七年级数学思维探究（21）线段、射线与直线（含答案）

欧几里得，古希腊数学家 在流传了几千年的光辉著作几何原本中，他用公理化方法将古希腊丰富的几何学知识整理在严密的逻辑系统之中，使几何学成为一门独立的、 演绎的科学，传说托勒密王曾经问他，除了他的几何原本外还有没有学习几何的捷径，他回答说： “几何，无王者之道 ”这句话成为千古流传的名言 21 线段、射线与直线 解读课标 意大利科学家伽利略曾说：“大自然用数学的语言讲话，这个语言的字母是：圆、三角形以及其他各种数学形体 ” 构成平面图形的基本元素是点和线 在几何图形中，点无大小，线无宽窄，它 们都是抽象思维的产物 运动成线，线运动成面，面运动成体 在线中，最简单、最常见的就是线段、射线、直线，它们的概念、画法、性质不但是后续学习研究由线段组成的较复杂图形的基础，而且为现实问题的解决提供了有力的工具，使得许多问题的研究可以转化为直观、简明的几何图形的研究 观察一操作一思考一交流一总结是学习平面图形性质的有效途径，解与线段相关的 问题时，常用到中点、代数化、穷举、分类与讨论等概念与方法 问题解决 例 1 已知一条直线上有 A 、 B 、 C 三点，线段 中点为 P ， 10，线段 中点为 Q ， 6，则线段 长为 _ 试一试利用中点表示相关线段，因未给出图形，故应考虑 C 点位置的多种可能 例 2 如图，已知 B 是线段 的一点， M 是线段 中点， N 是线段 中点， P 为 中点， Q 为 :Q 等于 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 试一试利用中点，设法把 含相同线段的代数式表示， 例 3（ 1） 在一条直线上有 n 个点，以这些点为端点的线段共有多少条？ （ 2） 平面内有 n 条两两相交直线，这 n 条直线最少有几个交点？最多有几个交点？ 试一试从简单情形 入 手，由简到繁，归纳发现规律，或运用“两点确定一条线段（直线）”、“两条直线相交有且只有一个交点”等几何性质作抽象分析， 例 4 已知 C 为线段 中点， D 是线段 中点 （ 1） 画出相应的图形，并求出图中线段的条数； （ 2） 若图中所有线段的长度和为 26 ，求线段 长度； （ 3） 若 E 为线段 的点， M 为 中点， DM a ， CE b ，求线段 长度 试一试对于 （ 2） ，设 AC x ，把其他线段长用 x 的式子表示，通过列方程求 解 ： 对于 （ 3） ，把 用恰当的线段和表示 例 5 如图， 已知点 A 、 B 、 C 是数轴上三点， O 为原点 点 C 对应的数为 6 ， 4， 12 （ 1） 求点 A 、 B 对应的数 ； （ 2） 动点 P 、 Q 同时从 A 、 C 出发，分别以每秒 6 个单位和 3 个单位的速度沿数轴正方向运动 M 、N 为 中点， N 在 ，且 13Q ，设运动时间为 0 求点 M 、 N 对应的数（用含 t 的式子表示）； t 为何值时， 2N 分 析 对于 （ 2） ，把 一步用含 t 的式子表示，建立 t 的方程 解 （ 1） A 、 B 两点对应的数分别为 10 、 2 （ 2） 6AP t ， 3CQ t ， M 为 点， 13Q， 则 1 32P t， 13Q t 点 M 对应的数为 10 3t，点 N 对应的数为 6t 1 0 3OM t ， 4B N B C C N t ， 2N 1 0 3 2 4 8 2t t t 由 10 3 8 2 8t 由 1 0 3 8 2 得 25t故当 18t 秒或 25秒时 2N 巧合还是必然 例 6 如图，“回”字形的道路宽为 1 米，整个“回”字形是一个长 16米、宽 8 米的长方形场地，如果你沿着小路的中间从内部出发走完这条小路，共走多少米？ 分析与解 行走路线的总宽为 1 2 3 4 5 6 7 7 . 5 3 5 . 5 ， 总长为8 . 5 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 5 9 2 . 5 ，因此走完这条小路的总长为 3 5 . 5 9 2 . 5 1 2 8 m 细心的读者会发现， 128正好是长方形场地长 16与宽 8 的乘积，也就是说，走完这条小路的总长与这块长方形场地面积的数值相等 追问 上述关系是巧合还是必然？若是巧合，怎样解释这一现象；若是必然，又如何证明？ 探究 （ 1） 若路宽为 2 米，走完这条小路共走多少米？ （ 2） 若长方形的场地的长为 a ，宽为 b ，其中充满宽为 c 的小路，走完这条小路共走多少米？ 数学冲浪 知识技能广场 1 如图，已知线段 延长 C ，使 13B， D 为 中点， 2，那么 长为 _ 2 已知点 O 在直线 ，且线段 长度为 4线段 长度为 6 E 、 F 分别为线段 中点，则线段 长度为 _ 3 小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按如图所示的方式进行 折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短 1 展开后按图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长 1再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是 _4 如图， C 是 中点， D 是 中点，下列等式不正确的是 （ ） A C B D C 12B D 1 3B5 如图，点 A 、 B 、 C 顺次在直线上， M 是线段 中点， N 是线段 中点 若想求出 长度，则只需条件 （ ） A 12 B 4 C 5 D 2 6 如图，有 a 、 b 、 c 三户家用电路接人电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线 （ ） 右C A a 户最长 B b 户最长 C c 户最长 D 三户一样长 7 已知线段 8，直线 有一点 P （ l） 若 5，求 长 ； （ 2） 若 C 是 中点， D 是 中点，求 长 8 （ 1） 一条直线可以把平面分成两个部分（或区域），如图，两条直线可以把平面分成几个部分？三条直线可以把平面分成几个部分？试画图说明 （ 2） 四条直线最多可以把平面分成几个部分？试画出示意图，并说明这四条直线的位置关系 （ 3） 平面上有 n 条直线，每两条直线都恰好相交，且没有三条直线交于一点，处 于这种位置的 n 条直线分一个平面所成的区域最多，记为 试研究 n 之间的关系 思维方法天地 9 如 图， B 、 C 、 D 依次是 的三点，已知 ， 3，则图中以 A 、 B 、 C 、 D 、E 这 5 个点为端点的所有线段长度的和为 _ 10 平面上不重合的两点确定一条直线，不同三点最多可确定 3 条直线 若平面上不同的 n 个点最多确定 21 条直线，则 n 的值为 _ 11 如图，一根长为 30宽 3长方形纸条，将它按图所示的过程折叠 为了美观，希望折叠完成后纸条 A 端到点 P 的距离等于 B 端到点 M 的距离，则最初折叠时， _ 12 某班 50 名同学分别站在公路的 A 、 B 两点处， A 、 B 两点相距 1000 米， A 处有 30 人， B 处有 20人 要让两处的同学走到一起，并且使所有同学走的路程总和最小，那么集合地点应选在 （ ） A A 点处 B 线段 中点处 C 线段 ，距 A 点 10003米处 D 线段 ，距 A 点 400 米处 13 公园里准备修 5 条直的通道，并在通道交叉路口处设一个报亭，这样的报亭最多设 （ ） A 9 个 B 10个 C 11个 D 12个 14 线段 选取 3 种点，第 1 种是将 0等分的点；第 2 种是将 12 分 的点；第 3 种是将 15些点连同线段 端点可组成线段 的 条数是 （ ） A 35 B 595 D 666 15 电子跳蚤游戏盘为 8AB a ， 9AC a ， 10BC a ，如 果电子跳蚤开始时在 上 0P 点，0 4BP a 。 第一步跳蚤跳到 上 1P 点，且 10P ；第二步跳蚤从 1P 跳到 上 2P 点，且 21P ；第三步跳蚤从 2P 跳到 上 3P 点，且 32P 跳蚤按上述规则跳下去，第 2001 次落到 2001P ， 请计算 0P 与 2001P 之间的距离 a 16 在直线 ，点 P 在 A 、 B 两点之间，点 M 为线段 中点，点 N 为线段 中点 若 AB m ，且 m 使关于 x 的方程 42m x x m 有无数个解 （ 1） 求线段 长 ； （ 2） 试说明线段 长与点 P 在线段 的 位置无关； （ 3） 如图，若点 C 为线段 中点，点 P 在线段 延长线上，试说明 值不变 17 切蛋糕 在小明 13岁的生日晚会上，一共有 16位客人到场，在他吹灭了生日蜡烛，准备切蛋糕时，爸爸说：“小明，你能用最少的切割次数为我们在座的 16人每切一份蛋糕吗？