山东省淄博市2017年高考数学二模试卷（理科）含答案解析

2017年山东省淄博市高考数学二模试卷（理科） 一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数 =（ ） A 1 2i B 1+2i C 1 2i D 1+2i 2已知集合 A=x|y=x+1） ， B= 2， 1， 0， 1，则（ B=（ ） A 2， 1 B 2 C 1， 0， 1 D 0， 1 3下列四个结论中正确的个数是（ ） 若 a b 己知变量 x和 y= ，若变量 y与 x与 “ 己知直线 m， 、 ，若 m n， m ， n ，则 ” 为真命题 m=3是直线（ m+3） x+2=0与直线 6y+5=0互相垂直的充要条件 A 1 B 2 C 3 D 4 4已知单位向量 ， ，满足 ，则 与 夹角的余弦值为（ ） A B C D 5函数 f（ x） =|x+2017| |x 2016|的最大值为（ ） A 1 B 1 C 4033 D 4033 6二项式 展开式的常数项为（ ） A 80 B 16 C 80 D 16 7若角 终边上的点 在抛物线 的准线上，则 （ ） A B C D 8已知函数 （ e 为自然对数的底数），当 x 时， y=f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 9已知约束条件为 ，若目标函数 z=kx+y 仅在交点（ 8， 10）处取得最小值，则 ） A（ 2， 1） B（ ， 2） （ 1， + ） C（ ， 2） D（ 1， + ） 10如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A B 7 C D 二、填空题（每题 5 分，满分 25分，将答案填在答题纸上） 11已知奇函数 f（ x） = ，则 f（ 2）的值为 12过点（ 1， 1）的直线 x 2） 2+（ y 3） 2=9相交于 A， |4时，直线 13若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 14甲乙两人做报数游戏，其规则是：从 1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报 1个数，最多可以连续报 6个（如，第一个人先报 “1 ， 2” ，则另一个人可以有 “3” ， “3 ， 4” ， “3 ，4， 5， 6， 7， 8” 等六种报数方法），谁抢先报到 “100” 则谁获胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 15已知抛物线 x 的一条弦 过焦点 F， O 为坐标原点， D 为线段 中点，延长，使 |过 C， D向 足分别为 E， G，则 |最小值为 三、解答题（本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16已知函数 f（ x） = （ 0），与 f（ x）图象的对 称轴 x=相邻的 f（ x）的零点为 x= （ ）讨论函数 f（ x）在区间 上的单调性； （ ）设 内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，且 c= ， f（ C） =1，若向量 =（ 1， 向量 =（ 2， 线，求 a， b 的值 17如图，在三棱锥 A ， 0 ， ， D=6， E 点在平面 D， （ ）求证： 平面 （ ）设点 C 上，若二面角 C 试求 的值 18甲乙两名 同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是 和 ，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响 （ ）若每人投球 3次（必须投完），投中 2次或 2次以上，记为达标，求甲达标的概率； （ ）若每人有 4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标达标或能断定不达标，则终止投篮记乙本次测试投球的次数为 X，求 X 19已知数列 前 n， ， n 1+1+ （ n N*且 n 2），数列 足： ，且 31=n+1（ n N*且 n 2） （ ）求数列 通项公式； （ ）求证：数列 等比数列； （ ）求数列 前 20已知 a R，函数 f（ x） =x 1， g（ x） =x x+1）（ e=是自然对数的底数） （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数； （ ）若 a=1，且命题 “ x 时， y=f（ x）的图象大致是（ ） A B C D 【考点】 3O：函数的图象 【分析】利用函数的奇偶性以及函数的特殊值判断即可 【解答】解：函数 = ， f（ x） = = f（ x），函数是奇函数，排除选项 A， C， 当 x= 时， f（ ） = 1， 排除 B， 故选： D 9已知约束条件为 ，若目标函数 z=kx+y 仅在交点（ 8， 10）处取得最小值，则 ） A（ 2， 1） B（ ， 2） （ 1， + ） C（ ， 2） D（ 1， + ） 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，结合目标函数 z=kx+8， 10）处取得最小值即可求得 【解答】解：由约束条件 作出可行域 如图， 联立 ，解得 A（ 8， 10）， 化目标函数 z=kx+y为 y= kx+z， 目标函数 z=kx+8， 10）处取得最小值， k 2，则 k 2 ， 2） 故选： C 10如图为一个多面体的三视图，则该多面体的体积为（ ） A B 7 C D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥利用体积计算公式即可得出 【解答】解：如图所示，由已知三视图可知：该几何体为正方体去 掉两个倒立的三棱锥 该多面体的体积 V=23 =7 故选： B 二、填空题（每题 5 分，满分 25分，将答案填在答题纸上） 11已知奇函数 f（ x） = ，则 f（ 2）的值为 8 【考点】 3T：函数的值 【分析】由 f（ x）为 f（ 0） =0，从而可得 x 0，则 x 0，由f（ x） = f（ x）得 3 x 1= f（ x），由此可得 f（ x），即 g（ x），即可求得 f（ 2） 【解答】解：因为奇函数 f（ x）的定义域为 R， 所以 f（ 0） =0，即 30 a=0，解得 a=1， 设 x 0，则 x 0， f（ x） = f（ x），即 3 x 1= f（ x）， 所以 f（ x） = 3 x+1，即 g（ x） = 3 x+1， 所以 f（ 2） =g（ 2） = 32+1= 8 故答案为： 8 12过点（ 1， 1）的直线 x 2） 2+（ y 3） 2=9相交于 A， |4时，直线 x+2y 3=0 【考点】 线与圆的位置关系 【分析】当直线 线 x=1，不符合题意；当直线 l 的斜率存在时，圆心到直线 y k+1=0 的距离 d= = ，解得 k= ，由此能求出直线 【解答】解：直线 l：经过点（ 1， 1）与圆（ x 2） 2+（ y 3） 2=9相交于 A， B 两点， |4，则圆心到直线的距离为 ， 当直线 线 x=1，不符合题意； 当直线 直线 l： y=k（ x 1） +1，即 y k+1=0 圆心到直线 y k+1=0的距离 d= = ，解得 k= ， 直线 x+2y 3=0 故答案为： x+2y 3=0 13若按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是 63，则判断框中的整数 M 的值 是 6 【考点】 序框图 【分析】由图知每次进入循环体， 加上 1， 由此运算规律进行计算，经过 5次运算后输出的结果是 63，故 M=6 【解答】解：由图知运算规则是对 S=2S+1，执行程序框图，可得 A=1， S=1 满足条件 A M，第 1 次进入循环体 S=2 1+1=3， 满足条件 A M，第 2 次进入循环体 S=2 3+1=7， 满足条件 A M，第 3 次进入循环体 S=2 7+1=15， 满足条件 A M，第 4 次进入循环体 S=2 15+1=31， 满足条件 A M，第 5 次进入循环体 S=2 31+1=63， 由于 ，每进入 1次循环体其值增大 1，第 5次进入循环体后 A=5； 所以判断框中的整数 ，这样可保证循环体只能运行 5次 故答案为： 6 14甲乙两人做报数游戏，其规则是：从 1开始两人轮流连续报数，每人每次最少报 