2017年湖南省郴州市高考数学四模试卷（文科）含答案解析

2017 年湖南省郴州市高考数学四模试卷（文科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x Z|（ x+1）（ x 4） 0， B=x|x a，若 A B=B，则 a 的值可以是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 2已知复数 z=（ 2+i）（ a+2复平面内对应的点在第四象限，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 4， + ） C（ 1， 4） D（ 4， 1） 3为考察某种药物对预防禽流感的效 果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ） A B C D 4已知向量 ， ，且 ，则 等于（ ） A B 1 C 2 D 5已知 3，且 k Z），则 （ ） 等于（ ） A B C D 6我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问， 米几何？ ”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的 S=位：升），则输入 ） A 6 C 9 7已知双曲线 C： （ a 0， b 0）过点 ，过点（ 0， 2）的直线 l 与双曲线 C 的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为 ，则双曲线 C 的实轴长为（ ） A 2 B C 4 D 8若 f（ x）为奇函数，且 y=f（ x） 一个零点，则下列函数中， ） A y=f（ x） e x 1 B y=f（ x） C y=f（ x） 1 D y=f（ x） 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 4 D 10函数 f（ x） =x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在区间 （ ）上的值域为 1， 2，则 等于（ ） A B C D 11已知椭圆 C： （ a b 0）的右焦点为 O 为坐标原点， M 为 A 是直线 椭圆 C 的一个交点， 且 |2|则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 12如图，矩形 ， E 为边 中点，将 直线 面 若 M、 O 分别为线段 中点，则在 转过程中，下列说法错误的是（ ） A与平面 直的直线必与直线 直 B过 E 作 G 平面 定值 C一定存在某个位置，使 三棱锥 接球半径与棱 长之比为定值 二 、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13一个袋中装有 1 红， 2 白和 2 黑共 5 个小球，这 5 个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取 2 个球，则至少取到 1 个白球的概率为 14已知实数 x， y 满足条件 则 z= y+1） 2 的最小值为 15在 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边， 面积为 S，（ a2+b2）S，则 = 16若函数 f（ x） =（ ax+a+1） a N）在区间（ 1， 3）只有 1 个极值点，则曲线 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处切线的方程 为 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知等差数列 前 n（ n N*）项和为 ，且 Sn=，在等比数列 ， ， b3= （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 前 n（ n N*）项和为 ，求 18某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （ 3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x）与数学成绩相应分数段的人数（ y）之比如表所示，求数学成绩在 50， 90）之外的人数 分数段 50， 60， 70， 80，60） 70） 80） 90） x： y 1： 1 2： 1 3： 4 4： 5 19如图，四棱锥 P ， 底面 面 直角梯形， 0， C= ，点 E 在 ，且 （ ）已知点 F 在 ，且 证：平面 平面 （ ）若 面积是梯形 积的 ，求点 E 到平面 距离 20已知 A 是抛物线 x 上的一点，以点 A 和点 B（ 2， 0）为直径的圆 C 交直线 x=1 于 M， N 两点直线 l 与 行，且直线 l 交抛物线于 P， Q 两点 （ ）求线段 长； （ ）若 = 3，且直线 圆 C 相交所得弦长与 |等，求直线 21已知函数 f（ x） =a（ a R）与函数 有公共切线 （ ）求 a 的取值范围； （ ） 若不等式 x） +e 2 a 对于 x 0 的一切值恒成立，求 a 的取值范围 请考生在 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .选修 4标系与参数方程 22在直角坐标系 ，曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数， a 0）以坐标原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线 l 的极坐标方程为 （ ）设 P 是曲线 C 上的一个动点，当 a=2 时，求点 P 到直线 l 的距离的最小值； （ ）若曲线 C 上的所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围 选修 4等式选讲 23已 知函数 f（ x） =|x+1|+|x 3|， g（ x） =a |x 2| （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） g（ x）有解，求实数 a 的取值范围； （ ）若关于 x 的不等式 f（ x） g（ x）的解集为 ，求 a+b 的值 2017 年湖南省郴州市高考数学四模试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分 有一项是符合题目要求的 . 