广东深圳市2017届高三第二次（4月）调研考试数学（文）试卷含答案解析

深圳市 2017 年高三年级第二次调研考试 数学（文科） 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 2| 2 0 , | 2A x x x B x x ，则 （ ） A B A B A C A B A D A B R 2. 已知复数 z 满足 13i z i ，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 （ ） A 10 B 10 C 5 D 5 3. 下列函数中既是偶函数，又在 0,1 上单调递增的是 （ ） A B 12 C 2 D 03020 ，则 2z x y的最大 值为 （ ） A B C. D 4 3 , 2， a 与 b 的夹角6，且 a mb a，则 m（ ） A 12B 1 C. 3 D 2 n 项和为3 5 1 54 , 6 0a a S ，则20a （ ） A 4 B 6 C. 10 D 12 位、十位、百位上的数字依次为 x y z、 、 ，当且仅当 ,y x y z时，称这样的数 为“凸数”（如 243），现从集合 1,2,3,4 中取出三个不相同的数 组成一个三位数，则这个三位数是“凸数”的概率为（ ） A 23B 13C. 16D ， 是直角三角形，其斜边 8,C平面 ,6C ，则三棱锥的外接球的表面积为 （ ） A 64 B 68 C. 72 D 100 9. 已知函数 22 s i n 0 , ,1 2 3f x x x 的图象如图所示，若 12f x f x ，且 12，则 12f x x（ ） A 1 B 2 C. 3 D 2 剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 24 B 48 C. 72 D 96 22 1 0 , 0xy 的左右顶点分别为12 M 是双曲线上异于12任意一点，直线1y 轴交于 ,O 为坐标原点，若,O P O M O 双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A 2, B 2, C. 1, 2 D 12， a ，函数 1 l nf x x x a x a b 有两个不同的零点，则实数 b 的取值范围是 （ ） A ,1 B ,0 C. 0,1 D 0, 第 卷 二、填空题 :本大题共 4 小题，每小题 5 分 . 的顶点为坐标原点，始边为 x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角 终边过点 1,2P ，则 3 0l x m y 与圆 22:4C x y相切，则 m 15.孙子算经是中国古代重要的数学著作，约成书于四、五世纪，也就是大约一千五百年前，传本的孙子算经共三卷 今有方物一束，外 周一匝有三十二枚，问积几何？”该著作中提出了一种解决问题的方法：“重置二位，左位减八，余加右位，至尽虚加一，即得 .”通过对该题的研究发现，若一束方物外周一匝的枚数 n 是 8 的整数倍时，均可采用此方法求解 解决这类问题的程序框图，若输入 40n ，则输出的结果为 ,1 1 1 11 , , 3 2 ,n n n n na b b a a a b n N ，则2017 2016 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . ,三个内角 ,对边， 2 3 s i n c o sb a B b A， 4c . （ 1）求 A ； （ 2） 若 D 是 中点， 7，求 的面积 . 直三棱柱1 1 1 B C中， 09 0 ,A C B E 为1112. （ 1）证明： 平面11 （ 2）若 01 6 , 3 0A A B A C ，求点 E 到平面1 19. 在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下分店，计划在 S 市的 A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店 听其他 区的数据作了初步处理后得到下列表格记 x 表示在各区开设分店的个数 ， y 表示这个 x 个分店的年收入之和 x （个） 2 3 4 5 6 y （百万元） 4 （ 1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 y 与 x 的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程 y bx a； （ 2）假设该公司在 A 区获得的总年利润 z （单位：百万元）与 , 0 5 1 . 4z y x ，请结合（ 1）中的线性回归方程，估算该公司应在 A 区开设多少个分店时，才能使 A 区平均每个分店的年利润最大？ （参考公式： y bx a，其中 1122211 ,i i y n x y x x y yb a y b xx n x x x ） 2 2 1:14C x y ，一动圆与直线 12x相切且与圆 C 外切 . （ 1）求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程 ； （ 2）若经过定点 6,0Q 的直线 l 与曲线 T 交于 两点， M 是线段 中点，过 M作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N ，试问是否存在直线 l ，使得 B ，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由 . xf x xe （ ,a 为常数）， e 为 自然对数的底数 . （ 1）当 0时，求实数 x 的取值范围； （ 2）当 2a 时，求使得 0f x k成立的最小正整数 k . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 在极坐标系中，点 3 , 3 ,62 、，曲线 : 2 c o s 03C ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系 . （ 1）在直角坐标系中，求点 , 的参数方程； （ 2）设点 M 为曲线 C 上的动点，求 22B 的取值范围 . 