七年级数学第4章 基本平面图形教学案北师大版

1 第四章第四章 基本平面图形基本平面图形 1.通过丰富的实例,认识线段、射线、直线、角等简单平面图形. 2.能用符号表示角、线段;理解与多边形和圆有关的概念. 3.会进行线段或角的比较,能估计一个角的大小,认识度、分、秒,会进行角的单位换算. 4.初步培养学生的识图能力、语言表达能力及逻辑思维能力. 1.经历观察、测量、折叠、模型制作等活动,发展空间观念. 2.经历在操作活动中探索图形性质的过程,了解简单图形的性质,发展有条理的思考与 表达能力. 1.培养学生自主学习、主动参与、主动交流合作的意识和能力,在小组合作交流活动中 互相激发灵感,取长补短,培养学生团结合作的学习精神. 2.在探讨问题的过程中,提高学生动脑、动手能力,提高学生分析问题和解决实际问题 的能力,从而树立学习数学的信心. 本章首先接触的是简单的平面图形线段和角,重点学习这两种平面图形的表示、度 量和比较,由于线段和角有许多相似之处,因此教学中可指导学生类比线段学习角,在解决完 这两种基本图形的基础上,又认识了多边形和圆. 线段和角是几何图形中的基本元素,多边形和圆的初步认识是以后深化多边形和圆的学 习的基础.因此本章知识在几何中占据基础性的地位,对于以后的学习具有重要的铺垫作用. 教材在编排上力求使学生通过观察、操作、归纳等方法,从现实背景中抽象出有关的几何图 形,进而研究它们的性质.在研究的同时,初步体验学习几何的基本方法,获得初步的数学活 动经验,因此本章无论在知识上还是在学法上都具有积极的引导作用. 本章内容是学习平面几何知识的入门知识.通过本章内容的学习,学生能理解、掌握平 面中线段、直线、射线、角、多边形和圆等最简单、最基本的概念,掌握这些基本概念的表 示方法以及它们的一些简单而直观的性质.教材在设计上注重通过现实的几何图形进行引导,利 于学生对各种几何概念的直观意义的理解,有助于学生从具体到抽象、从特殊到一般地认识 和理解有关的几何概念.对于学到的基本平面图形知识还原到生活中去,增强学生应用数学 的意识. 【重点】 线段、射线、直线、角的概念及表示方法;线段、角的度量及大小比较;多 边形和圆的有关概念. 【难点】 运用有关的性质进行合理描述,并会解决实际问题;会根据图形的相关性质 进行有条理的思考和表达. 2 1.现实中的几何实例与数学中的几何对象是具体和抽象、特殊和一般的关系,在实际教 学中,如何引导学生从具体的实例中抽象出事物的一般性,是教学中的一个难点,这方面的处 理是否得当直接关系到学生能否准确地理解数学中的各种几何概念. 2.几何量的度量是几何中基础而重要的问题,是培养学生准确的几何观念的重要内容. 教师通过让学生使用直尺、三角板、量角器和圆规等常用的数学工具,培养学生严谨的科学 态度和基本的使用工具的能力,对于学生在日常生活中使用其他工具解决实际问题也很有帮 助. 3.几何知识应该在几何的实际背景中讲授.本章内容包含了大量的生活实例,有利于学 生克服数学中抽象而形式化的困难,对学生准确理解并掌握几何概念以及一些简单性质十分 有利. 4.在教学中,应该鼓励学生通过观察、思考、实践和归纳等活动,理解和掌握本章的主 要内容.教师要避免单纯地讲授知识,应该多留给学生实践和思考的时间. 5.本章知识主要是一些基本的几何概念和它们的简单性质,在教学过程中多鼓励学生将 每一个概念和性质与生活中的具体实例联系起来,这样有利于学生更好地理解和掌握有关知 识,又能够进一步培养学生理论联系实际的学习习惯. 1 线段、射线、直线1 课时 2 比较线段的长短1 课时 3 角1 课时 4 角的比较1 课时 5 多边形和圆的初步认识1 课时 本章概括整合1 课时 1 线段、射线、直线 1.通过图形理解并区别线段、射线、直线的概念. 2.能够准确地画出线段、射线和直线. 3.认识点和线之间的关系. 通过让学生举出生活中的实例,从中抽象出线段、射线以及直线的几何模型,使学生能 够理解三种线之间的区别和联系,掌握它们各自的表示方法. 1.体会数学是如何将现实中具有相同特性的一类事物抽象出其本质属性,然后通过数学 3 语言表示出来的过程. 2.认识到一个事物表示方法的不唯一性;通过作图养成严谨的治学态度. 3.了解曲线和直线之间的辩证关系,认识图形世界的丰富多彩,培养学生的审美观. 【重点】 1.理解并掌握线段、射线、直线的概念以及它们之间的区别. 2.掌握线段、射线、直线的表示方法. 【难点】 1.能够从实例中抽象出线段、射线和直线的模型. 2.能准确地画出线段、射线和直线. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材 P106107. 导入一: 过渡语 丰富的图形世界是由一些简单的图形构成的,观察图片,你能“看到”哪些 平面图形?除了图中的情形外,你还能举出其他的例子吗? 活动内容 用多媒体出示一组生活中的图片,有绷紧的琴弦、手电光束、笔直铁轨、筷子图、人行 横道.让学生观察. 师:你们能在其中发现我们所熟知的几何图形吗? 处理方式 自由发言,认识到线段、射线、直线在生活中是普遍存在的. 设计意图 利用生活中的情境,激发学生的学习兴趣,让学生感受从实际问题中抽象 出所要了解的图形的过程,同时在解答问题中形成认知冲突,激发学生的学习热情. 