湖北省襄阳市2017届高三第一次适应性考试（5月）数学试卷（理）含答案

2017 届襄阳五中高三年级第一次适应性考试 数学（理科） 试 题 命题人：涂圣义 审题人：肖计雄 张华齐 一、选择题（每题 5 分，满分 60 分，将答案填在答题纸上） 1 设全集 U R，集合 2 | 2 3 0 | 1 0 A x x x B x x ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. | 1 或 3x B. | 1或 3x C. | 1 D. | 1 2 已知 i 是虚数单位， ( )11 2 1 3i z i+ = - +， ( )102 11+ +，1z、2 、 B ，则 （ ） A 31 B 33 C 31 D 33 3 “ 0m ” 是 “方程 221x 表示双曲线 ”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 下列命题中的假命题是（ ） A. . 5B. ( , 0 ) , 1xx e x C. 21321 3)21(3lo g D. 5 李冶（ 1192，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中益古演段主要研究平面图 形问题：求圆的直径、正方形的边长等 有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为 ，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注： 240 平方步为 1 亩，圆周率按 3 近似计算）（ ） A 10 步， 50 步 B 20 步， 60 步 C 30 步， 70 步 D 40 步，80 步 6 已知 ， 均为锐角，且 s 2 s ，则（ ） A t a n 3 t a n B t a n 2 t a n C 3 t a n t a n D 3 t a n 2 t a n 7 如图，网格纸上正方形小格的边长为 1，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A B C D 4 D C B A 8 已知向量 3,1， 1, 3 ， ( 0 , 0 )O C m O A n O B m n ，若 1, 2 ，则 取值范围是（ ） A 5, 2 5 B 5, 2 10 C 5, 10 D 5, 2 10 9 六名大四学生 (其中 4 名男生、 2 名女生 )被安排到 A， B， C 三所学校实习，每所学校 2人，且 2 名女生不能到同一学校，也不能到 C 学校，男生甲不能到 A 学校，则不同的安排方法为 ( ) A 24 B 36 C 16 D 18 10 如图，在 中， ， ，点 为 的中点，将 沿折起到 的位置，使 ，连接 ，得到三棱锥 该球的表面积是（ ） A. B. C. D. 11 已知圆 O 的半径为定长 r ，点 A 是平面内一定点（不与 O 重合）， P 是圆 O 上任意一点，线段 垂直平分线 l 和直线 交于点 Q，当点 P 在圆上运动时，点 椭圆， 双曲线， 抛物线， 直线， 点 A. B. C. D. 12 设函数 xe x， 2 2g x x x， 22 s i x x，若对任意的 ，都有 2h x f x k g x 成立，则实数 k 的取值范围是 A 1,1e B 12, 3e C 12,e D 11,e 二、填空题（ 每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 已知实数 满足320423023数 223 的最小值为 14 若 332a x x d x，则在31 的展开式中， x 的幂指数不是整数的项共有 项。 15 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件 A 为 “蓝色骰子的点数为 3 或 6”，事件 B 为 “两颗骰子 的点数之和大于 8”当已知蓝色骰子的点数为 3 或 6 时，则两颗骰子的点数之和大于 8的概率为 _ 16 对 于 正 整 数 n ，设 于 x 的方程 3 20nx x n 的 实 数 根 ， 记 12n x n ，其中 x 表示不超过实数 x 的最大整数，则 2 3 2 0 1 511007 a a a . 三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ) 17 (本题满分 12 分 ) 在 中， D 是 点，已知 90B A D C o. （ 1）判断 的形状； （ 2）若 的三边长是连续三个正整数，求 的余弦值。 18 (本题满分 12 分 )随着社会发展，襄阳市在一天的上下班时段也出现了堵车严重的现象。交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念记交通指数为 T，其范围为 0， 10，分别有 5 个级别： T 0， 2)畅通； T 2， 4)基本畅通； T 4， 6)轻度拥堵； T 6， 8)中度拥堵； T 8， 10严重拥堵早高峰时段 (T3 )，从襄阳市交通指挥 中心随机选取了一至四马路之间 50 个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示： （ I） 据此直方图估算交通指数的中位数和平均数； （ 此直方图求出早高峰一至四马路之间的 3 个路段至少有 2 个严重拥堵的概率是多少？ （ 人上班路上所用时间若畅通时为 20 分钟，基本畅通为 30 分钟，轻度拥堵为35 分钟，中度拥堵为 45 分钟，严重拥堵为 60 分钟，求此人用时间的数学期望 19 (本题满分 12 分 )如图，在 中， C 为直角， 4C沿 的中位线 将平面 起，使得 90，得到四棱锥 A （ ）求证： 平面 （ ）求 三棱锥 E 的体积； （ ） M 是棱 中点，过 M 做平面 与平面 行，设平面 截四棱锥A 所得截面面积为 S ，试求 S 的值 20 (本题满分 12 分 )已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左、右焦点分别为1( ，、2(10)F ，过1l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点，且 22. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）过点 (40)， 作与直线 l 平行的直线 m，且直线 m 与抛物线 2 4交于 P、 Q 两点，若 A、 P 在 x 轴上方，直线 直线 交于 x 轴上一点 M，求直线 l 的方程 . 21 (本题满分 12 分 )设函数 . （ 1）若函数 的图象与直线 相切，求 的值； （ 2）当 时，求证：)2)(1( 1)1 1 . 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做 ，则按所做的第一题记分。 22 选修 4标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度已知直线 l 的参数方程是22232 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程是2c o s 2 s i n （ 1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A ， B 两点，点 M 为 中点，点 P 的极坐标为( 2, )4 ，求 |值 23 选修 45 ：不等式选讲 . 设函数 12f x x a （ ，实数 0a ） . （ 1）若 502f ，求实数 a 的取值范围； （ 2）求证： 2 . 数学（理科）参考答案 341314 15 15 51216 2017 I）设 ,B A D D A C 则由 90C 90B 中，由正弦定理得 s i n,.s i n s i n s i A D B A D即 同理得 2分 ,CQ , BC s 9 0 , 9 0 , Q s i n c o s s i n c o B B 4分 即 s s ,因为 0,、 90B C B C 或 6分 是等腰三角形或直角三角形。 7分 （ 90 时， 1 ,2A D B C D C与 的三边长是 连续三个正整数矛盾， ， 是等腰三角形。 8分 在直角三角形 两直角边分别为 ,1,1, 边为 由 222 )1()1( n=4， 10 分 由余弦定理或二倍角公式得 257c 12 分 18解析： (1)由直方图知： T4 ， 8)时交通指数的 中位数在 T5 ， 6)，且为 5 1 T4 ， 8)时交通指数的平均数为： 2分 4分 (2)设事件 1 条路段严重拥堵 ” ，则 P(A) 则 3条路段中至少有 2 条路段严重拥堵的概率为： P )2(1 ) )3 ， 所以 3条路段中至少有 2条路段严重拥堵的概率为 . 8分 (3)由题意，所用时间 X 30 35 45 60 P E(X) 30 35 45 60 所以此人上班路上所用时间的数学期望是 12分 19 （ ）证明：因为 /C ，且 90C ， 所以 D ，同时 C ， 又 C D，所以 面 又因为 /C ，所以 平面 4 分 （ ）由（ ）可知： 平面 又 平面 所以 C ， 又因为 90，所以 C 又因为 C C，所以 平面 所以 ， 13E A B C A E B C E B S A D 依题意， 11 4 2 422 C C D 所以， 184233E A B 8分 （ ）分别取 ,A 中点 ,N 并连接 , , ,M N N P P Q Q M， 因为平面 / 平面 所以平面 与平面 交线平行于 因为 M 是中点，所以平面 与平面 交线是 的中位线 同理可证，四边形 平面 截四棱锥 A 的截面 即： 由（ ）可知： 平面 所以 C ， 又 /C ， /C N 四边形 直角梯形 在 中， D 2 22 1 22M N A C， 1 12N P D E， 1 32M Q B C D E 11 3 2 2 22S 12 分 20解析：（ 1）依题意， 4 4 2a ， 221 所以 2a ， 2211 故椭圆 2 12x y 4分 （ 2）设1 1 2 2 3 3 4 4( ) ( ) ( ) ( )A x y B x y P x y Q x y， ， ， ， ， ， ，直线 1x ，直线 x 依题意得1 1 1| | | | | | | | | | |A F M F B M N Q N则1234| | | | | | |，可得 1324，令 1324( 0 ) ， 6分 由 22112x y 消去 x，得 22( 2 ) 2 1 0t y ， 则 12 212 22212 ，把12代入，整理，得 222(1 ) 4- 2 由244x 消去 x，得 2 4 1 6 0y ， 则 3434416y y ，把34代入，整理，得 2 2(1 ) 10 分 由消去 ，得 2 224 2t ，解得 0t 或 2t 或 2t 故直线 1x 或 2 1 0 或 2 1 0 12 分 21 解析：（ 1） ，设切点为 ， 则切线为 ，即 ， 2分 又切线为 ，所以 ， 消 ，得 ，设 ， 易得 为减函数，且 ，所以 4分 （ 2）令 ，所以 ， 当 时， ，函数 在 为单调递增； 当 时， ，函数 在 为单调递减； 所以 ， 6分 当 时，即 时， ， 即 ，故 时， 在 上单调递增， 所以 时， ，即 ，所以 ， 8分 因为 ，所以 ， 所以 ，即 ， 10 分 + 得： ， 故当 时， . 12 分 22解析：（ 1）因为直线的参数方程是22232 （ t 为参数 ），消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 30 2分 由曲线 C 的极坐标方程 2c o s 2 s i n ， 得 22c o s 2 s i n 所以曲线 C 的直角坐标方程 为 2 2 5分 （ 2）由23,2,得 2 2 6 0 ， 设 11( , )A x y ， 22( , )B x y ， 则 中点 1 2 1 2( , )22x x y ， 因为 122，