考研数学一真题及答案.pdf

第 1 页 共 12 页 2015 年考研数学（一）试题解析年考研数学（一）试题解析 一、选择题一、选择题:18 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 32 分分.下列每题给出的四个选项中下列每题给出的四个选项中,只有一个选项 符合题目要求的 只有一个选项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上指定位置上. (1)设函数( )f x在, 内连续，其中二阶导数( )fx的图形如图所示，则曲线 ( )yf x的拐点的个数为 () (A)0(B)1(C)2(D)3 【答案】（C） 【解析】拐点出现在二阶导数等于 0，或二阶导数不存在的点， 并且在这点的左右两侧二阶导函数异号.因此，由( )fx的图形可得， 曲线( )yf x存在两个拐点.故选（C）. (2)设 2 11 () 23 xx yexe是二阶常系数非齐次线性微分方程 x yaybyce的一 个特解，则() (A)3,2,1 abc (B)3,2,1 abc (C)3,2,1 abc (D)3,2,1abc 【答案】（A） 【分析】 此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题已知解来确定微分方程 的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估 系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法. 【解析】 由题意可知， 2 1 2 x e、 1 3 x e为二阶常系数齐次微分方程0yayby的解， 所以 2,1 为特征方程 2 0rarb的根，从而(1 2)3a ，1 22b ，从而原方 程变为32 x yyyce，再将特解 x yxe代入得1c .故选（A） (3) 若级数 1 n n a条件收敛，则3x与3x依次为幂级数 1 (1) n n n nax的 () (A) 收敛点，收敛点 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 2 页 共 12 页 (B) 收敛点，发散点 (C) 发散点，收敛点 (D) 发散点，发散点 【答案】（B） 【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质. 【解析】因为 1 n n a 条件收敛，即2x 为幂级数 1 (1)n n n ax 的条件收敛点，所以 1 (1)n n n ax 的收敛半径为 1，收敛区间为(0,2).而幂级数逐项求导不改变收敛区间，故 1 (1)n n n nax 的收敛区间还是(0,2).因而3x 与3x 依次为幂级数 1 (1)n n n nax 的 收敛点，发散点.故选（B）. (4)设D是第一象限由曲线21xy ，41xy 与直线yx，3yx围成的平面 区域，函数,f x y在D上连续，则, D fx y dxdy () (A) 1 3sin2 1 42sin2 cos , sindf rrrdr (B) 1 sin23 1 42sin2 cos , sindf rrrdr (C) 1 3sin2 1 42sin2 cos , sindf rrdr (D) 1 sin23 1 42sin2 cos , sindf rrdr 【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出 D 的图形， 所以( , ) D f x y dxdy 1 sin23 1 42sin2 ( cos , sin )df rrrdr ， 故选（B） (5) 设矩阵 2 111 12 14 Aa a ， 2 1 bd d ，若集合1,2 ，则线性方程组Axb有 x y o 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 3 页 共 12 页 无穷多解的充分必要条件为() (A),ad (B),ad (C),ad (D),ad 【答案】(D) 【解析】 22 11111111 ( , )120111 1400(1)(2)(1)(2) A badad adaadd ， 由 ( )( , )3r Ar A b ，故 1a 或 2a ，同时 1d 或 2d .故选（D） (6)设二次型 123 ,f x x x在正交变换为xPy下的标准形为 222 123 2yyy， 其中 123 ,Pe e e，若 132 ,Qee e，则 123 ,f x x x在正交变换xQy下的标准形为 () (A) 222 123 2yyy (B) 222 123 2yyy (C) 222 123 2yyy (D) 222 123 2yyy 【答案】(A) 【解析】由x Py ，故 222 123 ()2 TTT fx AxyP AP yyyy . 且 200 010 001 T P AP . 由已知可得: 100 001 010 QPPC 故有 200 ()010 001 TTT Q AQCP AP C 所以 222 123 ()2 TTT fx AxyQ AQ yyyy .选（A） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 4 页 共 12 页 (7) 若 A,B 为任意两个随机事件，则() (A) P ABP A P B(B) P ABP A P B (C) 2 P A P B P AB(D) 2 P A P B P AB 【答案】(C) 【解析】由于,ABA ABB，按概率的基本性质，我们有()( )P ABP A且 ()( )P ABP B，从而 ( )( ) ()( )( ) 2 P AP B P ABP AP B ，选(C) . (8)设随机变量,X Y不相关，且2,1,3EXEYDX，则2 E X XY () (A)3(B)3(C)5(D)5 【答案】(D) 【解析】 22 (2)(2)()()2 ()E X XYE XXYXE XE XYE X 2 ()()()( )2 ()D XEXE XE YE X 2 322 12 25 ，选(D) . 