2017届高三数学理科二模金卷分项汇编12：选讲部分(含答案)

1 【备战 2017 高考高三数学全国各地二模试卷分项精品】 专题 选讲部分 1 【 2017 安徽马鞍山二模】 选修 4标系与参数方程 已知曲线13x sy （为参数， 02），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2 （ ）当3时，求曲线1 （ ）若曲线1 的值 【答案】 () 3 c o s s i n 3 0 () 6【解析】 试题分析： () 先求得曲线1化为直角坐标方程，进而利用c o s , s i 可得曲线 1C 的极坐标方程；（ ）根据直角坐标方程可知曲线 1C 和曲线 2C 有且只有一个公共点及是直线与圆相切，进而利用圆心到直线的距离等于半径可得结果 . 2 【 2017 安徽淮北二模】 选 修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 , 以 O 为极点 , 轴正半轴为极轴建立极坐标系 , 圆 C 的极坐标方程为 2 4 ,直线的参数方程为3222（ t 为参数）， 直线和圆 C 交于 , （ ）求圆心的极坐标； （ ）直线与轴的交点为 P ，求 B 【答案】 （ 1） 2,2（ 2） 8 （ 2）把3222代入 2240x y y 得 2 4t ， 所以点 A、 B 对应的参数分别为122, 2 令 202t得点 P 对应的参数为0 4t 所以1 0 2 0 2 4 2 4 6 2 8P A P B t t t t 法二：把3222化为普通方程得 3 23 令 0y 得点 坐标为 2 3, 0P ，又因为直线恰好经过圆 C 的圆心， 3 故 2 22 2 2 3 0 0 2 8P A P B P C 3 【 2017 福建 4 月质检】 选修 4标系与参数方程 在极坐标系中，曲线1 : 2 c o ，曲线 22 : s i n 4 c o 轴为轴正半轴建立直角坐标系 曲线 C 的参数方程为12232（为参数） . （ 1）求12, （ 2） C 与12,四点在 C 上的排列顺次为 , , ,P Q R S ，求 S 的值 . 【答案】 （ 1） 2 211 ， 2 4（ 2） 113（ 2） 不妨设四个交点自下而上依次为 , , ,P Q R S ，它们对应的参数分别为1 2 3 4, , ,t t t t. 4 把12232代入 2 4， 得 23 4242，即 23 8 3 2 0 ， 则 21 8 4 3 3 2 4 4 8 0 ， 1483， 把12232，代入 2 211 ， 得 22132 1 122 ，即 2 0 ， 则2 10 ， 231 ， 所以 2 1 4 3 2 3 1 48 1 11 33P Q R S t t t t t t t t . 点睛：考察极坐标参数方程化普通方程，对于直线要特别注意直线参数方程中 t 的几何意义，借助 t 的意义来表示线段长会很方便 . 4 【 2017 江西南昌十所重点二模】 选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，曲线 参数方程为 2x （ t 为参数）在以坐标原点为极点， 线 2 （ ）求曲线 2的直角坐标方程，并分别指出其曲线类型； （ ）试判断：曲线 2是否有公共点？如果有，说明公共点的个数；如果没有，请说明理由； （ ）设 ,A 曲线 直接写出 a + 2b 的取值范围 【答案】 （ ）见解析 ;（ ） 2（ ） 2 2 , 2 2 【解析】 试题分析： （ ）消去参数 t 可得曲线 2 14x y和轨迹 , 5 利用极值互化公式可得 222 2 0C x y y ： 的方程和轨迹 . （ ）联立方程 22224420y y 结合图形对称性知公共点的个数为 2 （ ）由 x 可得 a + 2b 的取值范围是 2 2 , 2 2 试题解析：（ ）由题设知曲线 2 14x y 所以曲线 3,0 为焦点，中心为原点的椭圆 同理曲线 220x y y 所以曲线 0,1 为圆心，半径是 1 的圆 （ ）联立曲线 2的直角坐标方程，得 22224420y y 消去 x，得 23 2 4 0 ，解得 13 13y 或 1 3 13y 舍 由图形对称性知公共点的个数为 2 （ ） a + 2b 的取值范围是 2 2 , 2 2 5 【 2017 四川宜宾二诊】 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系 ，已知点 03P ， ，曲线 C 的参数方程为 22x c o sy s 为 参 数以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 32 c o s 6 （ ）判断点 P 与直线的位置关系并说明理由； （ ）设直线与曲线 C 的两个交点分别为 , 11B的值 【答案】 （ ） 点 P 在直线上 ;（ ） 14 6 试题解析： （ ）点 P 在直线上，理由如下： 直线 :l 32 6c o s ，即 236c o s ，亦即 33c o s s ， 直线的直角坐标方程为 33 ，易知点 P 在直线上 . 