根据学 生的回答,有的不完全是教师想要的线段、射线和直线,教师可用一些过渡的语言点拨,我们 今天的研究和学习就从其中最简单的图形线段、射线、直线开始.(教师板书课题:1 线段、射线、直线) 导入二: 师:西游记这部电视剧同学们看过吗? 生:看过. 师:在这部电视剧中给你们留下深刻印象的人物是谁? 生:孙悟空. 师:下面我们一起来欣赏一段西游记中的精彩片段.(学生看视频) 师:通过刚才的视频短片,我们感受到了金箍棒的神奇.孙悟空手中的金箍棒在没有发生 变化时,给我们以什么样图形的近似形象? 4 生 1:圆柱. 生 2:线段. 师:当金箍棒向一个方向无限延长,又给我们什么样图形的近似形象? 生:射线. 师:当金箍棒向两个方向无线延长,又能给我们什么样图形的近似形象? 生:直线. 师:其实在我们的身边、在我们的日常生活中,很多物体也能给我们这样的近似形象,我 们来看一组生活中的图片.(出示图片) 师:绷紧的琴弦、霓虹灯发出的灯光、笔直的铁轨分别给我们什么样图形的近似形象? 生:线段、射线、直线. 师:我们在小学里已经初步学习了线段、射线、直线,从今天开始让我们共同走进平面 图形的世界,本节课将要和同学们一起进一步研究线段、射线、直线.(教师板书课题:1 线 段、射线、直线) 设计意图 利用西游记中的精彩视频以及生活中熟知的情境图片给学生展现了 线段、射线、直线的近似形象,使学生感受生活中所蕴含的图形,既活跃了课堂气氛,也激发 了学生的学习兴趣.让学生感受从实际问题中抽象出所要了解的图形的过程,同时在解答问 题中形成认知冲突,激发学生的学习热情,将学生的注意力迅速转移到课堂. 探究活动 1 生活中的线段、射线和直线 过渡语 生活离不开数学,数学来源于生活.以上美丽的图片中也包含着我们的数学 知识. 从下面的三幅图片中,你能观察出它们哪些部分分别可以近似地看作我们小学学过的线 段、射线和直线? 处理方式 学生观察思考,绷紧的琴弦可以近似地看作线段,探照灯射出的光线可以 近似地看作是射线,笔直的铁轨可以近似地看作直线,立足现实背景呈现线段、射线、直线 的概念. 设计意图 以学生熟知的现实生活为背景,让学生充分感受生活中所蕴含的三种基本 的几何图形,立足现实背景呈现线段、射线、直线的概念,激发学生的好奇心. 探究活动 2 线段、射线、直线的概念及表述方法 思路一 让学生动手在练习本上尝试画线段、射线和直线. 议一议:认真观察所画的线段、射线和直线,合作探索这三种线的特征,并用自己的语言 叙述出来,然后根据自己的探索和教材第 106 页的图 4 - 1,4 - 2,4 - 3 的提示,总结出线 段、射线和直线的表述方法. 生 1:绷紧的琴弦、人行横道线都可以近似地看作线段. 生 2:线段包括它的两个端点,线段不能无限延伸,因此可以度量,但可以向两个方向延 长. 生 3:画线段时要画出两个端点,且不能超出两个端点之外. 生 4:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.射线虽然有一个端点,但它可以向另一 个方向无限延伸,所以它没有长短,因此不可以度量.画射线要画出一个端点,且向一方延伸. 生 5:将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线没有端点,不可以度量.画直线时 可以画一条直的线或在线上标注两个点给人以无限延伸的形象. 5 设计意图 在具体的情景中理解线段、射线、直线的定义,并了解线段、射线、直线 的画法. 思路二 问题:在数学里,我们常用字母表示图形.一个点可以用一个大写字母表示,如图“”, 这个点可以表示成点A,那么一条线段、一条射线、一条直线又该怎样表示呢?请同学们自 主学习线段、射线、直线的表述方法.(教材第 106 页) 处理方式 学生自主学习,用自己的语言总结、叙述线段、射线、直线的表述方法, 教师补充并借助多媒体. (1)线段的图形及表示方法. 用两个端点的大写字母来表示,或用一个小写字母表示,如图(1)所示,可以写成线段 AB、线段BA、线段a. (2)射线的图形及表示方法. 射线的表示:用它的端点和射线上的另一点来表示,如图(2)所示,可以写成射线AB.同 时注意引导归纳:这两个点的排列顺序不能互相交换,表示端点的字母必须写在另一个字母 的前面,也不能用一个小写字母表示. (3)直线的图形及表示方法. 用直线上的两个点来表示或用一个小写字母来表示,如图(3)所示,可以写成直线AB、 直线BA、直线l. 探究活动 3 从生活中寻找线段、射线、直线 生活中,有哪些物体可以近似地看作线段、射线、直线?学生讨论后举例子,如:吃饭的 筷子、铅笔给我们以线段的形象;手电筒、激光笔射出的光线都给我们以射线的形象;高速 路上的白色实线等给我们以直线的形象. 设计意图 让学生充分交流,丰富线段、射线、直线的生活背景,进一步巩固所学的 线段、射线、直线的知识,并从中使学生感受现实生活中含有大量的数学信息,提高学习兴 趣,培养学生分析、解决问题的能力. 探究活动 4 线段、射线、直线的区别 思路一 观察图形,你能发现直线、射线、线段的联系和区别吗? 图形名 称 图形表示方法端点个数延伸性 能否度 量 线段 线段a线段AB线段 BA 2 个不能延伸可度量 射线射线OA1 个 向一方无限 延伸 不可度 量 直线 直线l直线AB直线 BA 无端点 向两个方向 无限延伸 不可度 量 注意:射线的端点字母要放在前面,用一个字母表示线段、直线时要用小写字母. 