4 页 ） 6设,是两个不同的平面， 则下列 命题 为真命题的是 , / , /m lm l则； , /m m l 则； , , / ,l m l m 则； D. 若, / , ,/, /m l l 则； 7 将 5 本 不同 的书 摆成一排 ， 若 书甲 与 书乙必须 相邻 ， 而书 丙 与 书丁 不 能 相邻，则不同的摆法种 数为 A. 48 B. 24 C. 20 D. 12 8 非空数集 0 A； 若 对,有1 ， 则 称 互倒 集” 2 | 1 0x Rx ； 2 | 4 1 0x x x ； | , ,1) (1, xy y x ； 22 , 0 , 1 )51. 1 , 2 互倒 集 ” 的 个数 是 B. 3 D. 1 二、填空题：本大 题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分 （一）必做题（ 9 13 题） 9 已知(, 2,1（ - ），若 则 值为 10 已知函数 0, 1)的图象经过点1(2, )2，则其反函数的解析式y= 11 在 A B C 、 、的对边分别为 a b c、 、，若 3a， 2，3A ，则 b_ 12 某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在 10 次射击中，至少有 9 次命中的概率是 （记1035 p（ ），结果用含 13 已知函数3()f x x对应的曲线在点( , ( )( )f a k N处的切线与 ,0)若1a ，则33 31 2 1 010( ) ( ) ( )21 ( )3f a f a f a （二）选做题（ 14、 15 题，考生只能从中选做一题） 14. (坐标系与参数方程选做题 ) 在极坐标系中，直线) 24被圆=4截得的弦长 为 . 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 3 页（共 4 页 ） 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 3 080日期（指数4012016020015 （几何证明选讲选做题） 如图 1， 别为钝角 两条高，已知1,3, 4 2,F则 的长 为 图 1 三 、 解答题： 本大题共 6 小题，满分 80 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 16.(本小题满分 12 分 ) 已知函数( ) 2)( 0, )6f x x x R 的最小正周期为 . （ 1）求 的值 ； （ 2）若2()3f ，(0, )8， 求 值 . 17.(本小题满分 12 分 ) 图 2 是某市今年 1 月份前 30 天 空气质量指数（ 的趋势图 . 图 2 （ 1）根据该图数据在答题卷 中 完成频率分布表，并 在图 3 中 作出这些数据的频率分布直方图； （ 2）当 空气质量指数（ 小于 100 时，表示空气质量优良 某人随机选择 当 月 1 日至10 日中的某一天到达该市，并停留 2 天 ， 设是此人停留期间空气 质量优良 的天数，求的数学期望 （图中纵坐标 1/300即1300，以此类推） 图 3 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 4 页（共 4 页 ） 18（本小题满分 14 分） 如图 4， 已知 ，90, 1C ， 6 面 E、 C、 点 （ 1）求证：平面 面 （ 2） 求四棱锥 体积 V； （ 3）求 平面 与 平面 图 4 19. (本小题满分 14 分 ) 已知 和，3( 1)na （*，且 211 （ 1） 求 1 （ 2） 求数列 项和 （ 3） 设数列 求证： 12 2 323nb b b n 20. (本小题满分 14 分 ) 在平面直角坐标系知点(01)A ，点 :1上，点 点 . （ 1）求 （ 2） 设直线 2:l y kx m与曲线 ， 且与直线 1相交于点Q,试探究，在坐标平面内是否存在点 N，使得以径的圆恒过点 N？若存在，求出点 不存在，说明理由 . 