6 【 2017 安徽马鞍山二模】 选修 4等式选讲 已知函数 2f x x a x ， 21g x x x （ ）当 1a 时，求不等式 2的解集； （ ）当 0,1x 时，总有 f x g x ，求的取值范围 7 【答案】 () 1 ,3 () 0,1 【解析】 试题分析：（ ）当 1a 时，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集；（ ）化简求解不等式 f x g x ，令其解集是集合 0,1 的子集即可求得的取值范围 试题解析： （ ）当 1a 时，不等式为 1 2 2 ， 即 11 11 1 11 2 2 1 2 2 33xx x x xx x x x 或 或 原不等式的解集为 1 ,3 （ ） 2 2 1 1 1 1f x g x x a x x x x a a x a 由已知条件得 1 0 1 0 11 1 0aa a 的取值范围是 0,1 7 【 2017 湖南娄底二模】 选修 4等式选讲 已知函数 2 1f x x a x a . （ ）证明： 34 （ ）若 4 13f ，求的取值范围 . 【答案】 （ ）见解析 ; （ ） 2,3 . 【解析】 试题分析：（ ）利用绝对值三角不等式得到 2211x a x a a a ，进而证明2 31 4 即可； （ ）讨论去绝对值求解即可 . 试题解析： （ ） 2 1f x x a x a 2 1x a x a 2 1 8 21 3 32 4 4a （ ）因为 24 4 3f a a 221, 37 , 3a a aa a a ， 所以 4 13f 231 1 3 ，或237 1 3 ， 解之得 23a ，即的取值范围是 2,3 . 8 【 2017 安徽淮北二模】 选修 4等式选讲 设函数 （ ）求不等式 的解集； （ ）若 恒成立，求实数的取值范围 【答案】 （ 1） 9 1 7,2 2 2 （ 2） 1,4 【解析】 试题分析：（ 1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求不等式解集，最后求并集，（ 2）不等式恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题，即 2m f x t t，再利用绝对值三角不等式求 ，最后解不等式 245 可得 实数的取值范围 9 （ ）由（ ）得 4 , 2 2 , 2 24 , 2 , 所以 m ,，若 xR ， 2 5f x t t 恒成立，解得 14t ， 综上， t 的取值范围为 1,4 . 9 【 2017 福建 4 月质检】 选修 4等式选讲 已知函数 21f x x a x . （ 1）当 1a 时，解不等式 2； （ 2）求证： 12f x a. 【答案】 （ 1） 4, 0 ,3 （ 2）详见解析 10 点睛：考察绝对值不等式的解法和三角绝对值不等式求最值 . 10 【 2017 四川宜宾二诊】 选修 4等式选讲 已知函数 2f x m x ， ，且 20的解集为 33， （ ）解不等式： 20f x f x ； （ ）若 a b c， ， 均为正实数，且满足 a b c m ，求证： 2 2 2 3b c aa b c 【答案】 （ ） | 4 2 ;（ ）见解析 . 【解析】 试题分析： （ ）由 20等价于 ，又由解集为 | x m x m ，又 20的解集为 33， ，故 3m ，则不等式可化为 26 ，分类讨论即可得到不等式的解集 . （ ）因为 2 2 2 2 2 2b c a b c aa b c a b ca b c a b c ，利用基本不等式即可作出证明 . 