2017年高考原创押题卷（二）数学理科试题含答案解析

2017 年高考 原创押题卷（二） 数学 (理科 ) 时间： 120 分钟 满分： 150 分 第 卷 (选择题 共 60 分 ) 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知全集 U x N|y 5 x， A x N*|x 41)的焦距为 10，则该双曲线的渐近线方程为 ( ) A y 54x B y 916x C y 34x D y 43x 4 已知 前 n 项和， 126， 40，则 230n 的最小值为 ( ) A 6 10 1 B 20 D 19 5 在九章算术中有这样一个问题：某员外有小米一囤，该囤的三视图如图 21 所示 (单位：尺 )，已知 1 斛米的体积约为 方尺，圆周率约为 该囤所储小米斛数约为 ( ) 图 21 A 459 B 138 C 115 D 103 6 已知某班某个小组 8 人的期末考试物理成绩的茎叶图如图 22 所示，并用图 23 所示的程序框图对成绩进行分析 (其中框图中的 a 表示小组成员的物理成绩 )，则输出的 A， B 值分别为 ( ) 图 22 图 23 A 76， B C 76， D 7 已知在直三棱柱 1， 2 3， 120 ， 4，则该三棱柱外接球的体积为 ( ) 3 B 64 2 C 32 3 8 p： R ， 20，则称函数 f(x)为 “ 优美函数 ” 下列函数中是 “ 优美函数 ”的是 ( ) A f(x)11 x 0，0， x 0B f(x) x 91) C f(x)2x 1， x0，0， x 0， 2x 1， 0， |b0)的上顶点与右顶点， 右焦点 B 的距离为 2 5 155 . (1)求椭圆 E 的方程； (2)过 M(0， 2)作直线 l 交椭圆 E 于 P， Q 两点， O 为坐标原点，求 面积的最大值 21 (本小题满分 12 分 )函数 f(x) a(x 1)ln(x 1) (1)(x 1) a 1(a， b R) (1)若函数 f(x)的图像在点 (2， f(2)处的切线方程为 x y 1 0，求实数 a， b 的值； (2)已 知 b 1，当 x2 时， f(x) 0，求实数 a 的取值范围 请考生在第 22， 23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号 22 (本小题满分 10 分 )选修 4 4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 极坐标系中，极点与原点重合，极轴与 x 轴非负半轴重合，直线 1， 1)，倾斜角 的正切值为 34，曲线 C 的极坐标方程为 4 2 4 . (1)写出直线 l 的参数方程，并将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系，若直线 l 与曲线 C 相交，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长 23 (本小题满分 10 分 )选修 4 5：不等式选讲 已知函数 f(x) |x 1| |2x 3|. (1)若 f(x) m 对 0 x 3 恒成立，求实数 m 的取值范围； (2)若 f(x)的最大值为 M， a， b R ， a 2b a 2b 的最小值 参考答案数学 (理科 ) 2017 年高考 原创押题卷（二） 1 D 解析 由题知 U 0， 1， 2， 3， 4， 5， A 1， 2， 3， 0， 4， 5， ( B 0， 2， 4， 5，故选 D. 2 B 解析 由题知，直线 2x y 2 0 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 1， 2，所以 z(1 i) 1 2i，所以 z 1 2i （ 1 2i）（ 1 i）（ 1 i）（ 1 i） 12 32i，故复数 z 的共轭复数为 12 32i，故选 B. 3 C 解析 由题知 2m 2， m， c 5，所以 2m 2 m 25，解得 m 9，所以 a 4， b 3，所以该双曲线的渐近线方程为 y 34x，故选 C. 4 B 解析 设公差为 d，由题知 126 9（ 9得 14，由 2a440，得 20，所以 d 3，所以 4d 2，所以 3212n，所以 230n 3 n 10n 1.令 y x 10x ，该函数在 (0， 10)上单调递减，在 ( 10， )上单调 递增，所以当 n 3 时， 230n 20，当 n 4 时， 230n 412 ，故 230n 的最小值为 20，故选 B. 5 C 解析 由三视图知，该粮囤是由一个底面半径为 3、高为 6 的圆 柱和一个等底、高为 2 的圆锥组成的组合体，其体积为 32 6 13 32 2 186(立方尺 )，所以 该囤所储小米斛数约为 186115，故选 C. 6 A 解析 由程序框图，知输出的 A 表示本小组物理成绩的平均值， B 表示本小组物理成 绩 大 于 或 等 于 80 分的人数占小组总人数的百分比，故 A 55 63 68 74 77 85 88 988 76， B38 100% 故选 A. 7 D 解析 设该三棱柱的外接球的 半径为 R， 底面所在截面圆的半径为 r，由正弦定理，知 2r 20 2 332 4，所以 r 2，所以 R 22 22 2 2，所以该三棱柱外接球的体积 V 4 4 （ 2 2） 33 64 23 ，故选 D. 8 A 解析 由题知 綈 p： x R ， x 2 0 是真命题，即 a ln x x 2x对 x R 恒成立 设 f(x) ln x x2x(x0)， f(x)1x 12 x 2）（ x 1）当 01 时， f(x) 0， f(x)在 (0， 1)上是减函数，在 (1， )上是增函数， f(x)f(1) 3， a 3，故选 A. 9 B 解析 令 y 4x 4（ x 2） 2， (x 2)2 4(y 0)， 02 4（ x 2） 2示直线 x 2， x 轴以及以 (2， 0)为圆心、 2 为半径的圆围成的 14圆的面积， a 2 02 4（ x 2） 22， 目标函数 z 2y (y 1)2 1 表示可行域内点 (x， y)与点 M (0， 1)之间距离的平方减去 阴影部分所示， 过 M 作直线 x 2y 4 0 的垂线，垂足为 N，由图知， N 在线段 | 2 4|12 22 65， 652 1 315 x 2y 2 0，2x y 4 0， 得 C 103 ， 83 ， 103 2 83 1 2 2213 ， 22132 1 2129 ， z 的取值范围为 315 ， 2129 ，故选 B. 10 B 解析 依题意， “ 优美函数 ” 是奇函数，且在定义域上是增函数 对选项 A，定义域为 R， x R 且 x 0， f( x) e x 11 e x11 f(x)， f(x)是奇函数， f( 1)e 1 11 e 10 f(1) e 11 e， f(x)在定义域内不是增函数，故 A 不是 “ 优美函数 ” ；对选项 B， 99 91|3x|， 91 3x|3x| 3x 0， f(x)的定义域为 R， f(x) f( x) x 91) 3x 9（ x） 2 1 3x 91)( 3x 91) 1(3x)2 0， 该函数是奇函数， f(x)3 1813x 91391 0， 该函数在 R 上是增函数， 该函数是 “ 优美函数 ” ；对选项 C， f 14 142 2 14 1 716f 14 142 2 14 1 716， 该函数在 R 上不是增函数，故该函数不是 “ 优美函数 ” ；对选项 D，由 y x 的图像知，该函数在定义域上不单调，故不是 “ 优美函数 ” 故选B. 11 C 解析 由图知 A 3， f(0) 3 3 32 ， 32 ， | |1 时，g(x) 0，所以 g(x)在 ( ， 1)上是减函数，在 (1， )上是增函数，所以当 x 1 时， g(x)取得最小值 g(1) (x) 2x a (x 1)2 a 1，所以当 x 1 时， (x)取得最大值 (1) 1 a，则 1 a 以 则 1，所以 p 2，所以抛物线 C 的方程为 (则 4据抛物线的定义，知 | 1 心 P 到 x 轴的距离为 |由垂径定理，得 (1 12，即 (1 41，解得 0 或 2.当 0 时， 0， | 1，圆 P 的方程为 1；当 2 时， 2 2， | 3，圆 P 的方程为 (x 2)2 (y2 2)2 9. 240 1）15 解析 由题设知 1 ， 2 ， 22 ， 23，24， 25， 26， 27， 28， 29， 210， ，236， 237， 238， 得 1， 得 3 2，同理可得 24， 3 25， 28， 3 29， ， 236， 3 237， ， ，公比为 24，项数为 10的等比数列， ， ，公比为 24，项数为 10 的等比数列， 数列 前 40 项和为 1 16101 16 6（ 1 1610）1 16 7（ 240 1）15 . 17 解： (1)由 及正弦定理，得 c b b ， 即 2 分 由余弦定理，得 ac ab 理得 4 分 2， 5 分 00，得 4， 164121 47 分 | 1 k2| （ 1 （ 2 4 （ 1 1644 121 4 4 （ 1 43）（ 1 42 ， 原点 O 到直线 l 的距离 d 21 9 分 S 12| d 4 43（ 1 42， 设 t 43，则 43， t0， S 44 4t 4t 42 t 4t 1，当且仅当 t 4t，即 k 72 时，取等号， 11 分 面积的最大值为 21 解： (1)f(x)的定义域为 (1， )， f(x) x 1) a 21 b， 由题知f（ 2） 2b 1 a 1 3，f（ 2） a 4b 1 b 1， 解得 a 3，b 1. 4 分 (2)当 b 1 时， f(x) a(x 1)ln(x 1) (x 1)(x 1) a 1， 当 x2 时，由 f(x) 0，知 f（ x）x 1 x 1) a 1x 1 x 1 0， 设 g(x) x 1) a 1x 1 x 1(x2)， g(x) 1 a 1（ x 1） 2 1 a 2） x 2a（ x 1） 2 （ x 2）（ x a）（ x 1） 2 当 a 2 时， a 2， g(x) 0， g(x)在区间 (2， )上是增函数， g(x) g(2) a 1 2 1 0，解得 a 4， a 2； 9 分 当 2 a 时， g (x) 0， g(x)在区间 (2， a)上是减函数，在区间 ( a， )上是增函数， g(x)g( a) a 1) a 1 a 1 a 1 a 1) a， 由题知 g(x) a 1) a 0，即 a 1)1，即a 2， a 1e， 解得 e 1a 2. 11 分 综上所述，实数 a 的取值范围为 ( e 1， ) 12 分 22 解： (1)由题知 34 0， 0 ， 2 ， 34 ，代入 1，得 342 1，解得 45， 35， 直线 l 的参数方程为x 1 45t，y 1 35t(t 为参 数 ) 由 4 2 4 ，得 4 4 ，即 2 4 4 ， 由 2 x， y，得 4x 4y 0， 曲线 C 的直角坐标方程为 4x 4y (2) 12 12 4 1 4 1 60， 点 (1， 1)在圆 4x 4y 0 内部， 直线 l 与曲线 C 相交 设直线 l 与曲线 C 的交点 M， N 对 应的参数分别为 x 1 45t，y 1 35t(t 为 参数 )代入 4x 4y 0，整理得 25t 6 0， 25， 6， | | （ 2 4 252 4 （ 6） 2 1515 ，故直线 l 被曲