黑龙江省哈尔滨2017年高三第三次模拟考试数学试题（理）含答案

2017 年高三第三次模拟考试 理科数学试卷 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 生务必先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 B 铅笔填涂；非选择题必须使用 米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔记清楚。 出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 定后必须用 黑色字迹的签字笔描黑。 要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第卷（选择题共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .） z 满足 12z i i （ i 是虚数单位），则 z （ ） A. 2 D. 5 2. 2l g 3 4A x y x x ， 212 xB y y ，则 （ ） A. 0,2 B. 1,2 C. 2,4 D. 4,0 是偶函数，又在区间 0, 单调递减的函数是（ ） A. 3 B. C. D. 2 若 12 4a ， 18 8a ，则 36a 为（ ） ,2 ，且 2 c o s 2 c o s 4，则 的值为（ ） B. 18 D. 78 源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术”，执行该程序框图时，若输入 a ， b 分别为 18,27，则输出的 a （ ） 第 6 题 该几何体的体积为（ ） 第 7 题 男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，则 3 位男生中有且只有 2 位男生相邻的概率为（ ） D. 310 B ， C ，点 M 满足 1A M t A B t A C ，若 3，则 t 的值为（ ） A. 32 B. 21 C. 312 D. 312 C 与双曲线 2C 具有相同的焦点， 1 ,0， 2 ,0 P 为 1C 与 2C 在第一象限的交点， 1 1 2 F 且 2 5，若椭圆 1C 的离心率 1 32,53e ，则双曲线的离心率 2e 的范围是（ ） A. 35,23 B. 5,23 C. 2,3 D. 3,32 中，底面 满足 C ， 2， P 在面 射影为 中点，且该三棱锥的体积为 92 ，当其外接球的表面积最小时， P 到面 距离为（ ） 2. 设 函 数 x x x m ， 若 曲 线 11c o 上 存 在 00, 使 得 00f f y y 成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A. 20, 1 B. 20, 1 C. 20, 1 D. 20, 1 第卷（非选择题共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分 3 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22 题、第 23 题为选考题，考生根据要求作答 . 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分） . 0 人，女教师 100 人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取 x 人参加教师代表大会，若抽到男教师 12 人，则 x _. A 、 C 为射线 的两点，点 B 、 D 为射线 的两点，则有S C （其中、 分别为 、 的面积）；空间中，点 A 、 C 为射线 的两点，点 B 、 D 为射 线 的两点，点 E 、 F 为射线 的两点，则有P _（其中P 、 分别为四面体 P 、 P 的体积） . 足 2 4 c o s na n n n ，则 前 50 项的和为 _. 2: 2 5C x y，过点 2,3M 作直线 l 交圆 C 于 A ， B 两点，分别过 A ， B 两点作圆的切线，当两条切线相交于点 N 时，则点 N 的轨迹方程为 _. 三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .） 17.（本小题满分 12 分） 已知 0 3x 是函数 s i n c o s 0f x m x x m 的一条对称轴，且 （）求 m 值和 （）设角 A ， B ， C 为 的三个内角，对应边分 别为 a ， b ， c ，若 2， 3b ，求 2的 取值范围 . 18.（本小题满分 12 分） 我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 x （吨），一位居民的月用水量不超过 x 的部分按平价收费，超过 x 的部分按议价收费 过抽样，获得了 某年 100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照 0, ， ， 4,成 9组，制成了如图所示的频率分布直方图 . （）求直方图中 a 的值； （）若将频率视为概率，从该城市居民中随机抽取 3 人，记这 3 人中月均用水量不低于 3吨的人数为 X ，求 X 的分布列与数学期望 . （）若该市政府希望使 85%的居民每月的用水量不超过标准 x （吨），估计 x 的值（精确到 并说明理由 . 19.（本小题满分 12 分） 如图，在棱台 中， 与 分别是棱长为 1 与 2 的正三角形，平面 面 四 边 形 直 角 梯 形 ， D ， 1， N 为 点， ,0A M A F R . （） 为何值时， 平面 （）在（）的条件下，求直线 平面 成角的正弦值 . 20.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22: 1 0a 的右焦点为 F ，过椭圆 C 中心的弦 为 2，且90 ， 的面积为 1. （）求椭圆 C 的方程； （）设 1A 、 2A 分别为椭圆 C 的左、右顶点， S 为直线 22x 上一动点，直线 1椭圆C 于点 M ，直线 2 ，设 1S 、 2S 分别为 12、 的面积，求 12最大值 . 21.（本小题满分 12 分） 已知 2 x e x a . （）当 1a 时， 0,1 处的切线方程；当 0x 时 ，求证： 21f x x x . （）若存在 0 0,x ，使得 20 0 02 l nf x x a x 成立，求实数 a 的取值范围 . 