你切割 6 次，最多能切得多少块蛋糕？” 18 已知 数轴上 A 、 B 两点对应数分别为 2 和 4 ， P 为数轴上一动点，对应数为 x （ 1） 若 P 为线段 三等分点，求 P 点对应的数； （ 2） 数轴上是否存在点 P ，使 P 点到 A 点、 B 点距离和为 10？ 若存在，求出 x 值；若不存在，请说明理由 （ 3） 若 A 点、 B 点和 P 点 （ P 点在原点 )同时向左运动，它们的速度分别为 1 、 2 、 1 个长度单位分，则第几分钟时， P 为 中点 ？ 线段、射线与直线 问题解决 例 1 8 或 2 例 2B N ， 12P Q P A Q A A N A M 例 3（ 1） 12 （ 2）当平面内两两相交的 n 条直线交于一点时，此时交点个数最少为 1 个；为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，可使其任意两线相交都产生一个新的交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为 12 例 4（ 1）略 （ 2） 4 （ 3） 22A B A C C E B E D C E M C E 2 D C E M C E 2 a b b 2 例 6 追问假定有这样一条长方形的小路，宽 1m ，长 16m ，如图，沿着这条小路的中间行走，显然行走路线的长为 16m ，这就说明行走路线的长与宽为 1m 的长方形小路的长是相等的 由于长方形场地充满了 1m 宽的小路，这便启发我们将长方形场地分割成 8 条宽 1m 、长 16m 的小路，如图，于是这条小路的总长为 16 8 128 m 探索 （ 1） 64 ； （ 2）假定有这样一条小路，长为 a ，宽为 c 沿着这条小路的中间行走，显然行走路线的长为 a 由于长为 a ，宽为 b 的长方形场地可以分割成 a 、宽为 c 的长方形小路，可知这条小路的长为b 数学冲浪 1 3 2 5 1 3 1 4 D 5 A 1122M N M C N C A C B C A B 6 D 7 （ 1） 13或 3 （ 2） 4 8 （ 1）如图 1，两条直线因其位置不同，可以分别把平面分成 3 个或 4 个区域； 如图 2，三条直线因其位置关系的不同，可以分别把平面分成 4 个、 6 个和 7 个区域 （ 2）如图 3，四条直线最多可以把平面分成 11个区域，此时这四条直线位置关系是两两都相交，且无三线共点 （ 3）平面上 n 条直线两两相交，且没有三条直线交于一点，把平面分成 区域，平面本身就是一个区域，当 1n 时， 1 1 1 2a ； 当 2n 时， 2 1 1 1 2 4a ； 当 3n 时， 3 1 1 2 3 7a ； 当 4n 时， 4 1 1 2 3 4 1 1a ，由此可以归纳公式 21 21 1 2 3 1 22n nn 9 长度总和 4 6 6 4A B B C C D D E 46A B D E B C C D A E B D B D 42D 10 7 平面上 n 个不同点最多可确定 12直线 11 x ，则 3 3 0 3 4 12 A 设集合地点在线段 M 处，距 A 点 x 米，则距 B 点 1000x 米，所走的路程总和为 3 0 2 0 1 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0x x x ，当 0x 时，总和最小为 20000 米 13 B 14 C 线段 出现 34 个点，其中有 7 个点是重复的，故线段 有 27 个不同点 15 因 0 4BP a ，根据题意： 0 1 0 4 6C P a a a ， 106P a； 1 9 6 3AP a a a ， 213P a； 2 8 3 5BP a a a， 325P a； 3 1 0 5 5C P a a a ， 435P a； 4 9 5 4A P a a a ， 544P a； 5 8 4 4B P a a a ， 654P a 由此可见， 6P 点与 0P 点重合，又因为 2 0 0 1 6 3 3 3 3 ， 所以 2001P 点与 3P 点重合， 0P 与 2001P 之间的距离就是 0P 与 3P 之间的距离，即 65a a a 16 （ 1） 2 （ 2） 12B图 141