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信号与系统试题与答案_硕士研究生入学考试试题北京交通大学2001年硕士研究生入学考试试题符号说明：为符号函数，为单位冲击信号，为单位脉冲序列，为单位信号，为单位阶跃序列。一、填空 1. 已知，求。 2. 已知，求。 3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数。 4. 若最高角频率为，则对取样的最大间隔是。 5. 信号的平均功率为。 6. 已知一系统的输入输出关系为，试判断该系统是否为线性时不变系统 。 7. 已知信号的拉式变换为，求该信号的傅立叶变换=。 8. 已知一离散时间系统的系统函数，判断该系统是否稳定。 9. 。 10. 已知一信号频谱可写为是一实偶函数，试问有何种对称性。二、简单计算题1. 已知连续时间系统的单位冲激响应与激励信号的波形如图a-1所示，试由时域求解该系统的零状态响应，画出的波形。图 a-1 2. 在图a-2所示的系统中，已知，求该系统的单位脉冲响应。图 a-23. 周期信号的双边频谱如图a-3所示，写出的三阶函数表示式。图 a-34. 已知信号通过一线性时不变系统的响应如图a-4所示，试求单位阶跃信号通过该系统的响应并画出其波形。图 a-45. 已知的频谱函数，试求。6. 已知一连续时间系统的单位冲激响应，输入信号时，试求该系统的稳态响应。7. 某离散系统的单位脉冲响应，求描述该系统的差分方程。8. 已知一离散时间系统的模拟框图如图a-5所示，写出该系统状态方程和输出方程。图 a-5三、 综合计算题1. 一线性时不变因果连续时间系统的微分方程描述为 已知由s域求解： (1)零输入响应，零状态响应，完全响应； (2)系统函数，单位冲激响应并判断系统是否稳定； (3)画出系统的直接型模拟框图。2. 一线性时不变因果离散时间系统的差分方程描述为 已知由z域求解： (1)零输入响应，零状态响应，完全响应； (2)系统函数，单位脉冲响应。 (3) 若，重求（1）、（2）。3. 试分析图a-6所示系统中b、c、d、e和f各点频谱并画出频谱图。已知的频谱如图a-6，。图 a-6参考答案一、解：1. ，2. 利用排表法可得3. 信号通过系统不失真的条件为系统函数4. 信号的最高频率为，根据fourier变换的展缩特性可得信号的最高角频率为，再根据时域抽样定理，可得对信号取样时，其频谱不混叠的最大取样间隔为5. ，利用parseval功率守恒定理，可得信号的平均功率为6. 根据已知有，由于 ，故系统为线性时变系统。 7. 由于信号s域表达式中有一个极点在右半s平面，故傅立叶变换不存在。 8. 由于系统的极点为，有一个极点在单位圆上，故系统不稳定。 9. 利用冲激信号的展缩特性和取样特性，可得 10. 根据fourier变换的共轭对称性，由于为实偶函数，故信号应为实偶函数。再利用fourier变换的时移特性，频谱相频特性对应信号右移3，因此信号是关于t=3的偶对称的实信号。二、解：1. 系统的零状态响应，其波形如图a-7所示。图 a-72. 3. 写出周期信号指数形式的傅立叶级数，利用欧拉公式即可求出其三阶函数表示式为4. 因为故利用线性时不变特性可求出通过该系统的响应为波形如图a-8所示。图 a-85. ，因为，由对称性可得：，因此，有6. 系统的频响特性为利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即可以求出信号，作用在系统上的稳态响应为7. 对单位脉冲响应进行z变换可得到系统函数为 由系统函数的定义可以得到差分方程的z域表示式为 进行z反变换即得差分方程为 8. 根据图a-5中标出的状态变量，围绕输入端的加法器可以列出状态方程为 围绕输出端的加法器可以列出输出方程为 写成矩阵形式为三、解：1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后可得 零输入响应的s域表达式为进行拉斯反变换可得零状态响应的s域表达式为进行拉斯反变换可得完全响应为 (2)根据系统函数的定义，可得进行拉斯反变换即得由于系统函数的极点为-2、-5，在左半s平面，故系统稳定。 (3)将系统函数改写为由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-9所示图 a-9 2. (1)对差分方程两边进行z变换得整理后可得进行z变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表示式为进行z反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应为(2)根据系统函数的定义，可得进行z反变换即得 (3) 若，则系统的零输入响应、单位脉冲响应和系统函数均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为完全响应为3. b、c、d、e和f各点频谱分别为频谱图如图a-10所示图 a-10北京交通大学2002年硕士研究生入学考试试题注：为单位阶跃信号，为单位阶跃序列一、填空 1. 已知某系统的输入输出关系为（其中x(0)为系统初始状态，为外部激励），试判断该系统是（线性、非线性）（时变、非时变）系统。 2. 。 3. 4. 计算=。 5. 若信号通过某线性时不变系统的零状态响应为 则该系统的频率特性=，单位冲激响应。 6. 若的最高角频率为，则对信号进行时域取样，其频谱不混迭的最大取样间隔。 7. 已知某连续信号的单边拉式变换为求其反变换=。 8. 已知某离散信号的单边z变换为，求其反变换=。 9. 已知计算其傅立叶变换=。 10. 某理想低通滤波器的频率特性为，计算其时域特性=。二、简单计算题 1. 已知某系统如图a-1所示，求系统的各单位冲激响应。其中图 a-12. 已知信号如图a-2所示，试画出波形。图 a-23. 已知信号和如图a-3所示，画出和的卷积的波形。图 a-34. 已知信号如图a-4所示，计算其频谱密度函数。图a-45. 已知某连续时间系统的系统函数，画出其直接型系统模拟框图，并写出该系统状态方程的输出方程。6. 试证明：用周期信号对连续时间带限信号(最高角频率为)取样，如图a-5所示，只要取样间隔，仍可以从取样信号中恢复原信号。图a-5三、综合计算题1. 已知描述某线性时不变因果连续时间系统的微分方程为已知在s域求解： (1) 系统的单位脉冲响应及系统函数；(2) 系统的零输入响应(3) 系统的零状态响应(4) 若，重求(1) 、(2)、 (3)。2. 已知描述某线性时不变因果离散时间系统的差分方程为在z域求解： (1) 系统的单位脉冲响应及系统函数；(2) 系统的零输入响应；(3) 系统的零状态响应；(4) 系统的完全响应，暂态响应，稳态响应；(5) 该系统是否稳定?3 在图a-6 所示系统中，已知输入信号的频谱，试分析系统中a、b、c、d、e各点频谱并画出频谱图，求出与的关系。图a-6参考答案一、解： 1. 系统为线性时变系统。 2. 利用冲激信号的展缩特性可得 由于积分区间不包含冲激，故 3. 和的波形如图a-7所示，由此可以计算出图a-7 4. ，利用排表法可得 5. 系统的频率特性，单位冲激响应。 6. 信号的最高频率为，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号的最高频率。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故的最高频率为。根据时域抽样定理，对信号取样时，其频谱不混叠得最大取样间隔为 7. 8. 9. 利用傅立叶变换的卷积特性可得 10. 计算的傅立叶反变换即得二、解：1. 2. ，根据信号变换前后的端点函数值不变的原理，有变换前信号的端点坐标为，利用上式可以计算出变换后信号的端点坐标为由此可画出波形，如图a-8所示。图a-83. 和的卷积的波形如图a-9所示。图a-94. 信号可以分解为图a-10所示的两个信号与之和，其中。由于根据时域倒置定理：和时移性质，有故利用傅立叶变换的线性特性可得图a-105. 将系统函数改写为由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-11所示。