设计意图 让学生自己总结归纳,通过比较直线、射线、线段的联系和区别,加深学 生理解线段、射线、直线的概念,以及它们的区别与联系,进一步发展学生抽象概括的能力. 思路二 填写表格: 图形名称图形表示方法 端点个数延伸性能否度量 线段 射线 6 直线 处理方式 学生积极思考,与同伴交流、合作探索,教师巡视,留意学生合作交流的情 况,适时指导,对学生的回答做出积极评价,同时借助多媒体给出的表格寻求线段、射线、直 线的区别和联系. 猜猜看:你能说出下列谜语的谜底吗? (1)有始有终打一线的名称. (2)有始无终打一线的名称. (3)无始无终打一线的名称. 设计意图 让学生主动参与活动、参与数学概念、数学思维的形成过程.感受线段、 射线、直线的区别与联系,最后举例加以验证,有利于培养学生的归纳、比较、抽象、概括 等能力.有趣的谜语增强了学生的感性认识,有助于学生进一步认识和记忆三线的概念. 巩固练习(一) 请用两种方式分别表示出右图中的两条直线,点O是两条直线的公共点.根据直线的两 种表示方法可以表示为:直线BO或直线m,直线AO或直线n. 设计意图 巩固直线、射线、线段的表示方法,训练图形语言与文字语言的相互转化. 探究活动 5 直线的性质 出示问题:做一做. (1)过一个点A可以画几条直线? (2)过两点A,B可以画几条直线? (3)如图所示,如果将一根细木条固定在墙上,至少需要几个钉子?它的依据是什么? 分析:过一个已知点可以画无数条直线,过两个已知点可以画出直线但只能画一条直线. 处理方式 引导学生动手画图,自主思考,相互讨论,描述从操作中所发现的结论,与 学生共同总结直线性质并板书“经过两点有且只有一条直线”. 注意: (1)“有”表示存在性,“仅有”表示唯一性. (2)直线的性质还可以说成“两点确定一条直线”. 设计意图 学生通过动手画图,培养几何作图能力,并在作图过程中发现直线的某些 性质. 巩固练习(二) 如右图所示,木匠师傅锯木料时,一般先在木料上画出两个点,然后过这两点弹出一条墨 线,这是为什么? 生:根据直线的基本性质“经过两点有一条直线,并且只有一条直线”,经过木料上画出 的两个点能弹出一条笔直的墨线,而且只能弹出一条这样的墨线. 师:请你举出一个能反映“经过两点有且只有一条直线”的实例. 生 1:射击时,目标在准星和缺口确定的直线上. 生 2:耕完地以后打畦田,先由两头确定直线,再画石灰线. 生 3:建筑工地垒墙时要挂线. 设计意图 给学生足够的时间,并鼓励他们积极思考,使学生联系实际,达到学以致用 的目的. 探究活动 6 拓展探索,实现创新 出示问题:通过画图分析,填空. 7 (1)当直线a上标有一个点时,可得到 条射线, 条线段; (2)当直线a上标有两个点时,可得到 条射线, 条线段; (3)当直线a上标有三个点时,可得到 条射线, 条线段; (4)当直线a上标有四个点时,可得到 条射线, 条线段; (5)当直线a上标有n个点时,可得到 条射线, 条线段. 分析:借助图形探索规律,可得:当直线a上标出一个点时,可得到 2=21 条射线,0 条 线段;当直线a上标出两个点时,可得到 4=22 条射线,1 条线段;当直线a上标出三个点时,可 得到 6=23 条射线,3=1+2 条线段;当直线a上标出四个点时,可得到 8=24 条射线, 6=1+2+3 条线段;当直线a上标出n个点时,可得到 2n条射线,条线段. 设计意图 通过“数线段”的活动,拓宽学生的思路,提高学生的思维能力,引发学生 将一些生活问题转化为数学问题来思考. 知识拓展 1.线段无粗细之分,有两个端点.理解线段的概念要掌握它的三个特征:直 的、有两个端点、可以度量. 2.射线:将线段向一个方向无限延长就形成了射线.手电筒、探照灯等射出来的光线可 以近似地看成射线.射线的特点:直的、有一个端点、向一方无限延伸. 3.直线:将线段向两个方向无限延长就形成了直线.直线的特点:直的、没有端点、向两 方无限延伸. 4.经过两点有且只有一条直线,可以简述为:两点确定一条直线.“有且只有”中的“有” 表示存在性,“只有”表示唯一性,“确定”与“有且只有”的意义相同. 1.线段、射线、直线的概念. 2.线段、射线、直线的表示方法. 3.直线的性质:(1)两条直线相交,只有一个交点.(2)经过两点有且只有一条直线,可以 简述为:两点确定一条直线. 1.手电筒射出来的光线给我们的形象是( ) A.线段 B.射线 C.直线 D.折线 解析:手电筒射出来的光线是向一方无限延伸的,只有射线符合这个特点.故选 B. 2.经过A,B,C三点的任意两点,可以画出的直线条数为 ( ) A.1 或 2 B.1 或 3 C.2 或 3 D.1 或 2 或 3 解析:当三点在同一条直线上时,可以画出一条直线;当三点不在同一条直线上时,可以 画出三条直线,故选 B. 3.线段有 个端点,射线有 个端点,直线 端点. 解析:线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点. 答案:两 一 没有 4.在直线l上取三点A,B,C,共可得 条射线, 条线段. 解析:从直线上的一点向两方取射线可以得到 2 条,三个点可以得到 6 条射线,3 条线段. 答案:6 3 5.要把木条固定在墙上至少需要钉 个钉子,依据是 . 解析:由两点确定一条直线可知至少需要两个钉子. 