请从下面所给的 22、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按做的第一题计分 . 22.（本小题满分 10 分）选修 4标系与参数方程 已知极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴正半轴且单位长度相同的极坐标系中曲线1 :1C ，22 12:2 12 （ t 为参数） . （）求曲线 1C 上的点到电线 2C 距离的最小值； （）若把 1C 上各点的横坐标都扩大原来为原来的 2 倍，纵坐标扩大原来的 3 倍，得到曲线 1C 1,1P ，曲线 2C 与 1C 交于 A ， B 两点，求 B . 23.（本小题满分 10 分）选修 4等式选讲 已知 x ， . （）若 x ， y 满足 13 2 ， 12 6 ，求证： 310x ； （）求证： 4 4 3 31 6 2 8x y x y x y . 三模理科数学答案 一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D B C B A C C C B D 二、 填空题 14. B D 15. 1375 2 5 0 三、解答题 17解（ 1） 2( ) s i n c o s 1 s i nf x m x x m x 2 2T 0 3x 为对称轴，所以 2=32k 11t a n 363 ( ) 3 s i n 2 c o s 2 2 s i n 2 6f x x x x 令 2 2 22 6 2 6 3k x k k x k 所以 ()63 （ 2） ( ) 2 s i n 2 2 26 6 2 3f B B B B 由正弦定理 22s i n s i n s i nb a A C 得 332 s i n s i n ( ) s i n c o s 3 s i n ( )2 3 2 2 6 A A A A 230 , , , 33 6 6 2 2 2 a 18解： （ 1） 0 . 0 6 2 0 . 1 8 2 0 . 4 2 0 . 5 2 0 . 1 1 0 . 0 3 0 . 5 1a （ 2）依题意从该城市居民中抽取用水量不低于 3 吨的概率为 0 . 1 1 0 . 0 6 0 . 0 3 0 . 5 0 . 1 3, 0 33 0 . 1 ( 1 0 . 1 ) ( 0 , 1, 2 , 3 )k k k C k X 0 1 2 3 P 0 （ 3）月用水量超过 3 吨的居民占 10% ，所以 53 0 . 3 1100x （元） 19解： （ 1）当 12，即 M 为 点时 /面 取 点 P ，连 ,N / / / /A C A B M A C M P A B P A B C 平 面平 面平 面 / / / /B C A B P D B C N P A B N B A B C 平 面平 面平 面 所以，平面 /面 /A B C M N A B C 平 面 （ 2）取 点 O ，连 ,A B C B C D A B C A O B C D O A B C 平 面 平 面平 面平 面， 1/2/O C B C E D O E C B E B C 以 ,C x 轴， y 轴， z 轴，建立直角坐标系 1 1 3( 0 , 0 , 3 ) , 0 , 1 , 0 , 1 , 0 , 0 , 0 , ,2 2 2A C E E F B A ，所以 1 3 1 1 3 3 1 11 , , , , , , , , 02 2 2 4 4 2 2F M N 设 ,n x y z 为平面 法向量，则 3 00 229 3 , 3 3 , 1330 044x N n B N n M N z 46c o s ,1897A N n 所以，直线 平面 正弦值为 461897 20解： （ 1）弦 椭圆中心，且2，所以 1 12c O F P Q ， 不妨设 0 0 0 0, , 0P x y x y ， 所以0 0 01 2 1 0 12 F y y x b 所以椭圆方程为2 2 12x y （ 2）设直线132:2A S x ，代入2222中， 得221 8 1 2( 2 ) 0 ，解得1 26 9ty t 同理，设直线22:2A S x ，带入2222中， 得2224( 2 ) 0 ，解得2 22 1ty t 122212 91|33A S A S A M S N t t 22222( 9 ) ( 3 3 )2 14( 3 ) 3 3 当且仅当 229 3 3 ，即 3t 时取“ =” 21（ 1） 1a 时，2( ) l n ( 1 )xf x e x ，2 1( ) 2 1xf x e x (0) 1f ，1( 0 ) 2 31f ，所以 ()0,1) 处的切线方程为 31 设 22( ) l n ( 1 ) 1 0xF x e x x x x 2 1( ) 2 2 1 11xF x e 2 2 2 222) 4 2 2 1 0( 1 ) ( 1 )x x x xF x e e e 所以， 0, 上递增，所以 ( ) ( 0 ) 0F x F 所以， 0, 上递增，所以 ( ) ( 0 ) 0F x F （ 2）原问题0 0x 使得02 200l n ( ) 0xe x a x 设22( ) l n ( )xu x e x a x 2 1( ) 2 2xu x e 2 21( ) 4 2 0xu x e （ ） () 在 0, ) 单调增 1( ) ( 0 ) 2u x u a 1 当12a时，1( 0 ) 2 0u a ()在 0, ) 单调增， m i n( ) ( 0 ) 1 l n 0u x u a 2 当12a时，1l n ( ) l n ( )2x a x 设11( ) l n ( ) , ( 0 )22h x x x x 11 2( ) 11122 另11( ) 0 , ( ) 0 022h x x h x x ()在 1(0, )2单调递减，在1( , )2 单调递增 1( ) ( ) 02h x h 设22 1( ) ( ) , ( 0 )2xg x e x x x 2( ) 2 2 1xg x e x 2( ) 4 2 4 2 0xg x e () 在 (0, ) 单调递增( ) ( 0 ) 1 0g x g ()在 (0, ) 单调递增 ( ) ( 0 ) 0g x g 22 11l n ( ) l n ( )22xe x x x x a 当12a时，2( ) 2 l n ( )f x x a x 恒成立，不合题意 22 （ 1）221 :1C x y，圆心为 (0,0) ，半径为 1 ； 2 :2C y x 圆心到直线距离 | 2 |