湖北省襄阳市2017届高三第三次适应性考试数学试题（理）含答案

襄阳 2017届高三第三次适应性考试 数学（理科）试题 第 卷 一、选择题（本大题共 12个小题，每小题 5分，共 60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1 设集合 2)1( 2 1 6 2 xB y y ，则 （ ） A. 0,3 B. 0,4 C. 3,4 D. 1,3 2 已知复数1 5在复平面上对应的点在直线 5 2 0上，复数15 2iz z （ i 是虚数单位）， 则 2017z （ ） A 1 B 1 C i D i 3 若 ，则 22 c o s 2 3 s i n 2 s i n 的值为（ ） A 25B 25C 5 D 5 4 在 4 , 6 , 2 , 4内随机取出两个数，则这两个数满足 30 的概率为（ ） A 14B 18C 110D 1165 若圆 22 1 2 1 6 0x y x 与直线 y 交于不同的两点，则实数 k 的取值范围为（ ） A ( 3, 3) B ( 5, 5) C 55( , )22D 33( , )226 70 年代中期，美国各所名牌大学校园内，人们都像发疯一般， 夜以继日 ， 废寝忘食 地玩一个数学游戏 意写出一个自然数 N ，并 且按照以下的规律进行变换：如果是个 奇数 ，则下一步变成 31N ；如果是个 偶数 ，至连教师、研究员、教授与学究都纷纷加入 为人们发现，无论 N 是怎样一个数字，最终都无法逃脱回到谷底 1 无法逃出落入底部的 4 2 1循环，永远也逃不出这样的 宿命 冰雹猜想 ”然数 27 经过十步运算得到的数为 ( ) 42403836343230282624142 B 71 C 214 D 107 7 在 中， a ， b ， c 分别为内角 A ， B ， C 的对边，且 2 2 23 3 2 3 s i na b c b c A ，则 C 的值为（ ） A3B6C4D38 某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 203，则图中 x 的值为（ ） A 3 B 1 D 529 运行如下程序框图，如果输入的 0,5t ，则输出 S 属于（ ） A 4,10 B 5,2 C 4,3 D 2,5 10 已知向量 3， 2， O C m O A n O B，若 B 的夹角为 60，且B ，则实数 值为（ ） A. 16B. 14C. 6 D. 4 11 如图，在四边形 ， 2C， 90 ，C C 折起，使得平面 平面且 三棱锥 D 的 体积为 43，此时点 A ， B ， C ，D 在同一个球面上，则该球的体积是（ ） A 92B 823 C 272D 12 12 已知函数 2 x a x x x 存在极值，若这些极值的和大于 5 ，则实数 a 的取值范围为（ ） A ,4 B 4, C ,2 D 2, 开始 输入 t 2?t2222 2 4S t t 5 输出 S 结束 是 否 第 卷 本试卷包括必考题和选考题两部分第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22题第 23题为选考题，考生根据要求作答 二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分） 13 若 6 270 1 2 71 x a x a a x a x a x ，其中 0 s i n c o s da x x，则0 1 2 6a a a a 的值为 . 14 已知函数 1 ,022 , 0 ，若 2f f a，实数 满足约束条件0626，则目标函数 3 4 1 02x 的最大值为 . 15 过点 2,0P 的直线交抛物线 2 4于 ,抛物线的焦 点为 F ，则 积的最小值为 . 16 以下四个命题： 已知随机变量 20, ，若 ( 2)P X a，则 ( 2)的值为 12a； 设 , ，则 “ 22lo g lo ”是 “21 ”的充分不必要条件 ； 函数 12 12xf x x 的零点个数为 1； 命题 2: , 3 1np n n N ， ,则 p 为 2, 3 1 N . 其中真命题的序号为 . 