二、填空题：二、填空题：914 小题小题,每小题每小题 4 分分,共共 24 分分.请将答案写在答题纸请将答案写在答题纸 指定位置上指定位置上. (9) 2 0 lncos lim_. x x x 【答案】 1 2 【分析】此题考查 0 0 型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以用等价无穷小替换. 【解析】方法一： 2 000 sin ln(cos )tan1 cos limlimlim. 222 xxx x xx x xxx 方法二： 2 2222 0000 1 ln(cos )ln(1 cos1)cos11 2 limlimlimlim. 2 xxxx x xxx xxxx (10) 2 2 sin ()d_. 1 cos x xx x 【答案】 2 4 【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的性质化简. 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 5 页 共 12 页 【解析】 2 22 0 2 sin 2. 1 cos4 x x dxxdx x (11)若函数( , )zz x y由方程cos2 x exyzxx确定，则 (0,1) d_.z 【答案】dx 【分析】此题考查隐函数求导. 【解析】令( , , )cos2 z F x y zexyzxx，则 ( , , )1 sin ,( , , ) z xyz F x y zyzx Fxz F x y zexy 又当0,1xy时1 z e ，即0z . 所以 (0,1)(0,1) (0,1,0) (0,1,0) 1,0 (0,1,0)(0,1,0) y x zz F Fzz xFyF ，因而 (0,1) .dzdx (12)设是由平面1xyz与三个坐标平面平面所围成的空间区域，则 (23 )_.xyz dxdydz 【答案】 1 4 【分析】 此题考查三重积分的计算， 可直接计算， 也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得 1 0 (23 )66 z D xyz dxdydzzdxdydzzdzdxdy ， 其中 z D为平面zz截空间区域所得的截面，其面积为 2 1 (1) 2 z.所以 11 232 00 11 (23 )66(1)3(2). 24 xyz dxdydzzdxdydzzzdzzzz dz (13)n阶行列式 2002 1202 _. 0022 0012 【答案】 1 22 n 【解析】按第一行展开得 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 6 页 共 12 页 11 11 2002 1202 2( 1)2( 1)22 0022 0012 nn nnn DDD 221 22 2(22)2222222 nn nn DD 1 22 n (14)设二维随机变量( , )x y服从正态分布(1,0;1,1,0)N，则 0_.P XYY 【答案】 1 2 【解析】由题设知，(1,1),(0,1)XNYN，而且XY、相互独立，从而 0(1)010,010,0P XYYPXYP XYP XY 11111 1 01 0 22222 P XP YP XP Y. 三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸 指定位置上指定位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分 10 分) 设函数 ln(1)sinf xxaxbxx， 3 ( ) g xkx， 若 fx与 g x在0x是等价无穷小，求, ,a b k的值. 【答案】,.abk 11 1 23 【解析】法一法一：原式 3 0 ln 1sin lim1 x xaxbxx kx 233 33 3 0 236 lim1 x xxx xa xo xbx xo x kx 2343 3 0 1 236 lim1 x aab a xbxxxo x kx 即10,0,1 23 aa ab k 11 1, 23 abk 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 7 页 共 12 页 法二法二： 3 0 ln 1sin lim1 x xaxbxx kx 2 0 1sincos 1 lim1 3 x a bxbxx x kx 因为分子的极限为 0，则1a 2 0 1 2 cossin 1 lim1 6 x bxbxx x kx ，分子的极限为 0， 1 2 b 0 2 2 sinsincos 13 lim1 6 x bxbxbxx x k ， 1 3 k 11 1, 23 abk (16)(本题满分 10 分) 设函数 f x在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的 0 xI，由 线 =y f x在点 00 ,x f x处的切线与直线 0 xx及x轴所围成区域的面积恒为 4，且 02f，求 f x的表达式. 【答案】f x x 8 ( ) 4 . 【解析】设 f x在点 00 ,xf x处的切线方程为： 000 ,yf xfxxx 令0y ，得到 0 0 0 fx xx fx ， 故由题意， 00 1 4 2 f xxx，即 0 0 0 1 4 2 fx fx fx ，可以转化为一阶微分方 程， 即 2 8 y y ，可分离变量得到通解为： 11 8 xC y ， 已知 02y，得到 1 2 C ，因此 111 82 x y ； 即 8 4 f x x . (17)(本题满分 10 分) 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 8 页 共 12 页 已知函数,fx yxyxy，曲线 C： 22 3xyxy ，求,fx y 在曲线 C 上的最大方向导数. 