2014耶鲁专升本内部《高数讲义》下

第六章 多元函数微分法 鉴于有些同学没有学过多元微积分，从现在起再往后，我们的讲法就稍有不同，回顾基本概念及主要结论稍微会详细一点，足可保证那些没学过多元微积分的同学们也能听懂 . 一求二元函数的定义域、表达式 先回顾一下二元函数的定义：设 果对于每个点 , ，变量 称 z 是变量 的二元函数（或点 记为 或 称为自变量， z 也称为因变量；数集 ,| 称为该函数值域；在点 00, 00 , | 00 , 二元函数的两要素与一元函数完全相同，即定义域和对应法则 的求法也与一元函数类似 元函数的几何意义是表一张曲面 是讲解各个知识点时主要以二元函数为主，其结论往往 可以直接推广至三元以上的函数；二是要把二元函数中的各个知识点与一元函 数中类似知识点进行类比，指出其类似之处，更要指出其有本质区别的地方 . 下面举例说明 例 2 2 2 222, l n ,Rf x y x y x y 求其定义域，并作图 . 解：由 22 2 2220 , l n 0 ,Rx y 知 2 2 2 ,x y R 且 2 2 2 ,x y R 故 2 2 2,|D x y x y R 练习：求 21ln 的定义域 . 解： 2 作图） 例 1 当 1y 时， 的表达式 . 解：（ 1）将条件 1y 时， 代入原表达式，得： 1111 1） 令 ,1 则 22 （ 2）所以， 例 3., 22 求 . 解：令., 入原表达式，得： 所以， ,1 111, 22222故： , 222 二二元函数的极限、连续 一元函数的极限 0自变量 x 分别自0趋近于0左、右极限都存在且相等 极限 000,研究就复杂多了，因为点0方式是多种多样的，不能简单地只从左、右两个方向来考察 往往会要求证明某一极限不存在 . 1 例 不存在 解：（ 1）当动点 沿 x 轴趋向于原点时，即 0, （ 2）但若当动点 沿抛物线 趋向于原点时，即 21220 .,不存在 . 注 意 ： 其 实 此 题 往 往 这 样 做 更 简 单 ： 当 动 点 沿 直 线 y 趋 向 于 原 点 时 ， 即 22220 1，与 k 有关，所以， .,不存在 例 ,0,2424242察 .,解：（ 1）当动点 沿 x 轴趋向于原点时，即 0, （ 2）同理，当动点 沿 y 轴趋向于原点时，即 0, （ 3）但若当动点 沿抛物线 2趋向于原点时，即 21 以， 不存在 . 多元函数的极限运算法则与一元函数完全类似，如四则运算法则、复合极 限法则、无穷小的概念及其性质、等价无穷小的替换、夹逼准则等，但不再有所谓的洛必达法则 下面举几例说明 . 例 1） ;21122200 2） x 211 1111 （ 3） 0s 22200 （ 4）0022s i n s i nl i m l i m . 2 y x y yx x y关于二元函数的连续性，请记住一个基本结论：一切二元初等函数在其定义区域内均连续 . 例 7求 2210解：因为 1,0 是初等函数 22x 定义域内的点，故 22x y 在点 1,0 处连续，所以，原式 1, 0 2 例 8讨论函数设 ,0,222222其定义域内的连续性 . 解：函数的定义域是全平面，并且当 22, 时， ,f x y 是初等函数，从而是连续的；下面考察函数在 0,0 处的连续性 不存在（例 4已证），所以 ,f x y 在 0,0 处不连续 . 三二元函数的偏导数 偏导数是多元微分学中最重要的概念之一，首先回顾一下二元函数偏导数的定义：设函数 在点 000 , 邻域 0有定义，记 0000 , ，如果 x 000000 ,称之为函数 在点 000 , x 的偏导数（此时也称函数 在点 000 , 关于自变量 x 可偏导）， 记为： ,| 00 , ,|00 , 或 |00 , ， ., | 00 , 全类似，如果 000000,存在，则称之为函数 在点 000 , y 的偏导数（此时也称函数 在点 000 , 关于自变量 y 可偏导）， 记为： ,|00 , ,| 00 , 或 |00 , ， ., | 00 , 意： （ 1）在偏导数 00 , x x 000000 ,式中， x 为极限变量，其余均为常数 . （ 2）如果令 0, 且 x 在点0 x 00000 x 00000 , ., 00 x 说明偏导数 00 , 本质是一元函数的导数 . 