第28章《锐角三角函数》中考题集(43)：28.2 解直角三角形.docx

菁优网http:/2010年第28章锐角三角函数中考题集（43）：28.2 解直角三角形 2011 菁优网解答题1、（2010上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心o出发，先沿北偏西67.4方向行走13米至点a处，再沿正南方向行走14米至点b处，最后沿正东方向行走至点c处，点b、c都在圆o上（1）求弦bc的长；（2）求圆o的半径长（本题参考数据：sin67.4=1213，cos67.4=513，tan67.4=125）2、（2010陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头a与他正东方向的亭子b之间的距离，如图他们选择了与码头a、亭子b在同一水平面上的点p在点p处测得码头a位于点p北偏西方向30方向，亭子b位于点p北偏东43方向；又测得p与码头a之间的距离为200米，请你运用以上数据求出a与b的距离3、（2010宁夏）小明想知道湖中两个小亭a、b之间的距离，他在与小亭a、b位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点m处，测得亭a在点m的北偏东30，亭b在点m的北偏东60，当小明由点m沿小道l向东走60米时，到达点n处，此时测得亭a恰好位于点n的正北方向，继续向东走30米时到达点q处，此时亭b恰好位于点q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭a、b之间的距离4、（2010南通）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在a处测得建筑物c在北偏东60方向上，20min后他走到b处，测得建筑物c在北偏西45方向上，求建筑物c到公路ab的距离（已知31.732）5、（2010南平）南平是海峡西岸经济区的绿色腹地如图所示，我市的a、b两地相距20km，b在a的北偏东45方向上，一森林保护中心p在a的北偏东30和b的正西方向上现计划修建的一条高速铁路将经过ab（线段），已知森林保护区的范围在以点p为圆心，半径为4km的圆形区域内请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？6、（2010内江）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点a，再在河这边沿河边取两点b、c，在点b处测得点a在北偏东30方向上，在点c处测得点a在西北方向上，量得bc长为200米请你求出该河段的宽度（结果保留根号）7、（2010锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥如图所示，测量队在点a处观测河对岸水边有一点c，测得c在北偏东60的方向上，沿河岸向东前行30米到达b处，测得c在北偏东45的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度（结果保留根号）8、（2010随州）如图，某天然气公司的主输气管道从a市的东偏北30方向直线延伸，测绘员在a处测得要安装天然气的m小区在a市东偏北60方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达c处，测得小区m位于c的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点n，使到该小区铺设的管道最短，并求an的长？9、（2010杭州）如图，台风中心位于点p，并沿东北方向pq移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，b市位于点p的北偏东75方向上，距离点p320千米处（1）说明本次台风会影响b市；（2）求这次台风影响b市的时间10、（2010定西）如图，李明同学在东西方向的滨海路a处，测得海中灯塔p在北偏东60方向上，他向东走400米至b处，测得灯塔p在北偏东30方向上，求灯塔p到滨海路的距离（结果保留根号）11、（2010大连）如图，一艘海轮位于灯塔c的北偏东30方向，距离灯塔80海里的a处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔c的东南方向上的b处（1）求灯塔c到航线ab的距离；（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从a处到b处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：21.41，31.73）12、（2010安徽）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的a处沿直线方向开往对岸的b处，ab与河岸的夹角是60，船的速度为5米/秒，求船从a到b处约需时间几分（参考数据：31.7）13、（2009湛江）如图，某军港有一雷达站p，军舰m停泊在雷达站p的南偏东60方向36海里处，另一艘军舰n位于军舰m的正西方向，与雷达站p相距182海里求：（1）军舰n在雷达站p的什么方向；（2）两军舰m，n的距离（结果保留根号）14、（2009襄阳）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛a北偏西45并距该岛20海里的b处待命位于该岛正西方向c处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号我护航舰接警后，立即沿bc航线以每小时60海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置c处？