2017年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017 年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科） 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 3 C上，则输入的实数 ） A C D 9某同学用 “ 随机模拟方法 ” 计算曲线 y=x=c， y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了 10 个在区间上的均匀随机数 0 个区间上的均匀随机数 i N*， 1 i 10），其数据如下表的 前两行 x y 由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（ ） A （ e 1） B （ e 1） C （ e+1） D （ e+1） 10九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题： “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？ ” （ “ 钱 ” 是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ） A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 11己知函数 f（ x） =x R），先将 y=f（ x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右 平行移动 （ 0）个单位长度，得到的图象关于直线 x= 对称，则 的最小值为（ ） A B C D 12已知双曲线 1： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 圆 2： + =1的离心率为 e，直线 2与双曲线交于 M， =e，则双曲线 1的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A 30 或 150 B 45 或 135 C 60 或 120 D 15 或 165 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13向量 =（ 1， 1）， =（ 1， 0），若（ ） （ 2 + ），则 = 14已知 首项为 32 的等比数列， n 项和，且 = ，则数列 |前10项和为 15如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 16若曲线 y=a 0）与曲线 y= 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17已知在 A， B， a， b， c，且 （ 1）求角 （ 2）若 ，求 18某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定： A， B， 百分制 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图所示 （ 1）求 x， （ 2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3人，求至少有 1人成绩是合格等级的概率； （ 3）在选取的样本中，从 A， 名学生进行调研，记 表示抽取的 3名学生中为 随机变量 的分布列及数学期望 19如图， 的直径， 上除 A、 所在的平面， B， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）当三棱锥 C 积最大时，求二面角 D 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，右焦点 F（ 1， 0） （ ）求椭圆 （ ）点 上，且在第一象限内，直线 ： x2+y2=，且 点 21已知函数 f（ x） =g（ x） =其中 （ 1） ， 使得不等 式 f（ +g（ 求实数 （ 2）若 x 1，求证： f（ x） g（ x） 0 四、选修 4标系与参数方程 22在极坐标系中，曲线 2= ，点 R（ 2 ， ） （ ）以极点为原点，极轴为 立平面直角坐标系，把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程， R 点的极坐标化为直角坐标； （ ）设 上一动点，以 矩形 此时 五、选修 4等式选讲 23设函数 f（ x） =|x a|， a R （ ）当 a=2时，解不等式： f（ x） 6 |2x 5|； （ ）若关于 f（ x） 4的解集为，且两正数 s和 s+t=a，求证： 2017 年河南省六市联考高考数学二模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12小题，每小题 5分，满分 60 分） 1已知集合 A=x|2x 3 0， B=x|y=2 x） ，则 A B=（ ） A（ 1， 3） B（ 1， 3 C， B=x|y=2 x） =x|2 x 0=x|x 2=（ ， 2）； A B=上，则输入的实数 ） A C D 【考点】 序框图 【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来 【解答】解：根据题意，得 当 x （ 2， 2）时， f（ x） =2x， 1 2x 8， 0 x 3； 当 x（ 2， 2）时， f（ x） =x+1， 1 x+1 8， 0 x 7， 故选： D 9某同学用 “ 随机模拟方法 ” 计算曲线 y=x=c， y=0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生 了 10 个在区间上的均匀随机数 0 个区间上的均匀随机数 i N*， 1 i 10），其数据如下表的前两行 x y 由此可得这个曲边 三角形面积的一个近似值是（ ） A （ e 1） B （ e 1） C （ e+1） D （ e+1） 【考点】 6G：定积分在求面积中的应用 【分析】向矩形区域 内随机抛掷 10 个点，有 6 个点在曲边三角形内，由此根据矩形区域的面积为 e 1，能求出曲边三角形面积的近似值 【解答】解：由表可知，向矩形区域 内随机抛掷 10个点， 其中有 6个点在曲边三角形内，其频率为 = 矩形区域的面积为 e 1， 曲边三角形面积的近似值为 （ e 1） 故选： A 10九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问 题： “ 今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问各得几何 ” 其意思为 “ 已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列问五人各得多少钱？ ” （ “ 钱 ” 是古代的一种重量单位）这个问题中，甲所得为（ ） A 钱 B 钱 C 钱 D 钱 【考点】 84：等差数列的通项公式 【分析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d，由题意求得 a= 6d，结合 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5求得 a=1，则答案可求 【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a 2d， a d， a， a+d， a+2d， 则由题意可知， a 2d+a d=a+a+d+a+2d，即 a= 6d， 又 a 2d+a d+a+a+d+a+2d=5a=5， a=1， 则 a 2d=a 2 = 故选： B 11己知函数 f（ x） =x R），先将 y=f（ x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动 （ 0）个单位长度，得到的图象关于直线 x= 对称，则 的最小 值为（ ） A B C D 【考点】 数 y=x + ）的图象变换 【分析】由条件利用 y=x + ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论 【解答】解：函数 f（ x） =x R） =2x+ ）， 先将 y=f（ x）的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变）， 可得 y=22x+ ）的图象； 再将得到的图象上所有点向右平行移动 （ 0）个单位长度， 得到 y=22x+ 2 ）的图象 再根据得到的 图象关于直线 x= 对称，可得 2 + 2= ， k z， 则 的最小值为 ， 故选： A 12已知双曲线 1： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点分别为 圆 2： + =1的离心率为 e，直线 2与双曲线交于 M， =e，则双曲线 1的两条渐近线的倾斜角分别为（ ） A 30 或 150 B 45 或 135 C 60 或 120 D 15 或 165 【考点】 曲线的简单性质 【分析】用 a， b， 用余弦定理计算 计算出离心率 出 a和 【解答】解： |2c， 由双曲线的定义可得 | 2a=2c 2a， 椭圆 2： + =1的离心率为 e= = ， = ， |4c， |4c 2a， 在 余弦定理的 = ， 在 余弦定理的 = ， ， ，即 + =0， 整理得 27，设双曲线的离心率为 37=0，解得 或 （舍） =4， 3a2= = 双曲线的渐近线方程为 y= x， 渐近线的倾斜角为 60 和 120 故选 C 二、填空题（共 4小题，每小题 5分，满分 20分） 13向量 =（ 1， 1）， =（ 1， 0），若（ ） （ 2 + ），则 = 3 【考点】 9J：平面向量的坐标运算 【分析】根据两向量垂直时数量积为 0，列出方程求出 的值 【解答】解：向量 =（ 1， 1）， =（ 1， 0）， =2， =1， = 1； 又（ ） （ 2 + ）， （ ） （ 2 + ） =2 +（ 2） =0， 即 2 2+（ 2） （ 1） 1=0 ， 解得 =3 故答案为： 3 14已知 首项为 32 的等比数列， n 项和，且 = ，则数列 |前10项和为 58 【考点】 8E：数列的求和 【分析】由 首项为 32 的等比数列， = ，求出 q，可得 2（ ） n 1=27 2n，再求数列 |前 10项和 【解答】解： 首项为 32 的等比数列， = ， = ， 1+， q= ， 2（ ） n 1=27 2n， |7 2n|， 数列 |前 10 项和为 5+3+1+1+3+5+7+9+11+13=58， 故答案是： 58 15如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为 【考点】 的体积和表面积； 单空间图形的三视图 【分析】根据三视图得出空间几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O 方体的棱长为2， A， 用球的几何性质求解即可 【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O 方体的棱长为 2， A， 根据几何体可以判断：球心应该在过 A， 设球心到截面 离为 x，则到 2 x， R2= ） 2， 2+（ 2 x） 2， 解得出： x= ， R= ， 该多面体外接球的表面积为： 4R 2= ， 故答案为： 16若曲线 y=a 0）与曲线 y= ， + ） 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】求出两个函数的导函数，设出两切点，由斜率相等列方程，再由方程有根转化为两函数图象有交点，求得 【解答】解：由 y=a 0），得 y=2 由 y= y=e x， 曲线 y=a 0）与曲线 y= 设公切线与曲线 与曲线 则 2， 可得 2x2=， a= ， 记 f（ x） = ， 则 f （ x） = ， 当 x （ 0， 2）时， f （ x） 0， f（ x）递减； 当 x （ 2， + ）时， f （ x） 0， f（ x）递增 当 x=2时， f（ x） ， + ） 