答案:两 两点确定一条直线 1 线段、射线、直线 1.线段 2.射线 3.直线 4.线段、射线、直线的区别与联系 8 一、教材作业 【必做题】 教材第 108 页习题 4.1 的 1,2 题. 【选做题】 教材第 108 页习题 4.1 的 3,4 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图所示,下列不正确的几何语句是( ) A.直线AB与直线BA是同一条直线 B.射线OA与射线OB是同一条射线 C.射线OA与射线AB是同一条射线 D.线段AB与线段BA是同一条线段 2.如图所示,观察图形,下列说法正确的个数是( ) 直线BA和直线AB是同一条直线;射线AC和射线AD是同一条射线;三条直线两两相 交时,一定有三个交点. A.1 B.2 C.3 D.0 【能力提升】 3.已知点B,C在线段AD上,下图中以A为一个端点的线段有几条?以B为一个端点的线段有 几条?以C为一个端点的线段有几条?以D为一个端点的线段有几条?图中共有多少条线段? 请分别表示出来. 4.如图所示,A,B,C,D 四个图形中各有一条射线和一条线段,它们能相交的是( ) 【拓展探究】 5.按要求作图: 如图所示,在同一平面内有四个点A,B,C,D.画射线CD;画直线AD;连接AB;画直线 BD与直线AC相交于点O. 6.阅读下表: 线段AB上的点数n(包括A,B两点) 图例线段总条数y 33=1+2 9 46=1+2+3 510=1+2+3+4 6 解答下列问题: (1)在表中空白处分别画出图形,写出线段总条数; (2)猜测线段总条数y与线段上的点数n之间有什么关系; (3)当n=10 时,计算y的值. 【答案与解析】 1.C(解析:射线OA与射线AB不是同一条射线,因为端点不同.) 2.B(解析:直线BA和直线AB是同一条直线,正确;射线AC和射线AD是同一条射线,都 是以A为端点,同一方向的射线,正确;三条直线两两相交时,一定有三个交点,错误,也可 能只有一个交点.所以共有 2 个正确的.故选 B.) 3.解:3 条,分别是线段AB,AC,AD;3 条,分别是线段BA,BC,BD;3 条,分别是线段CA,CB,CD;3 条,分别是线段DC,DB,DA.图中共有 6 条线段,分别为线段AB,AC,AD,BC,BD,CD. 4.C(解析:直线的特点是两端都没有端点、可以向两端无限延伸;射线是有一个端点,向一端 可以无限延伸;线段是有限的长度,不能无限延伸,可以测量.故选 C.) 5.解:如图所示. 6.解析:当n=3 时,线段总条数 3=1+2=;当n=4 时,线段总条数 6=1+2+3=;当n=5 时,线段总条 数 10=1+2+3+4=;当点数为n时,线段总条数y=. 解:(1)图形如图所示,线段总条数为 15=1+2+3+4+5. (2)y=. (3)当n=10 时,y=45. 在这次教学活动中,利用多媒体为学生创设了生动、直观的活动情景,充分调动了学生 的学习积极性.采用了探究式教学模式,充分发挥了学生的主体作用,体现了学生自主学习、 合作学习、探究学习、操作学习的数学学习策略,使学生真正成为课堂的主人. 在设计中没有关注学生的人文价值和情感态度,没有及时鼓励学生的积极参与与探究的 信心. 教师及时参与到学生的学习小组,发现问题并及时解决问题. 随堂练习(教材第 107 页) 1.解:例如:栽树时只要确定两个树坑的位置,就能确定一行树坑所在的直线. 2.提示:选择的字母不同,表示就不同. 习题 4.1(教材第 108 页) 1.解:直线AO或直线n;直线OB或直线m. 10 2.解:如图所示. 3.解:经过两点有且只有一条直线. 4.解:(1)如图(1)所示,为叙述方便,可以给原图的 7 根火柴棒编上号,分别去掉原图的火柴 棒,就可以摆出 1,2,3,4,5,6,7,9,0 九个数字. (2)如字母 B 可以用如图(2)所示的图形表示,其他略. 教法:采用让学生自学、回顾、探究、反思、自评的教学方式,让学生的主体地位得到 充分体现;从学生好奇、好学、好问、好动手等心理特点出发,通过作图、问答反思等方式 充分暴露学生的思维;同时结合学生的生活经验,把理论与实际的应用合为一体,帮助学生在 学习的过程中理解、掌握新知识,提高他们的自学能力和解决实际问题的能力. 学法:引导学生主动探索,发现问题;互动合作,解决问题;归纳概括,形成能力. 指出图中线段、射线、直线分别有多少条,并把线段表示出来. 解析 数线段时从一端数,不回头;数射线时找端点,一个端点两条射线. 解:线段有 3 条,分别为线段AB,线段AC,线段BC.射线有 6 条.直线有 1 条. 解题策略 引导学生回想前面所学线段、射线、直线表示方法的区别与联系,说一 说怎样表示线段、射线、直线,然后让学生完成本道题的回答,最后教师提问、点拨怎样数 线段、射线、直线. 2 比较线段的长短 1.直观理解两点之间线段最短的性质. 11 2.能够用圆规画一条线段与已知线段等长. 3.利用直尺和圆规等简单工具比较两条线段的长短. 学生通过自主学习,在生活经验中获得知识,并通过实际操作掌握正确的作图方法. 1.感受数学无处不在. 2.使用工具解决数学问题的意识和能力. 【重点】 1.在观察和实践的基础上认识“两点之间线段最短的性质”. 2.会使用直尺和圆规比较两条线段的长短. 【难点】 1.使用圆规进行作图. 2.