九年级数学25 图形的相似教学案冀教版

1 第二十五章第二十五章 图形的相似图形的相似 1.了解比例的基本性质、线段的比、成比例线段,通过具体实例了解黄金分割. 2.掌握“两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例”这个基本事实. 3.了解相似三角形的概念,探索相似三角形的性质. 4.理解并掌握相似三角形的判定定理,了解相似三角形判定定理的证明,并能应用判定 定理解决问题. 5.探索相似三角形的性质定理,能应用相似三角形的性质进行有关计算. 6.认识图形的相似,了解相似多边形和相似比. 7.了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小. 8.会利用图形的相似解决一些简单的实际问题. 1.通过观察、测量、验证平行线分线段成比例,培养学生动手操作能力、合情推理及演 绎推理能力. 2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,使学生获得数学猜想的经验,激发探究 知识的兴趣. 3.通过丰富的实例,经历探索相似三角形的判定、性质及应用的过程,进一步发展学生 的空间观念,提高学生的数学思考能力和应用意识. 4.在三角形相似判定的探究过程中,渗透类比的教学思想,提高学生分析问题、解决问 题的能力. 5.结合相似图形的性质和判定方法的探索和证明,进一步培养学生的合情推理能力,发 展学生逻辑思维能力和推理论证的能力. 6.通过把实际问题转化为数学问题,发展学生的抽象概括能力,提高应用数学知识解决 实际问题的能力. 7.学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题,并综合运用数学知识和方法 解决简单的实际问题,增强应用意识,提高实践能力. 8.通过对位似图形的概念及位似图形、位似变换的性质的探索,体验学习数学的快乐. 1.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质 疑的学习习惯. 2.经历类比、猜想、证明的探索过程,让学生体验成功的快乐,同时培养学生严谨的求 学精神. 3.探究三角形相似的判定定理的证明,培养学生合情推理及演绎推理能力,提高逻辑思 维能力. 4.在三角形相似判定的探究过程中,培养学生大胆动手、勇于探索和勤于思考的精神, 同时体验成功带来的快乐. 5.敢于发表自己的想法、勇于质疑,养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯, 形成实事求是的科学态度. 6.通过积极参加数学探究活动,在活动中使学生积累经验与成功体验,激发学生对数学 的好奇心和求知欲,体会数学与实际生活的密切联系. 7.使学生亲身经历和相似图形有关的概念、性质、判定及应用的探索,感受数学学习的 应用性和挑战性. 前面学习了图形的全等和全等三角形的有关知识,也研究了几何图形的全等变换,“全 等”和“相似”都是图形之间的一种变换,全等形是相似比为 1 的相似图形,所以本章相似 2 形的学习,以全等形为基础,是全等形在边上的推广,比全等形更具有一般性,是前边学习图 形的全等的拓展和发展. 本章内容主要是对三角形知识的进一步认识,是通过许多生活中的具体实例来研究相似 图形的.在全等三角形的基础上,总结出相似三角形的判定方法和性质,使学过的知识得到巩 固和提高.在学习过程中,按照研究对象的“一般特殊特殊位置关系”的顺序展开研究. 首先,教科书从现实世界中形状相同的物体谈起,然后把研究对象确定为形状相同的图形 相似图形,举例说明了放大、缩小两种操作与相似图形之间的关系,接着教科书把研究对 象缩小为特殊的相似图形相似多边形,由相似多边形的定义推出了相似多边形的性质, 对于相似多边形的判定,教科书以三角形为载体进行研究,此外,还研究了相似三角形的其他 性质和应用,最后,教科书研究了一种具有特殊位置关系的相似图形位似图形.本章的知 识不仅将在后面学习“锐角三角函数”和“投影与视图”时得到应用,而且对于建筑设计、 测量、绘图等实际工作也具有重要价值. 在本章中,相似三角形的判定和性质是本章的重点内容,相似三角形判定定理的证明是 本章的难点内容.此外,综合应用相似三角形的判定和性质,以及学生前面学过的平行线、全 等三角形、平行四边形等知识解决问题(包括实际问题)也是本章的一个难点.为了降低学生 在推理论证方面的难度,本章加强了证明思路的引导,或者用分析法分析出由条件到结论必 需的转化,或者提示了证明的关键环节;为了降低学生在解决实际问题中的难度,本章专门设 置了相似三角形应用举例,从不同角度为解决实际问题做出示范. 【重点】 1.相似三角形的判定与性质及应用判定和性质解决问题. 2.位似图形的性质及画法. 【难点】 1.相似三角形的判定定理的证明. 2.建立数学模型,应用相似三角形的性质解决实际问题. 1.初中数学从全等三角形开始,已经进入了推理证明阶段,本章的学习在已有的基 础上继续进行必要的推理证明,本章的证明所涉及的问题不仅包含相似的知识,也有很多是 和三角形全等、平行、勾股定理、平面直角坐标系等知识融合在一起的,因此推理论证的难 度提高了,教学时应注意帮助学生复习已有的知识,做到以新带旧、新旧结合,注意以具体问 题为载体,加强证明思路的引导,帮助学生确定证明的关键环节,指导学生写出完整的证明过 程.同时注意根据教学内容及时安排相应的训练,让学生能够逐步达到独立分析、完成证明. 2.