试题解析： （ ）因为 2f x m x ， 20等价于 ， 11 由 有解，得 0m ，且其解集为 | x m x m 又 20的解集为 33， ，故 3m 所以 20f x f x 可化为： 32x 30x ， 26 当 2x 时， 26 ， 4x ，又 2x ， 42x ； 当 20x 时， 26 ， 26， ，又 20x ， 20x ； 当 时， x x 2 6 ， ，又 ， 0 x 2 综上 、 、 得不等式 f x f x 2 0 的解集为： x | 4 x 2 （ ）证明： a b c， ， 均为正实数，且满足 a b c 3 ， 因为 2 2 2b c a a b ca b c 2 2 2b c aa b ca b c 2 2 2b c a2?a?b?ca b c 2 a b c （当且仅当a b c 1 时，取 “ ” ），所以 2 2 2b c a a b ca b c ，即 2 2 2b c a 3a b c . 11 【 2017 湖北湘潭三模】 选修 4等式选讲 已知函数 2 ( 0 , 0 )f x x a x b a b 的最小值为 1 (1)求 的值； (2)若 12恒成立，求实数 m 的最大值 . 【答案】 (1) 1;(2) 3 2 2 . 【解析】 试题分析： （ 1）讨论当 时，当 b x a 时，当 时，去掉绝对值，再由函数的单调性可得 可得到 的值； （ 2）运用乘 1 法，可得 1 2 1 2 2=3 b a b a b ，运用基本不等式即可得到所求最小值 试题解析： 12 (1) 3 2 , , 2 , ,3 2 , .x a b x bf x x a b b x ax a b x a 分析知 , b 上递减，在区间 ,b 上递增， 所以 m x a b. 所以 1. (2)因为 0, 0，且 1， 所以 1 2 1 2 2=3 b a b a b ，又因为 223 3 + 2b a b aa b a b ，当且仅当 2=号成立， 所以 2 1 , 2 2 时， 12最小值 3 2 2 . 所以 3 2 2m ，所以实数 m 的最大值为 3 2 2 . 12 【 2017 安徽黄山二模】 选修 4等式选讲 已知函数 2 , 1f x x g x x x . （ 1）解不等式 f x g x ； （ 2）若存在实数，使不等式 Rm g x f x x m 能成立，求实数 m 的最小值 . 【答案】 （ 1） | 3 1 或 3x ;（ 2） . 【解析】 试题分析：（ 1）由题意不等式 f x g x 可化为 2 1 |x x x ，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后求并集；（ 2）等式 Rm g x f x x m 等价于 2 1 ,m x x 只需 m i 即可得结果 . 13 13 【 2017 陕西咸阳二模】 选修 4等式选讲 已知函数 4 ( 0 )f x m x m ，且 20的解集为 3, 1 （ 1）求 m 的值； （ 2）若 , 1 1 123 ma b c ，求证： 2 3 9a b c 【答案】 （ I） 1m ;（ 解析 . 【解析】 试题分析： （ I） 考查绝对值不等式的解法 （ 采用配 “1” 法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明 . 试题解析： （ I）依题意 2 2 0f x m x ,即 2 2 2x m m x m , 1m （ 法 1: 1 1 1 1 ( , , 0 )23 b c 1 1 12 3 2 323a b c a b c a b c 2 3 2 3392 3 3 2a b a c b cb a c a c b 当且仅当 23a b c,即 33 , , 12a b c 时取等号 14 方法 2: 1 1 1 1 ( , , 0 )23 b c 由柯西不等式得 1 1 13 2 323a b ca b c 1 1 123a b c a b c 整理得 2 3 9a b c 当且仅当 23a b c,即 33 , , 12a b c 时取等号 . 14 【 2017 河南新乡二模】 选修 4等式选讲 已知函数 2f x x （ 1）求不等式 2 40f x x 的解集； （ 2）设 73g x x m ，若关于的不等式 f x g x 的解集非空，求实数 m 的取值范围 【答案】 （ 1） 2 1x x x 或 ;（ 2） 3m 15 【 2017 河南考前预测】 选修 4等式选讲 已知函数 2 2 3f x a x x ， 2 3 2g x x 15 （ 1）解不等式 15g x x ； （ 2）若对任意1存在2使得 12f x g x成立，求实数的取值范围 【答案】 （ 1） 51,3；（ 2） 1a 或 5a . 【 解 析 】 试 题 分 析 ：（ 1 ） 利 用 零 点 分 段 讨 论 法 进 行