江苏省扬州2017届高三5月质量监测最后一模数学试卷含答案

江苏省扬州中学 2017 届高三数学 5 月考 第 160 分） 一 =1， 2， 3， 4， 5， 6， A=1， 3， 5， B=1， 2， 3， 5，则 U（ AB） = 2 “ 1x ”是 “1 1x”的 条件 （填： 充分不必要 、 必要不充分 、 充要 、既不 充分 又 不必要 ） 3 如图所示，该伪代码运行的结果为 . 4. 已知一组数据为 8,12,10,11,_. 5. 已知实数 x,3005 为虚数单位），则 | 4 5 | 的最小值 等于 . 角为 45，且 ，则 = 7函数 3()f x x 在 (1,2) 处的切线方程为 . 8 在区间 5,5 内随机地取出一个数 a ，则恰好使 1 是关于 x 的不等式 2220x ax a 的一个解的概率大小为 _ _. 9 已知正四棱锥的体积是 48为 4该四棱锥的侧面积是 , 1a b R a b 且 ，则 122的 最大值为 _ _ 的点向圆 1)3()2( 22 切线，则切线长的最小值为 . 直角 的三边 , 满足 9853 则 面积的最大值是 S0 p1 15 SS+ p p p+2 p 第 3 题图 a，且对任意的 *，满足 10,3 42 则2017a=_ _. 14 如图，直 角梯形 ， ,D ， 2 2 2A B C D A D ， 090C ，点 ,的动点，若 52N，则N 的取值范围是 _. 二解答题： 15. （本小题 14分） 已知,均为锐角 ,且,1) 3 . (1)求)的值 ; (2)求值 . 16. （本小题 14分） 如图，四棱锥 P 中，底面 菱形，3， D ， F 为 中点， F . （ 1） 求证： B ； （ 2）若 菱形 边长为 6 ， 5， 求四面体 的体积； 17. （本小题 14分） 如图，某生态园将一块三角形地 一角 辟为水果园，已知角 A 为 120 ， ,C 的长度均大于 200 米，现在边界 ,Q 处建围墙，在 （ 1）若围墙 长度为 200米，如何可使得三角形地块 积最大？ （ 2）已知竹篱笆长为 50 3 米， 围墙高 1米， 围墙高 2米，造价均为每平方米 100元，求围墙总造价的取值范围 . 16 图 A 18（本小题 16 分） 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的离心率为 12，左、右焦点分别为圆12 M 是 C 上一点， 1 2且1 2 1 2| | | | 2M F M F M F M F. （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）当过点 4,1P 的动直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 ,段 取点 Q ，且 P Q B A Q P B ，证明点 Q 总在某定直线上，并求出该定直线的方程 19. （本小题 16 分） 已知函数 221()xa x b e （ e 为自然对数的底数 ). （ 1）当 0，直接写出 )(值域 （不要求写出求解过程）； （ 2） 若21a，求函数 )(单调区间； （ 3） 若 1)1( f ，且方程 1)( )1,0( 内有解，求实数 a 的取值范围 . 20. （本小题 16 分） 若数列 n ，则将 ni 定义为数列 距离 . (1) 已知 2n , 21nb n， 数列 (2) 记 A 为满足递推关系111 nn a 的所有数列 集合，数列 项数均为 n b， 1 3c，数列 于2017， 求 n 的最 小 值 . (3) 若存在常数 M 0,对任意的 恒有 1| 则称数列 距离 是有界的 1证： 2 21 第 卷（共 40 分） 本小题满分 10 分） 若点 A(2， 2)在矩阵 M= c o s s in c o 对应变换的作用下得到的点为 B(一 2， 2)，求矩阵M 的逆矩阵 小题满分 10分） 在 直角坐标系中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 12 c o s 6 s i n 0 ， 直线 l 的参数方程为132332 （ t 为参数） . （ 1）求曲线 C 的普通方程； （ 2）若直线 l 与曲线 C 交于 两点，点 P 的坐标为 3,3 ，求 B 的值 . 