（结果精确到个位参考数据：21.4，31.7）15、（2009乌鲁木齐）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭a处到笔直的南岸的距离进行测量他们采取了以下方案：如图，站在湖心亭的a处测得南岸的尊石雕c在其东南方向，再向正北方向前进10米到达b处，又测得石雕c在其南偏东30方向你认为此方案能够测得该公园的湖心亭a处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米？（结果保留到小数点后一位）16、（2009威海）如图，一巡逻艇航行至海面b处时，得知其正北方向上c处一渔船发生故障，已知港口a处在b处的北偏西37方向上，距b处20海里；c处在a处的北偏东65方向上求b，c之间的距离（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin650.91，cos650.42，tan652.14）17、（2011呼和浩特）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧a，b两个凉亭之间的距离现测得ac=30m，bc=70m，cab=120，请计算a，b两个凉亭之间的距离18、（2009十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点p处测得教学楼a位于北偏东60方向，办公楼b位于南偏东45方向小明沿正东方向前进60米到达c处，此时测得教学楼a恰好位于正北方向，办公楼b正好位于正南方向求教学楼a与办公楼b之间的距离（结果精确到0.1米）（供选用的数据：21.414，31.732）19、（2009邵阳）如图，家住江北广场的的小李经西湖桥到教育局上班，路线为abcd，因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为afed，已知bcef，bfce，abbf，cdde，ab=200米，bc=100米，afb=37，dce=53，请你计算小李上班上班的路程因改道加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60，cos370.80，tan370.7520、（2009中山）如图所示，a、b两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段ab），经测量，森林保护中心p在a城市的北偏东30和b城市的北偏西45的方向上，已知森林保护区的范围在以p点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：31.732，21.414）21、（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在a处看见灯塔b在海船的北偏东60方向，2小时后船行驶到c处，发现此时灯塔b在海船的北偏西45方向，求此时灯塔b到c处的距离22、（2009泸州）在某段限速公路bc上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时（即503米/秒），并在离该公路100米处设置了一个监测点a在如图所示的直角坐标系中，点a位于y轴上，测速路段bc在x轴上，点b在a的北偏西60方向上，点c在a的北偏东45方向上，另外一条高等级公路在y轴上，ao为其中的一段（1）求点b和点c的坐标；（2）一辆汽车从点b匀速行驶到点c所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：31.7）（3）若一辆大货车在限速路上由c处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由a处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？23、（2009凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路mn，已知c点周围200米范围内为原始森林保护区，在mn上的点a处测得c在a的北偏东45方向上，从a向东走600米到达b处，测得c在点b的北偏西60方向上（1）mn是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：31.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？24、（2009江苏）如图，在航线l的两侧分别有观测点a和b，点a到航线l的距离为2km，点b位于点a北偏东60方向且与a相距10km处现有一艘轮船从位于点b南偏西76方向的c处，正沿该航线自西向东航行，5min后该轮船行至点a的正北方向的d处（1）求观测点b到航线l的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1km/h）（参考数据：31.73，sin760.97，cos760.24，tan764.01）25、（2009黄冈）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点m）位于海滨城市（记作点a）的南偏西15，距离为612千米，且位于临海市（记作点b）正西方向603千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？