辽宁省沈阳市2017届高三5月教学质量监测数学文理试题(三)含答案

2017 年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数 学 (理科 ) 第卷 (共 60分 ) 一 选择题 :（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若集合 |0A x x，且 A B B ，则集合 B 可能是 （ ） A. 1,2 B. |1 C. 1,0,1 D. R 2. 设 i 为虚数单位，则满足 | 1 2 |z i i 的复数 z 在复平面内所对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知双曲线 22194，则其焦距为 （ ） A. 5 B. 25 C. 13 D. 2 13 4. 已知向量 a 与 b 不共线， AB a ， ( , )A C n a b m n R ，则 线的充要条件是 （ ） A. 0 B. 0 C. 10 D. 10 5. 若 s i n 3 s i n ( ) 02 ，则 的值为 （ ） A. 3545按右图所示的程序框图，若输入 81a ，则输出的 i =（ ） . 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中提到了一种名为“ 刍甍 ”的五面体（如图）：面 矩形，棱 B 4 , 2F， 和 都是边长为 2 的等边三角形，则此几何体的表面积为 （ ） 3 C. 6 2 2 3 2 2 3 开始 输入 a 0S 1i S S i 是 1 输出 i 结束 ? 否 8. 在如图所示的矩形中随机投掷 30000 个点，则落在曲线 C 下方（曲线 C 为正态分布(1,1)N 的正态曲线 ）的点的个数的估计值为（ ） B. 8185 C. 9970 附：正态变量在区间 ( , ) , ( 2 , 2 ) , ( 3 , 3 ) 内取值的概率分别是 0 . 6 8 3 , 0 . 9 5 4 , 0 . 9 9 7. 9. 已知直线 3 3 0 与抛物线 2 4交于 两点（ A 在 x 轴上方），与 x 轴交于 F 点， O F O A O B，则 （ ） A. 12B. 12C. 13D. 1310. 已知某三棱锥的三视图如图所示 ，图中的 3 个直角三角形的直角边长度已经标出 ，则在该三棱锥中，最短的棱和最长的棱所在直线的成角余弦值为（ ） 数列 n 项和为 1a， 11 32 ， 则2017S=（ ） A. 201821 B. 201821 C. 201721 D. 201721 12. 已知函数 ( ) l n ( 1 ) l n ( 1 )f x x x ， 给出以下四个命题 ： 1,1x ，有 ( ) ( )f x f x ； 12, 1,1 且12有1212( ) ( ) 0f x f ； 12, 0,1，有 1 2 1 2( ) ( )()22x x f x f ； 1,1x ， | ( ) | 2 | |f x x . 其中所有 真 命题的序号是 （ ） A. B C D 第卷 (共 90分 ) 本卷包括必考题和选考题两部分，第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答第 22 题第 23 题为选考 题，考生根据要求做答 二、 填空题： (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在答题纸上 ) 13. 已知函数 2l o g , 0() 1( ) , 03 x ， 则 1 ( )4_. 14. 34(1 2 ) (1 )展开式中 2x 的系数为 _. 15. 某班共 46 人，从 A， B， C， D， E 五位候选人中选班长，全班每人只投一票 ， 且每票只选一人。投票结束后（没人弃权） ： 若 A 得 25 票， B 得票数占第二位， C、 D 得票同样多，得票最少的 E 只得 4 票，那么 B 得票 的 票数为 _. 16. 已知点 4( , ) 23x y y 满 足 ，点 ,22上的两个点，则 的最大值为 _. 三、 解答题： (本大题共 6 小题 ,共 70 分 ,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17. (本小题满分 12 分 ) 已知函数 ( ) 2 s i n ( 2 ) ( | | )2f x x 部分图象如图所示 . （ ） 求 值及图中0 （ ） 在 中， ， 的对边分别为 ， ，已知 7c ， ( ) 2 ， AB ，求 a 的值 2 18. (本小题满分 12 分 ) “共享单车”的出现，为我们提供了一种新型的交通方式。