七年级数学思维探究（13）一元一次不等式(组)（含答案）

丘成桐，当代数学大师，现任哈佛大学客座教授，因解决了卡拉比猜想、正质量猜想等众多难题，影响遍及理论物理和几乎所有核心数学分支， 1983年获菲尔兹奖， 2010年获沃尔夫奖，是第一位兼得两项奖的华裔数学家，他说： “我研究数学，就是因为它很美 ” 13 一元一次不等式（组） 解读课标 面对大量的同类量，最容易使人想到的就是它们有大小之分，不等式是现实世界中不等关系的一种数学表示形式，既是现阶段学习的重点内容，又是后续学习的重要基础 不等式与方程都是反映客观事物变化规律及其关系的模型，类比等式是学习 不等式的重要方法 等式两边都乘（或除）以同一个数时，仅需考虑这个数是否为零，而不等式两边都乘（或除）以同一个数时，既要注意这个数是否为零，又要考虑这个数的正负性； 解方程组时，我们可以对几个方程进行 “代入 ”或 “加减 ”式的加工，而解不等式组时，我们只能分别求出每个不等式的解集，然后再求公共部分 ，得不等式组的解集 问题解决 例 1 （ 1） 已知不等式 30 的正整数解恰是 1， 2 ， 3 ，则 a 的取值范围是 _； （ 2） 已知关于 x 的不等式组 05 2 1 无解，则 a 的取值范围是 _ 试一试 对于 （ 1） ，由题意知不等式的解在 34x 的范围内；对于 （ 2），从数 轴上看，原不等式组中两个不等式的解集无公共部分 例 2 （ 1） 若关于 x 的不等式 21 2 0a x a 的解集为 2x ，则 a 的值为 （ ） A 0 B 2 C 0 或 2 D 1 （ 2） 若不等式组 01 2 2 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A 1a B 1a C 1a D 1a 试一试 由不等式的解集建立 a 的等式与不等式 例 3 解下列关于 x 的不等式（组）： （ 1） 2 2 1 0 ； （ 2） 2 3 3m x n x 试一试对于 （ 1） ，分 20x 、 20x 两种情况讨论，去掉绝对值符号；对于 （ 2） ，化为 ax b 的形式，再就 a 的正负性讨论 例 4 已知 23 5 1 3 1 0a b a b ，求关于 x 的不等式 63b 的解集 试一试 由条件先求出 a 、 b 的值 例 5 已知 a 、 b 、 c 是三个非负数，并且满足 3 2 5a b c ， 2 3 1a b c ，设 37m a b c ，记 x为 m 的最大值， y 为 m 的最小值，求 值 分析 本例综合了方程组、不等式组的丰富知识，解题的关键是通过解方程组，用含一个字母的代数式来表示 m ，通过解不等式组，确定这个字母的取值范围，在约束条件下，求出 x ， y 的值 解 由条件得 3 2 52 1 3 ,a b ca b c 解得 737 11 ,则 32 由 000,得 7 3 07 11 00,，解得 377 11c ，从而 111x， 57y，故 577 感悟不等 例 6 甜饮料里有糖的质量分数，那么，给糖水添上一点糖，糖水就更甜了 请你把这一生活常识用数学式子表达出来 分析与解 从生活常识到 “数学不等式 ”历经以下三个步骤： （ 1） 用字母 a 、 b 、 m 表示相应的量； （ 2） 根据质量分数的定义，写出加糖前后的质量分数 ； （ 3） 将 “更甜了 ”表示为不等式 a a mb b m ，其中 0， 0m 进一步追问： （ 1） 怎样证明上述不等式？ （ 2） 将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数变大了吗？ 数学冲浪 知识技能广场 1 若不等式组 12 4 0 有解， 则 a 的取值范围是 _ 2 若不等式组 220的解集是 11x ，则 2006_ 3 已知关于 x 的不等式组 05 2 1 只有 4 个整数解，则 a 的取值范围是 _ 4 n 个小杯中依次盛有 1b ， 2b ， ， 糖水 ，并且分别含糖 1a ， 2a ， ， 若这 n 杯水的浓度相同，则有连等式 ： 12 b b 现将这 n 杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的，这个尽人皆知的事实，说明了一个数学定理 等比定理：若 12 b b ，则12 121 2 1 2a a b b b b b 若这 n 杯糖水的浓度互不相同，不妨设 12 b b ，现将这 n 杯糖水合到一 个大空杯中，则合杯糖水的浓度一定大于 _，且小于 _ 这个尽人皆知的事实，又说明了一个数学定理 不等比定理：若 12 b b ，则 _ 5 若不等式 24x 的解集都能使关于 x 的一次不等式 15a x a 成立，则 a 的取值范围是 （ ） A 17a B 7a C 1a 或 7a D 7a 6 若 10 ，则下列式子中正确的是 （ ） A B 11 D 22 7 若方程组 4143x y 的解满足条件 01 ，则 k 的取值范围是 （ ） A 41k B 40k C 09k D 4k 8 不等式组 9 5 11 的解集是 2x ，则 m 的取值范围是 （ ） A 2m B 2m C 1m D 1m 9 试确定 a 的取值范围，使不等式组 1 14111 . 5 1 0 . 