材料力学弯曲变形

Chapter6 Deflection of BeamsChapter6 Deflection of Beams (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 第六章第六章 弯曲变形弯曲变形 (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6-16-1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems)Basic concepts and example problems) 6-46-4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 ( Beam deflections by superposition )( Beam deflections by superposition ) 6-36-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )Beam deflection by integration ) 6-26-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程（Differential Differential equation of the deflection curve)equation of the deflection curve) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6-56-5 静不定梁的解法静不定梁的解法(Solution methods(Solution methods for s for statically indeterminate beams)tatically indeterminate beams) 6-6-6 6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施 (The measures to strengthen rigidity)(The measures to strengthen rigidity) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6-16-1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problemsBasic concepts and example problems） 一、工程实例一、工程实例（Example problemExample problem） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 但在另外一些情况下但在另外一些情况下, ,有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变 形形, ,以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要. . 例如例如, ,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧, ,要求有足够大的变形要求有足够大的变形, ,以缓解车辆受以缓解车辆受 到的冲击和振动作用到的冲击和振动作用. . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 1.1.挠度挠度（ Deflection Deflection ） 二、基本概念二、基本概念（Basic conceptsBasic concepts） w挠度 C C A B w x 横截面形心横截面形心 C C （即轴线上的点）在垂直于（即轴线上的点）在垂直于 x x 轴方向的线位移轴方向的线位移 , ,称为该截面的挠度称为该截面的挠度. .用用w w表示表示. . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 2.2.转角转角 （SlopeSlope） 转角 A C C w B x w挠度（ 横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移, ,称为该截面的转角称为该截面的转角. . 用用 表示表示 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 3.3.挠曲线挠曲线 （Deflection curveDeflection curve） 梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 . . 式中式中, ,x x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标, ,w w 为该点的挠度为该点的挠度. . 挠曲线 w A B x 转角 w挠度（ C C 挠曲线方程挠曲线方程（equation of deflection curveequation of deflection curve）为为 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 4.4.挠度与转角的关系挠度与转角的关系 （Relationship betweenRelationship between deflection deflection and slopeand slope）：）： w AB x 转角 w挠度 C C 挠曲线 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 5.5.挠度和转角符号的规定挠度和转角符号的规定 （Sign convention for deflectionSign convention for deflection and slope and slope） 挠度向上为正挠度向上为正, ,向下为负向下为负. . 转角转角自自x x 转至切线方向转至切线方向, ,逆时针转为正逆时针转为正, ,顺时针转为负顺时针转为负. . w A B x 转角 w挠度 C C 挠曲线 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6-26-2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程 （ Differential equation of the deflection curve)Differential equation of the deflection curve) 一、推导公式一、推导公式（Derivation of the formula)Derivation of the formula) 1.1.纯弯曲时纯弯曲时曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系（Relationship between the Relationship between the curvature of beam and the bending momentcurvature of beam and the bending moment） 横力弯曲时横力弯曲时, , MM 和和 都是都是x x的函数的函数. .