几种数字算法的特性分析及仿真毕业设计说明书.doc

徐安超：几种数字算法的特性分析及仿真毕业设计说明书(论文)几种数字算法的特性分析及仿真 i徐安超：几种数字算法的特性分析及仿真undergraduate design(thesis)analysis ofseveral digitai algorithms and simulationbyxuan-chaosupervised bylecturer gu yan school of electric power engineering nanjing institute of technology june 2011- 74 -摘 要微机保护算法是微机保护研究的整点，微机保护不同功能的实现，主要依靠其软件算法完成。微机保护的一个基本问题便是寻找适当的算法，使运算结果的精度能满足工程要求并尽量减少计算。在选择算法时要考虑两个重要问题，即计算速度问题和计算精度问题，而这两者通常是矛盾的，若要精度高，则要利用更多的采样点，相应便增加了计算工作量，降低了计算速度。本文对微机保护算法综合性能分析，确定特定场合下如何合理的进行选择，并在此基础上对其进行补偿与改进，对于进一步提高微机保护的选择性、速动性、灵敏性和可靠性，满足电网安全稳定运行的要求具有现实指导意义。关键词 微机保护算法，两点乘积算法，导数算法，半周积分算法，傅氏算法，最小二乘算法，卡尔曼滤波算法abstractalgorithms for microprocessor-based protections are very important in the research on the microprocessor-based protections，for all kinds of functions of protections were achieved mainly by algorithmsto select appropriate algorithms is one of the basic issues of microprocessor-based protectionsthe algorithms should be precise enough to satisfy the requirements of the definite engineering and the time they consume should be as less as possiblewhen we select algorithms，we should consider two issuesspeed and precisionbut the speed is contrary with the precisionin order to acquire higher precision，we will use more sampling hits，which will consume more time and reduce me rateto study the algorithms for microprocessor-based protections will be useful for us to select an appropriate one and make it improved and compensated in certain situation. it will do a favor to improve the selectivity ,quick-acting, reliability and sensitivity in protections and satisfy the requirements of the electric network operating safely and stably. the study has some certain value of guidance for its application in actual engineering.key words algorithms for microprocessor-based protections; two-point product algorithm; derivative algorithm; half-cycleintegration algorithm；fourier algorithm；recursive least square