云南省昭通市2017届高三复习备考第二次统一检测理科数学试题含答案

机密 启用前 【考试时间： 2017 年 5 月 11 日 15:00 17:00】 昭通市 2017 届高三复习备考 第二次 统一检测 理 科 数 学 试 卷 注意事项： 1本试卷分第 I 卷（选择题）和第 （非选择题）两部分。答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。 2 回答第 时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分 。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已 知集合 2 1 , 3xA x B x x ，则 （ ） A 3,0 B 3,3 C 0,3 D 0, （ 2 ）若复数 12i （ i 是虚数单位）为纯虚数，则实数 a 的值为 （ ） A 2 B 12C 12D 2 （ 3） 高三某班有学生 56 人，现将所有同学随机编号并用系统抽样 的方法，抽取一个容量为4 的样本 ， 已知 5 号， 33 号， 47 号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 （ ） A 13 B 17 C 19 D 21 （ 4） 在等差数列 15, 6 1 0 0 的根，则17 （ ） A. 41 B 51 C. 61 D 68 （ 5） 将三角函数 s i n 26向左平移6个单位后，得到的函数解析式为 （ ） A 6x B 3x C D 图 1 （ 6 ） 已知实数 2211 311l o g 3 , + , l o g 30a b x d x ，则 , （ ） A B. a c b C c a b D. c b a （ 7）给出下列两个命题：命题 p :若在边长为 1 的正方形 任取一点 M，则 1概率为4 q ：若函数 4 , 1 , 2f x x ，则 . 则下列命题为真命题的是： （ ） A B p C D （ 8） 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于 “ 松竹并生 ” 的问题：松长五尺 ,竹长两尺 ,松日自半 ,竹日自倍，松竹何日而长等 是源于其思想的一个程序框图，若输入的 a,b 分别为 5， 2，则输出的 n 等于 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 （ 9）若 ,2 2 00 ， 当 2n x y 取最大值时， 2 的 常数项为 （ ） A 240 B 240 C 60 D 16 （ 10） 如图 2 所示 ，网格纸上小正方形的边长为 1， 粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的表面积为 （ ） A 2 + 2 + 3（ 1） B. 2 + 2 2 + 3（ 1） 6 2（ 1） （ 11） 已知双曲线 221 : 1 0 , 0a 的左顶点为 M ，抛物线22 :2C y a x 的焦点为 F ，若在曲线 1C 的渐近线上存在点 P 使得 F ，则双曲线1 （ ） A 1,2B 321,4 C 1, D 32,24（ 12） 若函数 () 上， a ， b ， ， () () ()可 为一个三角形的三边长，则称函数 ()角形函数”已知函 数 ( ) x x x m在区间图 2 21,上是“三角形函数”，则实数 m 的取值范围为 （ ） A 212( , ) 2( , )e C 1( , )e D 2 2( , )第 （非选择题，共 90 分） 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题 第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22 题第 23 题为选考题，考生根据要求作答。 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13） 已知 向量 , , 2 , 3 ,6 ，则 2a b a . （ 14） 已知抛物线 2 6上的一点到焦点的距离是到 y 轴距离的 2 倍，则该点的横坐标为 . （ 15） 已知 中， 4 , 2 7 , ,3A C B C B A C A D B C 交 D ，则 长为 . （ 16） 在棱长为 1 的正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， C O ,M 是线段1 M 做平面1 1 1于点 N ，则点 N 到点 A 的距离最小值是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （ 17）（ 本小题满分 12 分） 已知公差不为零的等差数列 n 项和为10 110S ,且1 2 4,a a （ ） 求数列 （ ） 设数列 111n ，若数列 n 项和明 12 .