使用直尺等工具比较两条线段的长短. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材. 导入一: 过渡语 同学们,老师今天想考考你们的眼力如何?看看谁具有一双慧眼. 问题 1 如图所示,从A地到B地共有五条路,小红应选择第 条路最近. 生:选择第条路最近. 师:你具有一双慧眼,根据生活经验,可以发现“两点之间的所有连线中,线段最短”,我 们把这一事实简述为“两点之间,线段最短”,把两点之间线段的长度叫做两点之间的距离. 问题 2 图中两条线段a与b的长度谁长谁短? 生 1:a长. 生 2:一样长. 师:看来这个问题挺有迷惑性哦,实际上a与b的长度一样长,在现实生活中有很多事情 12 我们不能光凭直觉,还需要用事实来说明,今天老师将和同学们一起来学习有关比较线段长 短的方法. 设计意图 问题 1 通过对寻找最短路径的设计引出线段的性质及两点之间距离的概 念,问题 2 的设计主要是想让学生明确数学的严谨,不能只通过眼睛来看问题,从而引出比较 线段长短的必要性. 导入二: 师:什么叫线段、射线和直线?它们之间的联系和区别是什么? 让学生观察如图所示的图片(多媒体出示图片),并回答两点之间什么最短. 处理方式 第 1 问学生口述,第 2 问由第 1 问作为基础,这时教师要恰当引导,以问题 的形式提示,例如:这样做好不好?不好,为什么还要这样做?这其中蕴含着怎样的数学道理? “抄近路”就是运用两点之间线段最短的原理,学生会很快接受这个道理.学生容易发现结 论:两点之间的所有连线中,线段最短,可以简述为:两点之间线段最短.教师适时补充定义: 两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离. 设计意图 利用生活中可以感知的新闻情境,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中 所蕴含的数学道理.学生水到渠成知道两点之间线段最短,并学习两点间的距离的定义. 探究活动 1 探究性质“两点之间线段最短” 出示问题:如图所示,从A地到C地有四条路,哪条路最近? 处理方式 点名让学生选择自己要走的路,从A到C地的四条路中,一般地,人们会 走中间的直路,而不会走其他曲折的路,如果把这些路看成各种形状的线,显然线段AC最短, 进而引导学生得出结论:两点之间的所有连线中,线段最短.可以简述为:两点之间线段最短. 设计意图 学生通过观察得出结论,增强对图形的直观体验,感受到发现的乐趣,从而 产生学习数学的成就感. 从上面的例子中可以发现线段AC最短,我们把两点间线段的长度叫做两点之间的距离. 那么线段AC的长度就是A与C两点之间的距离. 两点间的距离是长度,是一个数量,而不是 线段图形本身. 跟踪练习 小狗、小猫为什么都选择直的路? 处理方式 学生一定会给予肯定的回答,重点引导学生解释原因:两点之间线段最短. 设计意图 通过学生喜欢的漫画增强对知识的理解与应用. 13 思路一 活动内容 教材议一议的内容. 问题 1 怎样比较两棵树的高矮?怎样比较两根铅笔的长短?怎样比较窗框相邻两边的长? 问题 2 在黑板上画出两条线段,同时让学生在草稿纸上画出两条线段,让学生思考、讨论比较 方法. 处理方式 先在具体问题中设问,让学生自由发言,使他们在解答问题中形成认知冲 突,激发学生的解决问题的热情.然后教师点明课题:把两棵树的高度、两根铅笔的长、窗框 相邻两边的长看成两条线段,怎么比较它们? 设计意图 利用生活中可以感知的情景,极大激发学习兴趣,使学生感受生活中所蕴 含的数学道理.让学生感受从实际问题中抽象出所要比较的线段大小的过程. 动手实践:怎样比较下面两条线段的长短呢? 图(1)将线段AB移到线段CD上,使线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B 与端点D重合,则得到线段AB等于线段CD,可以记为AB=CD.图(2)将线段AB移到线段CD上,使 线段AB的端点A与线段CD的端点C重合,若端点B落在线段CD上,则得到线段AB小于线 段CD,可以记作ABCD. 重叠比较法:将两条线段的各一个端点对齐,另外两点在重合点的同侧,再看另一个端点 的位置. 设计意图 学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口 能力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的思想. 跟踪练习 如图所示,比较折线AB和线段CD的长短,你有什么方法?需要什么工具? 处理方式 让学生独立思考完成,找学生代表回答并演示. 生:我可以用度量法,折线AB可以一段一段地测量然后相加,线段CD可以直接测量,就 可以比较长短了.所以我只需要刻度尺就可以了.我还有一种方法,利用圆规把折线一段一段 放到线段CD上就可以比较了.所以我只需要圆规就可以了. 设计意图 开拓学生思维,学以致用,顺其自然地过渡到用尺规作一条线段等于已知 线段. 思路二 14 活动内容 怎样比较两条线段的长短? 方法一: 测量法 (工具:可用刻度尺). 教师利用多媒体演示. 方法二:叠合法 (工具:可用圆规). 教师利用多媒体演示. 