某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的 A 城市和 交通拥堵严重的 B 城市分别随机调查了 20 个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图： （ ）根据茎叶图，比较两城市满意度评分的平均值的大小及方差的大小（不要求计算出具体值，给出结论即可）； （ ）若得分不低于 80 分，则认为该用户对此种交通方式“认可”，否则认为该用户对此种交通方式“不认可”，请根据此样本完成此 2 2 列联表，并据此样本分析是否有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关； （ ）若从此样本中的 A 城市和 B 城市各抽取 1 人，则在此2 人中恰有一人认可的条件下，此人 来自 B 城市的概率是多少？ 附： 参考数据： （参考公式： 22 1 1 2 2 1 2 2 11 2 1 2()n n n n nn n n n ） 19. (本小题满分 12 分 ) 如图，在三棱柱 1 1 1 B C 中，侧面 11 底面 和 1都是边长为 2 的正三角形 . （ ）过 1B 作 出三棱柱的截面，使截面垂直于 并证明； （ ） 求 1平面 11成角的正弦值 . 20. （本小题满分 12 分） 已知定直线 :3l y x，定点 (2,1)A ，以坐标轴为对称轴的椭圆 C 过点 A 且与 l 相切 . （ ）求椭圆的标准方程； （ ） 椭圆的弦 ,Q 的中点分别为 , 行于l ，则 ,N 斜率之和是否为定值？ 若是定值 ， 请求出该定值 ；若不是定值请说 明理由 . k A B 合计认可不认可合计A 城市 B 城市6 8 41 3 6 4 5 32 4 5 5 6 6 4 23 3 4 6 9 7 6 8 8 6 4 33 2 1 8 9 2 8 6 5 11 3 9 7 5 5 2 21. （本小题满分 12 分） 已知 () xf x e 与 ()g x ax b的图象交于1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x （ ） 求函数 ( ) ( ) ( )h x f x g x的最小值 ； （ ） 且 中点为00( , )M x y， 求证 ：00()f x a y. 请考生在 22， 23 两题中任选一 题作答，如果多做，则按所做的第一题记分做答时，用 2 22. （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 2 c o s3 s i 为 参 数，在同一平面直角坐标系中，将曲线 C 上的点按坐标变换1213 得到曲线 C ，以原点为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 . （ ） 求曲线 C 的极坐标方程； （ ） 若过点 ),23( A（极坐标）且倾斜角为6的直线 l 与曲线 C 交于 , 中点为 P ，求 | | | |N的值 . 23. （本小题满分 10 分）选修 4 5：不等式选讲 已知正实数 ,函数 ( ) | | | |f x x a x b . （ ） 若 1, 3， 解关于 x 的不等式 ( ) 1 0f x x ； （ ） 求证： (1 ) ( ) 1 6f f c a b c . 2017年沈阳市高中三年级教学质量监测（三） 数学（理科）参考答案与评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 . 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 . 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 . 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 . 一、选择题： 由1 1a和 11 32 ，可知数列 并且2342 , 4 , 8a a a ， 猜测 12， 经验证 12是满足题意的唯一解 。选 C. 易证是真命题；由21 1 2( ) 2 01 1 1fx x x x ， 可知 是真命题 ； 由于 ()在 (0,1) 单调递增 ， 可知 是真命题 ； 设 ( ) ( ) 2g x f x x， 则当 (0,1)x 时 ，( ) ( ) 2 0g x f x ，所以 () (0,1) 单调递增 ， 所以当 (0,1)x 时 ， ( ) (0)g x g ，即 ( ) 2f x x ；由奇函数性质可知是真命题；选 D. 