（ 18）（ 本小题满分 12 分） 某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用 A、 B、 C 三种人工降雨方式分别对甲，乙，丙三地实施人 工降雨，其实验统计结果如下 方式 实施地点 大雨 中雨 小雨 模拟实验次数 A 甲 2 次 6 次 4 次 12 次 B 乙 3 次 6 次 3 次 12 次 C 丙 2 次 2 次 8 次 12 次 F 2O 、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，且不考虑洪涝灾害，请根据统计数据： （ ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率； （ ）考虑不同地区的干旱程度，当雨量达到理想状态时，能缓解旱情，若甲、丙地需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，记“甲，乙，丙三地中缓解旱情的个数”为随机变量 X，求 X 的分布列和数学期望 . （ 19）（本小题满分 12 分） 已 知 四 棱 锥 S 的 底 面 为 平 行 四 边 形 ， 且22S D A B C D A B A D S D 面 ，, 60, , 平面 别与线段 ,B 相交于点 ,（ ） 在图中作出平面 使 面 不要求证明）； （ 若 B ，是否存在实数 ，使二面角 M 的平面角大小为 60 ？若存在，求出的 值，若不存 在，请说明理由 . （ 20） (本小题满分 12 分 ) 如图，椭圆 E 的左右顶点分别为 A、 B,左右焦点分别为1F 、 2F,124 , 2 3A B F F,直线 0y k x m k 交椭圆于 C、 D 两点，与线段 12椭圆短轴分别交于 两点（ 不重合 ） ,且 N . （ ）求 椭圆 E 的离心率 ； （ ） 若 0m ，设直线 C、 的斜率分别为12求12取值范围 . （ 21） (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) l n ,f x x a x a R . （ ） 研究 函数 () ； （ ） 设函数 () 2x，且12.（ 1）求 a 的取值范围； （ 2）求证： 212x x e 2、 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 22）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐 标系中，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系，直线 l 的极坐标方程为2c o ，曲线 C 的参数方程为 5 ，（ 为参数） . （ ） 求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程 ； （ ） 曲线 C 交 x 轴于 两点，且点 P 为直线 l 上的动点，求 周长的最小值 . （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4不等式选讲 设函数 4f x x （ ） 若 22y f x a f x a 最小值为 4 ，求 a 的值； （ ） 求不等式 112f x x的解集 . 昭通市 2017 届高三复习备考 第二次 统一检测 理 科 数 学 （参考解答） 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A C B D D C C A B B D 【 6】解题思路： 2 2 2l o g 2 l o g 3 l o g 4 2 1, 2a ， 11333 1 1l n 2 2 , 3 , l o g l o g 32 3 0 2 7 ，故选 D 【 7】 解题思路： 易知 命题 p 为 真命题，命题 q 为 假命题，故选择 C. 【 8】 解题思路： 由程序框图可知：输入 5, 2时，1 5 4 5, 4 , 4 , 2 ; , 8 , 8 , 3 ;24a b a n a b a n 1 3 5 4 0 5, 1 6 , 1 6 , 4 ; , 3 2 , 3 2 ;8 1 6a b a n a b a 输出 4n ，选择 C 【 9】 解题思路： 由可行域可知，目标函数 2n x y在点 2,2A 处取得最大值， 此时 n=6 由 62的二项展开式的通项公式 36 2161 2 ,rr x 当 r=6 时，其常数项为 240 【 10】 解题思路： 该 几何体是棱长为 2 的 面积为 2，1 1 1A B C A C C、的面积 均为 22，11 面积为 23 2 = 2 34 （ 2），故该四面体的表面积为 2 + 4 2 + 2 3 ， 故选 B. D 1A 111】 解题思路： 在曲线1 使得 F ，即以 直径的圆与渐近线有交点， ,0 , 0 ,24， 圆心 3 ,04，由点 N 到渐近线的距离小于等于半径，即 3， 解得 321,4e 。 