九年级数学3 图形的相似小专题（八）比例式或等积式的证明练习湘教版

1 小专题小专题( (八八) ) 比例式或等积式的证明比例式或等积式的证明 方法方法 1 1 三点定型法三点定型法 要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用三点定型法找相似三角形 1已知：如图，ABCADE. 求证：ABAEACAD. 2(滨州中考)如图，在ABC 中，ABC2C，BD 平分ABC 交 AC 于 D.求证：ABBCACBD. 3已知：如图，在 RtABC 中，ACB90，AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 BC 延长线于 F. 求证：CD2DEDF. 2 方法方法 2 2 等线段代换法等线段代换法 从要证的结论难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去 替换结论中的某些线段，再用三点定型法找相 似三角形 4已知：如图，在ABCD 中，E 是 CB 延长线上一点，DE 交 AB 于 F.求证：ADABAFCE. 5如图，在ABC 中，点 D，E 在边 BC 上，且ADE 是等边三角形，BAC120，求证：DE2BDCE. 6.如图，已知在ABC 中，ABAC，AD 是 BC 边上的中线，CFBA，BF 交 AD 于 P 点，交 AC 于 E 点 求证：BP2PEPF. 3 方法方法 3 3 等比代换法等比代换法( (找中间比找中间比) ) 要证明的比例式无法直接通过平行或相似证出时，往往要找中间比进行过渡 7如图，在ABC 中，点 D、E、Q 分别在 AB、AC、BC 上，且 DEBC，AQ 交 DE 于点 P.求证：. DP BQ PE QC 8如图，在ABCD 的对角线 BD 上任取一点 P，过 P 点引一直线分别与 BA、DC 两边的延长线交于 E、G，又与 BC、AD 两边交于 F、H，求证：. PE PG PF PH 4 9如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于 D，E 为 AC 的中点，ED、CB 的延长线交于点 F. 求证：. DF CF BC AC 方法方法 4 4 等积代换法等积代换法( (找中间积找中间积) ) 常用到基本图形的结论找中间积 10如图，在ABC 中，ADBC 于 D，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：AEABAFAC. 11(崇明中考)如图，ABC 中，点 D、E 分别在 BC 和 AC 边上，点 G 是 BE 边上一点，且BADBGDC，连 接 AG.求证：. BG AB AB BE 5 12如图，在ABC 中，AD、BF 分别是 BC、AC 边上的高，过 D 作 AB 的垂线交 AB 于 E，交 BF 于 G，交 AC 的延长 线于 H，求证：DE2EGEH. 6 参考答案参考答案 1.ABCADE，AA，ABCADE，即 ABAEACAD. AB AC AD AE 2.ABC2C，BD 平分ABC，ABDDBCC. 又A 为公共角，ABCADB，即 ABBCACBD. AC AB BC BD 3.在 RtABC 中，ACB90，D 为 AB 中点，AB90，CDAD.ADCE. 又 DF 垂直平分 AB，BDF90.BF90.DCEF. 又CDEFDC.CDEFDC.，即 CD2DEDF. CD DF DE CD 4.在平行四边形 ABCD 中，AC，ABCD，ADBC，ADFE. ADFCED.，即 ADABAFCE. AD CE AF CD AD CE AF AB 5.ADE 是等边三角形，DEADAE，ADEAED60. ADBAEC120，BBAD60. 又BAC120，BC60.BADC. ABDCAE. .，即 DE2BDCE. BD AE AD CE BD DE DE CE 6.连接 PC.在ABC 中，ABAC，D 为 BC 的中点，AD 垂直平分 BC.PBPC.PBCPCB. ABAC，ABCACB，ABCPBCACBPCB，即ABPACP. CFAB，ABPF.ACPF. 又EPCCPF，PCEPFC.PCPB，即 PB2PEPF. PC PE PF PC PB PE PF PB 7.在ABQ 中，DPBQ，ADPABQ.DPBQAPAQ. 同理AEPACQ，PEQCAPAQ.DPBQPEQC. 8.在平行四边形 ABCD 中，ABCD，ADBC，. PE PG PB PD PF PH PB PD PE PG PF PH 9.ACB90，CDAB，AACDACDBCD，ACBBDC90. ABCD.ACDCBD.，即. BC BD AC CD BC AC BD CD 又E 为 AC 中点，AECEED.AEDA.EDABDF，AFCD，FCDBDF. 又F 为公共角，FDBFCD. DF CF BD CD DF CF BC AC 10.ADBC，DEAB，ADBAED90. ADEBDEADEDAE.BDEDAE.ADEABD. ，即 AEABAD2. AD AB AE AD 同理，ADFACD，AFACAD2.AEABAFAC. 11.BGDC，DBGEBC，BGDBCE. ，即 BGBEBCBD. BG BC BD BE 又BADC，ABDCBA， ABDCBA. ，即 BCBDAB2.BGBEAB2，即. AB BC BD AB BG AB AB BE 12.AD、BF 分别是 BC、AC 边上高，A