algorithm；kalman filter algorithm目录摘 要iabstractii1 绪 论11.1电力系统微机继电保护概述11.2 微机保护算法的基本原理11.3 电力系统微机继电保护的发展历程21.4 微机保护算法综合性能分析的现实意义21.5本文所做的主要工作42 正弦函数模型的算法52.1两点乘积算法52.2 半周积分算法92.3 导数算法113 基于周期函数的算法173.1全波傅里叶算法173.2 半波傅氏算法183.3 傅氏算法的性能分析193.4 傅氏算法仿真分析233.5 模型算法284 随机模型的算法304.1 最小二乘算法304.2 卡尔曼滤波算法335 结论与展望36致 谢37附录 1 外文资料翻译38一种基于内部故障时浪涌电流条件的电力变压器微机差动保护新方法38a new method for recognizing internal faults from inrush current conditions in digital differential protection of power transformers521 绪 论1.1电力系统微机继电保护概述现代电力系统是一个巨大的统一的整体，系统中的装置以及所接的用电设备都是开放性设备，受到周围环境影响，发生故障的可能性很大。大型电气设备价格昂贵，一旦损毁不仅带来巨大的经济损失，而且会对电力系统本身稳定和工业生产及人民生活产生巨大影响。电力系统是一个复杂的、非线性的大系统，具有许多其他系统所没有的特殊性，随着电力系统不断向高电压、远距离、大容量的方向发展，系统的网架结构和运行方式日益复杂，这就对系统中继电保护装置提出了更高的要求，即要求选择性更好、可靠性更高、动作速度更快。为适应这种要求，各种新型的保护原理和保护装置不断涌现。微机继电保护的出现，使原有继电保护装置的工作性能有了显著的改善，大大提高了电力系统运行的安全性和稳定性。电力系统各部分都有他的额定参数（额定电流、电压、功率等），当发生短路或异常工况时，这些运行参数就偏离额定值，构成对电气设备和电力系统安全运行的威胁。因此，电力系统继电保护的基本任务在于：选择性地将故障部件从电力系统中快速切除、自动地切除，使其损坏程度减至最轻，并保证最大限度的恢复无故障部分的正常运行。对电气部件的异常工况做出反应，根据运行维护的具体条件和设备的承受能力，发出警报信号、减负荷或延时跳闸。根据实际情况，尽快自动恢复停电部分的供电。1.2 微机保护算法的基本原理微机保护算法的核心问题就是将连续型的电流、电压输入信号经过离散采样和模数变换转换成为可用于计算机处理的数字量，再算出可表征被监控对象运行特点的物理量，如电流、电压等的有效值和相位以及复阻抗等，或者算出它们的序分量、基波分量或某次谐波分量的大小和相位等，将采样数据进行分析、判断，以实现各种继电保护功能。算法是研究微机继电保护的重点之一，本文就微机继电保护常用的算法作简要介绍。1.3 电力系统微机继电保护的发展历程 近四十年来，计算机技术得到了飞速的发展，其应用已广泛而深入地影响着科学技术、生产制造和人们生活的各个领域。同样，计算机技术也影响到电力系统继电保护技术的发展。自从1984年4月由我国自行研制的第一套微机线路保护装置在河北马头电厂投入实际运行以来，微机继电保护已经在我国取得了很大的发展，随后在投入批量生产后，从二十世纪九十年代开始在我国电网中逐步得到实际应用。与此同时，各大高校与科研院所在微机继电保护方面进行了深入研究，国内几大继电保护生产厂家也纷纷转向微机继电保护的研发和生产。各种保护原理方案、算法的微机线路保护和微机主设备保护相继问世，为电力系统提供了一批优质可靠的微机继电保护装置，同时也积累了丰富的运行经验。随着微机保护装置的深入研究，在微机保护软件算法等方面也取得了很多的理论成果。我国继电保护技术己进入了微机保护的时代，并且也带动了变电站综合自动化的发展。1.4 微机保护算法综合性能分析的综述1.4.1 微机保护算法的发展概况传统的继电保护是直接将模拟信号引入保护装置，由各种不同原理的继电器实现幅值、相位、比率的判断从而实现保护的功能，继电器是由硬件实现的。而微机保护则需要将模拟信号转换为数字信号，经过某种运算求出电流、电压的幅值、相位，并与整定值进行比较，以决定是否发出跳闸命令。微机保护装置根据模数转换器提供的输入电气量的采样数据进行分析、运算和判断，这种以实现各种继电保护功能的方法称为算法。最初，人们从简单的情况出发，即从电压电流为纯正弦变化的情况出发，提出了许多算法，其中有半周内找最大值的算法，导数算法，采样值积的算法和解方程组的算法等等。