江苏省苏北三市2017届高三第三次调研考试数学试题含答案

连云港市 2017 届高三年级模拟考试 数学 第 卷（共 70 分） 一、 填空题 (每 题 5 分 ,满分 70 分 ,江答案填在答题纸上 ) 211 ，A , 7,210 ，B ,则集合 中元素的个数为 2.设 a , ， 11(i 为虚数单位 )，则 b 的值为 ,双曲线 13422 离心率是 分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字 能组成“中国梦”的概率是 输出的 k 的值为 ， 6， 9， 8， 4，则该组数据的方差是 x ， y 满足,2,3,1 2s )( 20( 的 图象过点 )3,0( ，则函数 )( ,0 上的单调减区间是 q 且各项均为正数的等比数列 n 项和 ，且225 则 q 的值为 正三棱柱 111 中，已知 31 点 P 在棱 1，则三棱锥1的体积为 知正方形 边长为 2， 行于 x 轴，顶点 A ， B 和 C 分别在函数xy ， xy 和 )1( a 的图象上，则实数 a 的值为 ,5()1,( x ，都有 0)2(22 则实数 a 的取值范围是 ，圆 C ： 3)()2( 22 若圆 C 存在以 G 为中点的弦 且 ，则实数 m 的取值范围是 三个内角 A ， B ， C 的对应边分别为 a ， b ， c ， 且3C， 2c ，当 得最大值时， 第 卷（共 90 分） 二 、解答题 （本大题共 6 小题，共 90 分 明过程或演算步骤 .） 中，已知点 D 在边 ， ，54A，135 3 （ 1）求 值； （ 2）求 长 . 四棱锥 中，底面 矩形，点 E 在棱 （异于点 P ， C ），平面 棱 于点 F . （ 1）求证： ； （ 2）若平面 面 求证： . 17. 如图，在平面直角坐标系 ，已知椭圆 C ： 13422 左、右顶点分别为 A ，B ，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P ， Q 两点 （点 P 在 x 轴上方） . （ 1）若 ，求直线 l 的方程； （ 2）设直线 斜率分别为 1k ， 2k ， 是否存在常数 ，使得 21 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由 . 18. 某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示 的圆心与矩形 角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切（ E 为上切点），与左右两边相交（ F ， G 为其中两个交点），图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域 m ，且21 透光区域的面积为 S . （ 1）求 S 关于 的函数关系式，并求出定义域； （ 2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好 边 19. 已知两个无穷数列 n 项和分别为nS，11a ， 42 S ， 对任意的都有 21 23 . （ 1）求数列 （ 2）若 任意的 都有S nn ； （ 3）若 11 ， 22 ， 求满足 )(22 a n 值 . 20. 已知函数 )0( 2 （ 1）当 1m 时，求函数 )(单调区间； （ 2）设函数 2)()()( 0x )( 的最小值是223，求 （ 3）若函数 )( )(定义域都是 ,1 e ，对于函数 )(图象上的任意一点 A ，在函数 )(图象上都存在一点 B ，使得 ，其中 e 是自然对数的底数， O 为坐标原点，求 m 的取值范围 . 21.【选做题】本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分 明过程或演算步骤 . 何证明选讲 如图，圆 O 的弦 于点 C ，且 A 为弧 中点，点 D 在弧 ，若 3 ，求 的度数 . 阵与变换 已知矩阵 3，若 4821A，求矩阵 A 的特征值 . 标系与参数方程 在极坐标系中，已知点 )2,2( A，点 B 在直线 l ： )20(0s o s 上，当线段 短时，求点 B 的极坐标 . 等式选讲 已知 a ， b ， c 为正实数，且 222333 ，求证： 3 33 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在平面直角坐标系 ，点 )0,1(F ，直线 1x 与动直线 的交点为 M ，线段 的交点为 P . （ 1）求动点 P 的轨迹 E 的方程； （ 2）过动点 M 作曲线 E 的两条切线，切点分别为 A ， B ，求证： 的大小为定值 . 等式选讲 已知集合 ,.,2,1 )2,( 对于集合 U 的两个非空子集 A ， B ，若，则称 ),( 集合 U 的一组“互斥子集” 的所有“互斥子集”的组数为 )(视 ),( ),( 同一组“互斥子集”） . （ 1）写出 )2(f ， )3(f ， )4(f 的值； （ 2）求 )( 三师 2017 届高三第三次质量检测参考答案与评分标准试 一、填空题 2. 1 3. 274. 6. 526(或 7. 32,31(或3231 8. )127,12( (或 127,12 ) 9. 2 1510. 34911. 2 12. 5,1( (或51 a ) 13. 2,2 (或 22 m ) 14. 32 二 、解答题 (1)在 中 , 54A, ),0( A ， 所以 c o 53)54(1 2 . 同理可得 , 1312 所以 )(c o s c o s A C )c A c o sc o ss 641613554131253 . (2)在 中 ,由正弦定理得 , 2013125313s A C B . 又 ,所以 541 在 中 ,由余弦定理得 , c o 64161352135 22 29 . 16. 