七年级数学思维探究（七）怎样设元（含答案）

李善兰（ 1811晚清中国杰出的数学家，在西方传教士的 帮助下，翻译了大量科学著作，如几何原本后九卷、代数学等 不仅向中国学者介绍了西方数学 知识，还创立了许多型概念 、新名词、新符号，如代数学、方程式、函数、微分等 除翻译西方名著外，李善兰也有多种自己的著作，如方圆阐幽、对数探源、弧矢 启密 等，为中国数学的发展作出了卓越的贡献 7 怎样设元 解读课标 荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔说： “与其说学习数学，倒不如说学习 “数学化 ”方程就是将众多实际问题 “数学化 ”的一个重要模型 在运用一元一次方程解决实际问题的过程中，设立未知数是首要环节，不同的设法列出的方程有的简单，有的复杂，故在设未知数时需有所选择，设元的基本方法有： 1 直接设元 即问什么设什么 2 间接设元 即所设的不是所求的，需要将要求的量以外的其他量设为未知数，便于找出符合题意的等量关系 3 辅助设元 有些应用题隐含一些未知的常量，若不指明这些量的存在，则难求其解，故需把这些未知的常量设出未知数，作为桥梁帮助分析 4 整体设元 若在未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为 一个未知数，从而减少设元的个数 问题解决 例 1 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由 6 个不同颜色的正方形组成，已知中间最小的一个正方形的边长为 1，那么这个长方形色块图的面积为 _ 试一试 要求长方形的面积需求出各正方形的边长，为便于求出长方形长与宽，故不宜直接设元，由于6 个正方形边长有一定的依存关系，所以，可以从间接设 某个正方形边长入手 例 2 植树节时，某班平均每人植树 6 棵 如果只由女同学完成，每人应植树 15棵；如果只由男同学完成，每人应植树 （ ） 棵 A 9 B 10 C 12 D 14 试一试 略 例 3 某音乐厅月初决定在暑假期间举办学生专场音乐会，入场券分为团体票和零售票，其中团体票占总票数的 23，若提前购票，则给予不同程度的优惠，在五月份内，团体 票 每张 12元，共售出团体票数的 35；零售票每张 16元，共售出零售票数的一半，如果在六月份内，团体票按每张 16元出售，并计划在六月份内售出全部余票，那么零售票应按每张多少元定价才能使这两个月的票款收入持平？ 试一试票款与票数、票价有关，既要用字母表示六月份零售价，又要用字母表示总票数 例 4 某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款： 投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁 5 年， 5 年期满后由开发商以比原商铺标价高 20% 的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中作出选择： 方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可获得的租金为商铺标价的 10% 方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款， 2 年后每年可获得的租金为商铺标价的 10% ，但要缴纳 租金的 10% 作为管理费用 （ 1） 请问：投资者选择哪种购铺方案， 5 年后所获得的投资收益率更高？为什么 ？ （注： 100%投 资 收 益投 资 收 益 率实 际 投 资 额） （ 2） 对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么 5 年 后两人获得的收益将相差 5 万元 问：甲、乙两人各投资了多少万元？ 试一试 在阅读理解的基础上通过设元解决问题 某车站在检票前若干分钟就开始排队，排队的人数按一定的速度增加 如果开放一个检票口，则要 20 分钟检票口前的队伍才消失；如果同时开放两个检票口，则 8 分钟队伍就消失 设检票的速度是一定的，问同时开放三个检票口，队伍要几分钟就消失？ 