选择积分器的输出作为状态变量，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为图a-11，围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为6. 利用周期信号频谱和非周期信号频谱的关系可以求出的傅立叶系数为由此可以写出周期信号的傅立叶级数展开式对其进行傅立叶变换即得的频谱密度取样信号利用傅立叶变换的乘积特性可得从可以看出，当时，频谱不混迭，即仍可从取样信号中恢复原信号。三、解：1. 对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后可得(1) 根据系统函数的定义，可得进行拉斯反变换即得(2) 零输入响应的s域表达式为取拉斯反变换即得(3) 零状态响应的s域表达式为取拉斯反变换即得(4) 若，则系统单位冲激响应h(t)、系统函数和零输入响应均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为2. 对差分方程两边进行z变换得整理后可得 (1) 根据系统函数的定义，可得进行z反变换即得 (2) 零输入响应的z域表达式为取z反变换可得系统零输入响应为 (3) 零状态响应的z域表达式为取z反变换可得系统零状态响应为 (4) 系统完全响应 从完全响应中可以看出，随着k的增加而趋于零，故为暂态响应，不随着k的增加而趋于零，故为稳态响应。 (5) 由于系统的极点为均在单位圆内，故系统稳定。3. a、b、c、d和e各点频谱分别为a、b、c、d和e各点频谱图如图a-12所示。将与比较可得即。北京交通大学2003年硕士研究生入学考试试题一、判断题（共10分，每小题2分）1. 离散信号经过单位延迟器后，其幅度频谱也相应延迟。 （ ）2. 用有限项傅立叶级数表示周期信号，吉波斯现象是不可避免的。 （ ）3. 理想模拟低通滤波器为非因果物理上不可实现的系统。 （ ）4. lti离散系统稳定的充要条件是的全部极点在单位圆内。 （ ）5. 对连续周期信号取样所得离散时间序列也是周期信号。 （ ）二、填空题（共30分，每小题3分）1. 。2. 若离散时间系统的单位脉冲响应，则系统在激励下的零状态响应为。3. 抽取器的输入输出关系为，试判断该系统特性（线性、时不变）。4. 若，则其微分=。5. 连续信号的频谱=。6. 的频谱=。7. 已知一离散时间lti系统的单位阶跃响应，计算该系统单位脉冲响应=。8. 若，则的平均功率p=。9. 若最高角频率为，则对取样，其频谱不混迭的最大间隔是。10. 若离散系统的单位脉冲响应，则描述该系统的差分方程为。三、简单计算题（共50分） 1. （6分）已知某连续时间系统的单位冲激响应与激励信号的波形如图a-1所示，试由时域求解该系统的零状态响应，画出的波形。图a-1 2. （6分）若得波形如图a-2所示，试画出的波形。图a-2 3. （8分）已知信号的频谱如图a-3所示，求该信号的时域表示式。图a-3 4. （6分）已知一连续时间系统的频响特性如图a-4所示，输入信号，试求该系统的稳态响应图a-4 5. （6分）已知信号通过一lti系统的零状态响应为，试求图a-5所示信号通过该系统的响应并画出其波形。图a-5 6. （6分）已知系统的完全响应为，求系统的零输入响应和零状态响应。 7. （6分）已知n=5点滑动平均系统的输入输出关系为，求系统的单位脉冲响应，并判断系统是否因果、稳定。 8. （6分）已知连续时间系统的系统函数，写出其状态方程和输出方程。四、综合计算题（共60分） 1. （20分）描述一线性时不变因果连续时间系统的微分方程为已知由s域求解： (1) 零输入响应零状态响应，完全响应； (2) 系统函数，单位冲激响应,并判断系统是否稳定； (3) 画出系统的直接模拟框图 2. （20分）描述一线性时不变因果离散时间系统的差分方程为已知，由z域求解：(1) 零输入响应零状态响应，完全响应；(2) 系统函数，单位冲激响应；(3) 若，重求（1）、（2）3（20分） 在图a-6所示系统中，已知输入信号的频谱，试画出系统中a、b、c、d各点及输出的频谱图，求出与的关系。图a-6参考答案一、解： 1. 错误。