江西省赣州市2017届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案

赣州市 2017 年高三年级适应性考试 理科数学 第 卷 一、 选择题：本大题共 12 小题 ， 每小题 5 分 ， 在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . z 满足 2(1 ) 1 2i z i ， 则在复平面内复数 z 对应的点为 （ ） A 1( 1, )2B 1(1, )2C 1( ,1)2D 1( , 1)2 2 8 0 P x x x ， Q x x a， () Q R ，则 a 的取值范围是（ ） A ( 2, ) B (4, ) C ( , 2 D ( ,4 ） A若 () 则 () B命题“若 2 20 ， 则 1x ”的逆否命题是“若 1x ， 则 2 20 ” C命题 : , 2 1 0 2 4xp x R ， 则 0:p x R ， 02 1024x D命题“ 2( , 0 ) , 2 ”是真命题 以 O 为圆心 、 半径为 2 的圆的内接正方形， 正方形 内接正方形 ， 且 E F G H、 、 、 分别为 A B B C C D D A、 、 、的中点 将一枚针随机掷到圆O 内 ， 用 M 表示 事件“针落在正方形 ”， N 表示事件 “针落在正方形 ”，则 ()P N M （ ） A 1B 22C. 12D 21() 1 x （其中 e 是自然对数的底数 ）的大致图像为（ ） A B C. D 2 1 ( , 0 )xy 的离心率为 5 ， 则抛物线 2 4的焦点到双曲线的渐近线的距离是 （ ） A 510B 55C. 255D 1 1 1A B C D A B C D 的棱长为 1，点 , 1 1 1,C 的中点 ， 过 , ， 使得平面 / 平面 11 则平面 截正方体的表面所得平面图形为 （ ） A三角形 B四边形 D六边形 输入的 16, 4， 则输出的 n （ ） A 4 B 5 C. 6 D 7 的等差数列 等比数列 12 , 2 , a b a， 则 b 的前 5 项的和为（ ） A 142 B 124 D 144 了测量 , 小明在 D 处观测 ， , 处的北偏西15 、 北偏东 45 方向 ， 再往正东方向行驶 40 海里至 C 处 ， 观测 B 在 C 处的正北方向 ， 处的北偏西 60 方向 ， 则 , ） A 20 6 海里 B 40 6 海里 3) 海里 D 40 海里 , )x y 在直线 :6l y x 上 ， 动点 B 在圆 22: 2 2 2 0C x y x y 上 ，若 30 ， 则 最大值为 （ ） A 2 B 4 D 6 ) x x e ， 1( ) 1 ( 2 1 ) 42 x n x e ， 其中 e 为自然对数的底数 ， 若存在实数 0x ， 使 00( ) ( ) 4f x g x成立 ， 则实数 a 的值为 （ ） A 1 2 1n B 1 1 2n D 12n 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分 1, 2)a ， ， 25， 则 b 21( 1 ) ( ) ( )ny x n 的展开式中存在常数项 ， 则常数项为 体的三视图如图所示，则该多面体外接球的体积为 直线 , 1 ( 0 )x a x a a ， 2及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于小矩形与大矩形的面积之间 ， 即 12 2 2( 1 )x d x a 类比之 ， 若对 ， 不等式141 2 2k k k nn n n 1 2 1k k kn n 恒成立 ， 则实数 k 等于 三、解答题 ：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 . 