1个数，最多可以连续报 6个（如，第一个人先报 “1 ， 2” ，则另一个人可以有 “3” ， “3 ， 4” ， “3 ，4， 5， 6， 7， 8” 等六种报数方法），谁抢先报到 “100” 则谁获胜如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是 1， 2 【考点】 行简单的合情 推理 【分析】由条件每人一次最少要报一个数，最多可以连续报 7个数，可知除去先开始的个数，使得后来两人之和为 8的倍数即可 【解答】解： 至少拿 1个，至多拿 6个， 两人每轮总和完全可控制的只有 7个， 把零头去掉后，剩下的就是 7的倍数了，这样无论对手怎么拿，都可以保证每一轮（每人拿一次后）都是拿走 7 个，即先取 2 个，以后每次如果乙报 a，甲报 7 a 即可，保证每一轮两人报的和为 7即可，最终只能甲抢到 100 故先开始甲应取 2个 故答案为： 1， 2 15已知抛物线 x 的一条弦 过焦点 F， O 为坐标 原点， D 为线段 中点，延长，使 |过 C， D向 足分别为 E， G，则 |最小值为 4 【考点】 物线的简单性质 【分析】设直线 方程为 x=，代入抛物线 x，可得 88=0， | ，利用基本不等式即可得出结论 【解答】解：设直线 x=，代入抛物线 x，可得 88=0， 设 A（ B（ 则 y1+m， 8， | 2 4 ，当且仅当 时，取等号，即 |最小值为 4 ， 故答案为： 4 三、解答题（本大题共 6小题，共 75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16已知函数 f（ x） = （ 0），与 f（ x）图象的对称轴 x=相邻的 f（ x）的零点为 x= （ ）讨论函数 f（ x）在区间 上的单调性； （ ）设 内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c，且 c= ， f（ C） =1，若向量 =（ 1， 向量 =（ 2， 线，求 a， b 的值 【考点】 角函数中的恒等变换应用； 弦函数的图象 【分析】（ ）先确定函数的解析式，再讨论函数 f（ x）在区间 上的单调性； （ ）求出 C，利用 与向量 共线，所以 正弦定理得， b=2a ，由余弦定理得， c2=a2+即 a2+，即可求 a， 【 解 答 】 解 ： （ ） = = 由与 f（ x）图象的对称轴 相邻的零点为 ，得 ， 所以 =1 ，即 令 ，函数 y=调增区间是 ， k Z， 由 ， 得 ， k Z， 设 ， ， 易知 ， 所以当 时， f（ x）在区间 上单调递增，在区间上单调递减 （ ） ，则 ， 因为 0 C ，所以 ， 从而 ， 解得 因为 与向量 共线，所以 由正弦定理得， b=2a 由余弦定理得， c2=a2+即 a2+ 由 解得 a=1， b=2 17如图，在三棱锥 A ， 0 ， ， D=6， E 点在平面 D， （ ）求证： 平面 （ ）设点 C 上，若二面角 C 试求 的值 【考点】 面角的平面角及求法； 线与平面垂直的判定 【分析】（ ）连接 ，只需证明 ，即可得所以 平面 ）由（ ）的证明过程知 图建立坐标系， 则： E（ 0， 0， 0）， D（ 0， 6， 0）， A（ 0， 0， 6）， B（ 6， 0， 0）， C（ 6， 6， 0） 设 （ t 0）， G（ x， y， z） 由 可得 ，则 ， 易知平面 一个法向量为 ，求出平面 一个法 向量为 利用向量的夹角公式求解 【解答】解：（ ）证明：连接 E 于 O， 因为 O 以 ，又 D，所以 已知 以四边形 则 所以 平面 理 所以 平面 （ ）由（ ）的证明过程知 图建立坐标系， 则： E（ 0， 0， 0）， D（ 0， 6， 0）， A（ 0， 0， 6）， B（ 6， 0， 0）， C（ 6， 6， 0） 设 （ t 0）， G（ x， y， z） 由 可得 则 ， 易知平面 设平面 则 得 令 得 ， 所以 ， 解得 t=2，所以 18甲乙两名同学参加定点投篮测试，已知两人投中的概率分别是 和 ，假设两人投篮结果相互没有影响，每人各次投球是否投中也没有影响 （ ）若每人投球 3次（必须投完），投中 2次或 2次以上，记为达标，求甲达标的概率； （ ）若每人有 