【 12】 解题思路 :根据 “三角形函数 ”的定义可知，若 上的 “三角形函数 ”，则 上的最大值 M 和最小值 m 应满足 2，由 0f x x 可得 1x e ，所以 上单调递减，在 1,上单调递增， m i n m a f x f m f x f e m 所以 12e m m e ，解得 m 的取值范围为 2 2 , ，故选 D 二、填空题 13 10 14. 3215. 6 217 16. 62 【 15】 解题思路： 由余弦定理可推得 21 6 2 81 62 2 4 ,由等面积法 11s i 2 B A C B C A D解得 6 217 【 16】 解题思路： 连结 11易知面 1 面 11而 1M N ，即 1 O ， 面 11，且点 N 的轨迹是线段 11连结 1易知 11等边三角形，则当 N 为 11点时， 离最小，易知最小值为 62 三、解答题 【 17】解析： （ ） 由题意知： 222 1 4 1 1 110 13110 1 0 4 5 1 1 0a a a a d a a dS 2 分 解 1 2，故数列2； （ ） 由 （ ）可知 1 1 1 12 1 2 1 2 2 1 2 1nb n n n n ， 8 分 则 1 1 1 1 1 1 1. 3 3 5 2 1 2 1nT 1 1 112 2 1 2n 【 18】解析： （ ）设事件 M： “甲、乙、丙三地都恰为中雨 ”，则 1 1 1 12 2 6 2 4 . （ ）设事件 A、 B、 C 分别表示 “甲、乙、丙三地能缓解旱情 ”，则由题知 2 1 1,343P A P B P C ,. 且 X 的可能取值为 0,1,2,3 10 6P X P A B C 171 36P X P A B C P A B C P A B C 112 36P X P A B C P A B C P A B C 13 18P X P A B C . 分布列如下： X 0 1 2 3 6 1736 1136 118 1 7 2 2 6 53 6 4. 【 19】解析： （ ）如图， Q 是 中点（若 作成虚线，扣两分） 4 分 （ ）在 ， 2 = 4 , 6 0A B A D D C B 设 ,所以由余弦定理求得23,有 2 2 2A B A D B D，所以D ， 以 D 为原点，直线 x 轴，直线 y 轴，直线 z 轴建立空间直角坐标系， 且 2 , 0 , 0 , 0 , 2 3 , 0 , 0 , 0 , 2 , 0 , 3 , 1A B S M， 又 B ，设 ,Q x y z ，则 2 , , 2 , 2 3 , 0x y z 即 2 2 , 2 3 , 0Q 7分 设平面的法向量为 ,n x y z 由 00n Q 得 0 , 1 , 3 2 1n ， 9 分 易知面 法向量为 0, 0,1m 要使二面角 M 为 60 ，则有 23 2 11c o s 6 02 1 3 2 1 解得1233或 由图可知，要使二面角 M 为 60 ，则13 12 分 【 20】解析： （ ）由124 , 2 3A B F F，可知 2, 3即椭圆方程为2 2 14x y. 离心率为32e . （ ）设 1 1 2 2, , ,D x y C x 2 , 0 , 2 , 0 , 0 , , , 0 N m M k 由2244y kx 消去 y 整理得： 2 2 21 4 8 4 4 0k x k m x m 由 2 2 2 20 4 1 0 4 1k m m k 即 ，21 2 1 2228 4 4,1 4 1 4k m mx x x . 且 N 即 D 可知12 k ，即2814km ，解得12k 2212 222 21 2 1 2 1 2 1 21222222 1 2 1 2 1 22114 22 2 2 4 2 144 2 2 4 2 12 24x xy x x x x x x xk x x x x x x x 由 题知，点 M、 横坐标 1,有 23m 易知 30,2m 满足 2 2m 即1212111k mk m m ，则 121, 7 4 3 . 【 21】解析： （ ） 0, ， 1 a x . 若 0a ，则 0 恒成立， 0, 单调递增函数。 若 0a ，令 0 解得 ， 则 0,a 单调递减，在 ,a 单调递增； （ ）因为 知 0 l n 0a a a a a 6 分 且120 x a x ，要证 212x x e，即证12ln 12 1 2 2 12 2 2xx x x a x a 由于1,12a x a，即证 2 1 1 122f x f a x f x f a x . 设 2g x f x f a x ， 0,，只需证