2017年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科）含答案解析

2017 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知 i 是虚数单位，若（ 1 i）（ a+i） =3 a， b R），则 a+b 等于（ ） A 3 B 1 C 0 D 2 2已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|（ x+5）（ x m） 0， m Z，若 AB 有三个元素，则 m 的值为（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 3为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下 四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ） A B C D 4已知向量 =（ m， 2）， =（ 2， 1），且 ，则 等于（ ） A B 1 C 2 D 5已知 3 k Z），则 ） A B C D 6我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？ ”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S=位：升），则输入 ） A 6 C 9 7已知双曲线 l： kx+y k=0 与双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 2 C D 3 8已知函数 f（ x）为偶函数，当 x 0 时， f（ x）为增函数，则 “ x 2”是 “f2x 2） f（ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9如图是某几何体的三视 图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 10已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 4）是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心， |半径的圆被直线 x= 1 截得的弦长为 2 ，则 |于（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 11将函数 f（ x） =象向左平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在区间 ， 上单调递减，且函数 g（ x）的最大负零点在区间（ ， 0）上，则 的取值范围是（ ） A ， B ， ） C（ ， D ， ） 12如图，矩形 ， E 为边 中点，将 直线 面 若 M、 O 分别为线段 中点，则在 转过程中，下列说法错误的是（ ） A与平面 直的直线必与直线 直 B过 E 作 G 平面 定值 C一定存在某个位置，使 三棱锥 接球半径与棱 长之比为定值 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13一个袋中装有 1 红， 2 白和 2 黑共 5 个小球，这 5 个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取 2 个球，则至少取到 1 个白球的概率为 14已知实数 x， y 满足约束条件 ，若 x、 y 使得 2x y m，则实数 m 的取值范围是 15在 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边， 面积为 S，（ a2+b2）S，则 = 16若函数 f（ x） =（ ax+a+1） a N）在区间（ 1， 3）只有 1 个极值点，则曲线 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处切线的方程为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17已知数列 前 n 项和为 ，且 3Sn= 1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2 ）设等差数列 的前 n 项 和 为 a2= +求的值 18某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （ 3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x）与数学成绩相应分数段的人数（ y）之比如表所示，求数学成绩在 50， 90）之外的人数 分数段 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） x： y 1： 1 2： 1 3： 4 4： 5 19如图，四棱锥 P ， 底面 面 直角梯形， 0， C= ，点 E 在 ，且 （ ）已知点 F 在 ，且 证：平面 平面 （ ）若 面积是梯形 积的 ，求点 E 到平面 距离 20已知 c， 0）、 c、 0）分别是椭圆 