2017届高三数学理科二模金卷分项汇编3：导数与定积分

【备战 2017 高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】 专题 导数与定积分 一、选择题 1 【 2017 安徽阜阳二模】 设函数 xf x x a ，若曲线 122 (1 是自然对数的底数）上存在点 00, 00f f y y，则的取值范围是（ ） A. ,0 B. 0,e C. 1,e D. 0, 【答案】 C 2 【 2017 广东佛山二模】 设函数 32f x a x b x c x d （ 0a ）满足 1 3 2 2f f f，现给出如下结论： 若 0,1 上的增函数，则 3,4 的增函数； 若 13a f a f ，则 对任意实数0x，直线 0012y c a x x f x 与曲线 y f x 有唯一公共点 . 其中正确结论的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 D 【解析】 由 1 3 2 2f f f化简得 6 . 223 2 3 1 2f x a x b x c a x a x c ，其对称轴为 2x ，如果 0,1 上递增，其关于 2x 对称的区间为 3,4 ，故 3,4 也是其增区间， 正确 . 1 3 0a f f，即 2 1 1 0a a c，导函数 23 1 2f x a x a x c 的判别式 21 4 4 1 2 1 2 1 2a a c a a c ，当 0a 时， 1 2 1 1 0a c a c ，判别式为正数，当 0a 时， 1 1 0 , 1 2 0a c a c a ，其判别式为正数，即导函数有零点，根据二次函数的性质可知原函数由极值， 正确 2 1 2f c a ，则 转化为 002 y f xf ，即函数图像上任意两点连线的斜率和函数在 2x 处的切线的斜率相等的有且仅有一个点 x 是导函数 23 1 2f x a x a x c 的最小值点，即有且仅有一个最小值点，故 正确 . 点睛：本题主要考查函数单调性、极值与导数的知识，考查化归与转化的数学思想方法 1 3 2 2f f f，化简后可得到 ,而消去，将题目的参数减少一个 合二次函数的对称轴与最值来判断各个结论的真假 . 3 【 2017 安徽马鞍山二模】 已知函数 2 f x x x， g x ，若存在0 00f x g x ，则的取值范围是（ ） A. ,1 B. 1, C. ,e D. , 3 【答案】 B 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性及函数零点问题，属于难题 (方程有根 ) 求参数取值范围的三种常用的方法： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解 4 【 2017 湖南长沙二模】 已知函数 上的奇函数，且当 0x 时， 1 xf x x e ，则对任意 ，函数 F x f f x m的零点个数至多有（ ） A. 3 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 9 个 【答案】 A 点晴 :本题考查函数导数与单调性 利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象 参变分离，转化为求函数的值域问题处理 . 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题，往往可利用参变分离的方法，转化为求函数最值处理也可构造新函数然后利用导数来求解 5 【 2017 湖南娄底二模】 将 函数 0y x x 的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（ 0, ），得到曲线 C ，若对于每一个旋转角，曲线 C 都仍然是一个函数的图象，则 的最大值为（ ） A. B. 2C. 3D. 4【答案】 D 【解析】 函数 0y x x 的图象绕坐标原点逆时针方向连续旋转时，当且仅当其任意切线的倾斜角小于等于 90 时，其图象都依然是一个函数图象，因为 0x 是 11y x 是的减函数，且01y ,当且仅当 0x 时等号成立，故在函数 0y x x 的图象的切线中， 0x 处的切线倾斜角最大，其值为4，由此可知4 ，故选 D. 6【 2017 河北唐山二模】 已知 上的可导函数，且满足 2 0x f x x f x ，则（ ） A. 0 B. 0 C. D. 【答案】 A 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数 题是一道中档题；构造函数 2 xg x x f x e ，结合题意可得函数 0, 递增，在 ,0 内单调递减，可得结果 . 7 【 2017 安徽淮北二模】 已知函数 l n , 2 3f x x g x m x n ，若对任意的 0,x ,总有 f x g x 恒成立，记 23的最小值为 ,f 则 ,f 大值为（ ） A. B. 121e D. 1e【答案】 C 【解析】 由题意得 3x m x n 对任意的 x 0, 恒成立，所以 2 3 0m ，令 y l n 2 3x m x n ，得 11 2 3 0 23 ，当 123x m 时， 0y ；当10 23x m 时， 0y ；所以当 123x m 时， 1m a x 1l n 1 0 , 2 323 ny n m ，从而 12 3 ,n f m ，因为 11 0 , 1，所以当 1n 时， ,0f m n ；当 1n 时， ,0f m n ；因此当 1n 时， 2m a x 1,f m n e ，选 C. 