21. (本小题满分 14 分 ) 已知函数()f x ( ) x， 其中 （ e （ 1）若 函数() () ()Fx f x 有极值 1，求 （ 2） 若 函数() (1) ()Gx f x 在区间(0,1)上为减函数，求 （ 3）证明：21 ( 1)nk k 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 5 页（共 4 页 ） 揭阳市 2015 年高中毕业班高考第一次模拟考试 数学 (理科 )参考答案及评分说明 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考 查内容比照评分标准制订相应的评分细则 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 四、只给整数分数 一、选择题： 析： 7. 不同的摆法种 数为 :22232 24或432 4 24 8. 集合 ，当 22a时为空集；集合即 |2 3 2 3，1 1 1 12 3 2 32 3 2 3 ，故集合是互倒集；对于集合当 1 ,1)x e时， ,0)，当1(1, x e时1(0, y e，显然非互倒集；对于集合，2 12 5 , ) 2, 5 5 2y 25 , 52且1 2 5 , 52y ，故集合是互倒集 . 二、填空题： 9. 12； 10. 4x； 11. 26； p； 13. 3； 14. 43； 15. 57. 解析： 10 1010 103 2 3( ) +C ( )5 5 5（ ） 9 102 3 3 5 2310 ( ) ( ) 45 5 5 3 3p p p . ) 3f x x得曲线的切线的斜率23 故切线方程为323 ( )k k ky a a x a ，令03 123，故数列1a ，公比23q 的等比数列，又 33 31 2 10( ) ( ) ( )f a f a f a 10 1011 2 10(1 ) 3(1 )a a ， 所以 31 2 1 010( ) ( ) ( ) 321 ( )3f a f a f a . 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 6 页（共 4 页 ） 15依题意得 22因 E C ,所以2,6,2 57E 三、解答题： 16解： （ 1）由2 得 =2（ 2）解法 1：由 2( ) 2 )63f 得 1 )63 (0, )8 ， 52 ( , )6 6 12， 2 22 ) 1 2 )6 6 3 2 ) 66 ) ) 6 6 2 2 3 1 1 2 6 13 2 3 2 6 解法 2：由 2( ) 2 )63f 得 1 )63 ， 即1 3 2 c o s 23s 3将 代入22并整理得2423 0 ， 解得：12 24 6 1 2 62 6 ， (0, )8 024， ，故 中负值不合舍去， 1 2 6 6 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 7 页（共 4 页 ） 17解：（ 1）频率分布表和频率分布直方图如下图示： （ 2） 设 此人于 当 月 （ i=1,2， ， 10） . 则1()10 i=1,2， ， 10） 依 题意可知，的所有可能取值为 0,1,2且 P(=0)= P(P(2110 5, P(=1)= P(P(P(P(42=10 5， P(=2)= P(P(+P(P(= 10 5， 所以的 数学 期望1 2 2 60 1 25 5 5 5E 18.（ 1）证明： 面 面 D， 又 D， A B， 又 E、 F 分别是 中点， / 面 平面 平面 面 （ 2）解法 1： 由（ 1） 知 1 ,414B C 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 8 页（共 4 页 ） 3 3 14 4 4B V S 1 1 61 1 6 8 解法 2：取 点 G，连结 面 平面 由（ 1）知 面 F V1133F S 1 6 1 1 1 6 6113 4 2 3 2 2 8 （ 3）解法 1：以点 C 为坐标原点， 在的直线分别为 x、 y 轴建 立空间直角坐标系如图示， 则(000)C ， ，,(1 0), (010), (10 6)B D A， ， ，1 6 1 1 6( ,0 ), ( , , )2 2 2 2 216( , 0 )22 ，,1 1 6( , )2 2 2 ，,设平面 一个法向量为( , , )n 由00n B F 得 16 0221 1 6 02 2 2b c 令 6c得 , 0， (6, , 6)n， (0,0, 6)平面 设 平面 平面 成的锐二面角大小为 ， 则67| | | 6 42n A , 所求二面角的余弦值为77 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 9 页（共 4 页 ） 解法 2：过点 B 作 l/ l平面 F/ /EF