2017年上海市虹口区高考数学二模试卷含答案解析

2017 年上海市虹口区高考数学二模试卷 一、填空题（ 1 6 题每小题 4 分， 7 12 题每小题 4 分，本大题满分 54 分） 1集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|（ x 1）（ x 5） 0，则 A B= 2复数 所对应的点在复平面内位于第 象限 3已知首项为 1公差为 2的等差数列 其前 n，则 = 4若方程组 无解，则实数 a= 5若（ x+a） 7 的二项展开式中，含 的系数为 7，则实数 a= 6已知双曲线 ，它的渐近线方程是 y= 2x，则 a 的值为 7在 ，三边长分别为 a=2， b=3， c=4，则 = 8在平面直角坐标系中，已知点 P（ 2， 2），对于任意不全为零的实数 a、 b，直线 l： a（ x 1） +b（ y+2） =0，若点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d 的取值范围是 9函数 f（ x） = ，如果方程 f（ x） =b 有四个不同的实数解 x1、 x1+x2+x3+ 10三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为 2 的等腰三角形，则主视图的面积等于 11在直角 ， ， ， ， M 是 一点，且 ，若 ，则 +2 的最大值 12无穷数列 前 n 项和为 对任意的正整数 n 都有 ，则 可能取值最多有 个 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 a， b， c 是实数，则 “a， b， c 成等比数列 ”是 “b2=（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 14 空间两条直线， 是平面，以下结论正确的是（ ） A如果 ， ，则一定有 如果 ，则一定有 C如果 ，则一定有 D如果 ， ，则一定有 5已知函数 ， R，且 x1+0， x2+0， x3+0，则 f（ +f（ +f（ 值（ ） A一定等于零 B一定大于零 C一定小于零 D正负都有可能 16已知点 M（ a， b）与点 N（ 0， 1）在直线 3x 4y+5=0 的两侧，给出以下结论： 3a 4b+5 0； 当 a 0 时， a+b 有最小值，无最大值； a2+1； 当 a 0 且 a 1 时， 的取值范围是（ ， ） （ ， + ） 正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 三、解答题（本大题满分 76 分） 17如图 直三棱柱，底面 等腰直角三角形，且C=4，直三棱柱的高等于 4，线段 中点为 D，线段 中点为 E，线段 中点为 F （ 1）求异面直线 成角的大小； （ 2）求三棱锥 D 体积 18已知定义在（ ， ）上的函数 f（ x）是奇函数，且当 x （ 0， ）时， f（ x） = （ 1）求 f（ x）在区间（ ， ）上的解析式； （ 2）当实数 m 为何值时，关于 x 的方程 f（ x） =m 在（ ， ）有解 19已知数列 首项等于 且公比不为 1 的等比数列， 它的前 n 项和，满足 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）设 bn=a 0 且 a 1），求数列 前 n 项和 最值 20已知椭圆 C： =1（ a b 0），定义椭圆 C 上的点 M（ “伴随点 ”为 （ 1）求椭圆 C 上的点 M 的 “伴随点 ” （ 2）如果椭圆 C 上的点（ 1， ） 的 “伴随点 ”为（ ， ），对于椭圆 C 上的任意点 M 及它的 “伴随点 ”N，求 的取值范围； （ 3）当 a=2， b= 时，直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，若点 A， B 的 “伴随点 ”分别是 P， Q，且以 直径的圆经过坐标原点 O，求 面积 21对于定义域为 R 的函数 y=f（ x），部分 x 与 y 的对应关系如表： x 2 1 0 1 2 3 4 5 y 0 2 3 2 0 1 0 2 （ 1）求 fff（ 0） ； （ 2）数列 足 ，且对任意 n N*，点（ ）都在函数 y=f（ x）的图象上， 求 x1+ + （ 3）若 y=f（ x） =x+） +b，其中 A 0， 0 ， 0 ， 0 b 3，求此函数的解析式，并求 f（ 1） +f（ 2） + +f（ 3n）（ n N*） 2017 年上海市虹口区高考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（ 