由于这些算法都是基于被采样的电压和电流是纯正弦变化的，而实际在电力系统发生故障时，往往是在基波的基础上叠加有衰减的非周期分量和各种高频分量，因此要求计算机保护装置对输入的电流电压信号进行预处理，尽可能的滤掉非周期分量和高频分量，否则，将会出现较大的误差。针对上述情况，在算法研究过程中，另外提出了一些基于较复杂的数学模型的算法。此时不再假设输入的电压，电流量为纯正弦变化，而是假设它们是由非周期分量，基频和倍频分量所组成。这些方法中除解方程组的算法外，最常见的是傅里叶算法。由于这些算法本身带有很强的滤去高次谐波的功能，所以一般不再要另外采用数字滤波，但是算法本身不能滤去衰减的非周期分量，国内外许多继电保护工作者围绕克服衰减的非周期分量的影响，作了大量的研究工作，提出了一些相应的算法。实际上电力系统中送至继电保护装置的电压，电流信号的情况在不同的程度上还要复杂一些。由于电力系统中铁磁元件的非线性特性，输电线路的分布电容和串联并联电容的使用，以及电流互感器，电压互感器二次侧的暂态过程等等因素的影响，使得电压电路输入信号中除存在非周期分量外，还包含有许多随机的高频分量。这些分量的存在，将起到干扰和噪音的作用，使得计算结果中带来不同程度的误差。在超高压电力系统中，为了克服这些随机噪声的影响，除采用较完善的滤波措施外，还提出了一些减少误差的算法。例如对计算结果采取平滑措施，采用最小二乘曲线拟合算法等等。1.4.2 微机保护算法综合性能分析的现实意义对于电力系统的微机保护，在技术上一般应满足四个基本要求：即选择性、速动性、灵敏性和可靠性。可靠性是指该保护装置在规定的保护范围内发生了它应该动的故障时，它不应该拒绝动作，而在任何其它该保护不应该动作的情况下，则不应该误动作。文献1中将继电保护不误动的可靠性称为安全性，而将其不拒动和不会非选择性动作的可靠性称为“可信赖性”。微机保护的一个基本问题便是寻找适当的离散运算方法，使运算的结果的精确度能满足工程要求而计算机耗时又尽可能短，达到既判断准确，又工作迅速，可靠的效果。可以说算法就是微机保护的“灵魂”，算法的好坏直接决定了保护装置的安全性与可靠性。衡量一个算法优劣的标准主要是精度和速度，一个好的算法应该运算精度高，所用数据窗短，运算工作量小。一般说来，对精度和对速度的要求常常是互相矛盾的，要精确计算往往要使数据窗加长，并加大运算工作量，所以研究算法的实质是如何在速度与精度之间进行权衡。一个好的算法应该是运算精度高，所用数据窗短，运算工作量小。显然，运算精度高可使保护装置对区内、区外故障判断准确，而算法所用数据窗短，运算工作量小则有利于提高保护装置的动作速度，然而这两者之间是相互矛盾的。若要计算精确则往往要利用更多的采样点和进行更多的计算工作量。同时，在继电保护装置的运行环境中，充满了各种干扰，所以抗干扰性能也是评价算法性能好坏的指标之一。电力系统的线路或设备发生故障后，对适用于该故障的微机保护算法的综合性能进行分析，确定特定场合下如何合理的进行选择，并在此基础上对其进行补偿与改进，对于进一步提高微机保护选择性、速动性、灵敏性和可靠性，满足电网安全稳定运行的要求具有现实指导意义。1.5本文所做的主要工作本文将对微机保护算法的综合性能进行分析，确定特定场合下如何合理进行选择，并在此基础上对其进行补偿与改进，进一步提高微机保护的选择性、速动性、灵敏性和可靠性，以满足电网安全稳定运行的要求。所做主要工作如下：(1)分析微机保护常用算法的误差来源、幅频响应、滤波性能。综合考虑上述因素对正弦函数模型算法，周期函数模型算法，随机函数模型算法等等算法的影响，讨论各种算法的适用场合。(2)整理和总结各种改进傅里叶算法。对各种改进算法的性能进行综合分析及仿真，为在不同场合下寻找满足特定性能要求的算法提供指导。2 正弦函数模型的算法所谓正弦函数模型的算法就是假设被采样的电压、电流信号均是频率已知的正弦波，不含有非周期分量，也不含有其它谐波，如何从中计算出电压、电流的幅值和相位的方法。假定输入为正弦量的算法是基于提供给算法的原始数据为纯正弦量的理想采样值。以电流为例，可表示为： （2-1）式中 -频率 -电流有效值 -采样间隔-时的电流相角实际上故障后的电流、电压都含有各种暂态分量，而且数据采集系统还会引入各种误差，所以这类算法要获得精确的结果，必须和数字滤波器配合使用。也就是式（2-1）中的应当是数字滤波器的输出，而不是直接应用模数转换器提供的原始采样值。经前述数字滤波输出的数据基本上是基波正弦信号了，对于简单的电力电压保护，算法还是有应用价值的。