由序列傅立叶变换的位移特性，离散信号经过单位延迟器后，其幅度频谱不变。 2. 正确。 3. 正确。 4. 正确。 5. 错误。对连续周期信号取样所得离散时间序列可能是周期序列，也可能是非周期序列。二、解 1. 利用冲激信号的取样特性，可得 2. 系统的零状态响应为，由于，故利用列表法可得 3. 根据已知有，由于故系统为线性时变系统。 4. 对信号微分，可得利用冲激信号的筛选特性化简，可得 5. 其频谱 6. 由常用信号的傅立叶变换可得利用傅立叶变换的调制定理，可得 7. 由于，利用线性和时不变特性，可得 8. 利用parseval功率守恒定理，可得信号的平均功率为 9. 信号的最高角频率为，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号的最高角频率为，信号的最高角频率为。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故的最高角频率为根据时域抽样定理可知，对信号取样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔为 10. 对单位脉冲响应进行z变换可得系统函数为由系统函数的定义可得到差分方程的z域表示式为进行z反变换即得差分方程为三、解 1. 系统的零状态响应，其波形如图a-7所示。图a-7 2. 将改写为，先反转，再展宽，最后左移2，即得，如图a-8所示。图a-8 3. 因为系统函数为因为，由傅立叶变换的对称性可得：即由调制性质，有由时移性质，有因此 4. 利用余弦信号作用在系统的零状态响应的特点，即在本题中，因此由上式可以求出信号作用在系统上的稳态响应为， 5. 因为，所以，利用线性时不变系统的积分特性，可得其波形如图a-9所示。图a-9 6. 对微分方程取拉斯变换得整理得因此有，取拉斯反变换，得零输入响应为由给定的系统全响应可知，激励信号应为：，因此，其拉斯变换为，因而有取拉斯反变换，得零状态响应为因此。系统的全响应为与给定的系统全响应比较，可得：，因此，系统的零输入响应为系统的零状态响应为 7. 根据系统的单位脉冲响应的定义，当系统的输入信号为单位脉冲序列时，其输出就是系统的单位脉冲响应，即由于满足所以系统是因果、稳定的。 8. 根据系统函数画出系统的模拟框图，并选择积分器的输出作为状态变量，如图a-10所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为图a-10，围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为四、解： 1. (1)对微分方程两边做单边拉斯变换得整理后得 零输入响应的s域表达式为取拉斯反变换可得零状态响应的s域表达式为取拉斯反变换可得完全响应为 (2) 根据系统函数的定义，可得取拉斯反变换即得由于系统函数的极点为-2，-3 ，在左半s平面，故系统稳定。 (3) 将系统函数改写为由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-11所示。图a-11 2. (1) 对差分方程两边进行z变换得整理后可得零输入响应的z域表示式为取z反变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表示式为取z反变换可得系统零状态响应为系统的完全响应 (2) 根据系统函数的定义，可得取z反变换即得系统单位冲激响应为 (3)若，则系统的零输入响应、单位冲激响应和系统函数均不变，根据线性时不变特性，可得系统零状态响应为系统全响应为 3. a、b、c、和d各点及输出的频谱率分别为a、b、c、d和e各点频谱图如图a-12所示。由于故可得与的关系为。 图a-12北京交通大学2004年硕士研究生入学考试试题注：为单位阶跃信号，为单位阶跃序列一、选择题 1. 积分等于（ ） a. -1 b. -0.5 c. 0 d. 0.5 2. 已知实信号的傅立叶变换，信号的傅立叶变换等于（ ） a. b. c. d. 3. 已知某连续时间系统的系统函数为，该系统属于什么类型（ ）。 a. 低通 b.高通 c. 带通 d. 带阻4. 