4次投球机会，如果连续两次投中，则记为达标达标或能断定不达标，则终止投篮记乙本次测试投 球的次数为 X，求 X 【考点】 散型随机变量的期望与方差； 散型随机变量及其分布列 【分析】（ ）记 “ 甲达标 ” 为事件 A，利用 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率计算公式，能求出甲达标的概率 （ ） X 的所有可能取值为 2， 3， 4分别求出相应的概率，由此能求出 【解答】解：（ ）记 “ 甲达标 ” 为事件 A， 则 ； （ ） ， 3， 4 ， ， ， 所以 X 2 3 4 P 19已知数列 前 n， ， n 1+1+ （ n N*且 n 2），数列 足： ，且 31=n+1（ n N*且 n 2） （ ）求数列 通项公式； （ ）求证：数列 等比数列； （ ）求数列 前 【考点】 8E：数列的求和； 88：等比数列的通项公式 【分析】（ ）由 n 1，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到所求； （ ）求得 1 1，再由等比数列的定义，即 可得证； （ ）运用等比数列的通项公式，求得 断 1的符号，可得 递增数列，求出 可得到所求和的最小值 【解答】解：（ ）由 得 即 （ n 2且 n N*）， 则数列 以 为公差的等差数列， 因此 = ； （ ）证明：因为 31=n+1（ n 2） 所以 （ n 2）， （ n 2）， 1 1=1 = （ n 2）， 所以 （ n 2）， 因为 10 0， 所以数列 以 10 为首项， 为公比的等比数列 （ ）由（ ）得 ， 所以 = ， = （ n 2） 所以 递增数列 因为当 n=1时， ，当 n=2时， ， 当 n=3时， ， 所以数列 第 3项起的各项均大于 0，故数列 前 2项之和最小 记数列 前 n， 则 20已知 a R，函数 f（ x） =x 1， g（ x） =x x+1）（ e=是自然对数的底数） （ ）讨论函数 f（ x）极值点的个数； （ ）若 a=1，且命题 “ x 0， + ）， f（ x） x） ” 是假命题，求实数 范围 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值； 6B：利用导数研究函数的单调性； 6E：利用导数求闭区间上函数的最值 【分析】（ ）对函数 f（ x）求导，再根据导数和函数极值的关系分类即可得到极值点的个数， （ ）命题 “ x 0， + ）， f（ x） x） ” 是假命题，转化为不等式 f（ x） x）在区间 0， + ）内有解，再构造函数 F（ x） =f（ x） x） ex+x+1）（ k+1） x 1，利用导数和函数的单调性关系以及函数零点存在定理判断即可 【解答】解：（ ）因为 f（ x） =x 1，所以 f（ x） =1， 当 a 0时，对 x R， f（ x） =1 0， 所以 f（ x）在（ ， + ）是减函数，此时函数不存在极值， 所以函数 f（ x）没有极值点； 当 a 0时， f（ x） =1，令 f（ x） =0，解得 x= 若 x （ ， 则 f（ x） 0，所以 f（ x）在（ ， 是减函数， 若 x （ + ），则 f（ x） 0，所以 f（ x）在（ + ）上是增函数， 当 x= f（ x）取得极小值为 f（ = 函数 f（ x）有且 仅有一个极小值点 x= 所以当 a 0时， f（ x）没有极值点，当 a 0时， f（ x）有一个极小值点 （ ）命题 “ x 0， + ）， f（ x） x） ” 是假命题， 则 “ x 0， + ）， f（ x） x） ” 是真命题， 即不等式 f（ x） x）在区间 0， + ）内有解 若 a=1，则设 F（ x） =f（ x） x） =ex+x+1）（ k+1） x 1， 所以 （ k+1）， 设 （ k+1）， 则 ，且 h（ x）是增函数， 所以 h（ x） h（ 0） =1 k 当 k 1时， h（ x） 0， 所以 h（ x）在 0， + ）上是增函数， h（ x） h（ 0） =0，即 F（ x） 0， 所以 F（ x）在 0， + ）上是增函数， 所以 F（ x） F（ 0） =0，即 f（ x） x）在 x 0， + ）上恒成立 当 k 1时，因为 在 0， + ）是增函数， 因为 h（ 0） =1