完全类似，如果令 0且 y 在点0 y 00000 y 00000 , ., 00 y 说明偏导数 .,00 y的本质也是一元函数的导数 . （ 3）偏导（函）数的概念：如果函数 在平面区域 D 内每一点 处均可偏导，则对于任意一点 , ，称 x ,0为函数 在平面区域 D 内关于自变量 x 的偏导（函）数，记为： ， 或 ， . （ 4）偏导函数与偏导数之间的联系： 00 , x ., |00 , 即函数 在点 000 , x 的偏导数的值等于 关于自变量 x 的偏导函数在 000 , 的函数值 后很少针对具体利用函数 在点 000 , 的偏导数的定义去求 3 00 , 或 00 , y ，而是先求函数 关于自变量 的偏导函数表达式，然后，将 000 , 求一个二元函数的偏导数并不需要特殊的方法，只须利用一元函数的求导方法 . （ 5）二元函数偏导数的几何意义 ; （ 6）推广：三元以上函数的偏导数的定义 . 例 9设 22 3 ，求 解法一： 2,1 2 故 由于 00 462, 2 ，则 62 x ，所以， 为 2, ，所以， 在具体问题中究竟该用那种，还是要具体情况具体对待 于分段函数在分段点处的可偏导性，一定要根据定义来讨论；一个解析式子表示的函数求偏导数，往往用解法三 有些题中，也会用到 已知 ar cs i n,32求 / 1,2宜用解法二 . 例 10设 0,0 y ，求 .,yx 解： ,1 yx 例 11设 ，求其偏导数 . 解： ,1 .2 2设 =0,222222求 ,0,0 yx ； 解：由定义， 00,00,00 轮换对称性， 数在某点处可偏导未必可以推出它在此点处也连续，这与一 元函数可导必连续的关系有本质的区别 . 例 13设 =0,2222222 1）证明 在 0,0o 处连续；（ 2）证明 在 0,0O 处不可偏导 . 证明：（一） 因为 0.,02222 ， 所以，由夹逼准则知， 00l i m , 0 0 , 0 f x y f 故 （二） |0,0 00不存在；同理， 0,0存在 . 注意：此例说明，函数在某点处连续同样未必可以推出它在此点处也可偏 导 . 四 对于二元函数 ，如果其偏导函数仍然可求偏导，一般说来，求得的结果仍然是关于 的二元 4 函数，称之为关于 的二阶偏导数 有四种不同形式的二阶偏导数： （ 1）22（或记为 ,22 ；（ 2）22 （或记为 ,22 ； （ 3）2 （或记为 ,2 ； 4）2 （或记为 .,2 ） 统称以上四种为二元函数 的二阶偏导数，其中第（ 2）、（ 3）两种又形象地称为二阶混合偏导 可定义二元函数关于 的三阶以上的偏导数 . 比如：23 称为二元函数 关于 的三阶偏导数 例 3 323 求其二阶偏导数 . 解： 323322 2,12,6 32222222 注意到，例 6中两种二阶混合偏导恰好相同 绝对不是偶然的 定理： 如果二元函数 的两种二阶混合偏导函数在区域 000 ,必有： 00 , 00 , 定理的条件都不难满足 后求二元函数 的所有二阶偏导函数往 往只须求三种就可以了 . 例 =0,2222222证明 0,0不存在 . 证明：（一）当 220时， 222222,;xy y xf x 而 00 , 0 0 , 00 , 0 l i m 0 .x xf x 故 0,2,222222222x （二）由定义， 3420 0 020 , 0 0 , 0 20 , 0 l i m l i m l i m y y y f y 因此， 0,0不存在 . 