如图a-1所示周期信号，其直流分量等于（ ）。 a. 0 b. 2 c. 4 d. 6图a-15. 序列和等于（ ）。 a. 1 b. c. d.6. 以下为4个信号的拉普拉斯变换，其中那个信号不存在傅立叶变换（ ）。 a. b. 1 c. d. 7. 已知信号的最高频率，对信号取样时，其频率不混迭的最大取样间隔等于（ ）。 a. b. c. d. 8. 已知一连续系统在输入作用下的零状态响应，则该系统为（ ）。 a. 线性时不变系统 b. 线性时变系统 c. 非线性时不变系统 d. 非线性时变系统9. 图a-2所示周期信号的频谱成分有（ ）。 a. 各次谐波的周期分量 b. 各次谐波的正弦分量 c. 奇次谐波的正弦分量 d. 奇次谐波的余弦分量图a-210. 已知的z变换，得收敛域为（ ）时，是因果序列。 a. b. c. d. 二、填空 1. 。 2. 若某离散时间lti系统的单位脉冲响应，激励信号，则该系统的零状态响应。 3. 连续时间信号的周期=。若对以进行抽样，所得离散序列=，该离散序列是否是周期序列。 4. 对连续时间信号延迟的延迟器的单位冲激响应为，积分器的单位冲激响应为，微分器的单位冲激响应为。 5. 已知一连续时间lti系统的频响特性，该系统的幅频特性，相频特性=，是否是无失真的传输系统。 6. 根据parseval能量守恒定律，计算。 7. 已知一连续时间lti系统得单位冲激响应为，该系统为bibo（有界输入有界输出）稳定系统的充要条件是。 8. 已知信号的最高频率为，信号的最高频率是。 9. 某连续时不变（lti）离散时间系统，若该系统的单位阶跃响应为，则该系统的单位脉冲响应为。 10. 已知连续时间信号，其微分。三、计算题 1. 已知的波形如图a-3所示，令。图a-3 (1) 用和表示； (2) 画出的波形。 2. 已知某线性时不变（lti）离散时间系统，当输入为时，系统地零状态响应为，试计算输入为时，系统的零状态响应。 3. 某线性时不变连续时间系统的单位冲激响应和输入如图a-4所示，从时域求解该系统的零状态响应。图a-4 4. 已知连续时间lti因果系统工程微分方程为输入，初始状态。 (1) 利用单边拉式变换的微分特性将微分方程转换为s域代数方程。 (2) 由s域代数方程求系统的零输入响应和零状态响应。 5. 已知连续系统的系统函数的零极点如图a-5所示，且。图a-5 (1) 写出的表达式，计算该系统的单位冲激响应； (2) 计算该系统的单位阶跃响应。 6. 已知某高通的幅频特性和响频特性如图a-6 所示，其中，图a-6(1) 计算该系统的单位冲激响应.(2) 若输入信号，求该系统的稳态响应。 7. 一离散时间lti因果系统的差分方程为系统的初始状态输入。 (1) 由z域求系统的零输入响应和零状态响应。 (2) 求该系统的系统函数，并判断系统是否稳定。 8. 已知一离散系统的系统函数 (1) 画出系统的直接型模拟框图； (2) 在模拟框图上标出状态变量，并写出状态方程和输出方程。 9. 在图a-7所示的系统中，周期信号是一个宽度为的周期矩形脉冲串，信号的频谱为。 (1) 计算周期信号的频谱； (2) 计算的频谱率密度； (3) 求出信号的频谱表达式 (4) 若信号的最高频率，为了使频谱不混迭，t最大可取多大？图a-7参考答案一、解： 1. 利用冲激信号的展缩特性和取样特性，可得故答案为b。 2. 由于为信号的偶分量，利用傅立叶变换的共轭对称性，其频谱为频谱的实部，故答案为a。 3. 由系统函数可知系统的频率特性为，由于，故系统为低通，即答案为a。 4. 直流分量即为傅立叶系数的。由于故答案为c 5. 由于故答案为d。 6. 若信号s域表达式的极点在右半s平面，则其不存在傅立叶变换。由于题中四个信号只有d的极点在右半s平面，故答案为d。 7. 信号的最高频率为，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号的最高频率为，再根据时域抽样定理，可得对信号取样时，其频谱不混迭的最大取样间隔为，故答案为a。 8. 根据已知条件，有由于故系统为线性时变系统，即答案为b。 9. 由于周期信号，故其频谱成分只有奇次谐波的正弦分量，即答案为c 10. 