分析与解 未知量有以下几个：检票开始时，等候检票的队伍人数；每个检票口每分钟检票的人数；队伍每分钟增加的人数，只有指明这些量，才能表示等量关系 设检票开始时，等候检票的队伍有 a 人，每个检票口每分钟检票 x 人，队伍每分钟增加 y 人，则 20 ， 82 ，消去 a ，得 2 0 8 2x y x y ， 3 故同时开放三个检票口，等候检票的队伍消失的时间是： 2 0 2 0 3 2 0 2 53 3 3 3 8x y y y x y y y （分钟） 纪念大师 例 6 瑞士数学家欧拉 （ L 1707 是历史上最多产的数 学家，据 统计他一共写了 886本（ 篇 ） 书籍和论文 著名数学家拉普拉斯说过： “读读 欧拉，他是我们所有人的导师 ”是啊，欧拉在数学上的贡献实在太多了，即使在初等数学中也到处可见他的身影，下面问题是欧拉的数学名著代数基础中的一个问题 有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样分他的财产：第一个儿子 分得 100克朗和剩下财产的 十 分之一；第二个儿子分得 200 克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得 300克朗和剩下财产的十分之一 按这种方式一直分下去，最后每一个儿子所得财产一样多 问这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？这位父亲共留下多少财产 ？ 分析 根据设未知数和思路的不同，可得多种解法 解法 1 设有 x 个儿子，则最后一个儿子分得 100x 克朗，倒数第二个儿子先得到 100 1x 克朗，又得到“余下的 110”，即留给最后一个儿子的是余下的 910，故这个 “余下的 110”也是最后一个儿子钱数的 19 由最后两个儿子分得钱数相等，得方程 1001 0 0 1 1 0 09 ， 解得 9x 所以这位父亲共有 9 个儿子，每人分得财产 100 900x （克朗），留下 900 9 8100 （ 克朗 ）财产 解法 2 设每个孩子分得的财产是 x ，总的财产是 y ，则根据题意， 第一个孩子分得的财产是： 10010010， 第二个孩子分得的财产是： 20020010， 第三个孩子分得的财产是： 2 3 0 030010， 依此类推，可以看出，老大与老二（老二与老三，老三与老四等都一样）的差额是 10010010x 根据题意，这个差数应当是 0 ，于是得出一元一次方程： 1001 0 0 010x 解之，得 900x ，于是 8100y 经过验证，每个孩子确实都分得 900元，即第二、三、四 个方程都满足 8100 900 9（个） 所以这位父亲有 9 个孩子，他共有财产 8100克朗，每人分到 900克 朗 数学冲浪 知识技能广场 1 古希腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有 4 个数，把其中每 3 个相加，其和分别为 22 ， 24 ， 27 ， 20 ，则这四个数分别是 _ 2 一个六位数 2 3 倍等于 9 则这个六位数等于 _ 3 10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报 3 的人心里想的数是 _ 4 学友书店推出售书优惠方案： 一次性购书不超过 100元，不享受优惠； 一次性购书超过 100元但不超过 200 元，一律打九折； 一次性购书超过 200 元， 一 律打八折 如果小明一次性购书付款 162元，那么小明所购书的原价一定为 （ ） 元 A 180 B C 180或 D 180或 200 5 一 件服装标价 200 元，若以 6 折销售，仍可获利 20% ，则这件服装的进价 是 （ ） A 100元 B 105元 C 108元 D 118元 6 某种产品是由 A 种原料 x 千克、 B 种原料 y 千克混合而成，其中 A 种原料每千克 50 元， B 种原料每千克 40 元，后来调价， A 种原料价格上涨 10% ， B 种原料价格减少 15% ，经核算产品价格可保持不变，则 : ） A 23B 56C 65D 55347 陈老 师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说： “我买了两种书，共 105本，单价分别为 8 元和 12元，买书前我领了 1500元，现在还余 418元 ”王老师算了 一 下，说： “你肯定搞错了 ” （ 1） 王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释； （ 2） 陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于 10的整数，笔记本的单价可能为多少元？ 8 燃蜡时间问题（英国） 在伦敦的一个大雾天，一家商店的店主叫店员点燃两支长度相同的蜡烛，这两支蜡烛的一支可维持 4 个小 时，另一支可维持 5 小时 雾散后，店主来吹蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的 4倍，问蜡烛点燃了多长时间？ 9 体育文化用品商店购进篮球和排球共 20 个，进价和售价如下表，全部销售完后共获利润 260 元 篮球 排球 进价 /（元 /个） 80 50 售价 /（元 /个） 95 60 （ 1） 购进篮球和排球各多少个？ （ 2） 销售 6 个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？ 