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦点，点 P（ 2， ）是椭圆 G 上一点，且 | |a （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 21已知函数 f（ x） =a（ a R）与函数 F（ x） =x+ 的图象没有交点 （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）若不等式 x） +e 2 a 对于 x 0 的一切值恒成立， 求正数 a 的取值范围 四、选修 4标系与参数方程 22在极坐标系中，已知三点 O（ 0， 0）， A（ 2， ）， B（ 2 ， ） （ 1）求经过 O， A， B 的圆 极坐标方程； （ 2）以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆 参数方程为 （ 是参数），若圆 圆 切，求实数 a 的值 五、选修 4等式选讲 23已知函数 f（ x） =|x+1|+|x 3|， g（ x） =a |x 2| （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） g（ x）有解，求实数 a 的取值范围； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） g（ x）的解集为 ，求 a+b 的值 2017 年河北省邯郸市高考数学二模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1已知 i 是虚数单位，若（ 1 i）（ a+i） =3 a， b R），则 a+b 等于（ ） A 3 B 1 C 0 D 2 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的充要条件即可求出 a， b 的值，则答案可求 【解答】 解： （ 1 i）（ a+i） =3 a+1+（ 1 a） i=3 a+1=3， 1 a= b a=2， b=1 则 a+b=3 故选： A 2已知集合 A=0， 1， 2， 3， 4， B=x|（ x+5）（ x m） 0， m Z，若 AB 有三个元素，则 m 的值为（ ） A 2 B 2 C 3 D 3 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 根据集合元素之间的关系即可求出答案 【解答】 解：集合 A=0， 1， 2， 3， 4， 当 m 5 时，集合 B 为空集，显然不合题意， 当 m 5 时， B=x|（ x+5）（ x m） 0=（ 5， m）， 因为 A B 有三个元素 ， 所以 m=3， 故选： D 3为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ） A B C D 【考点】 立性检验的基本思想 【分析】 根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论 【解答】 解：根据四个列联表中的等高条形图知， 图形 D 中不服药与服药时患禽流感的差异最大， 它最能体现该药物对预防禽流感有效果 故选： D 4已知向量 =（ m， 2）， =（ 2， 1），且 ，则 等于（ ） A B 1 C 2 D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 依题意，由 =2m 2=0m=1，即 =（ 1， 2），于是可得 2 =（ 0，5）， |2 |=5， + =（ 3， 1）， （ + ） =1 3+2 1=5，从而可得的值 【解答】 解： =（ m， 2）， =（ 2， 1）， 且 ， =2m 2=0， m=1， =（ 1， 2）， 2 =（ 0， 5）， |2 |=5， 又 + =（ 3， 1）， （ + ） =1 3+2 1=5， = =1 故选： B 5已知 3 k Z），则 ） A B C D 【考点】 倍角的余弦 【分析】 由已知利用倍角公式，同角三角函数基本关系式化简可求=4已知可得 0，进而可求 ，利用倍角公式，同角三角函数基本关系式可求 【解答】 解： 3 = =4 k Z）， 0， =2，解得： ， = = 故选： B 6我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？ ”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S=位：升），则输入 ） A 6 C 9 【考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 n=4 时，不满足条件 n 4，退出循环，输出 S 的值为 ，即可解得 k 的值 【 解答】 解：模拟程序的运行，可得 n=1， S=k 满足条件 n 4，执行循环体， n=2， S=k = ， 满足条件 n 4，执行循环体， n=3， S= = ， 满足条件 n 4，执行循环体， n=4， S= = ， 此时，不满足条件 n 4，退出循环，输出 S 的值为 ， 由题意可得： =得： k=6 故选： B 7已知双曲线 l： kx+y k=0 