让学生充分经历知识的形成过程,学生获得知识,必须建立在自己充分思考的基础上, 因此,对于概念的教学,要创设好情境,为学生提供充足的素材,充分经历观察、比较、表达 与交流等活动过程,使概念的建立过程成为学生头脑中自然的形成过程.对于定理和性质的 教学,要充分利用教科书中的活动,让学生在操作、思考交流的过程中获得.现阶段的学生, 积累了一定的数学活动经验,能够自主完成一些数学活动,教师要充分相信学生,支持和鼓励 学生,并给予适当的指导和帮助. 3.学生通过前面对三角形、四边形等几何图形的学习,对于研究几何图形的基本问题的 思路和方法已经形成了一定的认识.本章教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验,将 研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学.例如,在教授本章之前,可以让学生类比全等三角 形研究的主要内容,提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法,构 建本章内容的基本线索,使他们对将要学习的内容做到心中有数.因此本章在教授相似三角 形的性质之前,可以先让学生自己发现性质,再给出证明. 4.在教学中要重视相似三角形的应用,学习相似三角形的判定和性质,落脚点是利用图 形的相似解决简单的实际问题,所以让学生充分经历“把实际问题抽象成数学问题解决 数学问题对解得的结果作出符合实际意义的解释”的过程,使学生感悟数学建模思想, 感受数学的价值,形成应用意识. 25.1 比例线段1 课时 25.2 平行线分线段成比例2 课时 25.3 相似三角形1 课时 25.4 相似三角形的判定3 课时 25.5 相似三角形的性质2 课时 25.6 相似三角形的应用2 课时 3 25.7 相似多边形和图形的位似2 课时 回顾与反思1 课时 25.1 比例线段 1.了解线段的比和成比例线段的概念,会求两线段的比. 2.理解并掌握比例的基本性质,结合实例了解黄金分割. 3.能利用比例的基本性质解决一些简单的问题. 1.通过现实情境,进一步发展学生从数学角度提出问题、分析和理解问题的能力. 2.通过观察、讨论、探究、归纳等数学活动,经历有关概念及性质的形成过程,获得成 功感,培养学生学习数学的自信心. 3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及勇于思考、大胆质 疑的学习习惯. 4.通过师生共同探究,体会由特殊到一般、方程思想在数学中的应用. 1.培养学生的数学应用意识,体会数学与实际生活的联系. 2.在观察、操作、推理的探究过程中,体验数学活动充满探索性和创造性,激发学生的 学习兴趣. 3.通过学习黄金分割,体会数学在实际生活中的应用,培养学生的美感. 【重点】 比例线段及有关计算、黄金分割. 【难点】 应用比例的基本性质进行有关计算. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P5860. 导入一: 【课件展示】 欣赏图片: 4 (1)汽车和它的模型: (2)两张尺寸不同的花的照片: 导入语 生活中及几何图形中有许多这样形状相同、大小不同的图形,也就是相似形,它 们有哪些判定方法、性质及应用就是我们这章要学习的内容,为了研究相似形,我们先来探 究成比例线段的有关概念及性质. 导入二: 【课件展示】 观察如图所示的三个长方形,你认为哪两个长方形的大小不同但形状相 同?理由是什么? 【师生活动】 教师引导学生直观观察得到结论,再观察思考形状相同的两个长方形的 长和宽之间的关系怎样? 导入语 两个长方形的形状是否相同,与它们的长、宽比是否相等有关.为此,需要研 究线段的比和成比例线段. 导入三: 复习提问: 1.举例说明什么是比、比例?什么是比例的内项、外项? 2.已知线段a=3 cm,b=2 cm,则线段a,b的比是 . 【师生活动】 学生回忆小学内容作出回答,教师点评. 设计意图 通过形状相同的生活图片引出本章要探究的主要内容,激发学生学习本章 内容的热情;以直观观察和计算长方形的长、宽的比判断两个长方形形状是否相同,引出本 节课的课题,激发学生的求知欲;通过复习小学学过的有关比的概念,为本节课的学习做好铺 垫. 过渡语 让我们一起探究线段的比和成比例线段的有关概念及性质吧! 共同探究一 线段的比、比例线段的概念 思路一 自主学习教材 58 页,思考下列问题: (1)两条线段的比与它们的长度有关吗? (2)两条线段的比是否与它们的长度单位有关? 5 (3)两条线段的比是什么数?结果有单位吗? (4)什么是成比例线段? (5)如何判断四条线段是成比例线段? (6)成比例线段中的四条线段是否有顺序? 【师生活动】 学生自主学习、独立思考后,小组合作交流,学生展示后教师点评归纳, 课件展示有关概念及注意事项. 【课件展示】 1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的 比,记作ab=mn,或. 例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,ab=23. 注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位. 2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把 这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例. 