26、（2009哈尔滨）如图，一艘轮船以每小时20海里的速度沿正北方向航行，在a处测得灯塔c在北偏西30方向，轮船航行2小时后到达b处，在b处测得灯塔c在北偏西60方向当轮船到达灯塔c的正东方向的d处时，求此时轮船与灯塔c的距离（结果保留根号）27、（2009朝阳）一艘小船从码头a出发，沿北偏东53方向航行，航行一段时间到达小岛b处后，又沿着北偏西22方向航行了10海里到达c处，这时从码头测得小船在码头北偏东23的方向上，求此时小船与码头之间的距离（21.4，31.7，结果保留整数）28、（2009长沙）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量湘江宽度的活动如图，他们在河东岸边的a点测得河西岸边的标志物b在它的正西方向，然后从a点出发沿河岸向正北方向行进550米到点c处，测得b在点c的南偏西60方向上，他们测得的湘江宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：21.414，31.732）29、（2009长春）如图，两条笔直的公路ab、cd相交于点o，aoc为36，指挥中心m设在oa路段上，与o地的距离为18千米，一次行动中，王警官带队从o地出发，沿oc方向行进王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话（参考数据：sin36=0.59，cos36=0.81，tan36=0.73）30、（2008自贡）我市准备在相距2千米的a、b两工厂间修一条笔直的公路，但在b地北偏东60方向、a地北偏西45方向的c处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（见下图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁（参考数据：21.4131.73）？答案与评分标准解答题1、（2010上海）机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心o出发，先沿北偏西67.4方向行走13米至点a处，再沿正南方向行走14米至点b处，最后沿正东方向行走至点c处，点b、c都在圆o上（1）求弦bc的长；（2）求圆o的半径长（本题参考数据：sin67.4=1213，cos67.4=513，tan67.4=125）考点：解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理；垂径定理。分析：（1）过o作odab于d，则aob=9067.4=22.6在rtaod中，利用aob的三角函数值即可求出od，ad的长；（2）求出bd的长，根据勾股定理即可求出bo的长解答：解：（1）作odababsn，aon=67.4，a=67.4od=aosin 67.4=131213=12又be=od，be=12根据垂径定理，bc=212=24（米）（2）ad=aocos 67.4=13513=5，od=13252=12，bd=abad=145=9bo=92+122=15故圆o的半径长15米点评：（1）将解直角三角形和勾股定理的应用相结合，求出be，再根据垂径定理求出bc的长即可，有一定的综合性；（2）利用（1）的结论，再根据勾股定理，即可求出半径2、（2010陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头a与他正东方向的亭子b之间的距离，如图他们选择了与码头a、亭子b在同一水平面上的点p在点p处测得码头a位于点p北偏西方向30方向，亭子b位于点p北偏东43方向；又测得p与码头a之间的距离为200米，请你运用以上数据求出a与b的距离考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：过p作ab的垂线，设垂足为h在rtaph中求出ah、ph的长，进而在rtahb中求得bh的长；由ab=ah+bh即可求出a、b间的距离解答：解：作phab于点h则aph=30，在rtaph中，ah=100，ph=apcos30=1003rtpbh中，bh=phtan43161.60ab=ah+bh262答：码头a与b距约为262米点评：当两个三角形有公共边时，先求出这条公共边是解答此类题目的基本出发点3、（2010宁夏）小明想知道湖中两个小亭a、b之间的距离，他在与小亭a、b位于同一水平面且东西走向的湖边小道l上某一观测点m处，测得亭a在点m的北偏东30，亭b在点m的北偏东60，当小明由点m沿小道l向东走60米时，到达点n处，此时测得亭a恰好位于点n的正北方向，继续向东走30米时到达点q处，此时亭b恰好位于点q的正北方向，根据以上测量数据，请你帮助小明计算湖中两个小亭a、b之间的距离考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：连接an、bq，过b作bean于点e在rtamn和在rtbmq中，根据三角函数就可以求得an，bq，求得nq，ae的长，在直角abe中，依据勾股定理即可求得ab的长解答：解：连接an、bq点a在点n的正北方向，点b在点q的正北方向，anl，bql （1分）在rtamn中：tanamn=anmn，an=603 （3分）在rtbmq中：tanbmq=bqmq，bq=303 （5分）过b作bean于点e则：be=nq=30，ae=anbq （8分）在rtabe中，ab2=ae2+be2，ab2=（303）2+302，ab=60答：湖中两个小亭a、b之间的距离为60米 （10分）点评：把图象转化为直角三角形问题，正确作出辅助线是解决本题的关键4、（2010南通）光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走，在a处测得建筑物c在北偏东60方向上，20min后他走到b处，测得建筑物c在北偏西45方向上，求建筑物c到公路ab的距离（已知31.732）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：作cdab于d，构造出rtacd与rtbcd，求出ab的长度根据平行线的性质求出三角形各角之间的关系，利用特殊角的三角函数值求解解答：解：作cdab于d设ad=x，则bd=5020x=1000xeac=60，cab=9060=30在rtbcd中，fbc=45，cbd=bcd=45，cd=db=1000x在rtacd中，cab=30，cd=tan30ad，即1000x=33x，解得：x633.98，cd=1000633.98=366.02答：建筑物c到公路ab的距离为366.02m点评：此题考查的是直角三角形的性质，解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形，再利用特殊角的三角函数值解答5、（2010南平）南平是海峡西岸经济区的绿色腹地如图所示，我市的a、b两地相距20km，b在a的北偏东45方向上，一森林保护中心p在a的北偏东30和b的正西方向上现计划修建的一条高速铁路将经过ab（线段），已知森林保护区的范围在以点p为圆心，半径为4km的圆形区域内请问这条高速铁路会不会穿越保护区，为什么？考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：过p作pmab于m，延长bp作bcac于c在直角apc中，运用三角函数用求出ac，bc的长在直角pca中，运用三角函数求出pc的长，从而得到pb的长在直角pmb中，运用三角函数求出pm，比较pm与4km的大小关系即可解答：解：延长bp作bcac于c，过p作pmab于m因为b在a的北偏东45方向上，所以a在b的南偏西45方向在rtpbc中，cba=cab=45，ac=bc=102在直角pca中，pac=30，则pc=1063，pb=1021063，在直角pmb中，pm=（1021063）22=1010334.2264.2264，这条高速铁路不会穿越保护区点评：根据三角函数求出pm的长是解决本题的关键6、（2010内江）为建设“宜居宜业宜游”山水园林式城市，内江市正在对城区沱江河段进行区域性景观打造如图，某施工单位为测得某河段的宽度，测量员先在河对岸边取一点a，再在河这边沿河边取两点b、c，在点b处测得点a在北偏东30方向上，在点c处测得点a在西北方向上，量得bc长为200米请你求出该河段的宽度（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：作adbc于点d，易得ad=cd，进而可得bd=bccd=200ad在rtabd中，通过解直角三角形求解解答：解：过点a作adbc于点d （1分）据题意，abc=9030=60，acd=45 （2分）cad=45，acd=cad，ad=cd，bd=bccd=200ad （4分）在rtabd中，tanabd=adbd，ad=bdtanabd=（200ad）tan60=3（200ad）（7分）ad+3ad=2003.ad=20033+1=3001003.（9分）答：该河段的宽度为（3001003）米点评：此题考查解直角三角形的应用，关键把实际问题转化为数学问题加以解决7、（2010锦州）为了加快城市经济发展，某市准备修建一座横跨南北的大桥如图所示，测量队在点a处观测河对岸水边有一点c，测得c在北偏东60的方向上，沿河岸向东前行30米到达b处，测得c在北偏东45的方向上，请你根据以上数据帮助该测量队计算出这条河的宽度（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：计算题。分析：过点c作cdab于d分别在rtacd和rtbcd中，运用三角函数定义求解解答：解：过点c作cdab于d设cd=x米在rtbcd中，cbd=45，bd=cd=x米在rtacd中，dac=30，ad=ab+bd=（30+x）米tandac=cdad，33=x30+xx=153+15答：这条河的宽度为（153+15）米点评：解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线8、（2010随州）如图，某天然气公司的主输气管道从a市的东偏北30方向直线延伸，测绘员在a处测得要安装天然气的m小区在a市东偏北60方向，测绘员沿主输气管道步行2000米到达c处，测得小区m位于c的北偏西60方向，请你在主输气管道上寻找支管道连接点n，使到该小区铺设的管道最短，并求an的长？考点：解直角三角形的应用-方向角问题；垂线段最短；含30度角的直角三角形。分析：过m作mnac，由垂线段最短可知此时mn最小进而根据直角三角形的性质可求出an的长度解答：解：作mtab根据题意，5=2=9060=30，tmc=1=60，amc=30+60=90过m作mnac，垂足为n，此时mn最小在rtacm中，3=604=30，cm=12ac=1000米，在rtncm中，cmn=30，cn=12cm=500，所以an=accn=2000500=1500（米）点评：此题结合方向角，考查了垂线段最短、含30度角的直角三角形等相关知识，难度不大9、（2010杭州）如图，台风中心位于点p，并沿东北方向pq移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，b市位于点p的北偏东75方向上，距离点p320千米处（1）说明本次台风会影响b市；（2）求这次台风影响b市的时间考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：（1）作bhpq于点h，在rtbhp中，利用特殊角的三角函数值求出bh的长与200千米相比较即可（2）以b为圆心，以200为半径作圆交pq于p1、p2两点，根据垂径定理即可求出p1p2的长，进而求出台风影响b市的时间解答：解：（1）作bhpq于点h在rtbhp中，由条件知，pb=320，bpq=7545=30，bh=320sin30