点睛：利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用 0 或 0 求单调区间；第二步：解 0 得两个根12,三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小 二、填空题 8 【 2017 安徽阜阳二模】 已知方程 2l n 2 | 2x m x ，有且仅有四个解1 2 3 4, , ,x x x x，则 1 2 3 4m x x x x _ 【答案】 4e【解析】 由图可知1 2 3 4 4 2 8x x x x ,且 3x 时 , 与 22y m x 只有一个交点 ,令 21 ,则由 223l n 1 2 l m t m m ,再由31 2 l n 0tm t ,不难得到当 时 与 22y m x 只有一个交点 ,即 2em ,因此 1 2 3 4 4m x x x x e 点睛： (1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质 . (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究 . 9 【 2017 广东佛山二模】 若直线 y 与曲线 xy x e 相切，则 k _ 【答案】 1e 【解析】 即求曲线过原点切线的斜率，设切点为 00,x f x，斜率 00 1 xf x e ，切线方程为 00001x e e x x ，将原点坐标代入化简得 0001 0 , 1xx e x ，故 1 1 . 10 【 2017 湖南娄底二模】 若 2 s i n 1 8x d x ，则 a _ 【答案】 3 【解析】 2 3 312s i n | 1 833x d x x c o s x ，所以 3a . 11 【 2017 山西三区八校二模】 定义在 R 上的奇函数 f x f x ，且 31f x f x ，若 2015 ，则不等式 xf x e 的解集为 _ 【答案】 1, 12 【 2017 江西 4 月质检】 已知点 P 为函数 xf x e 的图象上任意一点，点 Q 为圆 22211x e y 上任意一点（为自然对数的底），则线段 长度的最小值为_ 【答案】 2 11 【解析】 圆心 2e 1, 0C ，先求 最小值，设 , e , t f x ，所以以点 P 为切点的切线方程为 x t ，当 直切线时， 222e e 1 e e 1 , 1tt ，此时点 1,函数图象上任意点到点 C 的距离大于点 C 到切线的距离即 42，所以 最小值是 2e e 1 1 ，故答案为 2e e 1 1 . 【方法点睛】本题主要考查圆的方程、导数的几何意义、点到直线的距离公式及数学的转化与划归思想 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度 样才能快速找准突破点 悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中 学。 13 【 2017 江西 4 月质检】 计算 2 224x x d x 得 _ 【答案】 2 【解析】 根据定积分的几何意义及定义，可知22 2 2 2 2222114 | 2 0 2 222x d x x d x x ，故答案为 2 . 14 【 2017 福建 4 月质检】 已知定义在 R 上的函数 1 1 2f x f x ，且当 1x时， 2e，则曲线 y f x 在 0x 处的切线方程是 _ 【答案】 点睛：考察导数的几何意义切线方程的应用 三、解答题 15 【 2017 安徽阜阳二模】 已知函数 l n (x x e a e 是自然对数的底数 ） . （ 1）当 0a 是，求证： 2 ； （ 2）若函数 的取值范围 . 【答案】 （ ）见解析 ;（ ） 【解析】 试题分析：（ ）证明不等式 2 ，就是证明 ，先利用导数求 函数 导函数，由零点存在定理确定零点范围，分析函数单调性，确定函数最值，再根据基本不等式证明， （ ）根据图像可知原题等价于 0, 上有唯一极大值点，且极大值大于零，即根据极值定义得11x x及极大值 1 1 1112 l n ,g x x 再利用导数研究函数 1 1 1112 l ng x x 单调性，根据单调性解不等式 1 0得 1 1x ，进而得到 的取值范围 . 试题解析：（ ） 0a 当 时 ， 1 , = 0xf x e f 0 1 ,12 且 00, 0,x 上单减 00 0 0m a n 2 x x e x 点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解 . (2)分离参数后转化为函数的值域 (最值 )问题求解 . (3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解 . 16 【 2017 广东佛山二模】 设函数 x a e x x，其中 ，是自然对数的底数 . （ ）若 0, 上的增函数，求的取值范围； （ ）若22，证明： 0. 【答案】 （ ） 1,e;（ ）见解析 . 【解析】 试题分析：（ I）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得的最小值，由此得到的取值范围；（ 原不等式 0，转化为 e xa ，令 e x ，求出 分成 0 1, 1两类，讨论函数的最小值，由此证得 0，由此证得 0. （ ） 0 e xa . 