与双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的一条渐近线平行，且这两条平行线间的距离为 ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A 2 B 2 C D 3 【考点 】 曲线的简单性质 【分析】 根据双曲线的渐近线方程可知丨 k 丨 = ，根据两平行线之间的距离公式，即可求得 k 的值，由双曲线离心率公式，即可求得答案 【解答】 解：由题意可知：直线 l： kx+y k=0，则渐近线方程 kx+y=0，即 y= 丨 k 丨 = ， 由这两条平行线间的距离为 ，即 = ，整理 ， 解得： k= 2 ， 即 =， 由双曲线的离心率 e= = =3， 双曲线 C 的离心率 3， 故选 D 8已知函数 f（ x）为偶函数，当 x 0 时， f（ x）为增函数，则 “ x 2”是 “f2x 2） f（ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【考点】 2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断 【分析】 根据函数的单调性和奇偶性，得到关于 x 的不等式，解出即可 【解答】 解：由 f（ x）是偶函数且当 x 0 时， f（ x）为增函数， 则 x 0 时， f（ x）是减函数， 故由 “f2x 2） f（ ”， 得： |2x 2） | |= 故 0 2x 2 ， 解得： 1 x ， 故 “ x 2”是 “1 x “的既不充分也不必要条件， 故选： D 9如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A 12 B 15 C 18 D 21 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积 【分析】 由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4， 3， 3 的长方体，切去一半得到的，进而得到答案 【解答】 解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个长宽高分别为 4， 3， 3的长方体， 切去一半得到的，其直观图如下所示： 其体积为： 4 3 3=18， 故选： C 10已知抛物线 C： p 0）的焦点为 F，点 M（ 4）是抛物线 C 上一点，以 M 为圆心， |半径的圆被直线 x= 1 截得的弦长为 2 ，则 |于（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【考点】 物线的简单性质 【分析】 由抛物线定义可得： |，根据以以 M 为圆心， |半径的圆被直线 x= 1 截得的弦长为 2 ，可得 7+（ ） 2=（ ） 2又 16=2立解出即可得出 【解答】 解：由抛物线定义可得： |， 以 M 为圆心， |半径的圆被直线 x= 1 截得的 弦长为 2 ， 7+（ ） 2=（ ） 2 又 16=2 联立解得 p=4， 故选 C 11将函数 f（ x） =象向左平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在区间 ， 上单调递减，且函数 g（ x）的最大负零点在区间（ ， 0）上，则 的取值范围是（ ） A ， B ， ） C（ ， D ， ） 【考点】 弦函数的图象 【分析】 根据函数 g（ x）在区间 ， 上单调递减，可得 2（ ） +2 2 2 +2 2， k Z，求得 再根据函数 g（ x）的最大负零点在区间（ ， 0）上，可得 0，且 ，求得 ，由 求得 的取值范围 【解答】 解：将函数 f（ x） =象向左平移 （ 0 ）个单位后得到函数 g（ x） =2x+2）的图象， 若函数 g（ x）在区间 ， 上单调递减， 2（ ） +2 2 2 +2 2， k Z， 求得 令 2x+2=，求得 x= + ，根据函数 g（ x）的最大负零点在区间（， 0）上， 0，且 ，求得 ， 由 求得 的取值范围为（ ， ， 故选： C 12如图，矩形 ， E 为边 中点，将 直线 面 若 M、 O 分别为线段 中点，则在 转过程中，下列说法错误的是（ ） A与平面 直的直线必与直线 直 B过 E 作 G 平面 定值 C一定存在某个位置，使 三棱锥 接球半径与棱 长之比为定值 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 对于 A，延长 于 H，连接 用中位线定理和线面平行的判定定理，可得 平面 可判断 A； 对于 B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断 B； 对于 C，连接 用线面垂直的判定定理和性质定理，可得 直，即可判断 C； 对于 D，由直角三角形的性质，可得三棱锥 接球球心为 O，即可判断 D 【解答】 解：对于 A，延长 于 H，连接 E 为 中点， 可得 B 为 中点，又 M 为 中点，可得 面 面 平面 与平面 直的直线必与直线直，则 A 正确； 对于 B，设 a，过 E 作 G 平面 则 在 ， a， E= a， = a，则 定值，即 定值，则 B 正确； 对于 C，连接 得 有 平面 即有 平面 的射影为 