=160200，本次台风会影响b市（2）如图，若台风中心移动到p1时，台风开始影响b市，台风中心移动到p2时，台风影响结束由（1）得bh=160，由条件得bp1=bp2=200，p1p2=220021602=240，台风影响的时间t=24030=8（小时）点评：本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆10、（2010定西）如图，李明同学在东西方向的滨海路a处，测得海中灯塔p在北偏东60方向上，他向东走400米至b处，测得灯塔p在北偏东30方向上，求灯塔p到滨海路的距离（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：过p作ab的垂线，设垂足为c易知bap=30，pbc=60bpa=bap=30，得pb=ab=400；在rtpbc中，可用正弦函数求出pc的长解答：解：过点p作pcab，垂足为c （1分）由题意，得pab=30，pbc=60pbc是apb的一个外角，apb=pbcpab=30 （3分）pab=apb，（4分）故ab=pb=400 （6分）在rtpbc中，pcb=90，pbc=60，pb=400，pc=pbsin60=40032=2003米 （10分）点评：本题主要考查了方向角含义，能够发现pba是等腰三角形，并正确的构建出直角三角形是解答此题的关键11、（2010大连）如图，一艘海轮位于灯塔c的北偏东30方向，距离灯塔80海里的a处，海轮沿正南方向匀速航行一段时间后，到达位于灯塔c的东南方向上的b处（1）求灯塔c到航线ab的距离；（2）若海轮的速度为20海里/时，求海轮从a处到b处所用的时间（结果精确到0.1小时）（参考数据：21.41，31.73）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：（1）过c作ab的垂线，设垂足为d，得到cad=30，在rtacd中，利用含30的直角三角形的三边关系可求出cd、ad的长；（2）在rtbcd中，由bcd=45，根据cd的长，即可求得bd的长；根据ab=ad+bd即可可求出ab的长根据时间=路程速度可求出海轮从a到b所用的时间解答：解：（1）过c作cdab于da=30，bcd=45，在rtacd中，ac=80，a=30，cd=40，ad=3cd=403灯塔c到ab的距离为40海里；（2）rtbcd中，bcd=45，bd=cd=40ab=ad+bd=40+403109.2（海里）海轮所用的时间为：109.2205.5（小时）答：灯塔c到航线ab的距离为40海里；海轮从a处到b处所用的时间约为5.5小时点评：本题考查了解直角三角形的应用：方向角问题，具体就是在某点作出东南西北，即可转化角度，也得到垂直的直线；还考查了含30度的直角三角形三边的关系以及等腰直角三角形的性质12、（2010安徽）若河岸的两边平行，河宽为900米，一只船由河岸的a处沿直线方向开往对岸的b处，ab与河岸的夹角是60，船的速度为5米/秒，求船从a到b处约需时间几分（参考数据：31.7）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。分析：解决此题的关键是求出ab的长，可过b作河对岸的垂线，在构建的直角三角形中，根据河岸的宽度即ab与河岸的夹角，通过解直角三角形求出ab的长，进而根据时间=路程速度得出结果解答：解：如图，过点b作bc垂直于河岸，垂足为c在rtacb中，有：ab=bcsinbac=900sin60=6003t=6003560=233.4（分）即船从a处到b处约需3.4分点评：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形13、（2009湛江）如图，某军港有一雷达站p，军舰m停泊在雷达站p的南偏东60方向36海里处，另一艘军舰n位于军舰m的正西方向，与雷达站p相距182海里求：（1）军舰n在雷达站p的什么方向；（2）两军舰m，n的距离（结果保留根号）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：计算题。分析：（1）过点p作pqmn，交mn的延长线于点q在rtpqm中求出pq，进而在rtpqn中求出qpn；（2）在rtpqm中根据三角函数求出mq，就得到mn的长解答：解：过点p作pqmn，交mn的延长线于点q（1）在rtpqm中，由mpq=60，得pmq=30，又pm=36，pq=12pm=1236=18（海里）在rtpqn中，cosqpn=pqpn=18182=22，qpn=45即军舰n到雷达站p的东南方向（或南偏东45）（2）由（1）知在rtpqn为等腰直角三角形，pq=nq=18（海里）在rtpqm中，mq=pqtanqpm=18tan60=183（海里），mn=mqnq=18318（海里）答：两军舰的距离为（18318）海里点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线14、（2009襄阳）为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务某天我护航舰正在某小岛a北偏西45并距该岛20海里的b处待命位于该岛正西方向c处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号我护航舰接警后，立即沿bc航线以每小时60海里的速度前去救援问我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置c处？