度量法:即用一把刻度尺量出两条线段的长度,再进行比较,如图所示. 4.1 cm3.1 cm 叠合法:起点对齐,看终点. (1)如果点B与点D重合,记作AB=CD,如图(1)所示. (2)如果点B在线段CD的延长线上,记作ABCD,如图(2)所示. (3)如果点B在线段CD上,记作ABCD. 说明:如果两条线段的长短相差很大,就可以直接观测进行比较. 设计意图 师生交流并归纳出线段长短的比较方法,教师用多媒体演示比较过程,先 让学生动手操作,独立完成,更能加深学生的体会,这样的设计能让学生体会方法的获得过程.应 关注全体学生,充分调动他们的积极性,让他们广泛参与、积极主动地学习. 探究活动 2 探索作一条线段等于已知线段(尺规作图) 尺规作图:只用没有刻度的直尺和圆规画图称为尺规作图. 示范作图:同学们对比较线段长短的方法掌握得很好,下面我们一起探究一下如何用圆 规作一条线段等于已知线段. 演示画法:如图所示,已知线段AB, 先作一条射线AC; 用圆规量取已知线段AB的长度; 在射线上截取AB=AB,线段AB就是所求的线段. 跟踪练习 已知线段a,b,画一条线段c,使它的长度等于a+b. 设计意图 这里是学生第一次应用直尺、圆规进行基本作图,必须予以充分重视.首 15 先要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出 结果. 探究活动 3 探索中点的概念及应用 思路一 过渡语 同学们如何找到一条绳子的中点呢? 处理方式 (拿出准备好的绳子)这个很简单,对折一下就可以得到中点了.学生可以 有多种方法,激发学生的创新思维. 设计意图 学生通过游戏,抽象出线段的中点.学生从玩过的游戏中学到线段中点的 有关知识,既降低了学习知识的难度,又激发了学生学好数学的信心. 出示问题:谁可以描述一下中点的概念呢?(对照图形,如图所示)你是否可以把他们之间 的关系表示出来呢? 点M把线段AB分成相等的两条线段AM和BM,点M是线段AB的中点.板书AM=MB=AB 或AB=2MB=2AM 设计意图 通过游戏将抽象的问题简单化,揭示了线段中点的主旨,又将简单的问题 公式化,使知识得到升华,培养了学生分析问题的能力. 思路二 师:如图所示,在图中,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,则点M叫做线段AB 的中点. 若M是线段AB的中点,则AM,BM,AB间有怎样的数量关系? 生 1:AM=BM=AB. 生 2:AB=2AM=2BM. 师:若AM=BM=AB,则说明什么问题? 生 3:M是线段AB的中点. 师:若AB=3 cm,你能求出其他两条线段的长吗? 生 4:因为M是线段AB的中点,所以AM=BM=1.5 cm. 师:若AM=2 cm,你能求出其他两条线段的长吗? 生 5:因为M是线段AB的中点,所以BM=2 cm,AB=4 cm. 师:如果M不是线段AB的中点,是否还具有这样的性质呢? 生 6:不具有. 师:这是中点特有的性质,所以同学们在利用中点求线段的长度的时候一定要看清楚条 件. 知识应用,巩固提高 (教材做一做)如图所示,在直线l上顺次取A,B,C三点,使得AB=4 cm,BC=3 cm,如果O 是线段AC的中点,那么线段OB的长度是多少? 解:因为AB=4 cm,BC=3 cm, 所以 AC=AB+BC=7 cm. 因为 点O是线段AC的中点, 所以OC=AC=3.5 cm. 所以OB=OC - BC=3.5 - 3=0.5(cm). 答:线段OB的长为 0.5 cm. 16 设计意图 进一步巩固中点概念,熟练应用中点进行解题,注意数形结合及分类思想. 知识拓展 1.两点之间的连线,可能是笔直的,也可能是弯曲的,在这些线中,笔直的 线(即连接两点的线段)是最短的. 2.两点间的距离是指线段的长度,是一个数,而不是线段本身,线段本身是一个图形. 3.比较两棵树的高度、两支铅笔的长短实质都是比较两条线段的长短,比较两条线段的 长短的方法一般为度量法和叠合法. 1.线段的基本性质:两点之间线段最短. 2.两点之间的距离:两点之间线段的长度. 3.线段的两种比较方法:叠合法和度量法. 4.线段的中点的概念及表示方法. 1.把弯路改成直路,就能够缩短行程,其道理用几何知识解释为 . 答案:两点之间线段最短 2.点A,B,C在同一直线上,AB=4 cm,BC=7 cm,则AC的长为 . 答案:11 cm 或 3 cm 3.如图所示,AB=8 cm,AC=13 cm.设点E,F分别是线段AB,AC的中点,求线段EF的长. 解:因为F是线段AC的中点, 所以AF=AC= cm. 又因为E是线段AB的中点, 所以AE=AB=4 cm. 所以EF=AF - AE= - 4=(cm). 所以EF的长为 cm. 4.如图(1)所示,已知线段a,b,c,用尺规作图作一条线段l,使l=2a+b - c. 解:如图(2)所示,线段AC即是所求作的线段. 2 比较线段的长短 1.线段的性质:两点之间线段最短 2.两点之间的距离 3.比较线段长短的方法 (1)度量法 (2)叠合法 一、教材作业 【必做题】 教材第 112 页习题 4.2 的 1,2 题. 【选做题】 教材第 113 页习题 4.2 的 3,4 题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.如图所示,从A到B有 3 条路线,最短的路线是,理由是 ( ) 17 A.