令 e x （ 0x ），以下证明当22时， . 求导得 21e 1 21 1e xa x . 当 01x时， 0 ， 1F x F ； 当 1x 时， 21 e 1x ，令 e 1x ， 则 21 01，又 2 222， 取 1,2m 且使 2，即 22e1 a ，则 22e e 0， 因为 20G m G ，故 0 1,2x ， 即 0 1,2x ，又 0000e x ， 且 0 00 0 ，即 0 00e 1x ，故 0001 x ， 因为 0 2 00 11 01Fx ，故 0 1,2 上的减函数 . 所以 0 2F x F1 ，所以 0. 综上，当22时，总有 0. 点睛：本题主要考查导数与单调性的关系及恒成立问题，考查利用导数证明不等式的方法，考查化归与转化的数学思想方法 其导函数在这个区间上恒为非负数，若函数在区间上单调递减，则其导函数在这个区间上恒为非正数 17 【 2017 安徽马鞍山二模】 已知函数 211x x x （ ）证明曲线 ； （ ）设 ，若 2g x f x 有两个极值点12,12证明： 2 2 【答案】 () 见解析 () 见解析 【解析】 试题分析： () 先求导函数 ，只需证明 2 成立即可；（ ）令 2112 l n 2 ( 0 )22g x f x k x x x k x x ， 1 2g x x ，可知 1 20g x x 两根为 12,合韦达定理可化简得 222 2 23l n ( 1 )22xg x x x ，研究函数 2 3l n ( 1 )22xh x x x 的单调性，可证结论 . 当 1k 时， 21 2 12 x k xg x x ， 由 0 得 2 2 1 0x ， 24 1 0k ，设两根为12,1 2 1 22 , 1x x k x x ， 其中 22120 1 1 1x k k x k k ， 10,x 上递增，在 12,递减，在 2,x 上递增， 从而 12 222 2 2 2 1 2 211l n 2 l 2 2x x k x x x x x 222 2 2 221 1 3l n l 2 2x x ， 即 222 2 23l n ( 1 )22xg x x x ， 构造函数 2 3l n ( 1 )22xh x x x ， 1 0h x ， 所以 1, 上单调递减， 且 12h 故 2 2 【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、导数的几何意义及不等式的证明，属于难题 题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不 等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明 . 18 【 2017 湖南长沙二模】 已知函数 x， 1g x k x. （ 1）证明： ，直线 y g x 都不是曲线 y f x 的切线； （ 2）若 2,x e e，使 12f x g x成立，求实数的取值范围 . 【答案】 （ 1）见解析；（ 2） 1,2. 试题解析： （ 1） 0,1 1, ， 2x ，直线 y g x 过定点 1,0 ，若直线 y g x 与曲线 y f x 相切于点 000, x（ 0 0x 且 0 1x ），则 000200l n 1 l ，即00 0 ，设 h x x x ， 0,x ，则 1 10hx x ，所以 0, 上单调递增，又 10h ，从而当且仅当 0 1x 时， 成立，这与0 1x 矛盾 . 所以， ，直线 y g x 都不是曲线 y f x 的切线； （ 2） 12f x g x即 11x ，令 1k ， 2,x e e， 则 2,x e e，使 12f x g x成立 m ， 222l n 1 1 1 1 1 1l n l n l n 2 4ln xx k k kx x . （ i）当 14k时， 0x ， x 在 2,上为减函数，于是 222m i n 12ex e k e ，由 2 2 1122e 得 12k ，满足 14k ，所以 12k 符合题意； （ 14k 时，由 21124y t k 及 1x的单调性知 1 1 1l n 2 4 在2,上为增函数，所以 2e x e ，即 14k x k. 若 0k，即 0k ，则 0x ，所以 x 在 2,为增函数，于是 m i n 11 2x e e k e e ，不合题意； 若 0k，即 104k，则由 0 ， 2 1 04 及 x 的单调性知存在唯一 20 ,x e e，使 0 0x ，且当 0,x e x时， 0x ， x 为减函数；当 20 ,x x e 时， 0x ， x 为增函数； 所以 000m i x k ，由 0 0011l n 2x 得000 0 01 1 1 1 1 11 l n 2 1 2 2 2 4x x ，这与 104k矛盾，不合题意 . 综上可知，的取值范围是 1,2. 19 【 2017 重庆二诊】 已知曲线 2l n l nx a x 在点 ,e f e 处的切线与直线220x e y平行， （ 1）求的值； （ 2）求证： 【答案】 （ ） 3a ；（ ）见解析 . 