2.1两点乘积算法2.1.1 两点乘积算法原理两点乘积算法是利用两个采样值的乘积来计算电流、电压、阻抗的幅值和相位角等电气参数的方法，由于这种算法是利用两点采样值来推算出整个曲线情况，所以它属于曲线拟合法，其特点是计算的判定时间较短。以电流为例，设和分别为两个采样时刻和时的采样值，且和两采样时刻相隔,即: （2-2）于是有： （2-3） （2-4）式中，为采样时刻电流的相角。将式（2-3）和式（2-4）平方后相加得： 将式（2-3）和式（2-4）相除得：以上表明，只要知道两相隔的正弦量之瞬时值，即可计算出电流的有效值和相位。同理，也可以利用上式原理计算电压的有效值和相位。如欲构成距离保护,只要同时测出n1和n2时刻的电流和电压、，和、采样值，即可求出电压的有效值及在时刻的相角即： （2-5）从而可以求出视在阻抗的模量和幅角2 （2-6） （2-7）两点乘积算法由于利用了两个相隔采样值，所以其数据窗长度为周期，对工频而言为。实际上，正弦量任何两点相邻的采样值都可以算出有效值和相角，即可以使两点乘积算法所需要的数据窗仅为很短的一个采样间隔。2.1.2 两点乘积算法的性能分析2.1.2.1 两点乘积算法的误差分析两点乘积算法是利用采样值的乘积来计算电流、电压、阻抗的幅值和相角等电气参数的方法。设 （2-8）而另一时刻的采样值 （2-9）根据公式化简可得 （2-10） （2-11）由于是预先选定的常数，所以，都是常数，只要送进相隔的两个时刻的采样值，便可以按式（2-10）、（2-11）算出或但是这样的运算要进行两次平方、两次乘法、一次除法、两次加减法和一次开平方运算，占用计算机的时间较多。如果选用，即，则上式可以简化为 （2-12） （2-13）此算法是基于正弦波的基础上的，由式(2-10)、(2-11)可知，算法本身无误差。2.1.2.2 两点乘积算法的频率响应对式(2-10)，假设 （2-14）将式(2-14)代入式(2-10)，可得: （2-15）由式（2-15）可知，该算法的频响与无关。同时，该算法对谐波的敏感程度与一个周期内的采样点数n有关系：当时，其频响特性如图2-1所示，此时该算法对三次谐波过于敏感；当时，其频响特性如图2-2所示，此时该算法对五次谐波过于敏感。图2-1 时两点乘积算法的频率响应图2-2 时两点乘积算法的频率响应2.1.2.3 两点乘积算法小结两点乘积算法对电路中电压和电流在任意时刻进行相隔采样，通过计算获得电压和电流的有效值，有功功率和无功功率。对工频交流电而言，两点乘积法的数据窗为，它的优点是计算简单快速，克服了一点采样法要求输入对称三相电流和电压的缺点，但是它同样没有滤波作用，而且受直流分量影响最大。两点乘积法对采样的时间要求精确等于，否则将会产生误差。只要知道相隔电气角的任意两个正弦函数瞬时值，就可以计算出该正弦量的有效值和相位。两点乘积算法本身所需要的数据窗很短，理想情况下误差为零，不过由于算式较复杂，有可能使算法所需时间的加长与采样间隔的缩短发生矛盾，因而限制了这种算法的广泛应用。如果对乘积算法采取特殊措施，如采用专用硬件加法器，则这种算法的应用会获得很大的改善。但实际电网信号不可能是纯正弦波，因此要与带通数字滤波器配合使用。算法本身与采样频率无关，因此对采样频率无特殊要求，但由于数据需先经过数字滤波，故采样频率的选择由所用的滤波器来确定。合理选择采样频率可使数字滤波器的运算量大大降低。本算法主要用于配电系统电压，电源保护。两点乘积算法本身所需要的数据窗很短，理想情况下误差为零，不过由于算式较复杂，有可能使算法所需时间的加长与采样间隔的缩短发生矛盾，因而限制了这种算法的广泛应用。如果对乘积算法采取特殊措施，如采用专硬件加法器，则这种算法的应用会获得很大的改善。但实际电网信号不可能是纯正弦波，因此要与带通数字滤波器配合使用。算法本身与采样频率无关，因此对采样频率无特殊要求，但由于数据需先经过数字滤波，故采样频率的选择由所用的滤波器来确定。合理的选择采样频率可使数字滤波器的运算量大大降低。本算法主要用于配电系统电压，电源保护。2.2 半周积分算法2.2.1 半周积分算法原理半周积分算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为常数s，且与采样的起始角度无关。以正弦电流信号为例，说明如下： （2-16）式（2-16）的积分可以用梯形法则近似求出式中， -第次采样值；-周期的采样点数。