可得 直，但 垂直 则不存在某个位置，使 C 不正确； 对于 D，连接 直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得 三棱锥 接球球心为 O，半径为 a， 即有三棱锥 接球半径与棱 长之比为定值则 D 正确 故选： C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13一个袋中装有 1 红， 2 白和 2 黑共 5 个小球，这 5 个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取 2 个球，则至少取到 1 个白球的概率为 【考点 】 举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 记 1 个红球为 A， 2 个白球为 2 个黑球为 中任取 2个，利用列举法能求出至少取到 1 个白球的概率 【解答】 解：记 1 个红球为 A， 2 个白球为 2 个黑球为 从中任取 2 个的基本事件有 10 个，分别为： （ A， （ A， （ A， （ A， （ （ （ （ （ （ 其中至少取到 1 个白球的基本事件有 7 个， 故至少取到 1 个白球的概率为 ： p= 故答案为： 14已知实数 x， y 满足约束条件 ，若 x、 y 使得 2x y m，则实数 m 的取值范围是 m 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 画出约束条件的可行域，利用目标函数的意义，转化求解目标函数的最小值，求出 m 的范围即可 【解答】 解：实数 x， y 满足约束条件 的可行域如图： 若 x、 y 使得 2x y m，则 2x y 的最小值为： m 平移直线 2x y=0 可知：直线经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由可得 A（ ， ）， 则 2x y 的最小值为： ，可得 m 给答案为： m 15在 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边， 面积为 S，（ a2+b2）S，则 = 2 【考点】 弦定理 【分析】 由已知，利用三角形面积公式，余弦定理可得 a2+用正弦定理化简所求即可计算得解 【解答】 解：由于：（ a2+S， 可得： a2+， 可得： a2+ 则： = =2 故答案为： 2 16若函数 f（ x） =（ ax+a+1） a N）在区间（ 1， 3）只有 1 个极值点，则曲线 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处切线的方程为 x y+6=0 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，根据 f（ 1） f（ 3） 0，得到关于 a 的不等式，求出 a 的值，从而计算 f（ 0）， f（ 0）的值，求出切线方程即可 【解答】 解： f（ x） =ex 2 a） x+1， 若 f（ x）在（ 1， 3）只有 1 个极值点， 则 f（ 1） f（ 3） 0， 即（ a 4）（ 3a 16） 0， 解得： 4 a ， a N， 故 a=5； 故 f（ x） =5x+6）， f（ x） =3x+1）， 故 f（ 0） =6， f（ 0） =1， 故切线方程是： y 6=x， 故答案为： x y+6=0 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分） 17已知数列 前 n 项和为 ，且 3Sn= 1 （ 1）求数列 通项公式； （ 2 ）设等差数列 的前 n 项 和 为 a2= +求的值 【考点】 8H：数列递推式； 8E：数列的求和 【分析】 （ 1）利用递推关系 ，且 3Sn= 1，可得当 n 1 时， 31=1，两式相减，可得 =4n 2），再验证 n=1 的情况，即可判断数列 首项为 1，公比为 4 的等比数列，从而可求数列 通项公式； （ 2）依题意，可求得 n 2，利用裂项法可得 = （ ），于是可求 的值 【解答】 解：（ 1） 3Sn= 1 ， 当 n 1 时， 31=1 ， 得 3（ 1） =3an= =4 又 =4=4 数列 首项为 1，公比为 4 的等比数列， 则 n 1， （ 2）由（ 1）得 ， 1 则 ，得 ， 设数列 公差为 d，则 ， d=3， n 2， = = （ ）， = （ 1 ） +（ ） + +（ ） = 18某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （ 3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x）与数学成绩相应分数段的人数（ y）之比如表所示，求数学成绩在 50， 90）之外的人数 分数段 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） x： y 1： 1 2： 1 3： 4 4： 5 【考点】 样本的频率分布估计总体分布； 率分布直方图； 数、中位数、平均数 【分析】 （ 1）由频率分布直方图的性质可 10（ 2a+=1，解方程即可得到 a 的值； （ 