例如,在导入二图中,AB,BC,AB,BC是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线 段. 注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是 成比例线段,得到的比例式是不同的. 思路二 教师引导分析: (1)如果线段a=3 cm,b=20 mm,则线段a和b的比是 ,记作 . 【师生活动】 学生思考后小组合作交流,教师对学生的展示作出回答,并强调易错点, 不要忽略换算单位. (2)线段a和b的长度分别为m和n,则线段a和b的比是 ,记作 或 . 【师生活动】 学生回答,教师加以引导归纳. (3)如果线段a=3 cm,b=6 cm,c=2 cm,b=4 cm,则线段a和b的比与线段c和d的比 ,即 . 【师生活动】 学生计算回答,教师归纳这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段. (4)如果线段a=3 cm,c=6 cm,b=2 cm,b=4 cm,则线段a和c的比与线段b和d的比 ,即 . 【师生活动】 学生计算回答,教师归纳这四条线段a,c,b,d叫做成比例线段. (5)(3)和(4)中的成比例线段有什么区别? 【师生活动】 学生观察回答,教师点评,学生如有困难,教师要及时引导,归纳成比例 线段概念中的四条线段是有顺序的. (6)如何判断四条线段是否成比例? (方法一:把四条线段按长短排列好,判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等; 方法二:查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积) 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,对学生展示点评,鼓励学生用多种方法 进行判断. 【课件展示】 1.线段的比:线段a和b的长度分别为m和n,我们就把m和n的比叫做线段a和b的 比,记作ab=mn,或. 例如,如果a=2 cm,b=3 cm,那么,ab=23. 注:计算线段的比,要选用同一长度度量单位. 6 2.成比例线段:在四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即,我们就把 这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段.此时也称这四条线段成比例. 例如,在导入二图中,AB,BC,AB,BC是成比例线段,而AB,BC,A1B1,B1C1不是成比例线 段. 注:成比例线段概念中的四条线段是有顺序的,如a,b,c,d是成比例线段与a,d,b,c是 成比例线段,得到的比例式是不同的. 设计意图 学生在自主学习的基础上,教师提出的问题的引导下,层层深入地形成线 段的比和成比例线段的概念,学生经历概念的形成过程,加深对概念的理解,为本章的后继学 习做好铺垫. 共同探究二 比例的基本性质 过渡语 在数学中我们经常知道了它的概念后再研究它的性质,那么比例有什么基本 性质呢?我们一起去探究. 【思考】 1.如果线段a,b,c,d成比例,那么ad和bc相等吗?为什么? 2.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,那么这四条线段成比例吗?为什么? 3.如果线段a,b,c,d满足ad=bc,你能得到几个比例式?为什么? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师给学生足够的时间讨论,在巡视中 帮助有困难的学生,小组代表展示,教师作出点评,并归纳比例的基本性质. 【课件展示】 比例的基本性质: 如果,那么ad=bc. 如果ad=bc,那么(b,d0). 特别地,如果,即b2=ac,就把b叫做a,c的比例中项. 设计意图 通过独立思考、合作交流、共同归纳等数学活动,探究比例的基本性质, 实质是利用等式的基本性质将比例式变形,培养学生的合作意识,提高学生综合运用知识解 决问题的能力. 共同探究三 比例的等比性质 教师引导分析: (1)由,可以得到= ; (2)由,可以得到= ; (3)猜想:由=(b+d+n0),可以得到= ; (4)你能证明你的猜想吗? 【师生活动】 学生独立思考,小组合作交流,如果学生对(4)的证明有困难,教师引导 学生思考,根据结果肯定有约分的过程,变形实现约分的目的,引导发现a,c,m与b,d,n 之间的关系,采用设k法证明.学生展示后教师点评,展示证明过程及结论. 【课件展示】 若=(b+d+n0),则. 证明:若设=k,则有a=kb,c=kd,m=kn. 所以a+c+m=kb+kd+kn=k(b+d+n). 因为b+d+n0, 所以=k. 即. 设计意图 通过计算、观察、猜想、验证等数学活动,探究比例的等比性质,让学生 经历由特殊到一般的数学思想方法,在数学活动中,教师引导学生通过设k法完成性质的证 7 明,提高学生分析问题、解决问题的能力及勇于挑战困难的精神. 共同探究四 黄金分割 过渡语 芭蕾舞演员表演时踮起脚尖,让下身占整个身体的 0.618,就会给人以更为 优美的艺术形象,还有维纳斯女神、蒙娜丽莎永远的微笑为什么给我们美感,你知道其中的 道理吗?让我们一起去看看如何用数学知识解释这个现象吧! 