（结果精确到个位参考数据：21.4，31.7）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：由条件可知abc为斜三角形，所以作ac上的高，转化为两个直角三角形求解解答：解：由图可知，acb=30，bac=45 （1分）作bdac于d（如图）在rtadb中，ab=20，bd=absin45=2022=102 （2分）在rtbdc中，acb=30，bc=2102=20228 （3分）28600.47 （4分）0.4760=28.228（分钟） （5分）答：我护航舰约需28分钟就可到达该商船所在的位置c（6分）点评：化斜为直是解三角形的基本思路，因此需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30、60、45）15、（2009乌鲁木齐）九（1）班的数学课外小组，对公园人工湖中的湖心亭a处到笔直的南岸的距离进行测量他们采取了以下方案：如图，站在湖心亭的a处测得南岸的尊石雕c在其东南方向，再向正北方向前进10米到达b处，又测得石雕c在其南偏东30方向你认为此方案能够测得该公园的湖心亭a处到南岸的距离吗？若可以，请计算此距离是多少米？（结果保留到小数点后一位）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：方案型。分析：构建rtadc和rtbdc，利用公共边cd，建立bd、ad和已知量ad的关系，解方程求解解答：解：此方案能够测得该公园的湖心亭a处到南岸的距离过点a作南岸所在直线的垂线，垂足是点d在rtadc中，adc=90，dac=45，dc=ad在rtbdc中，bdc=90，dbc=30，bd=3cd由题意得：10=ab=bdad=3adad解得ad=13.7答：该公园的湖心亭a处到南岸的距离约是13.7米点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线16、（2009威海）如图，一巡逻艇航行至海面b处时，得知其正北方向上c处一渔船发生故障，已知港口a处在b处的北偏西37方向上，距b处20海里；c处在a处的北偏东65方向上求b，c之间的距离（结果精确到0.1海里）（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，sin650.91，cos650.42，tan652.14）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：计算题。分析：由已知可得abc中c=65，b=37且ab=20海里要求bc的长，可以过a作adbc于d，先求出cd和bd的长，就可转化为运用三角函数解直角三角形解答：解：过点a作adbc，垂足为d在rtabd中，ab=20，b=37，ad=absin37=20sin3712，bd=abcos37=20cos3716在rtadc中，acd=65，cd=adtan65122.145.61bc=bd+cd5.61+16=21.6121.6（海里）答：b、c之间的距离约为21.6海里点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线17、（2011呼和浩特）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧a，b两个凉亭之间的距离现测得ac=30m，bc=70m，cab=120，请计算a，b两个凉亭之间的距离考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：过c点作cdab于点d先在rtcda中求得ad、cd的长，再利用勾股定理求得bd的长，ab=bdad解答：解：如图，作cdab于点d在rtcda中，ac=30，cad=180cab=180120=60cd=acsincad=30sin60=153ad=accoscad=30cos60=15在rtcdb中，bc=70，bd2=bc2cd2，bd=702（153）2=65ab=bdad=6515=50答：a，b两个凉亭之间的距离为50m点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线18、（2009十堰）如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点p处测得教学楼a位于北偏东60方向，办公楼b位于南偏东45方向小明沿正东方向前进60米到达c处，此时测得教学楼a恰好位于正北方向，办公楼b正好位于正南方向求教学楼a与办公楼b之间的距离（结果精确到0.1米）（供选用的数据：21.414，31.732）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：由已知可得abp中a=60b=45且pc=60m，要求ab的长，可以先求出ac和bc的长就可转化为运用三角函数解直角三角形解答：解：由题意可知：acp=bcp=90，apc=30，bpc=45在rtbpc中，bcp=90，bpc=45，bc=pc=60在rtacp中，acp=90，apc=30，ac=203ab=ac+bc=60+20360+201.732=94.6494.6（米）答：教学楼a与办公楼b之间的距离大约为94.6米点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线19、（2009邵阳）如图，家住江北广场的的小李经西湖桥到教育局上班，路线为abcd，因西湖桥维修封桥，他只能改道经临津门渡口乘船上班，路线为afed，已知bcef，bfce，abbf，cdde，ab=200米，bc=100米，afb=37，dce=53，请你计算小李上班上班的路程因改道加了多少？