1 6 题每小题 4 分， 7 12 题每小题 4 分，本大题满分 54 分） 1集合 A=1， 2， 3， 4， B=x|（ x 1）（ x 5） 0，则 A B= 2， 3， 4 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 解关于 B 的不等式，求出 A、 B 的 交集即可 【解答】 解： A=1， 2， 3， 4， B=x|（ x 1）（ x 5） 0=x|1 x 5， 则 A B=2， 3， 4； 故答案为： 2， 3， 4 2复数 所对应的点在复平面内位于第 四 象限 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 = = i 所对应的点 在复平面内位于第四象限 故答案为：四 3已知首项为 1 公差为 2 的等差数列 其前 n 项和为 = 4 【考点】 6F：极限及其运算； 85：等 差数列的前 n 项和 【分析】 由题意， +2（ n 1） =2n 1， Sn=n+ =可求极限 【解答】 解：由题意， +2（ n 1） =2n 1， Sn=n+ = = =4， 故答案为： 4 4若方程组 无解，则实数 a= 2 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 根据题意，若方程组无解，则直线 y=3 与直线 2x+2y=2 平行，由直线平行的判定方法分析可得 a 的值，即可得答案 【解答】 解：根据题意，方程组 无解， 则直线 y=3 与直线 2x+2y=2 平行， 则有 a a=2 2，且 a 2 2 3， 即 ， a 3， 解可得 a= 2， 故答案为： 2 5若（ x+a） 7 的二项展开式中，含 的系数为 7，则实数 a= 1 【考点】 项式系数的性质 【分析】 （ x+a） 7 的二项展开式的通项公式： = r，令 r=6，则 =7，解得 a 【解答】 解：（ x+a） 7 的二项展开式的通项公式： = r， 令 r=6，则 =7，解得 a=1 故答案为： 1 6已知双曲线 ，它的渐近线方程是 y= 2x，则 a 的值为 2 【考 点】 曲线的简单性质 【分析】 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为： y= 合题意中渐近线方程可得 a=2，即可得答案 【解答】 解：根据题意，双曲线的方程为： ，其焦点在 x 轴上， 其渐近线方程为： y= 又有其渐近线方程是 y= 2x， 则有 a=2； 故答案为： 2 7在 ，三边长分别为 a=2， b=3， c=4，则 = 【考点】 弦定理 【分析】 由已知利用余弦定理可求 而利用同角三角函数基本关系式可求 值，即可利用二倍 角的正弦函数公式化简求值得解 【解答】 解：在 ， a=2， b=3， c=4， = ，可得： = ， = ， = ， = = = 故答案为： 8在平面直角坐标系中，已知点 P（ 2， 2），对于任意不全为零的实数 a、 b，直线 l： a（ x 1） +b（ y+2） =0，若点 P 到直线 l 的距离为 d，则 d 的取值范围是 0， 5 【考点】 到直线的距离公式 【分析】 由题意，直线过定点 Q（ 1， 2）， l 时， d 取得最大值=5，直线 l 过 P 时， d 取得最小值 0，可得结论 【解答】 解：由题意，直线过定点 Q（ 1， 2）， l 时， d 取得最大值=5， 直线 l 过 P 时， d 取得最小值 0， d 的取值范围 0， 5， 故答案为 0， 5 9函数 f（ x） = ，如果方程 f（ x） =b 有四个不同的实数解 x1、 x1+x2+x3+4 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 作出 f（ x）的图象，由题意可得 y=f（ x）和 y=b 的图象有 4 个交点，不妨设 于原点对称， 于（ 2， 0）对 称，计算即可得到所求和 【解答】 解：作出函数 f（ x） = 的图象， 方程 f（ x） =b 有四个不同的实数解， 等价为 y=f（ x）和 y=b 的图象有 4 个交点， 不妨设它们交点的横坐标为 且 由 于原点对称， 于（ 2， 0）对称， 可得 x1+， x3+， 则 x1+x2+x3+ 故答案为： 4 10三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，主视图的边界是底边长为 2 的等腰三角形，则主视图的面积等于 【考点】 单空间图形的三视图 【分析】 由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形，且边长相等根据俯视图可得，底面是边长为 2 