求出积分值后，应用式（2-16）可求得有效值 (2-17)半周积分算法本身所需的数据窗长度为工频的周期，时延为，它进行的是积分运算，有一定的滤除高频干扰信号的作用，计算精度与采样频率有关，采样频率越高，越小，精度越高。2.2.2 半周积分算法的性能分析2.2.2.1 半周积分算法的误差分析由于用采样值求和代替积分，会带来误差，此误差随值而变化。设当，时，可算得，而当时，。故 (2-20)图2-3 值变化与计算结果的误差曲线由图2-3可见，由于值变化会给最后计算的结果带来一定的误差。当,值变化给最后计算的结果带来的误差曲线见图2-3所示。但由于采用累加法计算值，个别采样所受的干扰对累加的总和的影响就相对较少。2.2.2.2 半周积分算法小结半周积分算法的依据是一个正弦量在任意半个周期内绝对值的积分为一常数。半周积分算法本身所需的数据窗长度为工频周期，时延为，显然较长。它进行的是积分运算，有一定的滤除高频干扰信号的作用，因为叠加在基频成份上的幅度不大的高频分量在半周积分中其对称的正负半周互相抵消，剩余的未被抵消的部分所占的比重就减小了。但它不能抑制直流分量。计算精度与采样频率有关，采样频率越高，精度越高。该算法计算简单，避免了平方等其他运算，其缺点是用梯形法求积分存在误差，因此对于一些要求不高的电流、电压保护可以采用这种算法，还可以作为复杂保护的启动元件的算法，必要的时候可以分配一个简单的差分滤波器来抑制直流中的非周期分量。2.3 导数算法2.3.1 导数算法原理导数算法也叫做微分法。这种算法只需要知道输入正弦量在某一时刻的采样值和该时刻的导数，即可算出其有效值和初相位。以电流为例，设为时刻的电流瞬时值，表达式为： (2-21)则该时刻电流的导数为 (2-22)求平方和得式(2-21)和式(2-22)相除得 (2-23)以上分析表明，只要知道电流和电压在某一时刻的采样值和导数，就可以求出电流和电压的有效值和初相位。采样值可以通过采样获得，而导数不能直接得到，但是可以通过差分方法获得近似值。可以取为两个相邻的采样时刻和的中间点，用差分法近似求导 (2-24)而时刻电流瞬时值则用平均值计算，即 (2-25)该算法实质上是利用了正弦的导数与其自身具有相位差的性质，所以它与两点算法本质上是一致的。2.3.2 导数算法的性能分析2.3.2.1 导数算法的误差分析导数算法主要是利用正弦函数的导数为余弦函数的特点计算正弦电压，电流的幅值。设 (2-26)则 (2-27)容易得出 (2-28)在对电压，电流采样以后，利用采样数据进行上述计算时，导数值采用下式近似代替： (2-29)式(2-29)中，为采样值的序号，为第次采样时的采样值，则为第次以后经过一个时的采样值。则为在第次前一次，即前一个时的采样值。为一个采样间隔的时间。导数法只需知道输入正弦量在某一时刻的采样值及该时刻对应的导数，即可算出有效值和相位。下面分析用采样值计算时带来的误差。令为精确计算时的电压幅值，为用离散的采样值计算时所得的电压幅值的计算值，可得 (2-30)或 (2-31)当时，此时误差最大，若取，即时，则 (2-32)即当时，最大误差为，出现在瞬时值过零时刻。2.3.2.2 导数算法的频率响应由式(2-31)可知 (2-33)从式(2-33)可见，是频率的函数，此外，它也受值的影响。先假定，即采样时刻是在输入信号过零时，此时， (2-34)当时， (2-35)其关系曲线如图2-4所示。可见，算法在，时，对三次谐波最敏感。此时，当时，。当，。图2-4 时导数算法的频率响应当时，图2-5即采样时刻处于输入信号的最大值时，从式（2-33）可知，。 图2-5 时导数算法的频率响应在，当时， (2-36)其关系曲线如图2-6所示，此时，算法对五次谐波最敏感。当时，。当，。在，当时，。 图2-6 时导数算法的频率响应综上所述，当，即采样时刻在输入信号过零时，算法对谐波的敏感程度与一个周期内的采样点数有关系，当时，算法对三次谐波最敏感：当时，算法对五次谐波最敏感。而当，无论采样点数为多少，算法的频率响应恒为。2.3.2.3 导数法小结导数法需要的数据窗较短，仅为两个采样间隔，且算式也不复杂，这对于加快保护的动作速度是有好处的。但是由于它要用导数，这将带来两个问题：一是要求数字滤波器有良好的滤去高频分量的能力，因为求导数将放大高频分量。二是由于用差分近似求导，所以算法的精度和采样频率有关，特别是较大时，误差增大。故采用此算法时，为达到一定的精度，要合理选择采样频率。导数算法常可用于输入信号中暂态分量不丰富或者计算精度要求不高的保护中，如直接应用于低压网络的电流、电压后备保护中，或者将其配备一些简单的差分滤波器以削弱电流中衰减的直流分量作为电流速断保护，加速出口故障的切除时间。