（结果保留整数）温馨提示：sin370.60，cos370.80，tan370.75考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：本题实际上是求af，ed，cd的长度直角abf中，根据已知可求出af和bf的长；直角cde中，根据已知求出ed和cd的长，然后增加的路程就可以求出解答：解：在rtabf中，afb=37，ab=200，af=absin37333，bf=abtan37267bcef，bfce，四边形bcef为平行四边形ce=bf=267bc=ef=100在rtcde中，dce=53，cdde，ced=37de=cecos37214，cd=cesin37160（7分）增加的路程=（af+ef+de）（ab+bc+dc）（333+100+214）（200+100+160）=187（米）点评：本题重点考查解直角三角形应用的问题20、（2009中山）如图所示，a、b两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段ab），经测量，森林保护中心p在a城市的北偏东30和b城市的北偏西45的方向上，已知森林保护区的范围在以p点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：31.732，21.414）考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：过点p作pcab，c是垂足ac与bc就都可以根据三角函数用pc表示出来根据ab的长，得到一个关于pc的方程，解出pc的长从而判断出这条高速公路会不会穿越保护区解答：解：过点p作pcab，c是垂足则apc=30，bpc=45，ac=pctan30，bc=pctan45ac+bc=ab，pctan30+pctan45=100，（33+1）pc=100，pc=50（33）50（31.732）63.450答：森林保护区的中心与直线ab的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线21、（2009眉山）海船以5海里/小时的速度向正东方向行驶，在a处看见灯塔b在海船的北偏东60方向，2小时后船行驶到c处，发现此时灯塔b在海船的北偏西45方向，求此时灯塔b到c处的距离考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：由已知可得abc中bac=30，bca=45且ab=10海里要求bc的长，可以过b作bdbc于d，先求出ad和cd的长转化为运用三角函数解直角三角形解答：解：如图，过b点作bdac于ddab=9060=30，dcb=9045=45设bd=x，在rtabd中，ad=xtan30=3x，在rtbdc中，bd=dc=x，bc=2x，ac=52=10，3x+x=10得x=5（31）bc=25（31）=5（62）（海里）答：灯塔b距c处5（62）海里点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线22、（2009泸州）在某段限速公路bc上（公路视为直线），交通管理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过60千米/时（即503米/秒），并在离该公路100米处设置了一个监测点a在如图所示的直角坐标系中，点a位于y轴上，测速路段bc在x轴上，点b在a的北偏西60方向上，点c在a的北偏东45方向上，另外一条高等级公路在y轴上，ao为其中的一段（1）求点b和点c的坐标；（2）一辆汽车从点b匀速行驶到点c所用的时间是15秒，通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（参考数据：31.7）（3）若一辆大货车在限速路上由c处向西行驶，一辆小汽车在高等级公路上由a处向北行驶，设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的2倍，求两车在匀速行驶过程中的最近距离是多少？考点：解直角三角形的应用-方向角问题。专题：应用题。分析：（1）已知oa=100m，求b、c的坐标就是求ob、oc的长度，可以转化为解直角三角形；（2）判断是否超速就是求bc的长，然后比较；（3）求两车在匀速行驶过程中的最近距离可以转化为求函数的最值问题，或转化为利用配方法求最值的问题解答：解：（1）在rtaob中，oa=100，bao=60，ob=oatanbao=1003rtaoc中，cao=45，oc=oa=100b（1003，0），c（100，0）（2）bc=bo+oc=1003+100，1003+1001518503，汽车在这段限速路上超速了（3）设大货车行驶了x米，两车的距离为y=（100x）2+（1002x）2=5（x60）2+2000当x=60时，y有最小值2000=205米点评：解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线23、（2009凉山州）如图，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路mn，已知c点周围200米范围内为原始森林保护区，在mn上的点a处测得c在a的北偏东45方向上，从a向东走600米到达b处，测得c在点b的北偏西60方向上（1）mn是否穿过原始森林保护区，为什么？（参考数据：31.732）（2）若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？考点：解直角三角形的应用-方向角问题；分式方程的应用。专题：应用题。分析：（1）要求mn是否穿过原始森林保护区，也就是求c到mn的距离要构造直角三角形，再解直角三角形；（2）根据题意列方程求解解答：解：（1）理由如下：如图，过c作chab于h设ch=x，由已知有eac=45，fbc=60，则cah=45，cba=30在rtach中，ah=ch=x，在rthbc中，tanhbc=c