欣赏图片: 【课件展示】 试着做做: 如图所示,已知线段AB=a,点C在AB上. 当时,线段AC的长是多少? 【师生活动】 学生独立完成,小组内交流答案,对解决有困难的学生,教师引导利用方 程思想求线段的长,小组代表板书解答过程,教师点评,规范解答格式. (板书) 解:设AC=x,则BC=a-x. , 建立关于x的方程x2+ax-a2=0, 解得x=a, AC为正数,AC=a0.618a. 归纳概念: 【课件展示】 在线段AB上有一点C,如果点C把AB分成的两条线段AC和BC满足. 那么称线段AB被点C黄金分割,点C称为线段AB的黄金分割点,称为黄金比. 每条线段上的黄金分割点都有两个. 过渡语 黄金分割具有艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,在建筑、艺术等领 域有着广泛的应用. 如图所示,上海东方明珠塔的塔身高为 468 m,在塔身上装置了下球体、中球体 和上球体(太空舱),分别位于塔身的 68 m118 m,250 m295 m,335 m349 m 之间,使塔身显 得非常协调美观.塔身的黄金分割点位于哪个球体内?请说明理由. 【师生活动】 学生独立完成后小组内交流答案,教师对学生的展示进行点评. 设计意图 学生通过图片,感受生活中的美,激发学生学习黄金分割的兴趣,引导学生 用一元二次方程求线段的黄金比,体会方程思想在解决几何问题时的应用,通过计算黄金分 8 割点在上海东方明珠的哪个球体内,感受黄金分割在实际生活中的应用,体会数学来源于生 活,又应用于生活. 知识拓展 1.式子也可以写成ab=cd,通常这里的a叫做第一比例项,b叫做第二比例项,c叫 做第三比例项,d叫做第四比例项. 2.有时在中,b=c,例如,这时我们把b(或c)叫做a,d的比例中项,此时b2(或c2)=ad. 3.在与比例有关的计算中,我们常通过比例的基本性质转化字母之间的关系. 4.通常情况下,四条线段a,b,c,d的单位应该一致,但有时为了计算方便,a,b和c,d的 单位分别一致也可以. 5.在连等形式的比例式中 如= ,常用设k法解决有关计算问题. 6.黄金分割点将线段分成两部分,较长的线段是较短的线段和这条线段的比例中项,较 长线段约等于这条线段的 0.618. 1.线段的比: 成比例线段: 2.比例的基本性质: 如果,那么ad=bc. 如果ad=bc,那么(b,d0). 3.比例的等比性质: 若=(b+d+n0),则. 4.黄金分割: 1.线段a,b,c,d成比例的是( ) A.a=2,b=4,c=6,d=8 B.a=3,b=4,c=9,d=12 C.a=2,b=6,c=8,d=9 D.a=6,b=9,c=10,d=12 解析:在 B 中,所以,所以a,b,c,d成比例.故选 B. 2.若点C是线段AB的黄金分割点,且AB=2,则AC等于 ( ) A.-1B.3 C.D.-1 或 3- 解析:由于C为线段AB的黄金分割点,所以AC=2-1,或AC=2-(-1)=3-.故选 D. 3.(1)若 4a=5b(b0),则ab= ; (2)若,则= . 解析:根据比例的基本性质,4a=5b,ab=54(b0);由,可设a=3k,b=4k,则. 答案:(1)54 (2) 4.在比例尺为 16000000 的地图上,量得南京到北京的距离是 15 cm,这两地的实际距 离是 km. 解析:设两地的实际距离为x cm.根据图上距离与实际距离的比等于比例尺,得,解得 x=90000000,90000000 cm=900 km.故填 900. 9 5.已知四条线段a,b,c,d的长度,判断它们是否成比例. (1)a=16 cm,b=8 cm,c=10 cm,d=5 cm; (2)a=8 cm,b=5 cm,c=6 cm,d=10 cm. 解:(1)=2,=2,则,所以a,b,c,d成比例. (2)由已知得abcd,acbd,adbc,所以a,b,c,d四条线段不成比例. 25.1 比例线段 共同探究一 线段的比、比例线段的概念 共同探究二 比例的基本性质 共同探究三 比例的等比性质 共同探究四 黄金分割 一、教材作业 【必做题】 教材第 60 页习题 A 组第 1,2,3 题. 【选做题】 教材第 61 页习题 B 组第 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列各组中的四条线段成比例的是( ) A.a=,b=3,c=2,d= B.a=4,b=6,c=5,d=10 C.a=2,b=,c=2,d= D.a=2,b=3,c=4,d=1 2.若P是线段AB上一点,且,则等于 ( ) A.B.C.D. 3.若ac=bd(a,b,c,d0),则下列各式一定成立的是( ) A.B. C.D. 4.已知点M将线段AB黄金分割(AMBM),则下列各式中不正确的是( ) A.AMBM=ABAMB.AM=AB C.BM=ABD.AM0.618AB 5.若 2x-5y=0,则yx= ,= . 6.已知,则= . 7.现有三个数 1,2,请你再添上一个数写出一个比例式: . 8.已知abc=432,且a+3b-3c=14. (1)求a,b,c; (2)求 4a-3b+c的值. 【能力提升】 9.如果xyz=135,那么= . 10 10.如图所示,已知线段AB. (1)经过点B作BDAB,使BD=AB. (2)连接AD,在DA上截取DE=DB. (3)在AB上截取AC=AE. 请你根据以上作法,证明点C是线段AB的黄金分割点. 【拓展探究】 11.