因为是直的 B.两点确定一条直线 C.两点间距离的定义D.两点之间线段最短 2.下列说法正确的是( ) A.两点之间的连线中,直线最短 B.若P是线段AB的中点,则AP=BP C.若AP=BP, 则P是线段AB的中点 D.两点之间的线段叫做两点之间的距离 3.已知A,B两点之间的距离是 10 cm,C是线段AB上的任意一点,则AC中点与BC中点间的 距离是( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.不能计算 4.如图所示的四条线段中,最短的一条线段是( ) A.aB.bC.cD.d 【能力提升】 5.已知两条线段的差是 10 cm,这两条线段的长度比是 23,求这两条线段的长. 6.(1)如图所示,图中共有几条线段?分别表示出这些线段; (2)若CB=4 cm,AB=10 cm,且D是AC的中点,求AD的长. 【拓展探究】 7.已知线段AD=6 cm,BD=2 cm,C是线段AD的中点,AD,BD在一条直线上,求线段BC的长度. 【答案与解析】 1.D(解析:两点之间的所有连线中,线段最短.简述为:两点之间线段最短.故选 D.) 2.B(解析:选项 A 中,两点之间的连线中,直线最短,错误;选项 C 中,若AP=BP, 则P是线段 AB的中点,错误;选项 D 中,两点之间的线段叫做两点之间的距离,错误.故选 B.) 3.C(解析:AC+BC=AB,AC的中点与BC的中点间的距离=AB=5 cm.故选 C.) 4.B(解析:采用度量法或叠合法,能得出正确结果为 B.) 5.解:设这两条线段的长度分别为 2x cm 和 3x cm,则 3x - 2x=10,解得x=10,所以 2x=20,3x=30. 答:这两条线段的长度分别为 20 cm 和 30 cm. 6.解:(1)有 6 条线段,分别是:AD,AC,AB,DC,DB,CB. (2)CB=4 cm,AB=10 cm,AC=AB - CB=10 - 4=6(cm),D是AC的中点,AD=AC=6=3(cm). 7.解:如图(1)所示,因为AD=6 cm,C是线段AD的中点,所以CD=AD=3 cm,又BD=2 cm,所以 BC= CD - BD=3 - 2=1(cm);如图(2)所示,因为AD=6 cm,C是线段AD的中点,所以CD=AD=3 cm, 又BD=2 cm,所以BC=CD+BD=3+2=5(cm).所以BC=1 cm 或 5 cm. 学生成功地正确理解两点之间的距离和线段的中点的概念;能用直尺和圆规作一条线段 18 等于已知线段;能用直尺、圆规等工具比较两条线段的长短.在理解两点之间的距离的过程 中,用比较具体的事物、事实为依据,知识的形成水到渠成,知识运用得准确灵活,让学生直 观的认识,学生接受起来就比较容易、轻松. 学生的创新思维没有得到提高,部分学生的学习积极性不高,对利用线段的中点求解线 段的长度掌握得不好. 与学生之间的互动与交流要加强,要鼓励学生,发现他们的闪光点,给他们信心,让他们 能够自主地融入课堂,快乐地学习. 要注意渗透数形结合的思想,这对学生的学习非常有益. 随堂练习(教材第 112 页) 1.解:比较的方法有多种,例如,测量、用圆规截取、借助细线等. 习题 4.2(教材第 112 页) 1.解:(1)线段AB比线段CD短;(2)线段AB比线段CD短;(3)从短到长依次为线段CD、线段 AD、线段BC、线段AB. 2.解:如图所示.(1)作射线AM.(2)以点A为圆心,以a 长为半径作弧交AM于点B.(3)以点B为圆心,以b长为半径画弧,交射线BM于点C.则线段 AC即为所求. 3.解:如图所示,AC=4 cm,BD=6 cm,CD=8 cm. 4.解:原四边形的周长大,因为两点之间线段最短.如果是一个五边形或一个六边形,结论仍 然成立. 将数形结合的思想渗透给学生,使学生对数与形有一个初步的认识,为将来的学习打下 基础,它为学生的思维开拓了一个新的天地,不应只是教给学生比较线段的方法,而要从数形 结合的高度去认识.在教知识的同时,教给学生一种很重要的数学思想. 如图所示,已知线段AD=10 cm,线段AC=BD=6 cm,E,F分别是线段AB,C D的中点,求 EF的长. 解:因为AD=AC+CD=AC+(BD - BC)=AC+BD - BC, 又因为AD=10 cm,AC=BD=6 cm, 所以 10=6+6 - BC,所以BC=2 cm, 所以AB=CD=4 cm, 因为E,F分别是线段AB,CD的中点, 所以EB=AB=2 cm,CF=CD=2 cm, 19 所以EF=EB+BC+CF=2+2+2=6(cm). 3 角 1.从现实生活中认识和形成角的概念. 2.认识度、分、秒的概念,能够进行简单的度、分、秒之间的换算. 3.掌握角的表示方法,能够使用量角器对角度进行测量. 从丰富的现实生活中观察并抽象出角的数学模型,在学习角的表示和测量中形成角度的 正确观念. 1.认识生活中无处不在的角度的实例,感受学习数学的乐趣. 2.经历从特殊到一般、从具体到抽象的概念的形成过程,培养数学建模的思想. 【重点】 1.角的概念及其表示方法. 2.度、分、秒的概念和角度在不同单位之间的相互转换. 【难点】 正确使用量角器进行角度的测量. 【教师准备】 多媒体课件. 【学生准备】 预习教材. 