的极点为，只有收敛域为时，才是因果序列，故答案为c。二、解： 1. 利用冲激信号的展缩特性和筛选特性，可得2、利用排表法可得 3、连续时间信号的基本周期为。若对以进行抽样，所得离散序列。由于离散序列的角频率不是有理数，故该序列不是周期序列。4、对连续时间信号延迟延迟器的单位冲激响应为，积分器的单位冲激响应为，微分器的单位冲激响应为。5、由于的分子分母互为共轭，故有所以系统的幅度响应和相位响应分别为，由于系统的相频响应不是的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。6、由于，根据parseval能量守恒定律，可得7、lti系统为bibo稳定系统得充要条件是8、根据傅立叶变换的乘积特性，可得若的最高频率为，则和卷积后的最高频率为，信号的最高频率是。9、用表示单位阶跃响应，由于，利用线性和时不变特性，可得10、对信号微分，可得利用冲激信号的筛选特性化简，可得三、解：1、(1)(2) 将改成，先压缩，再翻转，最后左移2，即得，如图a-8所示。图a-82、由已知，有根据时不变特性，可得由于根据线性和时不变特性，可得3、系统的零状态响应，如图a-9所示。图a-94、(1) 对微分方程两边做单边拉斯变换即得s域代数方程为 (2) 整理上述方程可得系统完全响应得s域表达式为其中零输入响应的s域表达式为取拉斯反变换可得零状态响应的s域表达式为取拉斯反变换可得5、(1) 由零极点分布图及的值可得出系统函数为取拉斯反变换可得 (2) 单位阶跃响应的s域表达式为取拉斯反变换可得6、(1) 因为系统的频率特性为：。又因为，所以，有由时移性质得(2) 由于高通系统的截频为，信号只有角频率大于的频率分量才能通过，故7、(1) 对差分方程两边进行变换得整理后可得零输入响应的z域表达式为取z反变换可得系统零输入响应为零状态响应的z域表达式为取z反变换可得系统零状态响应为(2) 根据系统函数的定义，可得由于系统的极点为，均不在单位圆内，故系统不稳定。8、(1) 将系统函数改写为，由此可画出系统的直接型模拟框图，如图a-10所示。图a-10(2) 选择延时器的输出作为状态变量，如图a-44所示，围绕模拟框图输入端的加法器可得到状态方程为围绕模拟框图输出端的加法器可得到输出方程为9、(1)利用傅立叶级数的计算公式可得到周期信号的频谱为(2)周期信号的指数函数形式的傅立叶级数展开式为对其进行fourier变换即得p(t)的频谱密度为(3)由于，利用傅立叶变换的乘积特性，可得(4)从信号的频谱表达式可以看出，当时，频谱不混迭，即 北京交通大学2005年硕士研究生入学考试试题一、填空（30分，每小题3分）1、某连续系统的零状态响应为，试判断该系统特性（线性、时不变、稳定性） 。2、= 。3、若离散时间系统的单位脉冲响应为，则系统在激励下的零状态响应为 。4、已知一周期信号的周期，其频谱为，写出的时域表达式 。5、信号的频谱= 。6、信号时域变化越快，其对应的频谱所含的高频分量（越少，越多） 。7、已知一连续时间lti系统的单位冲激响应，其系统单位阶跃响应= 。8、已知某因果连续lti系统全部极点均位于s左半平面，则的值为 。9、对信号均匀抽样，其频谱不混叠的最小抽样角频率为 。10、若，则信号，单边拉氏变换= 。二、简单计算题（60分）1、（8分）信号与的波形如图a-1所示，试求此两信号的卷积，并画出的波形。图a-12、（8分）若的波形如图a-2所示，试画出和的波形。图a-23、（8分）某连续lti时间系统得频率响应如图a-3所示，试求：图a-3(1)系统的单位冲激响应； (2)输入，系统的输出。4、（8分）已知一lti离散时间因果系统的零极点分布如图a-4所示，图中表示极点，0表示零点，且，试求该系统的单位脉冲响应，并判断系统是否稳定。图a-45、（8分）已知某离散时间系统如图a-5所示，试求该系统的单位脉冲响应。其中，。图a-56、（8分）已知通过一lti系统的响应为，试用时域方法求通过该系统的响应，并画出的波形。，的波形如图a-6所示。 图a-67、（6分）试求图a-7所示信号的频谱。图a-78、（6分）已知，收敛域，试求其拉氏反变换，并画出的波形。