已知a,b,c为 ABC的三边,且a+b+c=60 cm,abc=345,求 ABC的面积. 【答案与解析】 1.C(解析:C 中,所以,所以a,b,c,d是成比例线段.故选 C.) 2.A(解析:由,可设AP=2k,PB=5k,则AB=AP+PB=7k,所以.故选 A.) 3.B(解析:由比例的基本性质可得,故 A 错误;由比例的基本性质可得,两边同时加 1 可得,所 以 B 正确;根据比例的基本性 质不能得到,所以 C,D 错误.故选 B.) 4.C(解析:AMBM,AM是较长的线段,根据黄金分割的定义可知 ABAM=AMBM,AM=AB,AM0.618AB.故选 C.) 5.25 (解析:由 2x-5y=0,得 2x=5y,由比例的基本性质可得yx=25;等式两边都加 1 可得.) 6.(解析:由,可设a=5k,b=2k,所以.故填.) 7.(解析:如,1,2 成比例;1,2 也成比例.答案不唯一.) 8.解:(1)设a=4k,b=3k,c=2k.a+3b-3c=14,4k+9k- 6k=14,7k=14,k=2,a=8,b=6,c=4. (2)4a-3b+c=32-18+4=18. 9.-(解析:设x=k,y=3k,z=5k,所以=-.故填-.) 10.证明:设AB=2a,则BD=a,DE=a,在 RtABD中,AD=a,所以AE=AD-DE=a-a=(-1)a,所以 AC=AE=(-1)a,即AC=AB,所以点C就是线段AB的黄金分割点. 11.解:a+b+c=60 cm,abc=345,a=15 cm,b=20 cm,c=25 cm.152+202=252,ABC是直角三角形.ABC的面积为1520=150(cm2). 在教学设计中,通过欣赏形状相同、大小不同的生活图片,激发学生对本章学习的兴趣, 体会数学与生活息息相关,再以直观观察长方形的大小和形状是否相同,引出边之间的比,即 线段的比和成比例线段的概念,学生很自然地走进本章、本节的学习,在本节课中,主要内容 是有关概念和比例的基本性质,结合教学内容和各种活动,引导学生通过观察、思考、交流、 展示、归纳等活动获得结论,让学生经历知识的形成过程,加深对概念和性质的理解和掌握, 在教学中注意到了数学思想和方法的渗透,让学生体会到方程思想、由特殊到一般的数学思 想方法在解决问题时的应用,教学各环节之间衔接紧凑,课堂上学生思维活跃,尤其学习黄金 分割时,教学达到高潮. 本节课的内容是线段的比、成比例线段、比例的基本性质及黄金分割,内容看似简单, 但在概念的形成过程中易错点较多,在探究等比性质时,学生不易想到用设k法解决,计算黄 11 金比时又忽略方程思想的应用,所以在实际教学中学生探究并不容易,在学生遇到困难时,教 师应及时引导,降低学生思考难度,侧重于探究活动后的归纳总结,另外学生在课堂前半部分,展 示自己的热情不够,表现拘谨,所以在以后的教学中应鼓励学生大胆展示自己,善于发表自己 的看法,作为教师在数学课上要尽量给他们表现的机会. 成比例线段及比例的基本性质是研究本章相似三角形的基础,以生活实例导入本章内容,以 利用黄金分割解决实际问题结束本节课的学习,让学生感受数学在生活中的应用,激发学生 的学习积极性,在教学设计中,对于简单的概念教学,通过自主学习,合作交流等数学活动完 成,给学生充分展示自己的机会,既培养学生的自学能力,又能让各层次学生有成功的体验. 在探究比例的基本性质及计算黄金比时,教师针对学生可能遇到的困难加以引导,降低学生 探究的难度,在教学中渗透数学思想和方法,提高学生分析问题及解决问题的能力,培养勇于 挑战困难的精神. 练习(教材第 60 页) 1. 2.解:设a,b的比例中项为x cm,则x2=ab=49,解得x1=6,x2=-6(舍去).所以a,b的比例 中项是 6 cm. 3.提示:. 习题(教材第 60 页) A 组 1.解:60 km=6000000 cm,设线段的长度是x cm,则,解得x=6.答:线段的长度是 6 cm. 2.提示:,=1,=2. 3.提示:演员在表演时踮起脚尖,下半身与身高的比接近于黄金比,因此看起来更为优美. B 组 1.证明:(1),+1=+1,. (2),-1=-1,. 2.提示:比值相等;比值大约为(或 0.618). 注重联系实际,激发学习兴趣 本节课的成比例线段、比例的基本性质是本章学习的基础,所以本节课的成比例线段起 着承上启下的作用,我们的教学应该以人为本,关注学生、关注过程、关注发展,要体现这个 理念,就要激发学生的学习兴趣,提高教学的有效性.在教学导入环节,让学生欣赏形状相同、 大小不同的图片,感受数学与生活密切相关,在探究黄金分割时,展示众所周知的美的图片, 激发学生的学习热情,活跃课堂气氛,最后又以应用黄金分割知识解决上海东方明珠的问题, 让学生更加感受数学来源于生活,又应用到生活中去,在整个教学设计中,学生带着兴趣学习,会 收获更多的知识,享受更多的学习带来的快乐. 12 如图所示,以长为 2 的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在 BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上. (1)求AM,DM的长. (2)求证AM2=ADDM. (3)根据(2)的结论你能找出图中的黄金分割点吗? 解:(1)在 RtAPD中,AP=1,AD=2, 由勾股定理知PD=, AM=AF=PF-AP=PD-AP=-1, DM=AD-AM=3-. 故AM的长为-1,DM的长为 3-. 