22. （本题满分 10分） 如图，在棱长为 3 的正方体 ， F=1 （ 1）求两条异面直线 成角的余弦值； （ 2）求直线 平面 成角的正弦值 23 （本小题满分 10 分） 已知非空有限实数集 S 的 所有非空子集依次记为 ，集合 所有 ： ，数 组 T 中所有数的平均值记为m(T) （ 1）若 S=1， 2，求 m(T)； （ 2）若 S ， n N*， n 2），求 m(T) 江苏省扬州中学 2017 届高三数学 5 月考 答案 一填空题： 1.2， 4， 6； 2. 充分不必要 ； 3. 9 ; 4 5 5 ; 6. 3 ; 7. 42; 8. ; 9. 60; 11. 31 ; 12. 145 832017 14. 2 2 5 12 ，; 13. 【 提示 】 ：由 2 得 32， 所以 333 2224，即 3104； 由 104 得 104 ； 所以可以得到 310310 4即 3104,再累加 . 14.【 提示 】 以直线 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系，如图，则 1, 1A ， 1, 1B ， 0,1E ， 1,0D ， 设 0, ,M a a ， 0 1, 0 1 ， 则 51 , 1 1 , 1 1 1 12A M A N a a b a a b ， 12b ， 121b a ，由 01b知 1 112 a ， 二 解答题： 解 :(1), (0, )2,从而 22 . 又 1) 03 ,02 10) 10 7 分 (2)由 (1)可得 ,3 10) 10. 为锐角 ,3,4c os c ( ) c os c ) ) 4 3 10 3 10()5 10 5 10 91050 14 分 （ 1） 证明： 连接 D ， F 为 中点， D ， 在 底面菱形 ，3， F 为 中点 ， 易得 D ， 又 ,F 平面 平面 平面 B ； 7 分 （ 2） 解： 由（ 1）得 D ，又 F ， ,A D P D P A D 平 面 ， 平 面 ， 又 平 面 , P A D A B C D平 面 平 面 , 由 （ 1）得 D ， =P A D A B C D A 平 面 ， 平 面 ， 是 P 点到 平面 距离， 在直角 中， 5， 3， 90，则 4， 四面体 体积 1 1 1 36 6 4 1 2 33 3 2 2P B C D B C S P F 14 分 解 :设 AP x (米 )，则 200AQ x,所以 201 3 2 0 02 0 0 s i n 1 2 0 2 5 0 0 32 4 2x x (米2) 当且仅当 200时，取等号。即 100Q (米 )， m 5 0 0 3S (米 2). 6 分 (2)由正弦定理s i n s i n s i A Q P P A P Q A， 得1 0 0 s i n , 1 0 0 s i A Q P A Q A P Q 故围墙总造价 1 0 0 2 1 0 0 0 0 s i n 2 s i n 1 0 0 0 0 3 c o P A Q A Q P A P Q A Q P 因为 Q ， 所以 03 ， 3 3 c o s 32 A Q P 所以 y 5 0 0 0 3 , 1 0 0 0 0 3. 答： 围墙总造价的取值范围为 5 0 0 0 3 , 1 0 0 0 0 3 (元 ). 14 分 : 6 分 （ 2）由题意可得直线 l 的斜率存在， 设直线 l 的方程为 14y k x ，即 14y kx k ， 代入椭圆方程，整理得 2 2 2 23 4 8 3 2 6 4 3 2 8 0k x k k x k k ， 设 1 1 2 2, , ,A x y B x y，则 221 2 1 2223 2 8 6 4 3 2 8,3 4 3 4k k k kx x x . 设 00,Q x y，由 A P Q B A Q P B 得 1 0 2 1 0 244x x x x x x （考虑线段在 x 轴上的射影即可）， 所以 0 0 1 2 1 28 4 2x x x x x x ， 于是 2200 223 2 8 6 4 3 2 88 4 23 4 3 4k k k ， 整理得 003 2 4x x k ，（ *） 又0014yk x ，代入（ *）式得 003 3 0 ， 所以点 Q 总在直线 3 3 0 上 . 