的等边三角形利用体积法，求其高，即可得主视图的高可得主视图的面积 【解答】 解：由题意，正三棱锥有三个面都是等腰直角三角形， （如图： 且边长相等为 ， 其体积为 V= = 根据俯视图可得，底面是边长为 2 的等边三角形 其面积为： 设主视图的高 OS=h， 则 = h= 主视图的边界是底边长为 2 的等腰三角形，其高为 得面积 S= 故答案为 11在直角 ， ， ， ， M 是 一点，且 ，若 ，则 +2 的最大值 【考点】 9H：平面向量的基本定理及其意义 【分析】 建立平面直角坐标系，则 A（ 0， 0）， B（ 0， 1）， C（ 2， 0）， M（ ，），（ 0 ）， 由 已 知 可 得 ，则+2= ，即可求解 【解答】 解：如图建立平面直角坐标系，则 A（ 0， 0）， B（ 0， 1）， C（ 2， 0） M（ ， ）（ 0 ）， ， （ ， 则 +2= ， 当 = 时， +2 最大值为 ， 故答案为： 12无穷数列 前 n 项和为 对任意的正整数 n 都有 ，则 可能取值最多有 91 个 【考点】 8E：数列的求和 【分析】 根据数列递推公式可得 10 ， 分类讨论即可求出答案 【解答】 解： 10 ， 若 有 0 9=90 种， 若 9，则有 ， 根据分类计数原理可得，共有 90+1=91 种， 故答案为： 91 二、选择题（每小题 5 分，满分 20 分） 13已知 a， b， c 是实数，则 “a， b， c 成等比数列 ”是 “b2=（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列的定义进行判断即可 【解答】 解：若 a， b， c 成等比数列，则 b2=立， 若 a=b=c=0，满足 b2= a， b， c 不能成等比数列， 故 “a， b， c 成等比数列 ”是 “b2=充分不必要条件， 故选： A 14 空间两条直线， 是平面，以下结论正确的是（ ） A如果 ， ，则一定有 如果 ，则一定有 C如果 ，则一定有 D如果 ， ，则一定有 考点】 间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系逐一核对四个选项得答案 【解答】 解：若 ， ，则有 交或 面，故 A 错误； 如果 ，则有 或 ，故 B、 C 错误； 如果 ，则 直 内的所有直线，又 ，则过 相交的平面交 于a，则 a， D 正确 故选： D 15已知函数 ， R，且 x1+0， x2+0， x3+0，则 f（ +f（ +f（ 值（ ） A一定等于零 B一定大于零 C一定小于零 D正负都有可能 【考点】 57：函数与方程的综合运用 【分析】 先判断奇偶性和单调性，先由单调性定义由自 变量的关系得到函数关系，然后三式相加得解 【解答】 解：函数 ， f（ x） = f（ x），函数 f（ x）是奇函数，根据同增为增，可得函数 f（ x）是增函数， x1+0， x2+0， x3+0， f（ f（ f（ f（ f（ f（ f（ +f（ 0， f（ +f（ 0， f（ +f（ 0， 三式相加得： f（ +f（ +f（ 0， 故选： B 16已知点 M（ a， b）与 点 N（ 0， 1）在直线 3x 4y+5=0 的两侧，给出以下结论： 3a 4b+5 0； 当 a 0 时， a+b 有最小值，无最大值； a2+1； 当 a 0 且 a 1 时， 的取值范围是（ ， ） （ ， + ） 正确的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 根据点 M（ a， b）与点 N（ 1， 0）在直线 3x 4y+5=0 的两侧，可以画出点 M（ a， b）所在的平面区域，进而结合二元一次不等式的几何意义，两点之间距离公式的几何意义，及两点之间连线斜率的几何意义 ，逐一分析四个命题得结论 【解答】 解： 点 M（ a， b）与点 N（ 0， 1）在直线 3x 4y+5=0 的两侧， （ 3a 4b+5）（ 3 0+4+5） 0，即 3a 4b+5 0，故 错误； 当 a 0 时， a+b ， a+b 即无最小值，也无最大值，故 错误； 设原点到直线 3x 4y+5=0 的距离为 d，则 d= ，则 a2+4，故 错误； 当 a 0 且 a 1 时， 表示点 M（ a， b）与 P（ 1， 1）连线的斜率 当 a=0， b= 时， = ，又直线 3x 4y+5=0 的斜率为 ， 故 的取值范围为（ ， ） （ ， + ），故 正确 正确命题的个数是 2 个 故选： B 三、解答题（本大题满分 76 分） 17如图 直三棱柱，底面 等腰直角三角形，且C=4，直三棱柱的高等于 4，线段 中点为 D，线段 中点为 E，线段 中点为 F （ 1）求异面直线 成角的大小； （ 2）求三棱锥 D 