5 2 122x a x x 只有一个整数解 10 解下列关于 x 的不等式 （ 1） 2 1 3x ； （ 2） 11ax 11 已知关于 x 、 y 的方程组 325x y ax y a 的解满足 0，化简 3 思维方法天地 12 关于 x 的不等式 2 1 6x 的所有非负整数解的和为 _ 13 当 3a 时，不等式 23ax x b 的解集是 0x ，则 b _ 14 若实数 a 、 b 、 c 满足 ， 0 ，则 _ 15 已知非负数 a 、 b 、 c 满足条件 3 2 4a b c ， 2 3 5a b c ，设 5 4 7s a b c 的最大值为 m ，最小值为 n ，则 的值为 _ 16 已知 a 、 b 为常数，若 0ax b 的解集为 13x，则 0bx a 的解集是 （ ） A 3x B 3x C 3x D 3x 17 如果关于 x 的不等式组 7060 的整数解仅为 1 ， 2 ， 3 ，那么适合这个不等式组的整数对 , ） A 49 对 B 42 对 C 36 对 D 13对 18 关于 x 的不等式组25 5332x xx 只有 5 个整数解，则 a 的取值范围是 （ ） A 1162a B 1162a C 1162a D 1162a 19 若 a 、 b 为实数，则下列命题中正确的是 （ ） A 22a b a b B 22a b a b C 22a b a b D 22a b a b 20 已知 2 1 5 3132，求 13 的最大值和最小值 21 已知非负数 x ， y ， z 满足 1 2 32 3 4x y z ，设 3 4 5w x y z ， 求 w 的最大值与最小值 应用探究乐园 22 探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上 “ ”、 “ ”、 “ ”，并完成式后的问题 2223 _2 2 3 ， 2245 _2 4 5 ， 2277 _2 7 7 ， 2258 _2 5 8 ， 试用含有 a 、 b 的式子表示上述规律为 _ 31 2 3 _ 27 1 2 3 ， 32 3 5 _ 27 2 3 5 ， 34 4 7 _ 27 4 4 7， 3555 _ 27 5 5 5， 试用含有 a 、 b 、 c 的式子表示上述规律为 _ 应用：用边长为 30正方形铁片，在四个角上剪去四个边长相同的小正方形，然后将对边剩余部分分别折起来（如图），可做成一个无盖的长方体盒，问怎样剪可使得到的盒子的容积最大？最大容积为多少？ 23 已知整数 1x ， 2x ， 3x ， ， 2008x 满足 12 ， 1n ， 2 ， ， 2008； 1 2 2 0 0 8 208x x x ； 2 2 21 2 2 0 0 8 2008x x x 求 3 3 31 2 2 0 0 8x x x 的最大值与最小值 一元一次不等式（组） 问题解决 例 1 （ 1）由 343a，得 9 12a ；（ 2） 3a 例 2 （ 1） A 由条件得2102 2,1 ，推得 0a ；（ 2） A 例 3 （ 1）由 202 2 1 0 ,得 8x ；由 202 2 1 0 , 得 24 ，矛盾 故原不等式的解集为 8x ； （ 2）由原不等式得 2 3 3m x n ，当 2 3 0m ，即 32m时，其解集为 323nx m ；当 2 3 0m ，即 32m时，其解集为 323nx m ；当 23m ，即 32m 时且 3n ，解集为所有数；当 32m且 3n 时，原不等式无解 例 4 3x 数学冲浪 1 3a 2 1 3 32a 4 11 1211 1 2a a b b b b 5 A 6 D 7 A 8 C 9 12a 10（ 1） 12x ；（ 2） 10 ，即 1，当 0a 时，解集为 1当 0a 时，解集为 1当 0a 时，解集为一切数 11 当 23a 时，原式 3 ；当 3a 时，原式 23a 12 6 原不等式等价于 2 1 62 1 6 13 2 14 122 由条件得 0a 20a c a b c ， 20a c a b c 15 2 ， 12n ， 14m 10 2， 615c 16 B 17 B 由76，得 1m ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ； 19n ， 20 ， 21 ， 22 ， 23 ， 24 ， , 6 42 对 18 C 19 D 20 解不等式得 711x，原式 412 2 3 143 ，从而知最大值为 4 ，最小值为 3311 21 设 1 2 32 3 4x y z k ，则 21， 32 ， 43，由题意得 2 1 03 2 04 3 0 , 解得 1223k ，于是 3 2 1 4 3 2 5 4 3 1 4 2 6w k k k k 所以 1 4 2 6 1 4 2 6 1 4 2 6k ，即 119 353w ，故 w 的最小值为 19，最大值为 1353 22 ； ； ； ； 222a b （ 时，等号成立 ) ； ； ； ； 3 27a b c a b c （ 时，等号成立 ) 设长方体盒子的容积为 V ，小正方形的边长为 x ，则有 31 5 1 1 5 1 1 6 1 5 1 53 0 2 3 0 2 1 6 2 0 0 02 2 2 2 2 7 2 2 2 2x x x x