五 先回忆一下全微分的概念 定义：如果二元函数 在点 000 , 0000 , 可以表示成为： ,0 其中 22 ） 3）， 则称二元函数 在点 000 , 全）微分，而记 5 )( 称为 在点 000 , 注意：显然，如果二元函数 在点 000 , 全）微分，则 （当 |,| 很小很小，即 22 很小很小时） . 要证明 在点 000 , 须证明： 进一步，可定义：如果函数 在区域 D 内每一点处均可以全微分，则称函数 在区域 D 内可微 . 要十分清楚可微与连续及可偏导之间的关系，考试时常出判断题或选择题 . 定理： 如果 在点 000 , 在点 000 , 但反之未必 . 定理： 在点 000 , 在点 000 , 0 0 0 0,. . .|x y x z x 注意：以后记： ,5） 例 16设 =0,222222 1）求 ;0,0,0,0yx （ 2） 在 0,0O 处的可微性 . 解：（一） 000,000 由轮换对称性， ） . 0,0 ， 因为 0210,0 所以， 在 0,0o 处的不可微 . 总结：函数 在 000 , 偏导、可微三者之间的关系 定理： ，若 , 均在点 000 , 在点 000 , 处可微 . 推广：三元以上的函数的全微分 设 , 在点 , 可微，则 例 17设 2s 的全微分 解： .,2c o 多元函数的全微分与一元函数的全微分的运算法则完全类似，如四则求微法则 等 ，这里不再回顾，欲知详情，可自己看同济版教材 . 六 ）导 首先回顾全导数公式 定理： 若函数 关于 有连续的一阶偏导数，又函数 , 在点 x 处可导，则复合函数 （一元）关于 x 可导，且： 6 . 称上式为全导数公式 . 注意： （ 1）由于 u,x 的函数，所以相对于偏导数而言， 我们称 （ 2）上述求全导数的公式也可推广到有更多个中间变量的情形 , 关于 , 有连续的一阶偏导数，又函数 , 在 点 x 处可导，则复合函数 , （一元）关于 x 可导，且： . 例 20设 ，而 ., 求 .2,c 2.s i n2 s i .c . 另解：其实可直接先将 2, 代入，得： 成为 x 的显式表达函数，利用上册的一元函数求导方法即可 . 例 21设 ，而 t 求 .s c o s, t .c o ss i nc o sc o ss i n. 另解：其实可直接先将 t 代入，得： t 成为 t 的显式表达函数，利用上册的一元函数求导方法即可 . 刚才讲到的全导数公式只适用于最简单的多元复合求导，因为最后复合的函数还是一元函数，这太特殊了 元复合求偏导常要用到所谓的“链式法则”： 定理： 关于 有连续的一阶偏导数，又函数 , 在点 可偏导，则复合函数 , （二元） 关于 可偏导，且： .,.2设 u ，而 ., 求 .,解： 1,c o s,s i n .c o ss i n1.c o ss i n.,c o ss i n1.c o ss i n.实可直接先将 , 代入，得： 为 的显式表达的二元函数，直接 7 求导即可 . 注意：（ 1）当然上述定理也可推广至有多个中间变量的情形 函数 , 关于 , 有连续的一阶偏导数，又函数 ,u u x y ,v v x y ,w x y 在点 处可偏导，则复合函数 , （二元） 关于 y, 可偏导，且： .,. , x 既是 u 的中间变 量，又是二元函数 , 的两个自变量之一 果照搬公式会有： .,)式是有问题的，事实上（ *）式上边一条中左、右两边虽都有，但它们原本想要表达的意思是不同的 记（ *）式为： .,里暗示 ,是不同的，具体地讲：是把最后复合而成的 z 作为以 自变量的直接函数中的把 y 看作不变，而对 x 求的偏导数；而则是把 , 中的 均看作不变，而对 x 求的偏导数 来说，两者的含义仍然相同 此后，不管 z 是复合函数，还是简单函数，都采用以下的写法 . .,后在求多元复合函数求偏导类型的题时，一要弄清复合结构，即要画出链式图；二要注意不犯记号错误 . 