福建省福州市2017届高三5月适应性测试文科数学试卷含答案

2017 年福州市高三毕业班适应性 数学 (文 科 )试 卷 本试题卷分共 5 页， 23 题（含选考题）。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 祝考试顺利 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试 题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 (1) 若复数 i 1 ，则 z （ A） 2 （ B） 2 （ C） 5 （ D） 5 (2) 已知集合 1 2 , 0 2A x x B x x ，则（ A） 1,0 （ B） 1,0 （ C） 0,2 （ D） 0,2 (3) 某班级为了进行户外拓展游戏，组成红、蓝、黄 3 个小队甲、 乙两位同学各自等可能地选择其中一个小队，则他们选到同一小队的概率为 （ A） 13（ B） 12（ C） 23（ D） 34(4) 已知n 项和若9 18S ，则3 5 7a a a （ A） 2 （ B） 4 （ C） 6 （ D） 8 (5) 已知函数 3 1f x x x ，则曲线 y f x 在点 0,1 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （ A） 16（ B） 13（ C） 12（ D） 2 (6) 已知 的顶点 ,21（ 0 ）上，椭圆的一个焦点为 A ，另一个焦点在边 若 是边长为 2 的正三角形，则 b （ A） 62（ B） 63（ C） 64（ D） 66(7) 一个底面积为 1 的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 20 ，则该四棱柱的高为 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 32 （ D） 19 (8) 秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的数学九章中提出的多项式求值的秦九韶算法 至今仍是比较先进的算法右图的程序框图是针对某一多项式求值的算法，如果输入的 x 的值为 2，则输出的 v 的值为 （ A） 129 （ B） 144 （ C） 258 （ D） 289 (9) 若函数 x x （ 0 ）在 ,42上为减函数，则 的取值范围为 （ A） 0,3 （ B） 0,4 （ C） 2,3 （ D） 2, (10) 已知函数 f x x x，则 （ A） 0 （ B） 1 （ C） 22e（ D） 2 (11) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥最长棱的棱长为 （ A） 3 （ B） 5 （ C） 22 （ D） 23 (12) 已知函数 e , 0 ,4 2 , 0 .x a x x a x 若对于任意两个不等实数12,有 12121f x f 成立，则实数 a 的取值范围是 （ A） 1,3 （ B） 1,32（ C） 0,4 （ D） 1,42第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 21 题为 必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 23、 题为选考题，考生根据要求做答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 (13) 已知向量 1 , 0 , 2 , 3A B A C ，则 C (14) 设 , 2 1,2 3,剟剟则 1的最大值为 (15) 数列 11 1 2 2 3 3 4 11 , 2 a a a a a a a a 2，则8a (16) 已知点 F 为双曲线 22:1（ 0, 0）的右焦点， F 关于直线 13对称点在 C 上，则 C 的渐近线方程为 三、解答题：解答应写出文字说明 、 证明过程或演算步骤 (17) （本小题满分 12 分） 已知 ,的内角 ,对边， a B （）求 A ； （ ）若 7 , 2 4a b c ，求 的面积 (18) （本小题满分 12 分） 如图，菱形 等边 所在的平面相互垂直， 2 , 6 0A D D A B （）证明： B ； （）求三棱锥 C 的高 (19) （本小题满分 12 分） 为丰富人民群众业余生活，某 市 拟建设一 座 江滨公园，通过专家评审筛选出建设方案 向社会公开征集意见 有关 部门 用简单 随机抽样方法 调查 了 500 名市民对这两种方案的看法 ，结果用条形图表示如下： 人数2402001601208040选择方案 2401806020非老年人老年人） 根据已知条件完成下面的 22 列联表， 并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过 前提下 认为是否选择方案 A 和年龄段 有关？ 选择方案 A 选择方案 B 总计 老年人 非老年人 总计 500 （ ）根据（） 的结论， 能否提出一个更好的 调查方法，使得调查结果更具代表性，说明 理由 2P K k k 2 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b cK a b c d a c b d (20) （本小题满分 12 分） 已知抛物线 2:4C y x 的焦点为 F ，准线为 l F 与 C 交于 ,与 x 轴的负半轴交于点 P （）若 F 被 l 所截得的弦长为 25，求 （）判断直线 C 的交点个数，并说明理由 附 ： (21) （本小题满分 12 分） 已知函数 x m x （）讨论 （）若 2，证明：120 请考生在第 22 、 23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分 。 (22) （本小题满分 10 分）选修 44 ：坐标系与参数方程 在 直角 坐标 系 ，曲线12 19x y以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2 8 s i n 1 5 0 （）写出1 （）设点 P 在1 Q 在2 最大值 (23) （本小题满分 10 分）选修 44 ： 不等式选讲 设不等式 14 2 7 73x x x 的解集为 M （）求 M ； （）证明：当 , 时， 22a b a b 2017 年福州市高三毕业班适应性 文 科数学 参考答案及评分细则 评分 说明： 1 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 。 2 对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 。 3 解答右端所注分数，表示考生正确 做到这一步应得的累加分数 。 4 只给整数分数 。 选择题和填空题不给中间分 。