略去剪力对梁的位移的影略去剪力对梁的位移的影 响响, , 则则 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 2.2.由数学得到平面曲线的曲率由数学得到平面曲线的曲率 （The curvature from the mathematicsThe curvature from the mathematics） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 在规定的坐标系中在规定的坐标系中, ,x x 轴水平向右轴水平向右 为正为正, , w w轴竖直向上为正轴竖直向上为正. . 曲线向上凸时曲线向上凸时: : O x w x O w 因此因此, ,与与的正负号相同的正负号相同 曲线向下凸时曲线向下凸时: : (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of differential equation of the deflection curvethe deflection curve） (6.5)(6.5) 近似原因近似原因 : : （1 1） 略去了剪力的影响略去了剪力的影响; ; （2 2） 略去了略去了 项项; ; （3 3） 与与 1 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计, ,故上式可近似为故上式可近似为 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6-36-3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形 （Beam deflection by integration )Beam deflection by integration ) 一、微分方程的积分一、微分方程的积分 （Integrating the differential equation )Integrating the differential equation ) 若为等截面直梁若为等截面直梁, , 其抗弯刚度其抗弯刚度EIEI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 2. 2.再积分一次再积分一次, ,得挠度方程得挠度方程 （Integrating again gives the equation for the deflectionIntegrating again gives the equation for the deflection） 二、积分常数的确定二、积分常数的确定 （Evaluating the constants of integrationEvaluating the constants of integration） 1. 1.边界条件边界条件（Boundary conditionsBoundary conditions） 2.2.连续条件连续条件（ （Continue conditionsContinue conditions） 1. 1.积分一次得转角方程积分一次得转角方程 （The first integration gives the equation for the slopeThe first integration gives the equation for the slope） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) A B 在简支梁中在简支梁中, , 左右两铰支座处的左右两铰支座处的 挠度挠度和和都等于都等于0. 0. 在悬臂梁中在悬臂梁中, ,固定端处的挠度固定端处的挠度 和转角和转角都应等于都应等于0. 0. AB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) ABx F w w 例题例题1 1 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁, , 在自由端受一集中力在自由端受一集中力 F F 作作 用用. .试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程, , 并确定其最大挠度并确定其最大挠度 和最大转角和最大转角 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （1 1） 弯矩方程为弯矩方程为 解：解： （2 2） 挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为 x w ABx F 对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为 边界条件边界条件 将边界条件代入（将边界条件代入（3 3）（）（4 4）两式中）两式中, ,可得可得 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) Bx y A F （ ） 都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处 和和 （ ） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题2 2 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁, ,在全梁上受集度为在全梁上受集度为q q 的的 均布荷载作用均布荷载作用. .试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程, ,并确定其并确定其 和和 A B q l l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 解解: :由对称性可知由对称性可知, ,梁的两梁的两 个支反力为个支反力为 AB q l l FRAFRB x 此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 梁的转角方程和挠曲线方程梁的转角方程和挠曲线方程 分别为分别为 边界条件边界条件x x=0 =0 和和 x x= =l l时时, , x AB q l l FRAFRB AB 在在 x x=0 =0 和和 x x= =l l 处转角的绝对值相等且都是最大值，处转角的绝对值相等且都是最大值， 最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为 wmax 在在梁跨中点处梁跨中点处有有最大挠度值最大挠度值 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题3 3 图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁, , 在在D D点处受一集中力点处受一集中力F F的作的作 用用. .