3 基于周期函数的算法基于周期函数模型的算法本身对周期函数有不错的滤波效果，故测量故障信号的精度比基于正弦函数模型的算法高。正弦函数模型算法只是对理想情况下的电流、电压波形进行了粗略的计算。由于故障时的电流、电压波形畸变很大，此时不能把它们假设为单一频率的正弦函数，而应该假设它们是包含各种分量的周期函数。当信号是周期函数时，它可以被分解为一个函数序列之和，或者说是一个级数。针对这种模型，最常用的是傅里叶算法。常见的有全波傅里叶算法和半波傅里叶算法，它们根据傅里叶级数计算出信号的有效值。3.1全波傅里叶算法傅里叶算法在电力系统中应用很广，尤其是作为电力系统微机保护提取基波分量的一种算法，傅氏滤波占有重要的地位。傅氏算法的基本思想源于傅里叶级数，假设被采样的模拟量信号是一个周期性的时间函数，可以是正弦函数，也可以是含有多种谐波成分的非正弦函数，根据傅氏级数的概念，可将此周期函数分解为恒定的直流分量和各种高次谐波分量。可表示为： (3-1)式中，为谐波次数，；和分别为务次谐波的余弦项和正弦项的振幅。根据傅氏级数的原理，可以求出非别为： (3-2) (3-3)在用计算机进行处理时，上式的积分可以用梯形法则求得 (3-4) (3-5)式中，为一周期采样点数，为第次采样值，当取不间的数值时，可求出不同次谐波分量的正弦量和余弦量。例如当时，便可求出基波分量的余弦量和正弦量分别为： (3-6) (3-7)于是中的基波分量为： (3-8)合并正、余弦量，可写为 (3-9)因此可根据和求出有效值和相角222 (3-10) (3-11)根据以上两式可以很方便地计算出基波分量的有效值和初始相角。这种计算整个采样周期的算法叫做全周波傅氏算法。全波傅氏算法具有很强的滤波能力，可以滤去直流分量和所有整数次谐波分量，而且稳定性好，但其数据窗需要1个周期，若再计及微机保护判断和保护出口的延时，一般快速微机保护的动作时间为11.5个周期，所以响应速度较慢；傅氏变换是以周期信号推导出来的，如果采样信号中存在衰减直流分量，傅氏算法会带来较大的计算误差。3.2 半波傅氏算法全周波傅氏算法由于需要等待一个采样周期结束时才能进行计算，因此其响应速度比较慢，为了提高响应速度，根据正余弦函数的性质，我们可以只取半个采样周期来计算，这种方法叫做半周波傅氏算法，半周波傅氏算法的计算和推导过程与全周波傅氏算法相似，计算式子如下： (3-12) (3-13)由于半波傅氏算法只用半个周期的采样数据，响应快，但滤波能力相对较弱，不能消除直流分量和偶次谐波，故只能用于保护切除出口或近处故障。3.3 傅氏算法的性能分析3.3.1 傅氏算法的误差分析设故障电流波形为如下形式： (3-14)式中，（1）全波傅氏算法： (3-15) (3-16)经采样后，连续量变为离散量，积分变为求离散和 (3-17) (3-18)式中，为一个周期中的采样数，为从故障开始时的采样点序号。（2）半波傅氏算法 (3-19) (3-20)经采样后，积分变为求离散和 (3-21) (3-22)傅氏算法的误差来源：(1)离散求和方法的影响由于用离散值累加代替连续积分，所以计算结果要受采样频率的影响。此外，计算要用到全部个采样值，因此，计算必须在系统发生故障后第个采样值出现时才是准确的，在此之前，个采样值中有一部分是故障前的数值，一部分是故障后的数值，这就使计算结果不是真正反映故障的电算量。(2)衰减直流分量的影响傅氏算法的基础是假定输入信号是周期函数，可以分解为整倍数频率的分量之和，其中包括恒定的直流分量。但是，在电力系统中，实际的输入信号中的非周期分量包含的是衰减的直流分量。当对衰减的直流分量截取一个数据窗的宽度，作为输入信号，然后对它进行频谱分析，可以得到一个连续的，包含基频分量的频谱。如果作周期延拓，也可以分解为傅氏级数，即包含有基频、倍频和直流分量。因此，当采用傅氏算法，而输入中含有衰减直流分量时，计算所得的基频或倍频分量必定含有误差。目前的微机继电保护算法中，以周期函数模型为基础的离散傅里叶变换应用最为广泛。在电力系统发生故障时，往往是在基波的基础上叠加有衰减的非周期分量和各种高频分量，傅氏算法利用傅氏级数将周期函数分解为正弦和余弦函数，最适合微机保护计算其基频或倍频分量。3.3.2 傅氏算法的频率响应假设输入电流为，其频率为，并令，由式(3-17)及(3-18)说明，当要计算基频分量，但输入的却是其它频率信号时，也可以得到一个输出结果，这个结果的相对模值 (3-23)是相对频率的函数，当时，频率响应特性不同。