三、综合计算题（60分）1、（20分）一线性时不变连续时间因果系统得微分方程描述为输入，初始状态试由s域求：(1) 系统的零输入响应和零状态响应；(2) 系统函数，单位冲激响应，并判断系统是否稳定；(3) 若，重求（1）、（2）。 2. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如图a-8所示，输入已知，由z域求解：图a-8 (1) 描述系统的差分方程 (2) 零输入响应，零状态响应，完全响应； (3) 系统函数，单位脉冲响应； (4) 系统的状态方程和输出方程。 3. 已知一lti系统的频率响应为系统的输入信号为周期冲激信号串，即(1) 试求周期信号指数形式的傅立叶级数的系数。(2) 试求周期信号的频谱。(3) 试求系统的输出信号。参考答案一、解1 非线性、时不变、稳定系统。理由如下：已知：，设，则有：，所以是非线性系统。因为，因此是时不变系统。设输入有界，即，则有，因此是稳定系统。23由列表法可得零状态响应为：4 （因为） 56越多7，这里，809最小抽样角频率为。理由如下：因为，所以，的最高角频率为100rad/s。又因为，因此，信号的最高角频率为200 rad/s，即，根据时域采样定理可知，即最小抽样角频率为。10。理由如下：由已知条件可得因为，所以。因此，。由时移性质，有：，对取单边拉斯变换，得。由给定的条件可知，所以，二、 解1 因为，因此，有又因为 由卷积的时移性质，可得的波形如图a-9所示。图a-92的波形如图a-10所示；的波形通过翻转、展缩和平移得到，如图a-11所示。图a-10 图a-113（1）因为又因为，由调制定理，可得即由于，即由频域微分性质，可知：，所以有，整理得（2）由于是一个带通滤波器，下限角频率为2rad/s，上限角频率为4rad/s，因此，只有角频率为3rad/s的信号分量可以通过该滤波器。由可知由于，所以有：，即4由题意可知，系统函数为因为，所以，因此，有，由得由于系统的全部极点在单位圆以外，所以，系统不是稳定的。5 6设系统的单位冲激响应为，则有。由卷积的积分性质，有又因为，而，由卷积的微积分性质，有由于，所以，有的波形如图a-12所示。图a-127，其中，、和分别如图a-13所示。由图a-13可得图a-13设，由傅立叶变换的微分性质可得：因此有即8因为，（）令，得。由傅立叶变换的时域卷积性质，有，其波形如图a-14所示。图a-14三、解1（1）对系统微分方程取拉斯变换，得整理得即，取拉斯反变换，得，（）取拉斯反变换，得（2）由系统函数的定义，得取拉斯反变换，得系统单位冲激响应为由于系统的极点全部在s左半平面，因此，系统是稳定的。（3）当时，均不变。由于所以由可得2（1）由图a-52可知，输入端求和器的输出为 (1) (2)式（2）代入式（1）得 (3)输出端求和器的输出为 (4)即或因此系统的差分方程为（2）对上述差分方程取单边z变换得整理得因此取z反变换得因为，所以取z反变换得全响应为（3）由系统函数的定义可得取z反变换得系统单位冲激响应为（4）由式（1）、（2）可得系统的状态方程为即由式（4）可得系统的输出方程为或3（1）因为，所以。傅立叶级数系数为（2）（3）因为，所以只有频率为的信号分量才能通过系统，因此，有 因为因此，有北京邮电大学2004年硕士研究生入学考试试题考试科目：信号与系统北京邮电大学2004年硕士研究生入学考试试题考试科目：信号与系统一、单项选择题（每小题3分共21分）1. 与相等的表达式为（ ）a. b. c. d.2. 求信号的傅立叶变换（ ）a. b. c. d. 3. 信号的拉普拉斯变换为（ ）a. b. c. d. 4. 已知如图a-1所示信号的傅立叶变换，求信号的傅立叶变换为（ ）图a-1a. b. c. d. 5. 连续时间信号的最高频率，若对其抽样，并从抽样后的信号中恢复原信号，则奈奎斯特间隔和所需低通滤波器的截止频率分别为（ ）a. ， b.，c. ， d. ，6. 已知一双边序列，其z变换为（ ）a. ， b. ，c. ， d. ，7. 求信号的周期（ ）a. 4 b.2 c.0.2 d. 0.5二、填空题（每小题3分共27分）1. _。2. 已知，则_。3. 两个时间函数在区间内相互正交的条件是_。4. 