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 面直线及其所成的角 【分析】 （ 1）以 A 为原点建立空间坐标系，求出 ， 的坐标，利用向量的夹角公式得出 夹角； （ 2）证明 平面 出 S 入体积公式计算 【解答】 解：（ 1）以 A 为坐标原点， 别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 依题意有 D（ 2， 2， 4）， A（ 0， 0， 0）， E（ 2， 2， 0）， F（ 0， 4， 2）， 所以 设异面直线 成角为 ，则 = = ， 所以 ， 即异面直线 成角的大小为 （ 2） C=4， ， ， ， S =4 ， 由 E 为线段 中点，且 C， 又 面 面 ， 三棱锥 D 体积为 18已知定义在（ ， ）上的函数 f（ x）是奇函数，且当 x （ 0， ）时， f（ x） = （ 1）求 f（ x）在区间（ ， ）上的解析式； （ 2）当实数 m 为何值时，关于 x 的方程 f（ x） =m 在（ ， ）有解 【考点】 3L：函数奇偶性的性质 【分析】 （ 1）利用奇函数的定义，结合 x （ 0， ）时， f（ x） = ，求 f（ x）在区间（ ， ）上的解析式； （ 2）分类讨论，利用函数的解析式，可得结论 【解答】 解：（ 1）设 ，则 ， f（ x）是奇函数，则有 f（ x） = （ 2）设 ，令 t= t 0，而 1+t 1，得 ，从而 ， y=f（ x）在 的取值范围是 0 y 1 又设 ，则 ， 由此函数是奇函数得 f（ x） = f（ x）， 0 f（ x） 1，从而 1 f（ x） 0 综上所述， y=f（ x）的值域为（ 1， 1），所以 m 的取值范围是（ 1， 1） 19已知数列 首项等于 且公比不为 1 的等比数列， 它的前 n 项和，满足 （ 1）求数列 通项公式 ； （ 2）设 bn=a 0 且 a 1），求数列 前 n 项和 最值 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】 （ 1）根据求和公式列方程求出 q，代入通项公式即可； （ 2）对 a 进行讨论，判断 单调性和首项的符号，从而得出 最值 【解答】 解：（ 1） ， q 1， 整理得 3q+2=0，解得 q=2 或 q=1（舍去） （ 2） bn= n 5） 1）当 a 1 时，有 0，数列 以 公差，以 4 首项的等差数列， 递增数列， 有最大值 由 0，得 n 5所以（ 4= 10 2）当 0 a 1 时，有 0，数列 以 公差的等差数列， 首项为正的递减等差数列 有最小值 令 0，得 n 5，（ 4= 10 20已知椭圆 C： =1（ a b 0），定义椭圆 C 上的点 M（ “伴随点 ”为 （ 1）求椭圆 C 上的点 M 的 “伴随点 ” （ 2）如果椭圆 C 上的 点（ 1， ）的 “伴随点 ”为（ ， ），对于椭圆 C 上的任意点 M 及它的 “伴随点 ”N，求 的取值范围； （ 3）当 a=2， b= 时，直线 l 交椭圆 C 于 A， B 两点，若点 A， B 的 “伴随点 ”分别是 P， Q，且以 直径的圆经过坐标原点 O，求 面积 【考点】 圆的简单性质 【分析】 （ 1）由 ，代入椭圆方程即可求得椭圆 C 上的点 M 的 “伴随点 ” （ 2）由题意，求得椭圆的方程，根据向量的坐标运算，即可求得 的取值范围； （ 3）求得椭圆方程，设方程为 y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理，根据向量数量 积的坐标求得 3+4长公式及点到直线的距离公式，即可求得 面积，直线 l 的斜率不存在时，设方程为 x=m，代入椭圆方程，即可求得 面积 【解答】 解：（ 1）设 N（ x， y）由题意 ，则 ， 又 ， ， 从而得 x2+ （ 2）由 ，得 a=2又 ，得 点 M（ 椭圆上， ， ，且 ， =（ ， ） = + = ， 由于 ， 的取值范围是 ， 2 （ 3）设 A（ B（ 则 ； 1）当直线 l 的斜率存在时，设方 程为 y=kx+m，由 ， 得（ 3+4（ 3） =0； 有 由以 直径的圆经过坐标原点 O 可得： 3； 整理得： 将 式代入 式得： 3+4 3+40，则 0， =480， 又点 O 到直线 y=kx+m 的距离 ， 丨 = = = ， 2）当直线 l 的斜率不存在时，设方程为 x=m（ 2 m 2） 联立椭圆方程得 ；代入 3，得 ， 解得 ，从而 ， S 丨 d= 丨 m 丨丨 = ， 综上： 面积是定值 21对于定义域为 R 的函数 y=f（ x），部分 x 与 y 的对应关系如表： x 2 1 0 1 2 3 4 5 y 0