当初相角，时，其频率响应特性如图3-1所示；当，时，其频率响应特性如图3-2所示。同理，也可以推导出半波傅氏算法的频率响应特性，分别如图3-3、图3-4所示。图3-1 ，时全波傅氏算法的频率响应特性 图3-2 时全波傅氏算法的频率响应特性图3-3 ，时半波傅氏算法的频率响应特性图3-4 时半波傅氏算法的频率响应特性由图3-1，图3-2，图3-3和图3-4可知，全波傅氏算法当为整数时，半波傅氏算法当为奇数时，。可见全波傅氏算法可以滤掉所有整次谐波分量，半波傅氏算法可以滤掉所有奇数次谐波分量。但当不为整数时，即即存在分数次谐波时，全波和半波傅氏算法都会带来一定的误差。3.4 傅氏算法仿真分析以上分析说明，当故障电流中存在衰减直流分量或者分数次谐波时，都会给傅里叶算法带来一定的误差。下面通过仿真实验来验证这一点。(1)待分析信号中不含衰减直流分量：假设待分析信号为：(3-24)其中一周期内采样点取，其波形和仿真结果如图3-5所示。（a） 待分析信号（b） 全波傅氏算法求得的基波分量（c） 半波傅氏算法求得的基波分量图3-5不含衰减直流分量时用傅里叶变换计算信号的基波幅值。由图3-5可见，此时全波傅里叶算法的计算结果相当精确，而半波傅里叶算法的计算结果会围绕正确值发生周期性的波动，严重时误差接近15，使得基波分量的计算结果带来很大的误差。(1) 待分析信号中含有衰减直流分量假设待分析信号为： (3-25)一周期内采样点取，此时信号的波形和仿真结果如图3-6所示。（a） 待分析信号(b) 全波傅氏算法求得的基波分量（c） 半波傅氏算法求得的基波分量图3-6 含有衰减直流分量时用福利叶变换计算信号的基波幅值由图3-6可见，当信号中含有衰减直流分量时，傅里叶算法的结果会带来很大误差，经过以后全波傅氏算法的误差接近，半波傅氏算法的误差更大，将近。而且随着时间窗的推移，傅氏算法的计算结果会产生振荡，从图3-6可以看出，无论是全波还是半波傅氏算法，在振荡了6个周期（即）后仍未收敛到真值20。(3）待分析信号中含有分数次数谐波假设待分析信号为： (3-26)（a） 待分析信号（b） 全波傅氏算法求得的基波分量（c） 半波傅氏算法求得的基波分量图3-7 含有分数次谐波时用傅里叶变换计算信号的基波幅值一周期内采样点取，此时信号的波形和仿真结果如图3-7所示。可见，当信号中含有分数次谐波时，全波和半波傅里叶算法的结果也会产生周期性振荡，全波傅氏算法在最严重的情况下误差超过20，半波傅氏算法的误差更大，接近30，从而使得基波分量的计算结果带来很大的误差，严重破坏了保护算法的安全性与可靠性。小结：傅氏算法实质是两个相移90的有限长脉冲响应滤波器（fir 滤波器）的两点乘积算法，傅氏算法和两点乘积法的本质是统一的。全波傅氏算法有如下特点：（1）算法需要一个周期的采样值，响应时间至少为1周期以上；（2）计算一次共需（为采样点数）次乘法和次加、减法，计算量随着的增大而增大；（3）算法仅能滤除恒定的直流分量和整数次谐波分量，不能克服衰减的直流分量。从精度来看，由于半波傅氏算法的数据窗只有半周，其精度要比全波傅氏算法差。但是，发生故障后，半波算法在半周后即可计算出真值，响应速度快；而全波算法只有在故障发生一周后才能计算出真值，响应速度慢。显然，傅里叶算法在克服干扰和响应速度上存在不足，在提高响应速度和减少计算量方面，目前主要从下面四个方面来考虑：（1）尽可能减少采样点数；（2）选取合适的n 以使正弦序列尽可能取易于计算的值，从而将乘法运算减少或转化为移位运算；（3）对信号模型进行适当的简化，忽略信号中的偶次谐波分量，可导出计算量减半和响应速度增倍的半波傅里叶算法；（4）利用递推算法。3.5 模型算法3.5.1 模型算法差分法：取两个不同时刻的电压、电流、电压导数 和电流导数（差分），则其中：,，,是电压电流在,时刻的值而,是电流,在,时刻的导数值可求解： 其中 模型算法仅用于距离保护。因为线路分布电容产生的影响主要表现为高频分量，采用低通滤波器可将高频分量滤除。模型算法反映全故障电流电压，它不需要用滤波器滤除非周期分量（衰减的直流分量），其总延时可以很短。模型算法同前述各种算法不同，它不是仅反应基频分量，而是在相当宽带一个频段内都能适用，因此，模型算法不受频率变化的影响。模型算法在不计线路分布电容时十分有效。模型算法同前述各种算法不同，它不是仅反应基频分量，而是在相当宽带一个频段内都能适用。（1）模型算法不需要用滤波器滤除非周期分量（衰减的直流分量），它可以只要求采用低通滤波器，与要求有带通滤波器的其他算法相比，其总延时可以很短，因为低通滤波器的延时要比带通滤波器短得多。