证明:(2)由(1)得AM2=(-1)2=6-2, ADDM=2(3-)=6-2, AM2=ADDM. 解:(3)能.点M是AD的黄金分割点. , 点M是AD的黄金分割点. 25.2 平行线分线段成比例 第课时 1.掌握平行线分线段成比例这一基本事实. 2.能应用平行线分线段成比例这一基本事实进行有关计算和证明. 通过应用平行线分线段成比例这一基本事实解决问题,提高学生分析问题、解决问题的 能力. 1.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例,培养学生动手操作能力及直觉思维. 2.通过画图、观察猜想、度量验证等实践活动,使学生获得数学猜想的经验,激发探究 知识的兴趣. 3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习 惯. 【重点】 1.掌握平行线分线段成比例这一基本事实. 2.能应用平行线分线段成比例这一基本事实解决有关问题. 13 【难点】 探索平行线分线段成比例的过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 准备距离相等的一组平行线(或语文横格本). 导入一: 【课件展示】 如图所示,在课前准备的语文横格本上任意画两条直线,分别交横格线于A,B,C与 D,E,F,你能得到线段AB与BC,DE与EF之间的数量关系吗? 【师生活动】 学生动手操作,作出猜想,独立思考如何证明两条线段相等,小组合作交 流答案,教师对学生的展示点评. 导入语 两条直线被图中距离相等的三条平行线所截,截得的线段是相等的,如果三 条平行线间的距离不相等,那么截得的线段之间有什么关系呢?这就是我们这节课要探究的 内容. 导入二: 复习提问: 1.什么是成比例线段? 2.比例的基本性质是什么? 3.你能通过测量快速将一根绳子分成两部分,使得这两部分的比是 23 吗? 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师对学生的回答点评. 设计意图 通过在学生熟悉的横格纸上探究线段之间的数量关系导入新课,激发学生 的学习兴趣,培养学生的动手操作及积极思考解决问题的能力,复习成比例线段的内容,为本 节课的学习做好铺垫,同时通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望. 过渡语 两条直线被三条平行线所截,所得的线段之间有怎样的关系?这就是我们这 节课要探究的内容. 一起探究 平行线分线段成比例 14 【课件展示】 如图所示,两条直线AC,DF被三条互相平行的直线l1,l2,l3所截,截得 的四条线段分别为AB,BC,DE,EF,平行线l1,l2之间的距离为d1,平行线l2,l3之间的距离为 d2.与相等吗? 思路一 (1)在课前准备的距离相等的横格纸中,横格线l1l2l3,任意作直线分别交横格线于 A,B,C与D,E,F(如图所示),则= ,= ,即 . (2)在课前准备的距离相等的横格纸中,横格线l1l2l3l4l5,任意作直线AE和 A1E1(如左下图所示),则= ,= ,即 ; = ,= ,即 . (3)在左上图中,你还能得到其他的比例式吗? (4)如右上图所示,对于任意一组平行线l1l2l3,直线AC,DF被三条平行线截得的对 应线段成比例吗? (5)尝试用语言概括你得出的结论. (一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比,都等于它们所对应的两条平行线之间 的距离之比) 【师生活动】 学生观察、思考、计算后,小组合作交流,得出结论,教师在巡视过程中 帮助有困难的学生,对学生的展示进行点评. (6)你能证明你得到的结论吗? 师生互动:教师给学生足够的时间进行交流,鼓励学生用不同的方法证明结论的正确性, 对学生的展示教师进行点评,鼓励学生的创造性思维. 【课件展示】 基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例. 几何语言: 如图所示,当直线l1l2l3时, 15 则. 追加提问: 1.如何理解对应线段? 2.上图中,你还可以得到哪些对应线段? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评归纳,强调应用基本事实时注意“对应线段” 成比例. 思路二 【课件展示】 如图所示,所有已知条件如前所述,结合下列条件回答:线段AB,BC之间 具有什么关系?等于多少?与相等吗?请说明理由. (1)在图(1)中,d1d2=12. (2)在图(2)中,d1d2=23. 【师生活动】 学生动手操作:分别度量图(1)和图(2)中的线段AB,BC,DE,EF的长度. 学生独立思考、小组合作交流下列问题. (1)根据度量的长度,你得到哪些线段成比例关系?尝试写出来. (2)这些成比例线段在图中的位置有什么关系? (3)猜想:如图所示,l1l2l3,两条直线AC,DF被平行线所截,与相等吗? (4)你能用语言概括你得到的结论吗? (一条直线被三条平行线所截得的两条线段之比,都等于它们所对应的两条平行线之间 的距离之比,即两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例) 教师活动:学生活动中,教师帮助有困难的学生,学生展示后教师点评,师生共同归纳基 本事实. (5)你能证明你得到的结论吗? 