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （ 1） C （ 2） B （ 3） A （ 4） C （ 5） C （ 6） A （ 7） C （ 8） D （ 9） C （ 10） D （ 11） A （ 12） B 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （ 13） 3 （ 14） 1 （ 15） 85 （ 16） 62三、解答题：本大题共 6 小题 ，共 70 分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 (17) 本 小 题考查 正弦定理、余弦定理、三角求值 等基础知识 ， 考查运算求解能力 ， 考查 函数与方程思想、 分类与整合思想 等 满分 12 分 【解析】 （）因为 a B ，所以 s i n t a n 2 s i n s i A B ， 2 分 因为 ，所以 1 4 分 因为 0,A ，所以 3A 6 分 （ ） 由余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ， 7a ，得 227 b c ， 8 分 因为 24，所以 227 2 4 2 4b b b b ，解得 1b ，或 3b 9 分 又因为 222 ，所以 3, 2， 10 分 所以 的面积 13s i n 322S b c A 12 分 (18) 本小题主要考查几何体的 体积 及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查 数形结合思想、 化归与转化思想等满分 12 分 【解析】（）取 点 O ，连结 , 1 分 因为 为等边三角形，所以 D 2 分 因为四边形 菱形，所以 D ， 又因为 60 ，所以 为等边三角形， 所以 D 3 分 因为 B O ，所以 平面 5 分 因为 平面 所以 B 6 分 （）因为平面 平面 平面 面 D ， 平面 所以 平面 所以 三棱锥 P 的高 8 分 所以 2 2 2 2 2 2 2 22 1 3 , 2 1 3P O P A O A B O A B O A ， 所以 22 6P B P O B O ， B，所以 221 6 1 5622 2 2 ， 因为 2 , 1 8 0 1 2 0A B B C A B C D A B ， 所以 1 2 2 s i n 1 2 0 32 10 分 设三棱锥 C 的高为 h ， 因为C ，所以 1133P A B A B CS h S P O ， 所以 15 332 h ，解得 2 155h 12 分 (19) 本小题主要考查 独立性检验、抽样方法 等基础知识，考查 抽象概括能力、 数据处理能力、运算求解能力 、 应用意识 ， 考查 统计与概率 思想 思想 等 满分 12 分 【解析】 （） 由题意得 22 列联表如下： 选择方案 A 选择方案 B 总计 老年人 20 180 200 非老年人 60 240 300 总计 80 420 500 2 分 假 设0: 和年龄段 无关 ， 则 2K 的观测值 25 0 0 2 0 2 4 0 6 0 1 8 0 125= 8 . 9 2 9 6 . 6 3 58 0 4 2 0 3 0 0 2 0 0 1 4k ， 5 分 所 以 能在犯错误的概率不超过 前提下认为 是否选择方案 A 和年龄段 有关 7 分 （ ） 由（）的结论知，市民选择哪种方案与年龄段有关，并且从样本数据能看出老年人与非老年人选择方案 A 的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该县中各 年龄段市民的比例，再采用分层抽样的方法进行抽样调查， 使得调查结果更具代表性 12分 (20) 本小题主要考查直线与圆的位置关系、抛物线的标准方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、化归与转化 思想 等 满分 12 分 【解析 】 不 妨设 A 在 x 轴上方， ,x y （）依题意，点 F 坐标为 1,0 ，准线 l 的方程为 1x ， 所以 F 到 l 的距离 2d 2 分 因为 F 被 l 所截得的弦长为 25， 所以 F 的半径 2 225 232r ，则 3 4 分 由抛物线定义得 1x，所以 2，从而 22， 所以 2 4 2 y 6 分 （）设 ,0 0a ），则 r 1F A F P a ， 7 分 所以， 11 ，故，从而 ,2A a a 8 分 所以直线 方程为 2 ay x ，即 x a y a 9 分 由2,4,x a y 得 2 4 4 0y a y a ， 10 分 所以 1 6 1 6 0 ， 所以直线 C 有且只有一个交点 12 分 (21) 本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力 、抽象概括能力 等，考查函数与方程思想、化归与转化 思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12 分 解法一： （） x m ， 1 分 当 0m 时， 0 ， , 上为增函数 2 分 当 0m 时，令 0 ，得 1 若 0 ，则 1， , ln m 上为增函数； 若 0 ，则 1， m 上为减函数 4 分 （） 当 0m 时，由（）知， 以 当 1m 时， 101m ，由（）知， m a n 0fx m， 所以 0在 R 上恒成立， 5 分 当 10m 时， 1 1m，则 111 0 , l n l n 0 ， 令 2x xt x x ，则 x x ， 由（）知，当 1m 时， x x 在 ,0 为增函数，在 0, 为减函数，所以 00f x f ，即 x ，所以 0 ， 所以当 0x 时， 00t x t，即 2 ，所以 2112xf x m x x ， 所以22 2 2 21 1 1 0f m mm m m m ， 6 分 因为 , ln m 上为增函数； m 上为减函数， 所以 7 分 综上所述，121 1 21 0 , 1 , l n , l n ,m x xm m m 又因 为 0 1 0 ，所以 12 21 , 0 , 0 ,xx m 8 分 依题意， 121 1 2 2e 1 0 , e 1 0x m x f x m x ，所以21211e e 令 1，则 12g x g x， 11 ， 当 0x 时， 0 ， 数 9 分 要证120， 即 证210 ， 只需证 21g x g x， 只需证 11g x g x 10 分 令 h x g x g x ，即 1 1ee x x ， 所以 2x x ， 11 分 当 10x 时， 2， 0 ， 所以 1 00h x h，故 11g x g x，故120 12 分 解法二：（）同解法一 4 分 （ ） 因为 所以方程 e 1 0 ，即 1有两解 5 分 令 1，则 11 ， 6 分 当 0 时， 0x ， 函数；当 0 时， 0x ， 数 所以 01g x g 7 分 又因为当 1x 时， 0；当 1x 时， 0， 所以 01m ，且 121 , 0 , 0 , 8 分 要证120， 即 证210 ，只需证 21g x g x， 因为 12m g x g x ， 所以只需证 11g x g x，即证11 ， 只需证 11111 e 1 e 0 ， 1 1,0x 10 分 令 1 e 1 x x x ，则 由 1 0 1 ，得 e e e ex x x xh x x