2026年高考数学一轮复习：函数与方程（讲义）原卷版

专题2.7函数与方程(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1函数零点所在区间的判断】....................................................................2

【题型2求函数的零点或零点个数】....................................................................3

【题型3根据函数零点个数求参数】....................................................................3

【题型4根据函数零点的分布范围求参数】.............................................................3

【题型5求零点的和】..................................................................................4

【题型6复合函数的零点问题】.........................................................................4

【题型7用二分法求方程的近似解】....................................................................5

【题型8函数零点的大小与范围问题】..................................................................6

1、函数与方程

考点要求真题统计考情分析

函数的零点问题是高考常考的重点、

2023年新课标I卷：第15题，

⑴理解函数的零点与方热点内容，从近几年的高考形势来看，一

5分

程的解的联系般以选择题与填空题的形式出现；函数与

2024年新课标H卷：第6题，

(2)理解函数零点存在定方程的综合应用也是历年高考的•个热

5分

理，并能简单应用点内容，经常以客观题出现，通过分析函

2025年天津卷：第7题，5分

(3)了解用二分法求方程数的性质，结合函数图象研究函数的零点

2025年上海卷：第21题，18

的近似解或方程的根的分布、个数等，题目难度较

分

大，一般出现在压轴题位置.

知识梳理

知识点1确定函数零点所在区间的方法

1.确定函数人2的零点所在区间的常用方法

(I)利用函数零点存在性定理:首先看函数y=/(x)在区间口⑸上的图象是否连续，再看是否有人4)・贸6)<().若

有，则函数产｛1)在区间(4⑼内必有零点.

(2)数形结合法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如/(X尸g(x)

-h(x),作出_y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数凡丫)的零点.

知识点2函数的零点个数和求参问题

1.函数零点个数的判断方法

函数零点个数的判定有下列几种方法：

(1)直接法:直接求零点，令/(x)=0,如果能求出解，那么有几个解就有几个零点.

(2)零点存在定理:利用该定理不仅要求函数在口力]上是连续不断的曲线，且还必须结合函数的

图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图象法:画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同

的零点.

⑷性质法:利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数,

则只需解决在一个周期内的零点的个数.

2.已知函数零点求参数的方法

⑴已知函数的零点求参数的一般方法

①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数；

②数形结合法:将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟

悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围：

③分离参数法:分离参数，转化为求函数的最值问题来求解.

⑵已知函数零点个数求参数范围的方法

已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出

两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围.

知识点3嵌套函数的零点问题

1.嵌套函数的零点问题的解题策略

函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，

设中间函数为通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解.

举一反三

【题型1函数零点所在区间的判断】

【例1】(2025•天津•高考真题)函数/(%)=0.3、-返的零点所在区间是()

A.(0,0.3)B.(0.3,0.5)C.(0.5,1)D.(1,2)

【变式(2025•河北沧州•二模)函数/■(%)=2"+1改一1的零点所在的区间为()

A.(呜)B.(i,l)C,(1,1)D.(1,2)

【变式1-2】(2025•广东•模拟预测)已知函数/V)=4-Q)",那么在下列区间中含有函数/■(%)零点的是()

A.(0,1)B,(*)C.(pl)D.(1,+8)

【变式1-3](24-25高二下•云南•期中)函数/'(%)=«+4*-6的零点所在区间为()

A.(0,1)B.(pl)C.(1,/D.信2)

【题型2求函数的零点或零点个数】

【例2】(2025•山东青岛•二模)函数/(无)=谈一以。>0,aHl)的零点为()

A.0B.IC.(1,0)D.a

【变式2-1](24-25高三上•江西抚州•阶段练习)函数/■(>)="-f+华产的零点个数为()

(-2x-3,x<0

A.I个B.2个C.3个D.4个

【变式2-2](2025•陕西西安•模拟预测)已知函数7•Q)=lnx,则函数y=/VQ))的零点为()

A.1B.0C.eD.y/e

【变式2-3](24-25高一下•甘肃平凉・开学考试)设定义域为R的函数/•(%)=[(：]：)，则关于》的

(|lnx|,x>0

函数y=f2W-3/(x)+2的零点的个数为()

A.4B.5C.6D.7

【题型3根据函数零点个数求参数】

【例3】(2025•陕西西安•一模)已知函数/(%)=｛；*'：；；，9(%)=/(%)+2%-m,若g(%)有一个零点，

则m的取值范围是()

A.(-co,1]B.(-oo,1)C.[1,+co)D.(1,+co)

【变式3-1](2025•湖南娄底•模拟预测)已知函数/(%)=g(x)=[f(x)]2-t/(x)(tG/?),若关于x

的方程0(工)=3-F有3个不同的实数根，则实数t的取值范围是()