故答案为： ， + ） 三、解答题（共 5小题，满分 60分） 17已知 在 A， B， a， b， c，且 （ 1）求角 （ 2）若 ，求 【考点】 弦定理的应用； 弦定理 【分析】（ 1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数化简求解即可 （ 2）利用余弦定理求出 后求解三角形的面积 【解答】解：（ 1）在 正弦定理得 ， 即 =0，又角 0， 所以 ，即 ， 又因为 A （ 0， ），所以 （ 2）在 余弦定理得： a2=b2+2bc 即 ，解得 或 ， 又 ，所以 18某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些这些学生的原始成绩均分布在内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见表，规定： A， B， 百分制 85分及 70分到 60分到 60分以以上 84分 69分 下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进 行统计，按照的分组作出频率分布直方图如图所示，样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图所示 （ 1）求 x， （ 2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选 3人，求至少有 1人成绩是合格等级的概率； （ 3）在选取的样本中，从 A， 名学生进行调研，记 表示抽取的 3名学生中为 随机变量 的分布列及数学期望 【考点】 率的应用； 散型随机变量的期望与方差 【分析】（ 1）根 据频率分布直方图和树形图求解； （ 2）至少有一人可从反面出发，用间接法求解； （ 3）根据分布列的定义和数学期望的计算方法求解即可 【解答】解：（ 1）由题意可知，样本容量 n= =50， x= =y= = （ 2）不合格的概率为 设至少有 1人成绩是合格等级为事件 A， P（ A） =1 故至少有 1人成绩是合格等级的概率为 ； （ 3） 50=9人， 人， 的取值可为 0， 1， 2， 3； P（ =0 ） = = ， P（ =1 ） = ， P（ =2 ） = ， P（ =3 ） = ， 的分布列为 0 1 2 3 P +1 +2 +3 = 19如图， 的直径， 上除 A、 所在的平面， B， ， （ 1）证明：平面 平面 （ 2）当三棱锥 C 积最大时，求二面角 D 【考点】 二面角有关的立体几何综合题； 面与平面垂直的判定 【分析】（ ）由已 知条件推导出 平面 此证明 平面 而得到平面 平面 （ ）依题意推导出当且仅当 时三棱锥 C 积最大，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角 D 【解答】（ ）证明： 直径， ， 平面 ， ， 平面 E， 平面 ， 面 平面 平面 （ ）依题意， ， 由（ ）知 = = ， 当且仅当 时等号成立 如图所示，建立空间直角坐标系， 则 D（ 0， 0， 1）， ， ， ， ， ， 设面 ，即 ， ， 设面 ，即 ， ， 与二面角 D 二面角 D 20在平面直角坐标系 ，椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 ，右焦点 F（ 1， 0） （ ）求椭圆 （ ）点 上，且在第一象限内，直线 ： x2+y2=，且 点 【考点】 圆的简单性质 【分析】（ ）运用椭圆的离心率公式和焦点坐标，可得 c=1， a=2，求得 B，进而得到椭圆方程； （ ）讨论当 得 P， 用数量积为 0，可得 t；当 x 轴时，设 P（ y y0=k（ x 运用直线和圆相切的条件： d=r，结合向量 垂直的条件：数量积为 0，化简整理，即可得到所求值 【解答】解：（ ）由题意可得 e= = ， c=1， 解得 a=2， b= = ， 可得椭圆方程为 + =1； （ ）当 直于 x 轴时，可得 P（ ， ）， Q（ ， t）， 由 有 =3+ t=0，解得 t= 2 ； 当 P（ y y0=k（ x 即为 y ， 由 ： x2+ 相切，可得 = ， 平方可得（ 2=3（ 1+即 233， 又 Q（ ， t）， 由 有 =+， 解得 t= ， 则 = = = = = =12， 解得 t= 综上可得， t= 21已知函数 f（ x） =g（ x） =其中 （ 1） ， 使得不等式 f（ +g（ 求实数 （ 2）若 x 1，求证： f（ x） g（ x） 0 【考点】 6P：不等式恒成立的问题 【分析】（ 1）确定函数 f（ x）在上单调递增，可得 f（ x） f（ 0） = 1；函数 g（ x）在上单调递减，可得 g（ x） g（ 0） = ，即可求出实数 （ 2）先利用分析要证原不等式成立，转化为只要证 ，令 h（ x） = ， x 1，利用导数求出 h（ x） h（ 0） =1，再令 k= ，其可看作点 A（ 点 B（ ， 0）连线的斜率，根据其几何意义求出 可证明 【解答】（ 1）解： f（ +g（ m， f（ m g（ f（ f（ m g（ 当 x 时， f （ x） 0，函数 f（ x）在上单调递增， f（ x） f（ 0） = 1， g（ x） = g （ x） = x ， 0 1， 0， ， g （ x） 0， 函数 g（ x）在上单调递减， g（ x） g（ 0） = ， 1 m+ ， m 1 ， 实数 ， 1 ； （ 2）证明： x 1，要证： f（ x） g（ x） 0， 只要证 f（ x） g（ x）， 只要证 只要证 ） （ x+1） 由于 0， x+1 0， 只要证 ， 下面证明 x 1时，不等式 成立， 令 h（ x） = ， x 1， h （ x） = ， x 1， 当 x （ 1， 0）时， h （ x） 0， h（ x）单调递减， 当 x （ 0， + ）时， h （ x） 0， h（ x）单调递增， h（ x） h（ 0） =1 令 k= ，其可看作点 A（ 点 B（ ， 0）连线的斜率， 直线 y=k（ x+ ）， 由于点 x2+ 上， 直线 当直线 线 ， 当 x=0时， k= 1=h（ 0）， x 0时， h（ x） 1 k， 综上所述，当 x 1