导入一: 过渡语 同学们,通过以上几节课的学习,我们认识了几种简单的几何图形:直线、射 线和线段,而通过小学阶段的学习我们对角也有了初步的认识.你能在下列图片中找到角吗? 多媒体展示: 处理方式 学生观察图片并用自己的语言表述图片中的角,教师再通过多媒体用不同 20 的线将角标记出来. 设计意图 通过观察生活中含有角的图片的实例吸引学生,激发学生的学习兴趣,增 强学生对角的直观感受. 导入二: 过渡语 前几节我们具体研究了小学时初步认识的直线、射线、线段.另外,我们还 认识了另一种几何图形角.你能说出几个日常生活中给我们角的形象的物体吗? 师:我们已经学习过角,对角有了一定的了解,观察图形,你能在下图中找出并画出角吗? 处理方式 学生通过观察加上小学的基础从图形中很快就能找到角,再通过举例加深 对角的认识,让他们深刻领会角是现实生活中最基本的图形. 设计意图 为了更形象、更直观,用多媒体展示一些实物图形,让学生说出日常生活 中给我们角的形象的物体,充分发挥学生的想象力,培养其观察事物的习惯,同时,活跃课堂 气氛,调动学生学习的积极性,也培养了学生从具体实物图形中抽象出几何图形的能力. 探究活动 1 角的概念一(静态定义) 出示问题:角在生活中无处不在,而在数学的学习中,角是如何定义的呢?构成角的要素 有哪些?与角有关的概念又有哪些?用什么方法可以表示一个已知的角呢? 师:带着这些问题请同学们阅读教材第 114 页“做一做”之前的内容. 处理方式 让学生带着问题阅读教材第 114 页“做一做”之前的内容. 设计意图 通过自学,培养学生对教材的领悟能力. 探究活动 2 精析角的静态定义、与角有关的概念及角的表示方法 思路一 多媒体展示: (1)由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角.两条射线叫角的边,两条射线的公共 端点是这个角的顶点. (2)角的表示方法,如图所示. 角的表示方法小结: 用三个大写字母表示,如AOB或BOA;用一个大写字母表示,如O;用一个希 腊字母表示,如;用一个数字表示,如1. 注意:用三个大写字母表示一个角时,顶点字母一定要写在中间;用顶点字母表示角时, 以该点为顶点的角只能是一个角. 处理方式 (1)先由学生回答,对于不对的地方教师要给予补充,重点内容要进行板书,教 学时要引导学生关注:每个角都有两条边,这两条边都是射线;角的顶点是两条射线的公共端 点;顶点、两边是构成角的两个要素.(2)让学生先自学角的表示方法,然后师生共同归纳,这 21 样一方面节约教学时间,另外一方面加深学生的记忆,特别是一个字母或三个字母表示角易 错,教师要特别强调说明. 设计意图 通过教师的讲解与强调可以弥补学生在自学中对教材理解的不足.通过师 生共同的总结与归纳可以使知识更加系统、有条理. 思路二 角的静止观点定义的得出 过渡语 同学们请观察,角的两边是前面我们学过的什么图形?它们的位置关系如何? 你能否根据自己的理解和刚才老师的提问描述一下怎样的几何图形叫做角? 处理方式 学生讨论,然后找代表回答. 教师在学生回答的基础上给予纠正和补充, 最后给出角的正确定义. 角:有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫角的顶点,这两条射线叫 角的两边. 出示问题:角的大小与角两边的长短有关系吗? 处理方式 学生讨论并演示:拿大小不同的两副三角板或学生的三角板与教师的三角 板对比演示.让学生尽可能地发表自己的看法和观点. 教师小结:角的两边既然是射线,则可以向一方无限延伸,所以角的大小与所画角的两边 长短无关,仅与角的两边张开的程度有关. 设计意图 角的定义的得出,不是教师以枯燥的形式强加给学生的,而是让学生自己 在观察图形的过程中,由教师引导提出问题,步步追问,自觉地去认识.在问题解决的过程中, 在复习旧知识中,不知不觉学到了新知识角.这样缩短了新旧知识间的距离,减轻了学生 心理上的压力,使他们感到新知识并不难,在轻松愉快中学到了知识.同时也会感受到新旧知 识之间的联系.对发展学生用普遍联系的观点看待事物有很好的作用. 角的表示方法 师:研究角,像直线、射线、线段一样,可以用字母表示.下面请同学们阅读教材第 114 页做一做上面一自然段,总结角的表示方法有几种,你能否准确地表示一个角并读出来? 处理方式 学生阅读,相互讨论,然后归纳出角的几种表示方法. 设计意图 角的四种表示方法教材中说明得很明确,语言通俗,很易理解,学生完全可 以通过阅读分出四个层次,四种表示角的方法.因此可以大胆放手,培养学生阅读理解能力、 归纳总结能力. 处理方式 学生阅读后,多找几个学生回答.最后通过不断补充、完善,归纳整理得出 角的四种表示方法. 师生总结角的四种表示方法时,对前两种表示方法应注意的问题要加以强调.第一种表 示方法必须注意:顶点字母在中间.第二种表示方法只限于顶点只有一个角.这是以后学生书 写过程中最易出错的地方.另外,让学生区分角的符号与小于号.这些应注意的问题最好由学 生讨论,学生发现后归纳总结. 探究活动 3 尝试成功,感知概念 活动内容 做一做.(多媒体展示) (1)你能用适当的方式分别表示下图中的角吗? 22 (2)在图中能用A来表示BAC,CAD,BAD吗? (3)将图中的角用不同方法表示出来,并填写下表: 134 BCAABC 处理方式 先由学生独立完成,若有困难,可分组讨论交流