例 23设 , 求 .,解：令 , ，则 , 由链式法则： ;. 类似， ;. . 注意：这里由于最外面一层函数是抽象函数，故最后的结果中中间变量的记号不 能通过回代而消失 有一个问题：不同的同学可能会用不同的记号来表示中间变量，造成最后答案形式上的不统一，给老师改作业带来麻烦 细琢磨一下链式法则的本质，我们关注的无非就是每次求导的顺序而已，最后答案与中间变量的记号其实没任何关系 简单起见，不如就把中间变量用数字 1，2， 3， 因此，例 4又可换一种写法： 解：由链式法则： ;321 8 类似， ;32 .3 例 24设 .,222 求 解：记 222 ，则 例 25设 ,222 求 .,解：（分析 不要急于用链式法则，而应先用乘积函数的求导公式 用链式法则 .） y 2.,2 21222 ； 2., 212222 与一元复合函数类似，多元函数也具有一阶微分形式的不变性 定理： 在 处可微，又函数 , 在点 均可微，则有： 上式说明：把 看作自变量时微分 把 看作中间变量时的微分 在形式上是一样的 注意：在其它的复合情形下也有类似的一阶微分形式的不变性 . 下面用此法将前面的例 23再重做一回 . 例 23设 , 求 .,解： 1 2 3d u f d x f d x y f d x y z 1 2 3f d x f x d y y d x f y z d x x z d y x y d z 1 2 3 2 3 3f y f y z f d x x f x z f d y x y f d z 所以， ;321 ;32 .3 请同学们试着用此法把上面的例 24、例 25 再重做一遍 . 七 记住两个公式：（一）设方程 0, 定了一个隐函数 或 ， . 例 26求由方程 0 定的程两边同时关于 x 求导（视 y 为 x 的函数），得： 0.ss 解出： .c 解法二：令 s （这里 互相独立），则 .c o s,s in ， 所以，由公式（ 3）， 解出： .c 注意：请同学们比较一下两解法有什么本质的区别？哪种用起来更方便？ 9 称解法二为公式法 . （二）设三元方程 0, *）确定了一个隐函数 或 ., ，则可视 , 为 , ，原方程化为： 0, 对恒等式（ *）两边关于 x 求导（注意这里视 y 为常数），得： . 例 由 22确定，其中 f 可微，求 .,解一：（公式法）（这里 , 互相独立） 令 222, . 则， ,22 所以，有： ,2222 解二：（一）方程两边同时关于 x 求导（视 z 为 ，并视 y 常数），有： ， 所以， （二）方程两边同时关于 y 求导（视 z 为 ，并视 x 常数），有： 1222 所以， 解三：方程两边取全微分，得： 22，利用微分形式的不变性： d zy d 12222 10 2， 所以， 22 2故，,22 注意：对一般隐函数求导问题都有此三种方法，我个人比较欣赏解法三 . 例 ,z z x y 由方程 ,0x 所确定，其中 F 具有连续偏导数，证明：y z x 证明一：方程两边对 x 求导（视 y 为常数），得： 12 211. 1 0z z x x ，解得： 22112.y z F x y x x F y F 同理，由轮换对称性知， 21221.x z F y x y y F x F 所以， 1 2 1 212.z x F z F x y x F y y z x y F 解法二（公式法）自己完成 . 解法三：全微分法，自己完成 . 例 ,z z x y 由方程 22xy ze z e 所确定，求 212.|解：只需先求出 ,y x y e z x 故22x y x z y e x ed z d x d y d x d 由于 2 2 21 1 12 2 2,| | |x x xy y z d x d 而 ,的表达式中均含有 z ，此时 z 应满足给定的方程，即有 12. 2 2 2 ,ze z e ，不难看出， ，于是 2 12 xy e 例 20,xy tf x y e d t 求 2 2 222. 