三、解答题（本大题共 6小题，共 70分 明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 12 分） 已知数列 的等差数列，满足1 5a，且2 9 30,a a （ 1）求 （ 2）若数列 111 N，且1 13b，求数列 n 项和20 15 10 5 5 10 15121086422468（本小题满分 12 分） 已知在四棱锥 C 中， 平面 /B , 是边长为 2 的等边三角形， 1， M 为 中点 . （ 1）求证： M ； （ 2）若直线 平面 成角的正切值为 2 ， 求二面角 B 的大小 . 19 （本小题满分 12 分） 近年来，微信越来越受欢迎，许多人通过微信表达自己、交流思想和传递信息， 微信是现代生活中进行信息交流的重要工具 信支付为用户带来了全新的支付体验，支付环节由此变得简便而快捷 00 名顾客进行统计，其中 40 岁以下占 35，采用微信支付的占 23， 40 岁以上采用微信支付的占 14. （ 1） 请完成下面 22 列联表： 40 岁以下 40 岁以上 合计 使用微信支付 未使用微信支付 合计 并由列联表中所得数据判断有多大的把握认为 “使用微信支付与年龄有关 ”？ （ 2）采用分层抽样的方法从 100 名顾客中抽 取 10 人参与抽奖活动，一等奖两名，记 “40岁以下 ”得一等奖的人数为 X ，求 X 的分布列及数学期望 . 参考公式 : 22 ()( ) ( ) ( ) ( )n a d b b c d a c b d ， n a b c d . 参考数据： 2 0P K k 20 （本小题满分 12 分） 已知椭圆的两个焦点为 1 5, 0F ， 2 5,0F， M 是椭圆上一点，若120F，128M F M F （ 1）求椭圆的方程； （ 2）点 P 是椭圆上任意一点，12别是椭圆的左、右顶点，直线12A，与直线 352x分别交于 ,证：以 直径的圆交 x 轴于定点，并求该定点的坐标 . 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 s i n o s )xf x x x. （ 1）如果对于任意的20,x ， e c o x kx x 恒成立，求实数 k 的取值范围； （ 2）若 2 0 1 5 2 0 17,22x ，过点 1 ,02M 作函数 各切点的横坐标按从小到大构成数列 数列 请考生在第 22、 23两题中任选一题作答 能做所选定的题目 按所做的第一个题目计分 22 （本小题满分 10 分） 选修 4 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 ，点 03P ， ，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2241 c o s 直线 l 的参数方程为12 (332 为参数) （ ）写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； （ ）设直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 , 11B的值 23 （本小题满分 10 分） 选修 4 5：不等式选讲 已知函数 21f x x x . （ ）解不等式 0f x x ； （ ）若关于 x 的不等式 2 2f x a a在 R 上的解集为 R ，求 实数 a 的取值范围 . 高三年级第三次适应性考试 理 科 数学 参考答案 1 2 3 4 5 6 C D A B C C 7 8 9 10 11 12 B C A A B 13. 1 14. 8 15. 22 16. 17.【解析】 （ 1）设 等差 数列 d ( 0d )， 由 2 9 30,a a a 成等比数列 可知 21 1 12 9 8a a d a ,又 1 5a ， 解得 2d , 23. 4 分 （ 2）由 111 N， 得 1111 2,a n N， 当 2n 时，1 1 2 2 1 11 1 1 1 1 1 1 1n n n n nb b b b b b b b 1 2 1111 1 2 6 3 22a a n n n ， 8 分 对1 13b上式也成立， 1 2nn n N ， 1 1 1 12 2 2nb n n n n ， 21 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 512 3 2 4 2 2 2 1 2 4 1 2n n n n n . 12 分 18. 