试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程, ,并求其最大挠度和最大转并求其最大挠度和最大转 角角. . A B F D a b l l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 解解: : 梁的两个支反力为梁的两个支反力为 FRA FRB A B F D ab l l 12 x x 两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 两段梁的挠曲线方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为 （a a）（）（0 0 x x a a） 挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 挠曲线方程挠曲线方程 转角方程转角方程 挠度方程挠度方程 （b b）（）（ a a x x l l ） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) D D点的连续条件点的连续条件 边界条件边界条件 在在 x x = = a a 处处 在在 x x = 0 = 0 处处, , 在在 x x = = l l 处处, , 代入方程可解得代入方程可解得: : AB F D ab 12 FRA FRB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （a a）（）（0 0 x x a a） （b b）（）（ a a x x l l ） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 将将 x x = 0 = 0 和和 x x = = l l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角 当当 a a b b 时时, , 右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处 先研究第一段梁先研究第一段梁, ,令令得得 当当 a a b b时时, , x x 1 1 a a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 梁中点梁中点 C C 处的挠度为处的挠度为 结论结论: :在简支梁中在简支梁中, , 不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用, , 只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点, , 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, , 其精确度其精确度 是能满足工程要求的是能满足工程要求的. . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （a a）对各段梁）对各段梁, ,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上 的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的. .所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的 弯矩方程弯矩方程. .只增加了只增加了( (x-ax-a) )的项的项. . （b b）对）对( (x-ax-a) )的项作积分时的项作积分时, ,应该将应该将( (x-ax-a) )项作为积分变量项作为积分变量. .从而从而 简化了确定积分常数的工作简化了确定积分常数的工作. . 积分法的原则积分法的原则 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 6464 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 （Beam deflections by superpositionBeam deflections by superposition ） 梁的变形微小梁的变形微小, , 且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时, , 梁在几项荷载梁在几项荷载 ( (可以是集中力可以是集中力, , 集中力偶或分布力集中力偶或分布力) )同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角, , 就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加. . 当当 每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向( (如均沿如均沿w w轴方向轴方向), ), 其转角其转角 是在同一平面内是在同一平面内( (如均在如均在 xy xy 平面内平面内) )时时, ,则叠加就是代数和则叠加就是代数和. . 这就这就 是叠加原理是叠加原理. . 一、叠加原理一、叠加原理 （SuperpositionSuperposition） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 1. 1.载荷叠加载荷叠加（Superposition of loadsSuperposition of loads）多个载荷同时作用多个载荷同时作用 于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形 的代数和的代数和. . 2. 2.结构形式叠加（逐段刚化法）结构形式叠加（逐段刚化法） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和C C点点 挠度挠度. . 解解: :（a a）载荷分解如图载荷分解如图 （b b）由梁的简单载荷变形表由梁的简单载荷变形表, , 查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形. . B qF A C aa F = A B + AB q (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （c c）叠加叠加 qF F =+ A A A B B B C aa q (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题4 4 一抗弯刚度为一抗弯刚度为EIEI的简支梁受荷载如图所示的简支梁受荷载如图所示. .试按叠加原理试按叠加原理 求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度 w w C C 和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角 A A , , B B 。 