2）由平均数加权公式可得平均数为 55 5 5 5 5算出结果即得； （ 3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在 50， 90）之外的人数 【解答】 解：（ 1）依题意得， 10（ 2a+=1，解得 a= （ 2）这 100 名学生语文成绩的平均分为： 55 5 5 5 5 3（分）； （ 3）数学成绩在 50， 60）的人数为： 100 ， 数学成绩在 60， 70）的人数为： ， 数学成绩在 70， 80）的人数为： ， 数学成绩在 80， 90）的人数为： ， 所以数学成绩在 50， 90）之外的人数为： 100 5 20 40 25=10 19如图，四棱锥 P ， 底面 面 直角梯形， 0， C= ，点 E 在 ，且 （ ）已知点 F 在 ，且 证：平面 平面 （ ）若 面积是梯形 积的 ，求点 E 到平面 距离 【考点】 、线、面间的距离计算； 面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）已知点 F 在 ，且 明 平面 可证明：平面 平面 （ ） E 到平面 距离即时 A 到平面 距离，利用 P 点 E 到平面 距离 【解答】 （ ）证明： C， 5， 底面 直角梯形， 0， 5，即 D， ， ， 四边形 平行四边形 ，则 底面 ， 平面 面 平面 平面 （ ）解： 底面 C， C， 取 中点为 G，连接 D=1 设 PA=x，连接 ， 侧面 面积是底面 倍， ，即 ，求得 ， E 到平面 距离即时 A 到平面 距离， P S S E 到平 面 距离为 20已知 c， 0）、 c、 0）分别是椭圆 G： + =1（ 0 b a 3）的左、右焦点，点 P（ 2， ）是椭圆 G 上一点，且 | |a （ 1）求椭圆 G 的方程； （ 2）设直线 l 与椭圆 G 相交于 A、 B 两点，若 ，其中 O 为坐标原点，判断 O 到直线 l 的距离是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【考点】 圆的简单性质 【分析】 （ 1）根据椭圆的定义，求得丨 = a=3|根据点到直线的距离公式，即可求得 c 的值，则求得 a 的值， b2=，即可求得椭圆方程； （ 2）当直线 l x 轴，将直线 x=m 代入椭圆方程，求得 A 和 B 点坐标，由向量数量积的坐标运算，即可求得 m 的值，求得 O 到直线 l 的距离；当直线 斜率存在时，设直线方程，代入椭圆方程，由韦达定理及向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，即可求得 O 到直线 l 的距离为定值 【解答】 解：（ 1）由椭圆的定义可知： |2a由 | |a 丨 = a=3| 则 =3 ，化简得： 5c+6=0， 由 c a 3， c=2， 则丨 =3 = a，则 a=2 ， b2=， 椭圆的标准方程为： ； （ 2）由题意可知，直线 l 不过原点，设 A（ B（ 当直线 l x 轴，直线 l 的方程 x=m，（ m 0），且 2 m 2 ， 则 x1=m， ， x2=m， ， 由 ， ，即 4 ） =0， 解得： m= ， 故直线 l 的方程为 x= ， 原点 O 到直线 l 的距离 d= ， 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 y=kx+n， 则 ，消去 y 整理得：（ 1+28=0， x1+ ， ， 则 n）（ n） =x1+， 由 ， ，故 + =0， 整理得： 388=0，即 3， 则原点 O 到直线 l 的距离 d= ， ） 2= = ， 将 代入 ，则 = ， d= ， 综上可知：点 O 到直线 l 的距离为定值 21已知函数 f（ x） =a（ a R）与函数 F（ x） =x+ 的图象没有交点 （ 1）求 a 的取值范围； （ 2）若不等式 x） +e 2 a 对于 x 0 的一切值恒成立，求正数 a 的取值范围 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6B：利用导数研究函数的单调性 【分析】 （ 1）通过讨论 f（ x）和 F（ x）的单调性，得到 F（ x）的最小值，问题转化为关于 a 的不等式，解出即可； （ 2）将所要证明的式子变形，建立一个函数，求导后再建立一个新的函数，再求导需要用到两次求导再来通过最值确定正负号，再来确实原函数的单调性 【解答】 解：（ 1）由题意得： x 0，而 F（ x）的最小值是 F（ ） =2 ， 而 f（ x） =a 在（ 0， + ）递增， 故只需 f（ ） 2 即可， 即 a 2 ， 解得： a 2 ； 若函数 f（ x） =a（ a R）与函数 F（ x） =x+ 的图象没有交点， （ 2）原式等价于 a+e 2 0 在（ 0， + ）上恒成立 令 g（ x） =a+e 2 g（ x） = a 令 g（ x） =0，得 x=1 0 x 1 时， g（ x） 0， g（ x）单调递减 1 x 时， g（ x） 0， g（ x）单调递增 g（ x）的最小值为 g（ 1） =（ a 1） 1+a+e 2 1=a+e 2 1 令 t（ x） =x+e 2 1 t（ x） =1 1 令 t（ x） =0得 x=1且 0 x 1 时， t（