等式选讲 已知函数 21 2 ,f x x a x a a R . （ 1）若 21f a a，求实数 a 的取值范围； （ 2）若关于 x 的不等式 1存在实数解，求实数 a 的取值范围 . 参考答案 解析】本题考查集合的基本运算 ,一元二次不等式 ,. 【备注】集合的基本运算为高考常考题型 ,要求熟练掌握 . 解析】本题考查复数的概念与运算 所以 ,所以 . 解析】本题考查函数的单调性和奇偶性 ,C 为偶函数 ,而 A 选项 在上单调递减 ,排除 . 【备注】偶函数首先要求定义域关于原点对称 . 的定义域为 , 的定义域为 . 解析】本题考查简单线性规划 如图三角形 示 , 取得最大值 . 解析】本题考查平面向量的数量积 即 ,所以,因为 ,所以 ,所以 . 【备注】 等价于 . 解析】本题考查等差数列的通项与求和 等差数列 ,所以 ,所以,因为 ,所以 ,所以 ,即, ,所以 . 【备注】等差数列中 ;若 ,等差数列中 . 解析】本题考查古典概型 ,新定义问题 取出三个不相同的数共有个 ,由题意知 ,凸数有 132,231,143,341,243,342,342,243 共 8 个 ,所以这个三位数是 “凸数 ”的概率 . 解析】本题考查空间几何体的表面积 在长方体的外接球 ,即三棱锥所在的外接球 ;所以三棱锥的外接球的直径 ,即三棱锥的外接球的半径;所以三棱锥的外接球的表面积 . 解析】本题考查三角函数的图像与性质 函数 的周期 ,所以 ,解得 ;当 时 , ,所以 ,所以；因为 ,所以 ；. 解析】本题考查三视图 ,空间几何体的体积 如图所示 ,该平面将长方体刚好平分 ,所以该几何体的体积 V =. 解析】本题考查双曲线的标准方程与几何性质 ,等比数列 ,而是双曲线上的点 ,令 ;求得直线 : , : ,所以;而 依次成等比数列，所以 ,即 ;而 ,联立解得 , ;所以离心率 = = = ;经验证 ,当 时 ,不满足题意 ,所以双曲线的离心率 选 A. 【备注】双曲线 ,离心率 , . 解析】本题考查函数与方程 ,导数在研究函数中的应用 则,可得 , 在区间 上单减 ,在区间 上单增 ,即 在处取得极小值 ;令 ,则 横过点 ;而函数有两个不同的零点，所以 与 有 2 个不同的交点 ,所以,解得 ,即实数 的取值范 围是 . 解析】本题考查三角函数的定义、和角公式 所以. 14. 【解析】本题考查直线与圆的位置关系 圆心为 ,半径为 2, 直线与圆 相切 ,所以 ,解得 . 解析】本题考查流程图 , ; 循环二次 , , ; 循环三次 , , ; 循环四次 , , ; 循环五次 , , ,此时 , ,满足题意 ,结束循环 ,输出的. 16. 【解析】本题考查等比数列 所以, ; , 将代入得 : ,即 ,即数列 为等比数列 ,所以 ;所以 . 17.(1)由 可得 ，即有 ， 因为 ， ， ， . (2)设 ，则 ， 由 ，可推出 ， 因为 ，所以 ， 由 可推出 ， 联立 得 ，故 ， 因此 【解析】本题考查三角恒等变换 ,诱导公式 ,正余弦定理 ,三角形的面积公式 .(1)由正弦定理及三角恒等变换得 ， .(2)由余弦定理得 ,由三角形的面积公式得. 【备注】正弦定理 : ,余弦定理 : . 18.(1)证明： 直三棱柱 ， 平面 ; 平面 ， ; ， ， ; ， 平面 平面 ， ， 为 的中点， ， 与 相似，且有 ， ， ； (2)在矩形 中， 为 的中点，可得 ， 在 ，由 可得 ，从而可求得 ， 显然有 ，即 ， 为点 到平面 的距离， 平面 ，由 ，可得 ， 计算得 ， ， ，可推出 ， 点 到平面 的距离是 . 【解析】本题考查空间几何体的体积 ,线面垂直 .(1)证得 , , 平面 ;由 与 相似得 ， ； (2)证得，所以 为点 到平面 的距离，等体积法求得点 到平面 的距离是 . 19.(1)由表中数据和参考数据得： ， ， ， ， (2)由题意，可知总收入的预报值 与 之间的关系为： ， 设该区每个分店的平均利润为 ，则 ， 故 的预报值 与 之间的关系为 ， 则当 时， 取到最大值， 故该公司应开设 4 个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大 【解析】本题考查回归 直线与回归方程 ,均值不等式 .(1)代入数据得 : , ， (2)由题意 ，当 时， 取到最大值 . 20.(1)设 ，分析可知：动圆的圆心不能在 轴的左侧，故 ， 动圆与直线 相切，且与圆 外切， ， ， ， 化简可得 ； (2)设 ，由题意可知，当直线 与 轴垂直时，显然不符合题意， 故可设直线 的方程为 ， 联立 和 并消去 ，可得 ， 显然 ，由 韦达定理可知 ， 又 ， ， ， ， 假设存在 ，使得 ， 由题意可知 ， ， 由 点在抛物线上可知 ，即 ， 又 ， 若 ，则 ， 由 代入上式化简可得 ， 即 ， ，故 ， 存在直线 或 ，使得 【解析】本题考查抛物线的标准方程 ,直线与圆锥曲线的位置关系 .(1)由题意得，化简可得 ;(2)设直线 为 ,联立方程 ,套用根与系数的关系得 :存在直线 或 ，使得 21.(1)由 可知 ， 当 时， ，由 ，解得 ； 当 时， ，由 ，解得 或 ； 当 时， ，由 ，解得 或 ； (2)当 时，要使 恒成立，即 恒成立， 令 ，则 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 的 上单调递增 又因 为 时， ，且 ， 所以，存在唯一的 ，使得 ， 当 时， ，函数 在 上单调递减； 当 时， ，函数 在 上单调递增 所以，当 时， 取到最小值 ， 因为 ，所以 ， 从而使得 恒成立的最小正整数 的值为 1 【解析】本题考查导数在研究函数、不等式中的应用 .(1)分类讨论 ,得不等式的解 .(2)构造函数 ,求导得 :使 恒成立的最小正整数 的值为 1 22.(1)由 ，解得 ， 因为 ，所以 ； 即 ，即 ， 所以曲线 的参数方程为： ， 为参数