解 :(1) 因为 矩形， 所以 又因为 面 面 所以 /面 又因为 面 平面 面 ， 所以 （ 2）因为 矩形， 所以 又因为 平面 面 平面 面 ， 面 所以 面 又 面 所以 又由（ 1）知 ，所以 17. 解 :(1) 因为 42 a ， 32b ，所以 122 所以 F 的 坐标为 （ 1,0） ， 设 ),( 11 ),( 22 直线 l 的方程为 1 代入椭圆方程，得 096)34( 22 则221 34163 ，222 34163 若 ，则 0341632341632222 解得552m，故 直线 l 的方程为 0525 （ 2） 由（ 1）知，221 346 ，221 349 ， 所以 )(2334 9 21221 ， 所以221121 22 )3( )1(1221 23)(23221121 故 存在常数31，使得21 31 18. 解 :(1) 过点 O 作 于点 H ，则 所以 s c o sc o s 所以O E H 形44 )21(4c o ss 22 ， 因为21以21，所以定义域为 )2,6 （ 2） 矩形窗 面的 面 积为 s 则 透光区 域与 矩形窗面的 面积 比值 为 s c 设 s o s)( f，26 则 2s c o ss f 23s s o ss 22s c o sc o ss 2s s c o s ， 因为26 ，所以212，所以 02 ，故 0)( f ， 所以函数 )(f 在 )2,6 上单调减 所以当6时， )(f 有最大值436，此时 )(1s 答：（ 1） S 关于 的函数关系式 为 22S ，定义域为 )2,6 ； （ 2） 透光区 域与 矩形窗面的 面积 比值最大 时， 长度为 1m 19. 解 :(1) 由 21 23，得 121 )(2， 即 212，所以 112 由 11a ， 41S ，可知 32a 所以数列 为首项， 2 为公差的等差数列 故 12 （ 2） 证法一： 设数列 d ，则 )1(1 ， 由（ 1）知， 2 因为S ，所以 1(12 ，即 02)2( 1 成立， 所以,02,021即,2,21 又由 11 ，得 11b ， 所以1(12 1 11)2( 11)2( 01 1 所以nn ，得证 证法二： 设 d ，假设存在 自然数 20n，使得00 nn ， 则 2)1(01 na 1( 01 ，即 )2)(1(011 因为 11 ，所以 2d 所以 21 2 )1( 2()12( 12 ， 因为 012 d，所以存在 0， 0 这与“ 对任意 的 都有 ”矛盾！ 所以nn ，得证 （ 3） 由（ 1）知， 2 因为 且 11b ， 32b ， 所以 为首项， 3 为公比的等比数列 所以 13 13 则21 23131222 21 23 223 212 23 2263 ， 因为 所以 0226 2 所以 322 nn b 而 12 以 122 nn b 013 21 *） 当 2,1n 时，（ *）式成立； 当 2n 时，设 13)( 21 n ， 则 n 2)1(3)()1( 0)3(2)13( 121 所以 .)(.)3()2(0 故满足条件的 n 的值为 1 和 2 20. 解 :(1) 当 1m 时， ， 12 因 为 )(在 ),0( 上单调增，且 0)1( f ， 所以当 1x 时， 0)( 当 10 x 时， 0)( 所以函数 )(单调增区间是 ),1( （ 2） 22)( 22222)( x ，令 0)( 2， 当20 时， 0)( 函数 )( )2,0(m 上单调减； 当2时， 0)( 函数 )( ),2( m 上单调增 所以 222)2()( m i n 当2)12(2 ，即 94m 时， 函数 )( 的最小值)12(22)222( 231)12(2 m ， 即 092617 解得 1m 或179m（舍），所以 1m ； 当2)12(20 ，即 9441 m 时， 函数 )( 的最小值 223)12(2)2( 解得 54m （舍） 综上所述， m 的值为 1 （ 3）由题意知， ， 考虑函数，因为2x 在 ,1 e 上恒成立， 所以函数在 ,1 e 上单调增，故 1,2 所以 ,21 ，即 在 ,1 e 上恒成立， 即 )ln(22 在 ,1 e 上恒成立 设 22 ，则 0 ,1 e 上恒成立， 所以 )( ,1 e 上单调减，所以21)1( 设 )( 2 ， 则 )( ,1 e 上恒成立， 所以 )( ,1 e 上单调增，所以 )1( 综上所述， m 的取值范围为 ,21 e A 连结 因为 A 为弧 中点，所以 而 ， 所以 N D N ， 即 又因为 3 ， 所以 1803 ， 故 45 B 因为 212 321 4822 6 所以42286解得14所以 1232A 所以矩阵 A 的特征多项式为1232)(f 436)1)(2( 2 ， 令 0)( f ，解得矩阵 A 的特征值为 11 ， 42 C 以极点为原点，极轴为 x 轴正半轴，建立平面直角坐标系， 则点 )2,2( 2,0( ，直线 l 的直角坐标方程为 0 短时，点 B 为直线 02 直线 l 的交点， 解00211所以点 B 的直角坐标为（ ） 所以点 B 的极坐标为 )43,2( D 因为 3 333222333 3 ，所以 3 所以 33 333 当且仅当 3 3 ，取“ ” 22. 解 :(1) 因为直线 与 1x 垂直，所以 点 P 到直线 1x 的距离 连 结 因为 P 为线段 中垂线与直线 的交点，所以 所以点 P 的轨迹是抛物线 焦点为 )0,0(P ，准线为 1x 所以曲线 E 的方程为 2 （ 2） 由 题意，过点 ),1( 的切线斜率存在，设切线方程为 )1( 联立,4,2 得 04442 所以 0)44(4161 即 012 *）， 因为 0422 n ， 所以 方程（ *）存在两个不等实根，设为 1k ， 2k ， 因为 121 所以 90 为定值 23. 解 :(1) 1)2( f ， 6)3( f ， 25)4( f （ 2） 解法一： 设集合 A 中 有 k 个元素， 1,.,3,2,1 则与