l 平面 交线， 面 面 D， BE l 又 D， BC l E为 平面 平面 成的锐二面角的 平面角， 在 ， E， 17 ， 即所求二面角的余弦值为77 1）由 2 1 2 22 32(21)S aa a 和 211a 可得 15a （ 2）解法 1：当 2n时，由 1n n S得 13( 1) ( 1) 3( 1)( 2)n n na na nn n a n n ， 1( 1) ( 1) 6( 1)a n a n 1 6( 2, )a n n N 数列5a ，公差为 6的等差数列， 16( 1) 6 1na a n n 21() 322 nn n a aS n n 解法 2：当 2n时，由 13( 1) ( ) 3( 1)n n n nS na nn 可得 1( 1) 3( 1) nS 1 31 , 数列1S ,公差为 3 的等差数列， 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 10 页（共 4 页 ） 5 3( 1) 3 2nS ， 即232nS n n （ 3）证明：1 2 23 2 2 3 2 3 1 3 2n n n n n 2 3 2 31 2= ( 3 2 31 )33 2+ 31 3 2 31nn n n n （ ）（ )( ） 12 2( 5 2) ( 8 5) ( 3 2 3 1)3nb b b n n 22( 3 2 2) 3 233 命题得证 (1)设( , ) /, 1)又(01)A ， ( ,1 )MA x y (0, 1 )MB y ( , 2AB x由 ) 0 , 2)(, 2) 0x y x 2 4， 曲线 （ 2）解法 1：由曲线 存在点 N，使得以， 则点 (0, )又设点200( , )4直线 2:l y kx m与曲线 知，直线 2相切， 由2141 2， 001| 2y x， 直线 242x x ， 令1y得20022xx x， , 1)2x x， 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 11 页（共 4 页 ） 2000 02( , ), ( , 1 )42x n NQ 点 2 2 2 20 0 02 (1 )( ) (1 ) 2 0 (*)2 4 4x x Q n n n n n 要使方程(*)对 0须有21020 解得 1n， 在坐标平面内存在点 N，使得以，其坐标为(0,1) 解法 2：设点 00( , )Px y，由 2:l kx m与曲线 知，直线 2相切， 由2141 2， 001| 2y x， 直线 2)2xy y x x ， 令1y得002( 1)yx x ，1)( , 1) ， 以0002( 1)( )( 1) ( ) 0yy y y x x x x 分别令 02x 和 02x ，由点 上得 01y ， 将 00,：( 1)( 1) ( 2) 0y y x x ( 1)( 1) ( 2) 0y y x x 联立解得0,或0, ， 在坐标平面内若存在点 N，使得以，则点 ,1)或(0, 1)， 将(0,1)的坐标代入式得，式， 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考试数学 (理科 )试题 第 12 页（共 4 页 ） 左边 =00002( 1)2(1 ) ( ) x 002(1 ) 2( 1) 0 =右边， 将(0, 1)的坐标代入式得，式， 左边 =002( 1)( ) 2( 1) 不恒等于 0， 在坐标平面内是存 在点 N，使得以，点 ,1) 1）( ) ax x，( 0)x1( )F x a x， 若 0a，则对任意的(0, )x 都有( ) 0即函数(), )上单调递减， 函数(), )上无极值； 若 0a，由( ) 01x a，当1(0, )x a时( ) 0当1( , )x a 时，( ) 0即函数()在1(0, )1( , )a 单调递增， 函数a处有极小值， 1F a 11 a ， 1a（ 2）解法 1： 函数() (1) ()Gx f x =1) x在区间0,1)上为减函数 且当(0,1)x时，1) 0x， 1( ) 1) 0G x a x x 在(0,1)上 恒成立11)a 在(0,1)上 恒成立， 设1() 1)Hx ，则 2 2 2 2 c ( )1) 1)x x x x x x x x 当 0,1x时， 0x， 0x所以( ) 0 0,1上恒成立，即函数()0,1上单调递减， 当 0,1x时，() (1) 1， 揭阳市 2015 年高中毕业班第一次高考模拟考