AB C q q MM e e l l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 解解: :将梁上荷载分为两将梁上荷载分为两 项简单的荷载项简单的荷载, ,如图所示如图所示A B C qMM e e (a) l l BA Me (c) l l A q (b) B l l C C C ( ) ( ) ( ) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题5 5 试试利用叠加法利用叠加法, ,求图求图 所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为EIEI的简支的简支 梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度 w w C C 和两端和两端 截面的转角截面的转角 A A , , B B . . A B C q l l l/2 A B C q/2 C A B q/2 q/2 解解: :可视为正对称荷载可视为正对称荷载 与反对称荷载两种情况的叠与反对称荷载两种情况的叠 加加. . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （1 1）正对称荷载作用下）正对称荷载作用下 A B C q/2 C A B q/2 q/2 （2 2）反对称荷载作用下）反对称荷载作用下 在跨中在跨中C C截面处截面处, ,挠度挠度 w w C C 等于零等于零, ,但但 转角不等于零且该截面的转角不等于零且该截面的 弯矩也等于零弯矩也等于零 可将可将ACAC段和段和BCBC段分别视为受均布线荷载作用且长度为段分别视为受均布线荷载作用且长度为l l /2 /2 的的 简支梁简支梁 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) C AB q/2 q/2 可得到：可得到： B q/2 A C q/2 将相应的位移进行叠加将相应的位移进行叠加, , 即得即得 ( ) ( ) ( ) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题6 6 一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的外伸梁受荷载如图所示的外伸梁受荷载如图所示, ,试按叠加原理试按叠加原理 并利用附表并利用附表, ,求截面求截面B B的转角的转角 B B 以及以及A A端和端和BCBC中点中点D D的挠度的挠度w w A A 和和w w D D . . A B C D a a 2a 2q q (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 解解: :将外伸梁沿将外伸梁沿B B截面截成两段截面截成两段 , ,将将AB AB 段看成段看成B B端端固定的悬臂固定的悬臂 梁梁, ,BCBC段看成简支梁段看成简支梁. . A B C D a a 2a 2q q B C D q 2qa 2q A B 2qa B B截面两侧的相互作用为：截面两侧的相互作用为： (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 简支梁简支梁BCBC的受力情况与的受力情况与 外伸梁外伸梁AC AC 的的BCBC段的受力情段的受力情 况相同况相同 由简支梁由简支梁BCBC求得的求得的 B B , ,w wD D 就是外伸梁就是外伸梁ACAC的的 B B ,w,w D D 2qa B C D q q B C D B C D 简支梁简支梁BCBC的变形就是的变形就是MM B B 和均布荷载和均布荷载q q分别引起变形的分别引起变形的 叠加叠加. . (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 由叠加原理得由叠加原理得: : D B C 2qa B C D q D B C （1 1）求）求 B B , ,w wD D (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （2 2）求求w w A A 由于简支梁上由于简支梁上B B截面的转动截面的转动, ,带动带动ABAB段一起作刚体运动段一起作刚体运动, ,使使A A 端产生挠度端产生挠度w w 1 1 悬臂梁悬臂梁ABAB本身的弯曲变形本身的弯曲变形, ,使使A A端产生挠度端产生挠度w w 2 2 A 2q B 2qa A C 2qa B D q 因此因此, ,A A端的总挠度应为端的总挠度应为 由表由表6-16-1查得查得 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 二、刚度条件二、刚度条件（Stiffness conditionStiffness condition） 1.1.数学表达式数学表达式（Mathematical formulaMathematical formula） 2. 2. 刚度条件的应用刚度条件的应用（Application of stiffness conditionApplication of stiffness condition） （1 1）校核刚度校核刚度（ Check the stiffness of the beamCheck the stiffness of the beam） （2 2）设计截面尺寸设计截面尺寸（Determine the allowable load on the beamDetermine the allowable load on the beam） （3 3）求许可载荷求许可载荷 （Determine the required dimensions of the beamDetermine the required dimensions of the beam） 是构件的许可挠度和转角是构件的许可挠度和转角. . 和和 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例例7 7 下图为一空心圆杆下图为一空心圆杆, ,内外径分别为内外径分别为: :d d=40mm=40mm, ,D D=80mm=80mm, ,杆的杆的 E E=210GPa=210GPa, ,工程规定工程规定C C点的点的 w w/ /L L=0.00001=0.00001, ,B B点的点的 =0.001=0.001弧度弧度, ,试试 核此杆的刚度核此杆的刚度. . l=400mm F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B F2 B C D A = + F2 B C a F2 B C D A M = + F1=1kN ADC F2=2kN C A B B (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 解解: :（1 1）结构变换结构变换, ,查表求简查表求简 单载荷变形单载荷变形. . l=400mm F2=2kN A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B + F2 B C 图2 图3 + F2 B CDA M = 图1 F1=1kN DC (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （2 2）叠加求复杂载荷下的变形叠加求复杂载荷下的变形 F2=2kN =+ 图1 图2 l=400mm A C a=0.1m 200mm D F1=1kN B F1=1kN D B C 图3 F2 B DA M AC C F2 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) （3 3）校核刚度校核刚度: : （radrad） (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 一、基本概念一、基本概念 （Basic conceptsBasic concepts） 1.1.