湖北省黄冈市2017届高三第二次模拟考试数学试卷(理)含答案

绝密 启用前 黄冈中学 2017 届高三 5 月第二次模拟考试 数学（理科）试卷 命题教师： 曹燕 谭志 审题教师： 袁宏彬 张淑春 考试时间： 2017 年 5 月 17 日 下午 3:00 5:00 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 1 至 3 页，第卷 4 至 6页，满分 150 分 . 考生注意： 生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 考证号，并 将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 . B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号， 非选择题答案使用 米的黑色中性签字笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚 . 持卷面清洁，不折叠、不破损 . 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 . 考员将试题卷、答题卡一并收回 . 第卷 选择题 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知 i 为虚数单位， m R，复数 22( 3 1 0 ) ( 4 ) iz m m m m ，若 z 为正实数，则 ） A 0 B 0,4 C ( 2,5) D ( 5,2) 2 已知集合 2 | 4 3 A x y x x ， | 2 xB y y ， 则集合 ()（ ） A ( 3, 1) B ( , 3 1, 0 ) U C ( 3, 1) 0 , ) U D 0, ) 3 52的展开式中 2x 的系数为 （ ） A 40 B 80 C 32 D 80 4 已知等比数列633，2532，且公比1q，则27（ ） A129B128C66D36准考证号姓名（在此试卷上答题无效）5 设函数 2 1 , 3() 4 4 , 3xx x ，若 ( ) (2)f a f ，且 2a ，则 (2 )（ ） A16B17C 121 D 122 6 某高三毕业班的六个科任老师站一排合影留念，其中仅有的两名女老师要求相邻站在一 起，而男老师甲不能站在两端，则不同的安排方法的种数是（ ） A72B 144 C108D1927 如 下 图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则此几何体 的表面积为 （ ） A 4 2( 2 3 ) B 10 C 6 2( 2 5 ) D 12 8 已知 抛物线 2:2C x ( 0)p 的焦点为 F ， O 为坐标原点，若 抛物线 C 上 存在 点 M ， 使得 3O M M F，则 p 的值 为 （ ） A 8 B 6 C 4 D 2 9我们可以用随机模拟的方法估计 的值，如下程序框图表示其基本步骤（函数 产生随机数的函数，它 能随机产生 (0,1) 内的任何一个实数），若输出的结果为 527，则由此可估计 的近似值为 （ ） A B C D 10 已知函数4()2( ) 3 ( 0)g ax ax a ，若 y f x的图像与()y 图象有且仅有两个不同的公共点 11( , )Ax y、 22( , )Bx y，则下列判断正确的是 （ ） A 120，0120，0 ， D ，11已知函数 ( ) s i x x 和函数 g ( ) c o 在区间93,44上的图象交于,点，则 面积是 （ ） A 22B 324C 524D 2 12 已知12,P 是它们的一个公共点，且12F，椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率为2e， 若2 1 2 F， 则2133e e 的最小值为 （ ） A 6 2 3 B 8 C 6 2 2 D 6 第 卷 非选择题 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请将答案填在答题卡相应的位置上 .） 13已知向量 a ,b 满足 | | 1a ， ( ) 3 a a b ，则 b 在 a 方向上的投影为 14成书于公元前 1 世纪左右的中国古代数学名著周髀算经曾记载有 “勾股各自乘 ,并而开方除之 ”,用现代数学符号表示就是 2 2 2a b c,可见当时就已经知道勾股定理 , 2 2a b c,我们就把正整数 ,下面依次给出 前 4 组勾股数： 3,4,5； 5,12,13； 7,24,25； 9,40,41. 则按照此规律，第 6 组勾股数为 15设 ，实数 满足 3 2 6 02 3 6 0 ，若2 18恒成立，则实数 a 的取值范围是 16在 ， 5C， 6，且在边 ,分别取 , A 关于线段 对称点 P 正好落在边 ，则线段 度的最小值为 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本题满分 12 分） 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 2n 个数构成递增的等比数列，将这 2n 个数的乘积记作令 1n （ ）求数列 （ ）设 1( 2 ) 2 ，求数列 n 项和 18 （本题满分 12 分） 如图 1，在平行四边形 ， 2B C B D ， 2， E 是 中点，现将四边形 起，使 平面 得到图 2 所示的几何体， F 是 中点 （ ）证明 平面 （ ）求二面角 A 的余弦值的大小 19 （本题满分 12 分） 某 校在规划课程设置方案的调研中，随机抽取 160 名理科学生，想调查男生 、 女生对 “坐标系与参数方程 ”与 “不等式选讲 ”这两道题的 选择倾向性，调研中发现选择 “坐标系与参数方程 ”的男生人数与选择 “不等式选讲 ”的总人数相等，且 选择 “坐标系与参数方程 ”的女生人数比选择 “不等式选 讲 ”的女生人数多 25 人，根据调研情况 制成如下图所示 的列联表： 选择坐标系与参数方程 选择不等式选讲 合计 男生 60 女生 合计 160 （ ）完成列联表，并判断在犯错误的概率不超过 前提下，能否认为选题与性 别有关 . （ ）按照分层抽样的方法，从选择 “坐标系与参数方程 ”与选择 “不等式选讲 ”的学生中 共 抽取 8 人进行问卷 人中任选 3 人，记选择 “坐标系与参数方程 ”与选择 “不等式选讲 ”的人数的差为 ，求 的分布列及数学期望 E 附： 22 n a d b b c d a c b d ，其中 n a b c d 2 0P K k K 1 图 2 20 （本题满分 12 分） 已知点12( 1, 0 ), (1, 0 )别是椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左右焦点，点 21, 2P在椭圆 C 上 . （ ）求椭圆 C 的标准方程； （ ）过右焦点2与椭圆 C 相交于点 , N的取值范围 21 （本小题满分 12 分） 设 函数 ( ) 1)f x a x， ( ) e 1， 其中 a R， e= 为自 然对数的底数 （ ）当 0x 时 ， ( ) ( )f x g x 恒成立，求 a 的取值范围； （ ）求证：101 0 9 5 2 0 0 0 0 0 1 7 9 1(参考数据： ) 请考生在第（ 22）、（ 23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号 . 22 （本小题满分 10 分） 选修 4标系与参数方程 在直角坐标系中 ，曲线1 2 (t 为参数） 在以坐标原 点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2 ，曲线3 0)6 （ ） 把曲线1 （）设曲线3与曲线2若点 A 的直角坐标为 (4,0) ，求 面积 23 （本小题满分 10 分） 选修 4等式选讲 已知关于 x 的不等式 | 1 | | 3 |x x m 的解集不是空集，记 m 的最小值为 t （ ）求 t 的值； （ ） 若正实数 , 2 2 )a a c b t b c ，求 3 的最小值 湖北省黄冈中学 2017 届高三 5 月第二次模拟 考试 答案 1 【答案】 B 【解析】 z 为正实数，则 223 1 0 0 0 , 440mm 2 【答案】 C 【解析】 ( , 3 1 , )A ， ( ,0)B ， () ( 3, 1) 0 , ) U 3【答案】 A 【解析】52()x x的展开通项式为 1 0 3215( 2 ) x ， 2 2 235( 2)T C x，即 2 x 的系数为 40 4【答案】 C 【解析】由1633，5 1 632a a a a，得1, 32，则2766 5【答案】 D 【解析】当 3x 时， ()增函数，又 ( ) (2)f a f ，且 2a ，故 3a ， 则 2 1 12,a 即 2 11a ，所以 2l o g 1 2 12( 2 ) ( l o g 1 2 1 ) 2 1 1 2 2f a f 6【答案】 B 【解析】方法一：4 12 4 3 144A A C ；方法二：2 1 3 2 2 32 3 3 3 2 3 144A C A A A A； 方法三：5 1 2 42 5 2 2 4 144C A A 7【答案】 C 【解析】如图所示，可将此几何体放入一个边长为 2 的正方体内，则四棱锥 P 即 为所求，且 3B， 5D，可求得表面积为 6 2 2 5. 8【答案】 C 【解析】方法一：由 3O M M F，得 M 在线段 中垂线上， 且到抛物线准线的距离为 3 ，则有 3424pp p 方法二：设则有 0( , )4有202202 449 ( )4 9【答案】 D 【解析】由程序框图可得 3314 152783 3 21 0 0 0 1 10【答案】 C 【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，则 第三象限， 两函数在第一象限的切点，要想满足条件，则有如图，做出点 关于原点的对称点C, 则 点坐标为11( , )由图象知1 2 1 2,x x y y ，即2 1 20, 0x x y y . 方法二： y f x的图像与()y 图象有且仅有两个不同的公共点， 则方程323 4 0ax 有且仅有两个根，则函数32( ) 3 4h x ax 有且仅有两个零点，2( ) 3 6 3 ( 2) 0h x ax ax ax x ，又0x，则(2) 0h ， 当(2)h 时满足函数( ) 4x ax 有且仅有两个零点， 此时，1a，2 2 1 12 , 2 , 1, 4x y x y ，即1 1 20, 0x x y y . 11【答案】 D 【解析】 93, , 2 ,4 4 4 ，有图像可得 为等腰三角形， 底边为一个周期长，高为 2 ，则 A B 答案】 B 【解析】设椭圆长轴长为12a，双曲线实轴长为22a，焦距为 2c ， 有题意可得2 2PF c，又1 1 2 2 1 22 2 , 2 2 4 2 2P F c a P F c a c a a ， 则2 1 21 2 23 3 ( 2 )3 6 2 83 3 3e a c a c a c 13 【答案】 4 【解析】向量 b 在 a 方向上的投影为4 14【答案】 13,84,85 【解析】方法一：由前 4 组勾股数可知，第一个数均为奇数，且成等差数列， 后两个数是相邻的两正整数，有勾股数满足的关系得第 6 组勾股数为 13,84,85 方法二：若设第一个数为 m ，则第二，三个数分别为 2211,， 第 6 组的一个数为 13，可得第 6 组勾股数为 13,84,85 15【答案】36a 【解析】作出直线3 2 6 0 , 2 3 6 0 ,x y x y 2 18 , 2 18x y x y 所围成的区域， 如图所示，30 66 15( 6 , 6) , ( , ) , ( , 3 )7 7 2A B C ，当a 时，满足题意 . 