A.(-2,2)B.(V3,2)C.(-2,-V3)D.(2,+8)

(|log2^|,0<x<4

【变式3-2】(2025•湖南・二模)若函数/(力=22-4.1>4与直线y=Q恰有三个交点，则。的取值

XZX十JL,XN1

范围是()

A.[1,2]B.(1,2)C.(1,2]D.[1,2)

【变式3-3](24-25高二下•内蒙古乌兰察布期中)已知函数/W=若函数9(%)=/(%)-

log.Cx+1)恰有3个零点，则实数a的取值范围为()

【题型4根据函数零点的分布范围求参数】

【例4】(2025•辽宁抚顺•模拟预测)函数/•(%)=依-4+川(W2>在区间口,4)内有零点，则实数忆的取值范围

为()

A.[-4,1)B.(-4,1]C.[-1,4)D.(-1,4]

【变式4-1](2025•陕西西安・模拟预测)若函数f(x)=lgx+t在(1,10)上有零点，则£的取值范围为()

A.(-10,0)B.(一点,。)C.(0,1)D.(-1,0)

【变式4-2](24・25高一上•河南开封•期末)已知%°是函数fG)=lnx-：的零点，且与£伏水+1),keZ,

则仁()

A.3B.2C.1D.0

【变式4-3](2025・四川巴中•一模)若函数f(%)=2a/+3%-1在区间(-1,1)内恰有一个零点,则实数。

的取值集合为()

A.{a|-1<a<2}B.[a\a=—，或—1<Q<2}.

C.{a|-1<a<2}D.{a\a=-3或一1<a<2}.

【题型5求零点的和】

【例5】(2025甘肃张掖・模拟预测)函数/(%)=?G-1)-%-1的所有零点之和为()

A.0B.-1C.V3D.2

X3

【变式5-1](2024・贵州六盘水•模拟预测)已知函数f(%)=2+%g(x)=log2x+x,/i(x)=x+x的零点分

别为a,b,c,则a+匕+c=()

A.0B.2C.4D.6

【变式5-2](2025・山东•模拟预测)函数/'(x)=ex与函数或无)■的图象所有交点的横坐标之和为()

X—1

A.-In2B.In2C.0D.1

【变式5-3X2025・四川绵阳•模拟预测)已知函数/(x)=段:9(%)=%-3,方程/'(gQ))=-3-g(x)

\11lyXj人x**v/f

有两个不同的根，分别是％1，0,则X1+X2=()

A.0B.3C.6D.9

【题型6复合函数的零点问题】

【例6】(2025•山东临沂•三模)已知函数/(幻=，_若函数丫=/(外划)有8个零点，则实

xXIZQX,X£U

数a的取值范围为()

A.a>1B.a<0C.-1<a<0D.a<-1

【变式6-1】(2025•贵州毕节•一模)已知函数/•(%)=[一必；2：+*：&(),则函数y=[f(%)]2-5f(x)+6

I11OAT11入>U

的零点个数为()

A.5B.6C.7D.8

fex4-2,x<0

【变式6-2](2025•安徽池州•二模)己知函数八幻=丫4，工,若产(%)-(a+2)/(%)+2a=0有4

I人।,f人/u

1X

个互不相同的根，则a的取值范围为()

A.(2,3)B.(2,3]C.(3,+8)D.[3,+8)

【变式6-3](24-25高一上•河北邯郸•期木)八%)为定义在”上的偶函数，当XNU时，/(无)=

卜sin(9),04*<1,^(x)=1_|2x_lh若函数F(X)=/(g(x))-Q有4个零点，则实数Q的取值范围为

(3•2~x+1-l,x>1

()

A.(-1,0)B.(0,2)C.(-1,2)D.(1,2)

【题型7用二分法求方程的近似解】

【例7】(2025•广东汕头•模拟预测)用二分法求函数/'(幻=1四+2%一6在(2,3)内的零点近似值，若精确度

要求为0.1,则需重更相同步骤的次数至少为()

A.3B.4C.5D.6

【变式7-1］(25-26高一上•全国•课后作业)用二分法求函数y=在区间［2,4］上零点的近似解，经验证

有/(2"/(4)<0.若给定精确度£=0.01,取区间的中点与=竽=3,计算得/(2)・/(与)<0,则此时零

点沏所在的区间为()

A.(2,3)B.(1,2)C.(0,1)D.(3,4)

【变式7・2】(2025高三下•全国•专题练习)下列函数图象与工轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零

【变式7-3](24-25高一•全国•课后作业)用二分法求方程ln(2x+6)+2=3”的根的近似值时，令/(%)=

ln(2x+6)+2-3S并用计算器得到下表：

X1.001.251.3751.50

fW1.07940.1918-0.3604-0.9989

则由表中的数据，可得方程也(2%+6)+2=3丫的一个近似解(误差不超过0.1)为()