（2）模型算法不受频率变化的影响采用模型，可先用短数据窗的低带通滤波器滤波后，进行一次粗略但快速的计算，以便快速切除近处故障；对于i段保护范围边缘的故障，则再用长数据库的带通滤波器进行精算滤波后切除故障，这样就较好解决了速度和精度的矛盾。4 随机模型的算法傅氏算法的前提是周期函数，即是信号要是可以分解为基频的整数倍频率分量。在这种情况下，计算结果精度是很高的，对非主频的抑制效果也很好，但是当出现衰减直流分量时，输入信号本身不是周期函数，此时经过按数据窗截断后再延拓成周期函数，是可以分解成基频及倍频，但数值大小已经发生变化，与原来函数所含的基频或相应的倍频数值己不一样。采取补偿的方法，拟合的方法，可以计算出精确的答案，其原因在于衰减直流分量虽不是周期分量，但仍属于精确的模型，可以拟合和补偿。电力系统中的中低压网络和不太长的输电线上短路时，上述条件基本上可以满足。上述有关算法是基本上能满足要求的。但是在较长的和输电线上短路，或在有并联补偿电容的系统中短路时，会产生一些非整数倍数的谐波，这些谐波的频率和幅值大小是随机的，随着短路地点，系统网络结构等参数不同而不同。由于这些随机的频率分量的存在，使得计算结果带来很大的误差，其大小从百分之几到百分之几十不等。在这种情况下，一些适合于随机模型的算法应运而生。下面是较主要的几种。4.1 最小二乘算法4.1.1 最小滤波二乘算法原理 最小二乘滤波算法在实用上，最常用的模型是线性化的衰减直流分量加上基频分量和整数倍数的谐波分量。对带有衰减直流分量的周期函数，或对非周期函数作周期延拓的情况下，这种方法与傅氏算法结果是一样的。该算法是假定输入信号是由衰减直流分量和有限项的整数倍谐波分量组成的，将输入信号最大限度地拟合于这一函数模型，并将拟合过程中剩余的部分作为误差量，使其均方值减到最小。因此，该算法也存在误差。目前所采用的最小二乘算法大多将拟合函数选择为包含直流、基频和几种低次谐波分量。最小二乘算法是将输入的暂态电气量与一个预设的含有非周期分量及某些谐波分量的函数按最小二乘方原理进行拟合(即使被处理的函数与预设函数尽可能 逼近，其总方差2或最小均方差为最小)，从而可求出输入信号中的基频及各种暂态分量的幅值和相角。设拟合函数为： (5-1)式中，分别为次谐波信号的实部和虚部，即，；，分别为信号的幅值和初相角；，为衰减非周期分量的起始值和时间常数。设采样周期为，将式(2-33)用离散采样值表示为 (5-2)其矩阵形式为 (5-3)其中 (5-4) (5-5)式（5-2）用指数形式拟合信号中的非周期分量，将衰减非周期分量项展开为泰勒级数，取前三项得 (5-6)则，分别为 (5-7) (5-8)在上述式中，设的维数为，当，时，可将此个方程写成矩阵形式 (5-9)，当时，利用伪矩阵可得未知数的解为式中， 是的伪逆矩阵 (5-10) 根据式即可求出向量中的所有元素，但通常在实际应用中往往不需要计算所有的未知数。如对采用二次谐波制动原理的变压器差动保护只要求计算出基波和二次谐波，因此只需要计算中的第4,5,6,7行乘，即可得出，则基波和二次谐波的幅值就可以用以下式计算出： (5-11)当应用于阻抗计算的时候，可将以电压和电流代入分别计算的4,5行乘，即可以求出电流，电压的幅值为： (5-12) (5-13)从而求出保护安装处至短路点的阻抗为 (5-14) (5-15)4.1.2 最小二乘算法性能分析最小二乘方算法是将输入的暂态电气量与一个预设的含有非周期分量及其某些谐波分量的函数按最小二乘方（或最小平方误差）的原理进行拟合，使被处理的函数与预设函数尽可能逼近，其总方差或最小均方差为最小，从而可求出输入信号中的基频及各种暂态分量的幅值和相角。最小二乘算法有以下两个特点：（1）可以任意选择拟合预设函数的模型，从而可以消除输入信号中任意需要消除的暂态分量（包括衰减的直流分量和各种整数次甚至分次谐波分量），而这只需要在预设模型中包括这些分量即可，因而使这种算法可能获得很好的滤波性能和很高的精度。同时，可以利用一个预设函数拟合，同时计算输入信号中各种所需计算的分量。如在变压器差动保护中，不仅需要计算出基波分量的大小，有时还需计算出二次谐波（作为涌流时制动用）、三次谐波（如作为过励磁制动用）的大小等。（2）最小二乘算法的精度一方面受数据窗大小影响，数据窗越大，精度越高；另一方面，受选择的拟合函数模型影响，模型包含的谐波次数越多，精度就越高，但表达式也越复杂，计算量也越大，因而在实用中还需在精度与速度之间仔细权衡。最小二乘算法从频域的角度来说相当于一全零点