已知冲激序列，其指数形式的傅立叶级数为_。5. 若连续线性时不变系统的输入信号为，响应为，则系统无畸变传输的时域表示式为=_。6. 利用初值定理和终值定理分别求原函数的初值=_，终值=_。7. 序列的z变换为，序列用单位样值信号表示，则=_。8. 的z变换式=_。9. 为使线性时不变离散系统是稳定的，其系统函数的极点必须在z平面的_。三、画图题（每小题8分共40分）1. 已知波形如图a-2所示，试画出的波形。图a-22. 周期信号（1）画出单边幅度谱和相位谱图；（2）计算并画出信号的功率谱3. 求图a-3所示信号的傅立叶变换，并画出频谱图。 图a-34. 图a-4所示系统中，已知，（n为整数），系统函数试画出a，b，c各点信号的频谱图。图a-45. 对系统函数为的系统，画出其零极点图，大致画出所对应的幅度频率响应，并指出它们是低通、高通还是全通网络。四、计算题（本大题共6小题，共62分）1. （8分）已知，求卷积。2. （8分）已知某系统的数学模型为：，求系统的冲激响应；若输入信号为，用时域卷积法求系统的零状态响应。3. （8分）图a-5所示系统中，已知且，（1）求子系统；（2）欲使子系统为稳定系统，试确定k的取值范围。图a-54. （13分）已知某因果lti系统的系统函数的零极点如图a-6所示，且，求：（1）系统函数及冲激响应；（2）写出关联系统的输入输出的微分方程；（3）已知系统稳定，求，当激励为时，求系统的稳态响应。图a-65. （15分）离散系统如图a-7所示图a-7（1）求系统函数（2）写出系统的差分方程式；（3）求系统的单位样值响应。6. （10分）证明：。（利用傅立叶变换性质）参考答案：一、 单项选择题（每小题题3分，共21分）1 选b。理由是：因为：，所以有：2 选b。理由是：因为：，所以有：3 选b。理由是：，由拉普拉斯变换的时域卷积性质，有：。又因为：，因而有：，从而得：。4 选a。理由是：因为：，又由于：，由傅立叶变换的翻转性质可得：，根据傅立叶变换的时移性质，得5 选b。理由是：根据采样定理，有：，6 选a。理由是：，。7 选a。理由是：设周期为，如果：，则有：，所以，。二、 填空题（每小题3分，共27分）1； 2. ；3. ；4. ；5. ；6，；7；8； 9. 单位圆内。三、画图题（每小题8分，共40分）1解：设，则有：时，；时，；时，；时，。因此，对应的波形如图a-8所示。图a-82解：（1）因为，因此，幅度频谱为：，其余为0。相位频谱为：，其余为0。单边幅度频谱和相位频谱如图a-9所示。 (a) (b)图a-9（2）信号的功率谱为3解：因为：，又因为：，由傅立叶变换的对称性可知：。设，得，即，因此，有频谱图如图a-10所示。图a-104解：由可知，是一个周期信号，且周期为：，指数形式的傅立叶级数系数为：，因此，的频谱为：，a点信号的频谱如图a-11(a)所示。由图可知：，根据傅立叶变换的调制性质，有，b点信号的频谱如图a-11(b)所示。因为：，很显然，只有范围的频率分量才可以通过系统。c点信号的频谱如图a-11(c)所示。 (a) (b) (c)图a-115解：系统的零点为：；极点为：，零极点图如图a-12(a)所示。由于极点在单位圆内，因此，系统的频率响应为：系统的幅频响应为：，如图a-12(b)所示。 (a) (b)图a-12显然是一个低通滤波器。四、计算题（共62分）1（8分）解：由列表法可得：2（8分）解：设，得系统单位冲激响应满足的微分方程为：对上述微分方程取单边拉普拉斯变换，得整理，得系统函数为：，取单边拉普拉斯逆变换，得系统单位冲激响应为：当输入为：时，系统的零状态响应为 3（8分）解：（1）设输入端求和器的输出为：，对于输入端求和器，有 (1) 对于输出端求和器，有 (2)由式（1）和（2）消去中间变量，得整理，得 (3)将代入式（3），得（2）由于系统函数的极点为：，为了使系统稳定，系统极点应该在左半平面，即要求：，因此，。4（13分）解：（1）由图可知，系统函数为：因为：， 即，所以得系统函数为：对上式取单边拉普拉斯逆变换，得系统单位冲激响应为：（2）由于，所以有由单边拉普拉斯变换的微分性质，得系统输入输出微分方程为：（3）当激励时，系统的稳态响应为：因为：，代入