3( ) s i n c o s 3 c o s ( 0 )2f x x x x 图像的两条相邻对称轴为2 （ 1）求函数 ()y f x 的对称轴方程 ； （ 2）若函数 1()3y f x在 (0, ) 上的零点为 12,求 12)的值 随机抽取 40 只进行统计，按重量分类统计结果如下图： （ 1）记事件 A 为 ：“ 从这批小龙虾中任取一只，重量不超过 35g 的小龙虾 ”，求 ()； （ 2）若购进这批小龙虾 100 千 克，试估计这批小龙虾的数量； （ 3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这 40 只小龙虾分成三个等级，如下表： 等级 一等品 二等品 三等品 重量 （ g ） 5,25) 25,45) 45,55 按分层抽样抽取 10 只，再随机抽取 3 只品尝，记 X 为抽到二等品的数量 ， 求抽到二级品的期 望 面体 ， 四边形 菱形 ， 是边长为 2 的正三角形，60 ， 3 （ 1） 证明： B ； （ 2） 若点 C 在平面 的射影 H ， 求 平面 成的角的正弦值 圆 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 32e， 顶点为 1 2 1 2A A B B、 、 、 ，且1 1 1 2 3A B A B （ 1）求椭圆 C 的方程 ； （ 2） P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点 ， 直线 2x 轴于点 Q ， 直线 12 2 设 2k ， 斜率为 m ， 试问 2是否为定值 ？ 并说明理由 ()f x x x， ( ) 1xg x e a x （ e 为自然对数的底数 ） （ 1）讨论函数 ()单调性 ； （ 2）当 0x 时 ， ( ) ( )f x g x 恒成立 ， 求实数 a 的取值范围 请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，并用 2B 铅笔将答题卡上把所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分 标系与参数方程 在直角坐标系 ， 直线 co s:（ t 为参数 ， (0, )2）与圆22: 2 4 1 0C x y x x 相交 于点 ,以 O 为极点 ， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （ 1）求直线 l 与圆 C 的极坐标方程 ； （ 2）求 11B的最大值 等式选讲 已知函数 ( ) 2f x m x ， 且 ( 2) 0的解集为 ( 1,1) （ 1）求 m 的值 ； （ 2）若正实数 ,满足 23a b c m 求 1 1 123a b c的最小值 试卷答案 一、选择题 1 6 11、 12： C、 D ( ) ( )f x g x 1 l n ( 2 1 ) e 4 e2 x a a ， 令 1( ) l n ( 2 1 )2h x x x ，则 1( ) 121hx x ， 知 ()( ,0)2上是减函数，在 (0, ) 上是增函数 ，所以 m i n( ) ( 0 ) 0h x h， 又 e 4 e 2 e 4 e 4x a a x x a a x 所以 ( ) ( ) 4f x g x，当且仅当 0e 4ex a a 即 0 , 二、填空题 13. 5 15. 41 4148 为 11nk k x n，所以 1即 l n ( 1 ) l n 1n 同理 l n ( 2 ) l n ( 1 ) 12k n n , l n ( 2 ) l n ( 2 1 ) 2 1 2n ， 累加得 . . . l n ( 2 ) l n ) 1 2 2k k k k n nn n n . 1k k kn n n 所以 l n 4 l n ( 2 ) l n ) k n n，所以 k ，故 2k 三、解答题 1） 2 3( ) s i n c o s 3 c o x x x x 13s i n 2 c o s 222s 2 )3x 由题意可得周期 T ，所以 2 1T 所以 ( ) s i n ( 2 )3f x x 故函数 ()y f x 的对称轴方 程为 2 ( )32x k k )2 1 2 Z（ 2） 由条件知12 1s i n ( 2 ) s i n ( 2 ) 03 3 3 ，且12520 1 2 3 易知 11( , ( )x f x 与 22( , ( )x f x 关于 512x 对称，则1256所以1 2 1 1 155c o s ( ) c o s ( ) c o s ( 2 )66x x x x x 11 1c o s ( 2 ) ) s i n ( 2 )3 2 3 3 18.