A.1.125B.1.3125C.1.4375D.1.46875

【题型8函数零点的大小与范围问题】

【例8】(2025•内蒙古赤峰•二模)设函数y=的+2%—10,y=2"+2--10,y=logzx+2%-10的零点

分别为db,c,则()

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

【变式8-1】(2025•陕西咸阳・模拟预测)已知函数若方程/(x)=a有四个根

%1，孙,%3，X4，且占V%2V%3V%4,则下列说法错误的是()

A.Xi+x2=-2B.x3+x4>2

C.XiX2>4D.0<a<1

【变式8-2](24-25高一上•广东佛山期末)已知函数/(%)=|lnx+1|-m+2,g(x)=(m+l)|lnx-1|-16.

(1)讨论函数/(>)的零点个数；

(2)若/'(X)有两个零点31，%2(%1V%2)，g(x)有两个零点%3，%4(%3<工4)，求“的取值范围.

【变式8-3](2025•海南•模拟预测)已知函数/。)=0*-租/(讥6町.

(1)若m=l,判断并证明f(x)的单调性；

(2)当“€(0,+8)时，若函数/(x)有两个不同的零点XI,x2.

(i)求〃，的取值范围：

(ii)证明：%i+x2>4.

过关测试

一、单选题

1.(2025•湖北十堰•模拟预测)函数/(%)=》+Inx-4的零点所在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

2.(2025•北京昌平•二模)已知函数/•(%)=%|%-23-。恰有三个零点，则实数a的取值范围是()

A.(—8,—1］B.(—8,—1)u(1,+8)C.(-1,1)D.［1,+8)

3.(2025高一,全国•专题练习)月二分法求方程的近似解，求得/(x)=x3+2%-9的部分函数值数据如表

所示：

X121.51.6251.751.8751.8125

/(X)一63-2.625-1.459-0.141.34180.5793

则当精确度为0.1时，方程炉+2丫-9=0的近似解可取为()

A.1.6B.1.7

C.1.8D.1.9

4.(2025•广西柳州•模拟预测)已知函数/'(X)=言一，若方程八外=上的实数解恰有两个，

则实数k的取值范围是()

A.k<-4B.-4<k<-3C.k=-4或k3D.k=-4或k之一3

5.12025•浙江•二模)定义在(0,+劝上的函数/(x)满足/(B=-/,(%),/Q)=-/(2x),当"G口2］时，/(x)=

(x-l)(x-2),则函数y=/"(%)-：在区间［1,100］内的零点个数为()

A.3B.4C.5D.6

6.(2025•云南曲靖•一模)已知芍是函数f(x)=xlnx-2025的零点，次是函数。(无)=+%-ln2025的

零点，则％1次的值为()

A.—B.短C.V2025D.2025

e2025

7.(2025•北京门头沟•一模)已知函数/"(%)=g2一%+田(Q6R),其中团表示不超过》的最大整数，例

如［2.1］=2,则下列说法正确的是()

A.不存在Q,使得/•(%)有无数个零点B./(%)有3个零点的充要条件是Q€(l,+8)

C.存在a,使得f(x)有4个零点D.存在a,使得/«)有5个零点

8.(2025・陕西西安・二模)已知函数/若函数ga)=f(x)-血的四个零点从小

到大排列依次为31，%2，%3，%4，则阳+X2+%3+%4的取值范围为()

A.(-2,+8)B.(-2,1]C.(-2,e+：]D.(0,-2+e+：]

二、多选题

9.(2025•四川达州•模拟预测)若实数log2a,log3b都是一次函数/(%)=ex-1的零点，则下列不等关系中

可能成立的是()

A.c<a<bB.b<c<a

C.a<c<bD.a<b<c

(|2x+1-l|-l,x<0

10.(2025•新疆省直辖县级单位•模拟预测)已知函数/(%)=i_,g。)=[/(%)]2+a/(x)-

XI1,X>U

1,则()

A./(%)的零点个数为2B.当a=0时，g(x)有2个不同的零点

C.当Q<0时，g(x)有4个不同的零点D.Q>0是g(x)有1个零点的充要条件

11.(2025•陕西宝鸡•模拟预测)已知函数/(x)=Rogzll-％||，若函数g(x)=/(工)+af(x)+2b行6个不

同的零点，且最小的零点为工=一1,则下列说法正确的是()

A.a=0B.a+b=—1

C.b=-1D.6个零点之和是6

三、填空题

12.(2025•山东•模拟预测)函数/(力=1联+棺0-3)-1的零点为,

(2。25・新疆喀什•模拟预测)己知函数加=[J：葭言是奇函数,

13.