16 分 解 .（ 1） ),0( ; 3 分 （ 2）当21a， )1()( 2 ， 1)2()( 2 ， . 令 0)( 得 11x ， 12 b 时， 0)( 当 0b ， 11 ， 0)( 1 或 1x 时， 0)( 当 0b ， 11 时， 0)( 1 或 1x 时， 0)( 所以， 0b 时， )(单调递减区间为 ),( ； 0b 时， )(单调递增区间为 )1,1( b ，递减区间为 )1,( b ， ),1( ； 0b 时， )(单调递增区间为 )1,1( b ，递减区间为 )1,( ， ),1( b . . (3)由 1)1( f 得 12 ， 1 ， 由 1)1( f 得 12 2 x ，设 12)( 2 x ， 则 )( )1,0( 内有零点 ( )1,0( 内的一个零点，则由 0)1(,0)0( )(区间 ),0( 0x 和 )1,( 0x 上不可能单调递增，也不可能单调递减，设 )()( ，则)(区间 ),0( 0x 和 )1,( 0x 上均存在零点，即 )( )1,0( 上至少有两个零点 . x 4)( ， x 4)( . 当410)( )(区间 )1,0( 上递增， )(可能有两个及以上零点； 当4， 0)( )(区间 )1,0( 上递减， )(可能有两个及以上零点； 当441 时，令 0)( )1,0()4 所以 )(区间 )40( a 上递减，在 )1),4(a 上递增， )(区间 )1,0( 上存在最小值 )4( 若 )(两个零点，则有： 0)4( 0)0( h ， 0)1( h . )441(1)4l n (46)4l n (44)4( l n ( 设 )1(,1 ，则 xx ，令 0)( x ，得 . 当 1 时， 0)( x ， )(x 递增，当 时， 0)( x ， )(x 递减， 01)()( m a x ，所以 0)4(成立 . . 由 0221)0( 04)1( 得212 2 当212 2 )(两个零点为 21,则 )( ),0( 1x 递 增，在 ),( 21 减，在 )1,( 2x 递增，所以 0)0()( 1 0)1()( 2 则 )(),( 21 有零点 . 综上，实数 a 的取值范围是 )21,2 2( e. . 解：（ 1） ,2,222,1,121 4 分 数列 )(31,21,3,2 4142434 数列 )(21,31,2,3 4142434 因为 ki | 所以项数 m 越大，数列 因为 4173， 而 3456 4 8 6 411i i i c b c 7 8 6 4 2 0 1 63 ， 1|,1| 2211 因此，当 3457m 时， 2017|34 571i 当 3458m 时， 2018|34 581i 故 m 的最 小 值为 3458. 10 分 (3)因为 1以 存在正数 M，对任意的 , 有 1 1 2 1n n n na a a a a a M . 因为1 1 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a 1 1 2 2 1 1 1n n n na a a a a a a M a . 记1K M a， 则有 221 1 1( ) ( )n n n n n na a a a a a 1 1 1( ) 2n n n n n na a a a K a a . 因此 2 2 2 2 2 21 1 2 1. . . 2n n n na a a a a a K M . 故 2 21 16 分 附加题： 答案： 01 101M. 10 分 21C解 （ 1）由 得 ， 将 ， 代入上式得 ， 曲线 的普通方程为 ； 5 分 （ 2）直线 的参数方程为 （ 为参数） .直线 过点 ， 将 ，代入 ，得 ， ， 由参数的几何意义得. 10 分 解： （ 1）以 D 为原点，建立空间直角坐标系 D 图所示： 则 A（ 3， 0， 0）， 0， 3， 3）， 0， 0， 3）， E（ 3， 0， 2） =（ 3， 3， 3）， =（ 3， 0， 1） = = 则两条异面直线 成角的余弦值为 5 分 （ 2） B（ 3， 3， 0）， =（ 0， 3， 3）， =（ 3， 0， 1） 设平面 一个法向量为 =（ x， y， z） 由 得 令 x=1，则 =（ 1， 2， 3） 则直线 平面 成角的正弦值为 | |= =.