（ 1） 由于 40 只小龙虾中重量不超过 35g 的小龙虾有 6 1 0 1 2 2 8 （只） 所以 2 8 7()4 0 1 0（ 2） 从统计图中可以估计每只小龙虾的重量 来源 :学 _科 _网 1 ( 6 1 0 1 0 2 0 1 2 3 0 8 4 0 4 5 0 )40 1140 2 8 （克） 所以购进 100 千克，小龙虾的数量约有 1 0 0 0 0 0 2 8 . 5 3 5 0 9（只） （ 3） 由题意 知抽取一等品、二等品、三等品分别为 4 只、 5 只、 1 只， 0,1, 2, 3X 则 可得 0355310 0 1( 0 )C 1 2 0 1 2 ， 1255310 0 5( 1 )C 1 2 0 1 2 2155310 0 5( 2 )C 1 2 0 1 2 ， 3055310 0 1( 3 )C 1 2 0 1 2 所以 1 5 5 1 3( ) 0 1 2 31 2 1 2 1 2 1 2 2 1）如图，取 中点 O ，连 ,D 因为 是边长为 2 的正三角形 ，所以 ,3A B O C O C 又四边形 菱形， 60，所以 是正三角形 所以 ,3A B O D O D 而 C O ，所以 平面 所以 D （ 2）由（ 1）知 D ，平面 平面 因为平面 平面 交线为 所以点 C 在平面 的射影 H 必在 ， 所以 H 是 中点 如图所示建立空间直角坐标系 O ， (1 , 0 , 0 ) , ( 0 , 3 , 0 ) 3 3 3( 0 , 3 , ) , ( 0 , , )2 4 4以 3 3 3( 0 , , )44， ( 1, 3 , 0 ) ， 33( 1, , )22设平面 法向量为 ( , , )n x y z ，则 来源 :学 *科 *网 3033 022n B C x D x y z ， 取 3y ，则 3x ， 1z ， 即 平面 一个法向量为 (3, 3,1) 所以 平面 成的角的正弦值为 31| | | | 2 1 3C H n 1313 （ 1） 因为 32e，所以 32 由题意及图可得 1 1 2( , 0 ) , ( 0 , ) , ( 0 , )A a B b B b， 所以1 1 1 2( , ) , ( , )A B a b A B a b 又1 1 2 3A B ，所以 223，所以 3c 所以 222 , 1a b a b 所以椭圆 C 的方程为： 2 2 14x y（ 2）证明：由题意可知 1( 2,0)A ， 2(2,0)A ， 1(0, 1)B ， 2(0,1)B 因为 2k ， 所以 直线 2 2)y k x 由 22( 2)14y k xx y 得 2 2 2 2( 1 4 ) 1 6 1 6 4 0k x k x k 其中2 2， 所以 228214k ， 所以 2228 2 4( , )1 4 1 4 则 直线 224 4 1 182 21 12 ( 2 1)k （ 12k ） 令 0y ，则 2(2 1)21kx k ， 即 2 ( 2 1)( , 0 )21kQ k 直线 12方程为 2 2 0 ， 由 2 2 0( 2 )k x 解得4221421 ， 所以 4 2 4( , )2 1 2 1所以 斜率421212 ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) 42 1 2 1所以 2 1 12242km k k （定值） 1） ( ) e xg x a 若 0a ， ( ) 0 ， () ( , ) 上单调递增； 若 0a ，当 , 时 ， ( ) 0 ， ()调 递减 ； 来源 :学 +科 +网 当 ( ) 时， ( ) 0 ， ()调递增 （ 2） 当 0x 时 ， 2 x a x ，即 令 ) 1 ( 0 )xh x x ，则 22e ( 1 ) 1() x x 令 2( ) e ( 1 ) 1 ( 0 )xx x x x ， 则 ( ) ( e 2 ) 当 (0, )x 时， ( ) 0x ， ()x 单调递减； 当 (, )x 时， ( ) 0x ， ()x 单调递增 又 (0) 0 ， (1) 0 ，所以，当 (0,1)x 时， ( ) 0x ，即 ( ) 0 ， 所以 () (0, )x 时， ( ) ( 1 ) ( e 1 0xx x x ，即 ( ) 0 ， 来源 :所以 ()以 m i n( ) (1 ) e 1h x h ，所以 , e 1a 1）直线 c si n 1 0 （ 2），代入2 得2 2 c si n 1 0 显然12110 , 0 ,O A O B 1212 2 c o