【答案】3 【解析】因为,f x y沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模. ,1,1 xy fx yy fx yx ， 故 ,1,1gradf x yyx，模为 22 11yx， 此题目转化为对函数 22 ,11g x yyx在约束条件 22 :3C xyxy下 的最大值.即为条件极值问题. 为了计算简单，可以转化为对 22 ( , )11d x yyx在约束条件 22 :3C xyxy下的最大值. 构造函数： 22 22 , ,113F x yyxxyxy 22 2 120 2 120 30 x y Fxxy Fyyx Fxyxy ，得到 1234 1,1 ,1, 1 ,2, 1 ,1,2MMMM . 1234 8,0,9,9d Md Md Md M 所以最大值为93. (18)(本题满分 10 分) （I）设函数( )( )u x ,v x可导，利用导数定义证明u x v xu x v xu x v x ( )( )( )( )( ) ( ) （II）设函数( )( )( ) 12n u x ,ux ,ux可导， n f xu x u xux 12 ( )( ) ( )( )，写出( )f x 的求导公式. 【解析】（I） 0 () ()( ) ( ) ( ) ( )lim h u xh v xhu x v x u x v x h 0 () ()() ( )() ( )( ) ( ) lim h u xh v xhu xh v xu xh v xu x v x h 00 ()( )()( ) lim ()lim( ) hh v xhv xu xhu x u xhv x hh ( ) ( )( ) ( )u x v xu x v x （II）由题意得 12 ( )( )( )( ) n fxu x uxux 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 9 页 共 12 页 121212 ( )( )( )( )( )( )( )( )( ) nnn ux uxuxu x uxuxu x uxux (19)(本题满分 10 分) 已知曲线 L 的方程为 22 2, , zxy zx 起点为 0,2,0A，终点为 0,2,0B， 计算曲线积分 2222 dd()d L Iyzxzxyyxyz . 【答案】 2 2 【解析】由题意假设参数方程 cos 2sin cos x y z ， : 22 2 2 2 ( 2sincos )sin2sincos(1 sin)sin d 22 2 2 2sinsincos(1 sin)sind 2 2 0 2 2 2sind 2 (20) (本题满 11 分) 设向量组1,23 , 内 3 R的一个基， 113 =2+2k， 22 =2， 313 =+1k. （I）证明向量组 1 2 3 为 3 R的一个基; （II）当 k 为何值时，存在非 0 向量在基1,23 , 与基 1 2 3 下的坐标相同，并 求所有的. 【答案】 【解析】(I)证明： 12313213 123 ,2+2,2,+1 201 ,020 201 kk kk 201 21 020240 21 201 kk kk 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 10 页 共 12 页 故 123 , 为 3 R的一个基. （II）由题意知， 112233112233, 0kkkkkk 即 111222333 0,0,1,2,3 i kkkki 11312223133 11322313 2+22+10 +2+0 kkkkk kkkkk 有非零解 即 13213 +2,+0kk 即 101 0100 20kk ，得 k=0 112231 213 0 0,0 kkk kkk 11131 ,0kkk (21) (本题满分 11 分) 设矩阵 023 133 12a A相似于矩阵 120 00 031 b B =. (I)求, a b的值； （II）求可逆矩阵P，使 1 P AP为对角矩阵 【解析】(I)( )( )311ABtr Atr Bab 023120 13300 12031 ABb a 14 235 aba abb (II) 023100123 133010123 123001123 AEC 1231 1231123 1231 C 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（海量考研真题，考研资料免费下载，请访问研视界（） 第 11 页 共 12 页 C的特征值 123 0,4 0时(0)0EC x的基础解系为 12 (2,1,0) ;( 3,0,1) TT 5时(4)0EC x的基础解系为 3 ( 1, 1,1) T A 的特征值1:1,1,5 AC 令 123 231 ( ,)101 011 P， 1 1 1 5 P AP (22) (本题满分 11 分) 设随机变量X的概率密度为 2ln2,0, 0,0. x x fx x 对X进行独立重复的观测,直到 2 个大于 3 的观测值出现的停止.记Y为观测次数. (I)求Y的概率分布; (II)求EY 【解析】(I) 记p为观测值大于 3 的概率，则 3 1 322 8 ()ln x pP Xdx ， 从而 1222 1 17 11 88 nn n P YnCpppn ()()( ) ( )，2 3, ,n 为Y的概率分布； (II) 法一法一:分解法分解法: 将随机变量Y分解成=Y MN两个过程,其中M表示从1到()n nk次试验观测值大 于3首次发生，N表示从1n次到第k试验观测值大于3首次发生. 则MGe n p( ,)，NGe kn p(,)(注：Ge 表示几何分布) 所以 1122 16 1 8 E YE MNE ME N ppp ( )()()() . 法二法二:直接计算直接计算 2221 222 17777 112 88888 nnnn nnn E Yn P Ynnnnn ( )()( ) ( )()( )( )( ) 记 2 1 2 111( )() n n S xnnxx ，则 海量考研真题，考研