【师生互动】 教师给学生足够的时间进行交流,鼓励学生用不同的方法证明结论的正 确性,对学生的展示教师进行点评,鼓励学生的创造性思维. 【课件展示】 基本事实:两条直线被一组平行线所截,截得的对应线段成比例. 几何语言: 16 如图所示,当直线l1l2l3时, 则. 追加提问: 1.如何理解对应线段? 2.上图中,你还可以得到哪些对应线段? 【师生活动】 学生思考回答,教师点评归纳,强调应用基本事实时注意“对应线段” 成比例. 设计意图 通过动手操作,测量或计算得出对应线段的比的关系,然后做出猜想,证明 其结论的正确性,让学生体会从特殊到一般的探索过程,激发学生的求知欲,培养学生分析问 题的能力及归纳总结能力,同时通过对基本事实的证明,培养学生逻辑思维能力. 大家谈谈 【课件展示】 如图所示,当直线l1l2l3时,直线AC,DF被三条平行线所截,交点为 A,B,C,D,E,F,说出三组成比例的线段. 【师生活动】 学生独立思考后,小组合作交流,教师帮助有困难的学生,对学生的回答 点评、归纳,强调基本事实中线段之间的对应关系. 如,等. 拓展提问: 如图所示,直线l1l2l3时,你能得到对应线段成比例吗? 【师生活动】 学生独立完成回答,写出每个图中的其中一组比例式即可,教师根据学 生的回答进行归纳总结. 设计意图 通过学生之间的小组合作交流,对基本事实进行认定和拓展,提高学生的 发散性思维,培养学生之间的合作精神和合作意识.通过几种最具典型性和代表性的变式图 形,深化了学生对基本事实的认识. 练一练 17 1.(教材 64 页练习 1 题)如图所示,在正方形网格图中,每个正方形的边长均为 1,若 AB=BC,则DE和EF之间有什么关系?为什么? 【师生活动】 学生独立思考,完成解答过程,小组内交流答案,小组代表板书,教师点 评并规范解答过程. (板书) 解:DE=EF. 理由如下: ADBECF,. AB=BC,=1, DE=EF. 2.(教材 64 页练习 2 题)如图所示,l1l2l3,AB=3,BC=6,DE=2.求EF的长. 【师生活动】 学生独立思考,小组内交流答案,小组代表板书,教师点评、归纳并规范 解答过程. (板书) 解:l1l2l3, AB=3,BC=6,DE=2, , EF=4. 设计意图 通过练习,进一步掌握平行线分线段成比例这一基本事实,并归纳应用这 一基本事实可以证明线段相等和计算线段的长度,规范学生的解题格式,培养严谨的学习态 度. 知识拓展 1.平行线分线段成比例这个基本事实应用于平行线的图形中,用来直接判断线段成比例,或 将线段的比转化为其他的线段的比. 2.在应用平行线分线段成比例这个基本事实时,找准被平行线所截得的对应线段,被截 线段不一定平行,当“上比下”的值为 1 时,说明平行线间的距离相等. 1.平行线分线段成比例的基本事实. 语言叙述: 几何语言: 2.应用平行线分线段成比例的基本事实计算或证明. 1.如图所示,已知ABCDEF,那么下列结论中错误的是( ) 18 A.B. C.D. 解析:ABCDEF,故选项 A,B,D 正确;ABCDEF,故选项 C 错误.故选 C. 2.如图所示,已知直线abc,直线m,n与直线a,b,c分别交于点 A,C,E,B,D,F,AC=4,DF=4.5,BD=3,则AE等于( ) A.7 B.7.5C.8 D.10 解析:由平行线分线段成比例可得,所以,解得CE=6,所以AE=AC+CE=4+6=10.故选 D. 3.如图所示,直线l1l2l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及D,E,F,且 AB=3,DE=4,EF=2,则BC= . 解析:l1l2l3,AB=3,DE=4,EF=2,解得BC=.故填. 4.如图所示,ADBECF,直线l1,l2与直线AD,BE,CF分别交于点A,B,C和点D,E,F.已 知AB=4,BC=5,DE=5,求DF的长. 解:ADBECF, ,即, EF=, DF=DE+EF=5+. 第 1 课时 一起探究 平行线分线段成比例 大家谈谈 练一练 一、教材作业 【必做题】 19 教材第 64 页习题 A 组第 1,2 题. 【选做题】 教材第 65 页习题 B 组第 1,2 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图所示,直线l1l2l3,两直线AC和DF与l1,l2,l3分别相交于点A,B,C和点D,E,F. 下列各式中,不一定成立的是( ) A.B. C.D. 2.如图所示,直线ABCDEF,若AC=3,CE=4,则的值是 ( ) A.B.C.D. 3.如图所示,直线l1l2l3,另两条直线分别交l1,l2,l3于点A,B,C及点D,E,F,且 AB=3,DE=4,EF=2,则( ) A.BCDE=12B.BCDE=23 C.BCDE=8D.BCDE=6 4.如图所示,直线OMCDEF,若OE=7,CE=4,则= . 5.如图所示,已知ADBECF,它们依次交直线l1,l2于点A,B,C和点D,E,F,如果 DEEF=35,AC=24,则BC= . 20 6.如图所示,l1l2l3,两条直线与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.已知 AB=4,BC=3,DF=6,则DE= . 7.如图所示,梯形ABCD中,点E,F分别在AB,DC边上,ADBCEF,BEEA=12,若FC=2.5, 则CD= . 8.如图所示,l1l2l3,且AB=2BC,DF=5,AG=4,求GF,AF,EF的长. 