超静定梁超静定梁 （s statically indeterminate beamstatically indeterminate beams ） 6-56-5 静不定梁的解法静不定梁的解法（Solution methods Solution methods forfors statically indeterminate beamstatically indeterminate beams） 单凭静力平衡方程不能求出单凭静力平衡方程不能求出 全部支反力的梁全部支反力的梁, , 称为超静定梁称为超静定梁 F AB AB C F FRAFRB FRC (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 2.2.“ “多余多余” ”约束约束（Redundant constraintRedundant constraint） 多于维持其静力平衡所必需的多于维持其静力平衡所必需的约束约束 3.3.“ “多余多余” ”反力反力（Redundant reactionRedundant reaction） “ “多余多余” ”与与相应的支座反力相应的支座反力 FRB AB C F F AB FRAFRC 4.4.超静定次数超静定次数 （Degree ofDegree of staticallystatically indeterminate problem indeterminate problem） 超静定梁的超静定梁的 “ “多余多余” ” 约束的约束的 数目就等于其超静定次数数目就等于其超静定次数. . n n = = 未知力的个数未知力的个数 - - 独立平衡方程的数目独立平衡方程的数目 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 二、求解超静定梁的步骤二、求解超静定梁的步骤 (procedure for solving a statically (procedure for solving a statically indeterminateindeterminate ) ) 1.1.画静定基建立相当系统画静定基建立相当系统： 将可动绞链支座作看将可动绞链支座作看多余约束多余约束 , ,解除多余约束代之以约束反力解除多余约束代之以约束反力 R R B B . . 得到原超静定梁的基本静定系得到原超静定梁的基本静定系. . 2.2.列列几何方程几何方程变形协调方程变形协调方程 超静定梁在多余约束处的约超静定梁在多余约束处的约 束条件束条件, ,梁的梁的 变形协调条件变形协调条件 A B q q A B FRB 根据变形协调条件得变形几何方程根据变形协调条件得变形几何方程: : 变形几何方程为变形几何方程为 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 3.3.列列物理方程物理方程变形与力的关系变形与力的关系 查表得查表得 q AB 将力与变形的关系代入将力与变形的关系代入 变形几何方程得补充方程变形几何方程得补充方程 4.4.建立补充方程建立补充方程 B A FRB q A B FRB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 补充方程为补充方程为 由该式解得由该式解得 5.5.求解其它问题（反力求解其它问题（反力, ,应力应力, ,变形等）变形等） q A B FRB FRA MA 求出该梁固定端的两个支反力求出该梁固定端的两个支反力 q AB B A FRB (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 代以与其相应的多余反代以与其相应的多余反 力偶力偶 MM A A 得基本静定系得基本静定系. . 变形相容条件为变形相容条件为 请同学们自行完成请同学们自行完成 ！ 方法二方法二 取支座取支座 A A 处阻止梁转动处阻止梁转动 的约束为多余约束的约束为多余约束. . A B q l A B q l MA (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题8 8 梁梁ACAC如图所示如图所示, ,梁的梁的A A端用一钢杆端用一钢杆ADAD与梁与梁ACAC铰接铰接, , 在梁受在梁受 荷载作用前荷载作用前, , 杆杆ADAD内没有内力内没有内力, ,已知梁和杆用同样的钢材制成已知梁和杆用同样的钢材制成, , 材材 料的弹性模量为料的弹性模量为E E, , 钢梁横截面的惯性矩为钢梁横截面的惯性矩为I I, , 拉杆横截面的面积为拉杆横截面的面积为 A A, ,其余尺寸见图其余尺寸见图, ,试求钢杆试求钢杆ADAD内的拉力内的拉力F F N N . . a2a A B C q 2q D l (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) C A D B q 2q A FN FN A A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A A点点. .即即 解解: :这是一次超静定问题这是一次超静定问题. .将将ADAD杆与梁杆与梁ACAC之间的连结绞看作多余约之间的连结绞看作多余约 束束. .拉力拉力F F N N 为多余反力为多余反力. .基本静定系如图基本静定系如图 A D B C q 2q FN FN A A1 1 (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 变形几何方程为变形几何方程为 根据叠加法根据叠加法A A端的挠度为端的挠度为 B C q 2q FN B C q 2q 在例题在例题 中已求得中已求得 可算出可算出: : C FN B (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 拉杆拉杆 ADAD 的伸长为的伸长为: : 补充方程为补充方程为: : 由此解得由此解得: : A D B C q 2q FN FN (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 例题例题 9 9 求图示梁的支反力求图示梁的支反力, ,并绘梁的剪力图和弯矩图并绘梁的剪力图和弯矩图. . 已知已知 EIEI = 5 = 5 10 10 3 3 kNmkNm 3 3 . . 4m3m2m A B D C 30kN 20kN/m (Deflection of Beams) (Deflection of Beams) (Deflection of Beams)(Deflection of Beams) 解解: :这是一次超静定问题这是一次超静定问题 取支座