二 由已知可得点 P 在如图所示的平面区域内 （包含边界） 运动 ，易知点 P 位于圆外 ， 则当 最大时 ， 应有 ,在直线与圆相切 ，且 点 P 位于离圆心最近的 H 处 ；此时，圆心到直线 40 的距离| | 2 2 ，所以在 中 | | 2 | |A ， 所以 6， 同理6， 此时3. 三 17 解： （ ）解：由图象可知 (0) 1f ，所以 1， 又因为 |2，所以6. 3 分 因为0( ) 2所以0s 2 ) 16x ，解得02 2 ,62x k k Z . 从而0 ,6x k k Z k ，所以0 76x ； 6 分 （ ） 由 ( ) 2 ， 得 s i n ( 2 ) 16C ，且 (0, )C ，解得 23C . 8 分 因为 ，由正弦定理得 2. 10 分 又由余弦定理 2 2 2 2 c o sc a b a b C ， 及 7c 和 23C 可解得 1a . 12 分 18 解： （ ） A 城市评分的平均值小于 B 城市评分的平均值； 2 分 A 城市评分的方差大于 B 城市评分的方差； 4 分 )O（ ） A B 合计认可 5 10 15不认可 15 10 25合计 20 20 40 6 分 22 4 0 ( 5 1 0 1 0 1 5 ) 8 3 . 8 4 12 0 2 0 1 5 2 5 3 7 分 所以没有 95%的把握认为城市拥堵与认可共享单车有关； 8 分 （ ） 设事件 M ：恰有一人认可；事件 N ：来自 B 城市的人认可； 事件 M 包含的基本事件数为 5 1 0 1 5 1 0 2 0 0 ， 10 分 事件 5 10 150 ， 则所求的条件概率 ( ) 1 5 0 3( | )( ) 2 0 0 4P N M 12 分 19 解： （ ）设 点为 O ， 连11,B B C， 则截面1 3 分 1,的中线 ， 所以1,A B O C A B O B， 又1, 所以 平面1 6 分 （ ） 以 O 为原点 ， 向为 x 轴方向建立如图所示的空间直角坐标系 ， 易求得 (1 , 0 , 0 ) , ( 1 , 0 , 0 )，11( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 3 ) , ( 1, 3 , 3 )C B C 11( 1, 3 , 0 ) , ( 1, 0 , 3 ) , ( 0 , 3 , 3 )C B B B A C ， 8 分 设平面11 , , )n x y z ， 由13030n C B B 解得 平面11 3,1,1)n ， 10 分 111| 3 3 1 0| c o s , |5| | | | 65A C n ， 所以105 12 分 20 解： （ ） 设椭圆 的标准方程为 22 1 ( 0 , 0 , )m x n y m n m n 椭圆 C 过点 A ， 所以 41， 2 分 C 1A 1B 1代入椭圆方程化简得 ： 2( ) 6 9 1 0m n x n x n ， 因为 直线 l 与 椭圆 C 相切 ， 所以 2( 6 ) 4 ( ) ( 9 1 ) 0n m n n ， 4 分 解 可得 ， 11,63， 所以椭圆方程为 22163； 6 分 （ ）设点1 1 2 2( , ) , ( , )P x y Q x y， 则有 1 1 2 22 1 2 1( , ) , ( , )2 2 2 2x y x ， 由题意可知 N ， 所以 1， 设直线 方程为 y x t， 代入椭圆方程并化简得 ： 223 4 2 6 0x tx t 由题意可知1221243263 8 分 1 2 1 21 2 1 21 1 1 12 2 2 2O M O Ny y x t x x x x x 通分后可变形得到1 2 1 21 2 1 22 ( 3 ) ( ) 4 42 ( ) 4O M O Nx x t x x x x x x 10 分 将式代入分子 21 2 1 2 1 2 1 22 ( 2 6 ) ( 3 ) ( 4 ) 1 2 1 2 0 03 6 ( ) 1 2 3 6 ( ) 1 2O M O Nt t t x x x x x x x 所 以 ,N 斜率之和为定值 0 . 12 分 21 解： （ ） x )( ，求导得 x )( 当 0a 时 ， 0)( )( R 上为增函数，不满足有两个零点，故不 合题意； 所以 0a ，令 0)( 解得 ax ， 2 分 并且有 ( , l n ) , ( ) 0x a h x ； ( l n , ) , ( ) 0x a h x ， 故 a l n)( i n . 4 分 （ ）证明：要证00 )( 成立 ，即证 12 2 1 2 1221 2xx x x x xe e e ， 不妨设 12 ，只需证 0,21112122 121212 ， 即为2