【解析】 【试题分析】（）先求导数，再运用导数的几何意义建立方程求解；（）先将不等式进行等价转化，再运用导数分别求不等式中的两边的函数的最值进行分析推证： （ ） 22l n 2 l nx a ，由题 221 2 2 3af e ； 当 1,x 时， 2l n 3 l n 3 0 0 3 3 ，令 23e ，则 232故 1,2 上递增， 2, 上递减， 21223g x g e ， 22 3l n 3 l n 3 e 即 3 综上，对任意 0x ，均有 3 点睛：本题以含参数的函数解析式为背景，精心设置了两个问题，旨在考查导数的几何意义、求导法则等基础知识，以及综合运用导数知识研究函数的单调性、极值（最值）等方面的运用。求解第一问时，先对函数解析式求导数，再运用导数的几何意义建立方程求出参数 3a 而获解；求证第二问时，先将不等式化为 3，再对不等式 3两边函数分别求导，分别求函数 3, f x y e的最小值和最大值，然后进行比较，从而使得问题获证。 20 【 2017 湖南娄底二模】 已知函数 x， 1g x k x. （ ）证明： ，直线 y g x 都不是曲线 y f x 的切线； （ ）若 2e, ，使 12f x g x成立，求实数的取值范围 . 【答案】 （ ）见解析 ; （ ） 1,2. 【解析】 试题分析：（ ）设出切点 000, x，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程00 0 ，发现方程的解为0 1x ，与定义域矛盾； （ ）原问题转化为 11x ，令 1k ， 2,x e e, 则 2e, ，使 12f x g x成立 m ，讨论函数的最小值即可 . （ ） 12f x g x即 11x ，令 1k ， 2e,， 则 2e, ，使 12f x g x成立 m ， 2l n 1 211l n l n 21 1 1l n 2 4 ， （ 1）当 14k时， 0x ， x 在 2e,e上为减函数，于是 2m i n 2 2e k， 由 2 2 得 12k，满足 14k，所以 12k符合题意； （ 2）当 14k时，由 21124y t k 及 1x的单调性知 211l n 2x x 14 k在2e,e上为增函数，所以 2 ，即 14k x k， 若 0k，即 0k ，则 0x ，所以 x 在 2e,e上为增函数，于是 m in e e 1k 1e 2 ，不合题意； 若 0k，即 104k则由 ， 2 1k 及 x 的单调性知存在唯一 20 e, ，使 0 0x ，且当 0e,时， 0x ， x 为减函数；当 20 ,x x e 时， 0x ， x 为增函数； 所以 0m 0 001，由 0 0011l n 2x 得 000111 l n 2 01 1x 0 1 1 12 2 2 4x ，这与 104k矛盾，不合题意 . 综上可知，的取值范围是 1,2. 【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的 “ 两种 ” 常用方法 (1)分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围 f x a 恒成立，只需 x a即可； f x a 恒成立，只需 x a即可 .(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值 (最值 )，然后构建不等式求解 . 21 【 2017 河北唐山二模】 已知函数 1l n 1f x a 的图象与轴相切， 2 11 l o g 2b xg x b x （ ）求证： 21 ； （ ）若 1 ，求证： 2102 【答案】 （ ）见解析 ;（ ）见解析 . 【解析】 试题分析：（ ）对函数求导，设 0,0x，由题意可得在该点处导数值为 0，函数值为 0，构造方程组可得的值，将题意转化为 ，设 h x x x ，利用导数判断其单调性求出最大值即可；（ ）构造函数 1x，对其求导结合（ ）可得 而有 2h x h b ，化简整理可得 0，运用换底公式及（ ）中的不等式可得 1112 l ，再次运用 1可得结论 . 试题解析：（ ） 21 ， 设 0,0x ， 则 00 0, 0,即 0020011 0 ,1 0,a ln 解得0 1 所以 1f x ， 21x 等价于 设 h x x x ，则 11， 当 01x时， 0， 当 1x 时， 0， 所以 10h x h， 即 ，（ *），所以 21 （ ）设 1 ( 1 )x ，则 21l n 1 x ， 由（ ）可知，当 1x 时， 1 0 ， 从而有 0，所以 又 1 ，所以 21 ， 从而有 2h x h b ，即 2211ln ， 所以 2 1 l l o g2 l n ，即 0， 2 11 l o g 2b xg x b x 21 l n 1l n 2bx 22l n 11 2 l n 2b 22111 2 l n 2b 2 1112 l ， 又 1，所以 1， 又 21 ，所以 22 11 122xb 综上可知， 2102 22 【 2017 安徽淮北二模】 已知函数 24 x . （ I）讨论函数的单调性 ,并证明当 2x 时， 2 40x ; （ ）证明：当 0,1a 时，函数 223 ( 2 )2xe a x ag x 有最小值，设 函数 【答案】 （ 1）见解析（ 2） 21e,24 【解析】 试题分析：（ 1）先求函数导数，确定导函数在定义区间上恒非负，故得函数单调区间；根据函数单调递增得 f x f 2 1 ，即得不等式，（ 2）利用（ 1）结论可得函数 x 在区间 2, 内单调递增，根据零点存在定理可得 x 有一唯一零点0x 0 从而可得 用0 200e4 x 化简 0 2001 e4 xh a g x x 最后再利用导数研究函数 得 函数 试题