16【答案】920【解析】方法一： 设 ,M A P A M x ， A 点与点 P 关于线段 称， P x ， ， 在 中， 3 4 2， 2M P B B ， 由正弦定理：s in s B P M 554 s i n ( 2 ) s i n ( 2 )5x x 则 44 s i n ( 2 )5，当 22B 时m 04 915x 此时， 4c o s 2 s . 方法二：建立如图如示坐标系 由 35 , c o A C B 得 ( 3, 0) (0, 4)， 设 34, ( , 4 )55A M a M a a ， ( ,0) 于 G 点 ( , 2 ) , ( 3 , 3 )2，由 1，得 42 ( 4 )53 425a mm a， 25 1616631 6 2 55 1 6 3 29 ( ) 166 3 33 5 4 0 3 2 2 06 3 3 9 ，此时 43m 17【解析】（ ）1 2 2, , , nt t t 构成递增的等比数列，其中1 1t ，2 100 则 1 2 2 2 1 1n n n nT t t t t t t ， 又， 22 1 1 2 1 2 10n n nt t t t t t 得 2 2( 2)10 ， 2l g l g 1 0 2 n ， 1n . 6 分 （ ） ( 2) 2 ， 故 0 1 2 2 11 2 2 2 3 2 . . . . ( 1 ) 2 2n n x y x y 1 2 3 12 1 2 2 2 3 2 . . . . ( 1 ) 2 2n n 上述两式相减，得 0 1 2 11 2 1 2 1 2 . . . . 1 2 2 2 2 1 整 理 ， 得 12 分 18【解析】（ ）取 中点 G ，连结 因为 /B ， /B ，故 /F . 又因为 1, 1 12B，故 F . 所以四边形 平行四边形， /G . 在等腰 中， G 是 中点，所以 C . 因为 平面 故 G B ， 而 平面 又因为 /G ， 故 平面 5 分 （ ）建立如图所示空间直角坐标系，则 (1,0,0)B ， (0,1,0)C ， (0,0,1)D ， (1,0,2)A ， 11( , ,1)22F， (0, 1,1) ， ( 1,1, 0) ， (1, 1, 2) . 设1 1 1 1( , , )n x y z是平面 一个法向量，由1100n C ， 得111100 ，令1 1z，则1 (1,1,1)n . 设2一个法向量， 可得2 ( 1,1,1)n 3， 所以二面角 A 的余弦值为 13. 12 分 19【解析】（ ） 选择坐标系与参数方程 选择不等式选讲 合计 男生 60 45 105 女生 40 15 55 合计 100 60 160 22 1 6 0 ( 9 0 0 1 8 0 0 )3 . 7 4 5 . 0 2 41 0 5 5 5 1 0 0 6 0K ，故不能认为选题与性别有关 5 分 C D E x z y （ ）选择 “坐标系与参数方程 ”与选择 “不等式选讲 ”的人数比例为 100： 60 5： 3， 所以抽取的 8 人中倾向 “坐标系与参数方程 ”的人数为 5，倾向 “不等式选讲 ”的人 数为 3 依题意，得 3, 1,1,3 ， 33381( 3 ) 56 ， 12533815( 1 ) 56 ， 21533830( 1 ) 56 ， 30533810( 3 ) 56 9 分 故 的分布列如下 : 3 1 1 3 P 156 1556 3056 1056 所以 1 1 5 3 0 1 0 33 ( 1 ) 1 35 6 5 6 5 6 5 6 4E 12 分 20【解析】（ ）方法一：由题意得 1c 且 11211222212 22 方法二：由 22221 得 12 . 椭圆方程为 22 12x y. 4 分 （ 2）设11( , )A x y，22( , )B x y，直线 1( 0 )x m y m Q 为 1 1 联立 012)21212222 则12 21 2yy m ， 2 m 1 g， 6 分 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )A M B N A F F M B F F N A F B F F M F N . 222 2 2 2 1 2 2 1( 1 ) 2 B F A F B F m y y m 同理 2 222 221( ) 111 21( ) 2 F 22112 2 1 B N 令 2 11 ，则23 3 4,11 232A M B 当 0m 时， 32N ， 34,23A M B N . 12 分 21【解析】 ( )令 1 l n ( 1 ) 0xH x g x f x e a x x ， 则 01x aH x e 若 1a ，则 11 xa ， ( ) 0 ， () 0, 递增， ( ) (0 ) 0H x H， 即 ()f x g x 在 0, 恒成立，满足，所以 1a ； 若 1a ， ()1x aH x e x 在 0, 递增， ( ) ( 0 ) 1H x H a 且 10a 且 x 时， () ，则0 (0 )x ，使0( ) 0， 则 () 00 x，递减，在0()x ，递增， 所 以当 00，时 ( ) (0 ) 0H x H，即当 00，时， ()f x g x ， 不满足题意，舍去； 综合 ， 知 a 的取值范围为 ,1 . 5 分 ( )由 ( )知，当 1a 时， 1 1) 对 0