2 . .x f f y fy x y 解：因为 2 2 2 223, , , , , 2 2 ,x y x y x y x yx y x xf x y y e f x y x e f x y y e x y x y e 11 2 2 22 2 3, 2 , , 2 ,x y x y x yx y y yf x y e x y e f x y x y e 故 222 2 222. 2 . 2 f f y f ey x y 八 值 先熟悉一下极值的定义： 设函数 ,z f x y 在点 000 , 0定义，如果对于任何 0, 有 000 , 或则称 00 , 的一个极大值，并称 000 , 值点 . 完全类似，将不等号反号可定义函数 极小值与极小值点 . 注意：对于三元函数 , ，类似可定义极值 . 极值的必要条件（定理）：设函数 ,z f x y 在点 000 , 且 00 , 的极值，则 ,0, 00 00 满足上式的点 000 , ,z f x y 的驻点（或稳定点） 推广：三元函数 , 在点 0000 , 000 , , 的极值，则 ,0,0,000000000注意：（ 1）可微函数的极值点必为驻点；但反之未必，即：驻点未必是极值点 . 如 222121, （马鞍面）， 0,00 是驻点，但在 0,00 处无极值 . （ 2）不可微的点也可能是极值点 22, （上圆锥面）在 0,00 处显然取到极小值，但 22, 在 0,00 处不可偏导 . 极值的判定定理：设函数 在点 000 , 0连续偏导数，且 000 , 记 则（一）当 02 具有极值，且 A 时， 在 000 , A 时， 在 000 , （ 二）当 02 在 000 , （三）当 02 ， 在 000 , 可能无极值 . （这时，通常利用极值的定义或二阶微分的符号来判定） 同学们来说， 一般不会遇到第三种情况，如果遇到了，往往需要用定义来考察 . 例 2233 33, 的极值 . 解：（一）解方程组 063,222,0,2,0得四个驻点： ,0,2,2,0,0,04321 ） 0,66, 12 驻点 0,0 2,0 0,2 2,2 2 36 36 36 A 6 6 6 判定 极大值点 非极值点 非极值点 极小值点 因为该函数不存在不可微点，故 00,0 f 为函数的极大值； 82,2 f 为 函数的极小值 . 例 2244 2, 的极值 . 解：（一）解方程组 0224,33三个驻点： ,1,1,1,1 321 （二） / / / /, 6 6 , , 0 .x x x yA x y x B x . / , 6 6x y 1,11 P 处， 21 0 0 , 2 , 1 0 , 0 ,A B C A C B 故 1, 1Z 2 为极小值； 1,12P 处， 21 0 0 , 2 , 1 0 , 0 ,A B C A C B 故 1,1Z 2 为极小值； 0,032, 0 ,A C B 故不能确定是否有极值 0y 0,0 （沿直线变化），则有 22, 0 1 0 ( 0 , 0 ) ;Z x x x Z 当沿直线 y x （沿直线变化），则有 4, 2 0 ( 0 , 0 ) ;Z x x x Z 故 0,0Z 不是极值 . 谈到最值，通常我们研究得比较多的情形是求有界闭域 D 上的连续函数的最值， 因为这种情形下最值必存在 在 D 内部的一切可能的极 值点（包括驻点及偏导不存在的点）；再求出 在 D 边界上的一切可能的最 值点；最后求出以上找到的各种点处的函数值，进行比较即可 . 例 33求函数 5, 2在闭域 在 D ： ,0 的最值 . 解：（一）内部 令 052,2225唯一驻点 45,251P ， 6462545,25 f 无偏导不存在的点 . （二）边界 1在边界 )40(0: ): ，显然 ;0, 2在边界 4404: 上， 4044545, 222 成为一元函数 .