【解析】 （ 1） 因为 是等边三角形， M 为 中点，所以 B 平面 M ，可得 平面 因为 平面 所以 M ； （ 4分） （ 2） 如图， 以点 M 为坐标原点， ,B 所在直线 分别 为 , M 且与直线 行的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系 B 平面 所以 为直线 平面 成 的 角 .（ 6 分） 由 题意得 t a n 2 ，即 2，故 0,1,0B ， 3, 0, 0C ， 0 , 1 , 2 , 0 , 1 , 1， 于是 3 , 1, 0， 0, 0, 2 ， 3 , 1, 1 ， 3 ,1, 2 ，设平面 平面 法向量分别为 1 1 1,x y zm ， 2 2 2,x y zn ， 则 由 00 ，令1 1x，得1 3y ，所以 1, 3 , 0m 2 31 , ,33n， （ 10 分） 所以 c o s , 0 二面角 B 的大小为 90 .（ 12 分） 20 15 10 5 5 10 15422468101214 ,1 )A (1 ,1 )3 x -2 y + 4 = 0x + 2 y = 0x + y 0解析】 （ 1） 由已知可得 ， 40 岁以下 的有 3100 605人，使用微信 支付 的有 260 403人， 40 岁以上 使用微信 支付 的有 140 104人所以 22 列联表为： 40 岁以下 40 岁以上 合计 使用微信 支付 40 10 50 未 使用微信 支付 20 30 50 合计 60 40 100 由列联表中的数据计算可得 2K 的观测值为 21 0 0 4 0 3 0 2 0 1 0 506 0 4 0 5 0 5 0 3k ，由于50 ，所以有 的把握认为 “ 使用微信 支付 与年龄有关 ” . 5 分 （ 2） 采用 分层 抽样的方法从 100 名顾客中抽 取 10 人 ，则 从 “ 40 岁以下 ” 的人中抽取 6 人，从 “ 40 岁以上 ” 的人中抽取 4 人， X 的所有可能取值 为 0,1,2 ，又 24210C 20C 1 5 ， 11642101C 1 5 ， 26210C 12 ， 故 分布列如下： X 0 1 2 P 215 815 13 数学期望 2 8 1 6( ) 0 1 21 5 1 5 3 5 . . 12 分 20.【解析】（ 1）由120F，得12F，即12F，由勾股定理，得22 212 ( 2 ) 2 0M F M F c ，且 128M F M F，解得 124 , 2M F M F，根据椭圆的定义，可得12 26M F M F a ，即 3a ，所以 2 2 2 4b a c ，所以椭圆的方程为22194 4 分 （ 2）由（ 1）得 1 3, 0A ， 2 3,0A，设 00,P x y，则直线1 0033 ，它与直线 352x的交点的坐标为 003 5 3 5,32 3 2 ，直线20033 ，它与直线 352x 的交点的坐标为 003 5 3 5,32 3 2 ，再设以 直径的圆交 x 轴于点 ,0则 F ，从而 1 ，即003 5 3 5333 2 3 213 5 3 522 ，即 2 2020935492 ，解得 3512F 为直径的圆交 x 轴于定点，该定点的坐标为 351, 02或351, 02. 12 分 21.【解析】 （ 1）令 c o se xg x f x k x x x x k， 要使 e c o x kx x恒成立，只需当20,x 时， ， s i n se x x x k ， 令 s i n ce x x x，则 2 c o s 0e xh x 对 20,x 恒成立， 在20,x 上是增函数，则 2e1, ， 2 分 当 1k 时， 0 恒成立， 0,2x 上为增函数， m i n 00g x g ，1k满足题意； 当21 时， 0 在20,x 上有实根 0x , x 上是增函数，则当 00,， 0 ， 0 00g x g 不符合题意； 当 2， 0 恒成立， x 上为减函数， 00g x g 不符合题意， 1k，即 ,1k . 5 分 （ 2） sx ， e 2 c o x x ， 设切点坐标为 00 0 0, s i n c o se xx x x，则切线斜率为 0002 c o s 从而切线方程为 000s i n c o se xy x x 0 002 c o se x x x x， 000 0 0 01s i n c o s 2 c o 2e se x x x ，即 00t a n 2 2， 令 1 ， 2 2 2，这两个函数的图象关于点 ,02对称，则它们交点的横坐标关于 2x对称，从而所作的所有切线的切点的横 坐标构成数列 2x成对出现，又在2 0