思维方法天地 10 某班全体学生进行了一 次篮球投篮练习，每人投球 10个，每投进一个球得 1分，得分的部分情况如表所示： 得分 0 1 2 8 9 10 人数 7 5 4 3 4 1 已知该班学生中，至少得 3 分的人的平均得分为 6 分，得分不到 8 分的人的平均得分为 3 分，那么该班学生有 _人 11 一轮船从甲地到乙地顺流行驶需 4 小时，从乙地到甲地逆流行驶需 6 小时，有一木筏由甲地漂流至乙地，需 _小时 12 下边算式中，每个汉字代表 1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知 “神 ” 3 ，那么被乘数是_ 13 从两块分别重 10千克和 15千克且含铜的百分比不同的合金 上各切下 重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余 的部 分 合 在一起，熔炼后两者 含铜的百分比恰好相等，则切下的一 块重量是（ ） A 5 千克 B 6 千克 C 7 千克 D 8 千克 14 某校初一、初二两个年级学生的人数相同，初三年级的学 生 人数是初 二 年级 学 生人数的 45，已知初一年级的男生人数与初二 年级的女 生 人数 相同，初三年级男生人数占三个年级男生人数的 14，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的比是 （ ） 神 州 五 号飞 天神 天飞号五州神 A 919B 1019C 1121D 102115 某商品原价为 a 元，春节促销， 降低 20% ，如果节后恢复到原价，则应将现售价提高 （ ） A 15% B 20% C 25% D 30% 16 将下表的方格中的 7 个方格填入不同的数字，使得每行 、每列、每条对角线上 的 3 个数宇之和都相等 问：表中左上角的数字是多少？ 2012 2010 17 某通讯公司推出了移动电话的两种计费方式（详情见下表） 月使用费 /元 主叫限定时间 /分 主叫超时费 /（元 /分） 被叫 方式一 58 150 免费 方式二 88 350 免费 温馨提示：若选用方式一，每月固定交费 5 元，当主动打出电话月累计时间不超过 150分，不再额外交费；当超过 150分，超过部分每分加收 设一个月内使用移动电话主叫的时间为 t 分（ t 为正整数），请根据表中提供的 信息回答下列问题： （ 1）用含有 t 的式填写下表： 150t 150 350t 350t 350t 方式一计费 /元 58 108 方式二计费 /元 88 88 88 （ 2） 当 t 为何值时，两种计费方式的费用相等 ； （ 3） 当 330 360t 时，你认为选用哪种计费方式省钱 （直接写出结果 即可 ） 18 为了改善城乡人民生产、生活环境，我市投入大量 资金，治理竹皮河污染，在城郊建立了一个综合性污水处理 厂 设库池中存有待 处 理的 污水 a 吨，又 从城区流入库池的污水按每小时 b 吨的固定流量增加 如果同时开动 2 台机组需 30 小时处理完污水，同时开动 4 台机组需工 10小时 处理 完污水 若要求在 5 小时内将污水处理完毕，那么要同时开动多少台机组 ？ 应用探究乐园 19 某农民在农贸市场卖鸡 甲先买了总数的一半又半只，然后乙买了剩下的一半 又半只，最后丙买了剩下的一半又半只，恰好买完 问该农民一共卖了多少只鸡？ 20 如图，长方形 长与宽的比相同，长方形 面积比是 8116，长方形 周长是 22 ，求长方形 面积 怎样设元 问题解决 例 1 143 设 C 、 D 的边长为 x ，则 E 、 F 、 B 的边长分别为 1x ， 2x ， 21x ，由题意得： 1 2 2 1x x x x ，解得 4x 例 2 同学分别有 x 、 y 人，则 15 6y x y， 32则只由男同学完成每人应植树 336 6 1 022x y x y y y 例 3 设总票数为 a 张，六月份零售票应按每张 x 元定价，由题意得 2 4 8 6 4 15 3 1 5 6a a a a x ，解得 元） 例 4 （ 1）设商铺标价为 x 万元，则按方案一购买，则可获投资收益 1 2 0 % 1 1 0 % 5 0 . 7x x x ， 投资收益率为 0 0 0 % 7 0 % 按方案二购买，则可获投资利益 10%12 1 1 0 % 3 0 . 60 % 0 . 8 5 2x x x 投资收益率为 0 . 6 2 1 0 0 % 7 2 . 9 %0 . 