【能力提升】 9.如图所示,l1l2l3,AB=3,BC=5,DF=12.求DE和EF的长. 【拓展探究】 10.如图所示,在 ABC中,AFFC=12,D是BF的中点,AD的延长线与BC交于点E,求 BEEC的值. 【答案与解析】 1.C(解析:直线l1l2l3,A,B,D 选项中的等式成立,C 选项中的等式不一定成立.故 21 选 C.) 2.C(解析:ABCDEF,AC=3, CE=4,.故选 C.) 3.D(解析:l1l2l3,AB=3,DE=4,EF=2,BCDE=ABEF=6.故选 D.) 4.(解析:OE=7,CE=4,OC=OE-CE=3,OMCDEF,.故填.) 5.15(解析:ADBECF,ABBC=DEEF=35,AC=24,BC=24=15.故填 15.) 6.(解析:l1l2l3,AB=4,BC=3,DF=6,解得DE=.故填.) 7.7.5(解析:ADBCEF,BEEA=12,FC=2.5,FD=5,CD=FC+FD=7.5.) 8.解: l1l2l3,AB=2BC,AG=2GF,DE=2EF,AF=3GF,DF=3EF,GF=2,AF=4+2=6,EF=. 9.解:l1l2l3,ABBC=DEEF,AB=3,BC=5,DF=12,35=DE(12-DE), DE=4.5,EF=12-4.5=7.5. 10.解:如图所示,过点C作CMAE,过点F作AE的平行线交BC于点G.由平行线分线段成比 例,可得,又D是BF的中点,BD=DF,同理易得=1,. 本节课的主要内容是探究平行线分线段成比例这一基本事实,并且能根据这一基本事实 解决有关问题,学生经历动手操作、观察、计算、比较、讨论、归纳等教学活动,人人参与 课堂,积极展示,学生成为课堂的主人.在教学设计中,通过学生动手操作,在横格纸上画直线,共 同归纳平行线等分线段,导入新课,为本节课的学习做好铺垫,以导入为特例,让学生经历由 特殊到一般的探究过程,做出猜想,给出证明,师生共同归纳平行线分线段成比例这一基本事 实,学生经历知识的形成过程,培养学生逻辑思维能力和严谨的学习精神. 本节课的主要内容是探究平行线分线段成比例这一基本事实,并能根据这一事实进行有 关计算,内容较少,教学设计时想让学生经历由特殊到一般的探究过程,突出体现学生的主体 意识,但老师引导不到位,学生在实践活动中不是很积极主动,教师对出现的问题处理得不是 很清楚,学生对本节课的重点掌握不是很好,尤其是由平行线得到的几个比例式,学生模糊不 清,在以后的教学中拓展部分应给学生足够的时间讨论、交流. 本节课的重点是让学生经历探究平行线分线段成比例这一基本事实的过程,在教学设计 22 中,通过学生动手操作、测量、比较,在特殊情况下得到线段成比例这一结论,然后做出猜想,学 生通过互相交流给出证明过程,让学生体会由特殊到一般的数学思想方法,通过证明猜想,提 高学生逻辑思维能力,最后师生共同归纳这一基本事实,在教学设计中注重学生课堂学习的 参与度,给学生更大的活动空间,达到提高学生学习能力的目的. 练习(教材第 64 页) 1.解:DE=EF.理由如下:由题可知.AB=BC,=1,DE=EF. 2.解:因为l1l2l3,所以,因为AB=3,BC=6,DE=2,所以EF=4. 习题(教材第 64 页) A 组 1. 2.证明:ADBECF,=k,DE=kEF. B 组 1.证明:(1)ADBECF,.,即,. (2)由(1)知,即,即 1-=1-,. 2.解:l1l2l3,则DF=DE=DE=c=. 重视知识形成过程 培养学生学习能力 本节课的重点是平行线分线段成比例这一基本事实,难点是这一基本事实的探究过程, 在教学设计中突出学生的主体作用,在教师问题的引导下,学生小组合作交流,归纳结论,学 生人人参与课堂,培养学生与他人合作的意识,同时学生在自主学习中探索出数学结论,培养 学生的发散性思维和创造性思维,体会类比、从特殊到一般的数学思想方法,从而提高数学 能力.总之,通过数学活动的设计,层层深入探索,使知识得到升华. (2015眉山中考)如图所示,ADBECF,直线l1,l2与这三条平行线分别交于 点A,B,C和点D,E,F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.8 解析 ADBECF,AB=1,BC=3,DE=2,解得EF=6.故选 C. 第课时 23 1.掌握“平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比 例”. 2.掌握“平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形与原三角 形的对应边成比例”. 3.能应用平行于三角形一边的直线的性质进行有关计算和证明. 1.通过平行线分线段成比例这一基本事实到三角形中的转化,体会数学中的化归思想及 数形结合思想. 2.通过应用平行于三角形一边的直线的性质解决问题,提高学生分析问题、解决问题的 能力. 1.通过探究平行于三角形一边的直线的性质,体会事物之间的普遍联系,感受探索知识 的乐趣. 2.培养学生积极思考、动手、观察的能力,感悟几何知识在生活中的应用价值. 3.在探究活动中通过小组合作交流,培养学生共同探究的合作意识及探索实践的良好习 惯. 【重点】 平行于三角形一边的直线的性质. 【难点】 探索平行于三角形一边的直线的性质的过程. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P6567. 导入