8 5 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高 （ 2）设甲投资了 x 万元，由题意得 ，解得 ， 甲投资了 元，乙投资了 元 数学冲浪 1 9 ， 7 ， 4 ， 11设四个数的和为 x 2 285713 3 2 提示：设报 3 的人心里想的数是 x ，报 5 的人心里想的数应是 8 x 于是，报 7 的人心里想的数是 1 2 8 4 ，报 9 的人心里想的数是 1 6 4 1 2 ，报 1的人心里想的数是 2 0 1 2 8 ，报 3 的人心里想的数是 4 8 4 ，由 4 ，得 2x 4 C 5 A 6 C 7（ 1）设单价为 8 元的课外书为 x 本，由 8 1 2 1 0 5 1 5 0 0 4 1 8 ，得 （不合题意），所以陈老师肯定搞错了 （ 2）设单价为 8 元的课外书为 y 本，笔记本的单价为 a 元，则 8 1 2 1 0 5 1 5 0 0 4 1 8y y a ，即178 4 ， 178a 应被 4 整除， 2a ， 4 ， 6 ， 8 ，经讨论 2a 或 6 8设蜡烛点燃了 x 小时，蜡烛的长度为 l 厘米，由 445x l x ，得 154x小时 9（ 1） 12个， 8 个 （ 2） 4 个 10 43 设共有 x 人，由 4 5 7 6 2 4 1 5 3 4 1 3 8 3 9 4 1 0 1 ，得 43x 11 24 12 307692 设 “神舟五号 ” A ， “飞天 ” B ，则 1003 1 0 0 0 0A B B A ， 23 769， 23 , 769 1 ，故 23， 769， n 为自然数， 24n ，得 4n ，从而 3076A ， 92B 13 B 设切下的每一块合金重 x 克， 10千克、 15千克的合金含铜的百分比分别为 a 、 b a b ，则 1 0 1 51 0 1 5a x b x b x a x ，整理得 6b a x b a 故 6x 14 C 设初一年级学生人数为 a ，男生人数为 b ，可求得初三年级男生人数为 13a，所求比为： 4 1 4 1 15 3 5 2 1a b b a a a a a 15 C 16 1 17（ 1）当 150 350t 时，方式一： ；当 350t 时，方式一： ；方式二： （ 2） 当 350t 时， 0 . 2 5 2 0 . 5 0 . 1 9 2 1 . 5 0 . 0 6 1 0t t t ， 当两种计费方式的费用相等时， t 的值在 150 350t 取得 列方程 8t ，解得 270t 当主叫时间为 270 分钟，两种计费方式的费用相等 （ 3）方式二 18设 1 台机组每小时处理污水 V 吨，要在 5 小时内处理污水，需开 x 台机组，则 3 0 2 3 01 0 4 1 055a b Va b Va b x V 由 、 得 30 代入 ，得 7x 19设该农民一共卖了 a 只鸡，则 1 1 12 2 4 4 8 8a ，解得 7a 20 设 AG x ， AF ，则 2AB m x ， 3BC m x ，可得 32m， 32BE x， 54BG x，由3 5 1 12 2 4 2x x x，得 4x ，长方形 面积为 7 怎样设元 问题解决 例 1 143 设 C 、 D 的边长为 x ，则 E 、 F 、 B 的边长分别为 1x ， 2x ， 21x ，由题意得： 1 2 2 1x x x x ，解得 4x 例 2 同学分别有 x 、 y 人，则 15 6y x y， 32则只由男同学完成每人应植树 336 6 1 022x y x y y y 例 3 设总票数为 a 张，六月份零售票应按每张 x 元定价，由题意得 2 4 8 6 4 15 3 1 5 6a a a a x ，解得 元） 例 4 （ 1）设商铺标价为 x 万元，则按方案一购买，则可获投资收益 1 2 0 % 1 1 0 % 5 0 . 7x x x ， 投资收益率为 0 0 0 % 7 0 % 按方案二购买，则可获投资利益 10%12 1 1 0 % 3 0 . 60 % 0 . 8 5 2x x x 投资收益率为 0 . 6 2 1 0 0 % 7 2 . 9 %0 . 8 5 投资者选择方案二所获得的投资收益率更高 （ 2）设甲投资了 x 万元，由题意得 ，解得 ， 甲投资了 元，乙投资了 元 数学冲浪 1 9 ， 7 ， 4 ， 11设四个数的和为 x 2 285713 3 2 提示：设报 3 的人心里想的数是 x ，报 5 的人心里想的数应是 8 x 于是，报 7 的人心里想的数是 1 2 8 4 ，报 9 的人心里想的数是 1 6 4 1 2 ，报 1的人心里想的数是 2 0 1 2 8 ，报 3 的人心里想的数是 4 8 4 ，由 4 ，得 2x 4 C 5 A 6 C 7（ 1）设单价为 8 元的课外书为 x 本，由 8 1 2 1 0 5 1 5 0 0 4 1 8 ，得 （不合题意），所以陈老师肯定搞错了 （ 2）设单价为 8 元的课外书为 y 本，笔记本的单价为 a 元，则 8 1 2 1 0 5 1 5 0 0 4 1 8y y a ，即178 4 ， 178a 应被 4 整除， 2a ， 4 ， 6 ， 8 ，经讨论 2a 或 6 8设蜡烛点燃了 x 小时，蜡烛的长度为 l 厘米，由 445x l x ，