1设集合 A=x Z|（ x+1）（ x 4） 0， B=x|x a，若 A B=B，则 a 的值可以是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 18：集合的包含关系判断及应用 【分析】 化简 A，利用 B=x|x a， A B=B，求出 a 的值 【解答】 解： A=x Z|（ x+1）（ x 4） 0= 1， 0， 1， 2， 3， 4， A B=B， A B， B=x|x a， a 4， 故选 D 2已知复数 z=（ 2+i）（ a+2复平面内对应的点在第四象限，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 4， + ） C（ 1， 4） D（ 4， 1） 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分 析】 利用复数的运算法则、不等式的解法、几何意义即可得出 【解答】 解：复数 z=（ 2+i）（ a+2=（ 2+i）（ a 2i） =2a+2+（ a 4） i， 在复平面内对应的点（ 2a+2， a 4）在第四象限，则 2a+2 0， a 4 0， 解得 1 a 4 实数 a 的取值范围是（ 1， 4） 故选： C 3为考察某种药物对预防禽流感的效果，在四个不同的实验室取相同的个体进行动物试验，根据四个实验室得到的列联表画出如下四个等高条形图，最能体现该药物对预防禽流感有效果的图形是（ ） A B C D 【考点】 立性检验的基本思想 【分析】 根据四个列联表中的等高条形图看出不服药与服药时患禽流感的差异大小，从而得出结论 【解答】 解：根据四个列联表中的等高条形图知， 图形 D 中不服药与服药时患禽流感的差异最大， 它最能体现该药物对预防禽流感有效果 故选： D 4已知向量 ， ，且 ，则 等于（ ） A B 1 C 2 D 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 根据向量的坐标运算和向量的垂直和向量的模，即可求出 【解答】 解： ， ，且 ， =2m 2=0，解得 m=1， =（ 1， 2）， 2 =2（ 1， 2）（ 2， 1） =（ 0， 5）， + =（ 1， 2） +（ 2， 1） =（ 3，1） |2 |=5， （ + ） =1 3+2 1=5， =1， 故选： B 5已知 3，且 k Z），则 （ ） 等于（ ） A B C D 【考点】 角函数的化简求值 【分析】 由已知利用同角三角函数基本关系式 1+=0，结合 0，可得 1+ 3用诱导公式，二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解 【解答】 解： 3 =，整理可得： 1+0， k Z）， 0， 1+ 3 （ ） =2 2） = = = 故选： C 6我国古代数学著作九章算术有如下问题： “今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升问，米几何？ ”如图是解决该问题的程序框图，执行 该程序框图，若输出的 S=位：升），则输入 ） A 6 C 9 【考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 n， S 的值，当 n=4 时，不满足条件 n 4，退出循环，输出 S 的值为 ，即可解得 k 的值 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 n=1， S=k 满足条件 n 4，执行循环体， n=2， S=k = ， 满足条件 n 4，执行循环体， n=3， S= = ， 满足条件 n 4，执行循环体， n=4， S= = ， 此时，不满足条件 n 4，退出循 环，输出 S 的值为 ， 由题意可得： =得： k=6 故选： B 7已知双曲线 C： （ a 0， b 0）过点 ，过点（ 0， 2）的直线 l 与双曲线 C 的一条渐进线平行，且这两条平行线间的距离为 ，则双曲线 C 的实轴长为（ ） A 2 B C 4 D 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 由双曲线的渐近线方程 y= x，利用点到直线的距离公式，即可求得a 和 c 的关系，即可求得 b=2 a，将点代入椭圆方程，即可求得 a 的值，求得双曲线 C 的实轴长 【解答】 解：由双曲线的渐近线方程 y= x， 则（ 0， 2）到渐近线 的距离 d= = = ， 则 c=3a，即 b=2 a， 由双曲线 C 过点 ， 即 ，解得： a=1， 则双曲线 C 的实轴长为 2a=2， 故选 A 8若 f（ x）为奇函数，且 y=f（ x） 一个零点，则下列函数中， ） A y=f（ x） e x 1 B y=f（ x） C y=f（ x） 1 D y=f（ x） 【考点】 52：函数零点的判定定理 【分析】 根据题意， y=f（ x） 一个零点，则有 f（ = ，结合函数的奇偶性依次分析选项，验证 不是其零点，即可得答案 【解答】 解：根据题意， y=f（ x） 一个零点，则有 f（ = ， 依次分析选项： 对于 A、 y=f（ x） e x 1，将 x= 入可得： y=f（ 1 0，不符合题意； 对于 B、 y=f（ x） ，将 x= 入可得： y=f（ +1= +1=0，即 定是其零点，符合题意， 对于 C、 y=f（ x） 1，将 x= 入可得： y=f（ 1= 1 0，不符合题意； 对于 D、 y=f（ x） ，将 x= 入可得： y=f（ +1= +1 0，不符合题意； 故选： B 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A B C 4 D 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】 由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体，底面为俯视图中的三角形，高为 2，即可求出体积 【解答】 解：由三视图可得，直观图为三棱锥和三棱柱的组合体， 底面为俯视图中的三角形，高为 2， 体积为 + = ， 故选 A 10函数 f（ x） =x+）（ 0， ）的部分图象如图所示，将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x）的图象，若函数 g（ x）在区间 （ ）上的值域为 1， 2，则 等于（ ） A B C D 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 由函数的最值求出 A，由周期求出 ，由五点法作图求出 的值，可得f（ x）的解析式再利用 y=x+）的图象变换规律，求得 g（ x）的解析式，结合条件，利用正弦函数的定义域和值域，求得 的值 【解答】 解：根据函数 f（ x） =x+）（ 0， ）的部分图象， 可得 A= 2， = = ， =2 再根据五点法作图可得 2 +=， = ， f（ x） = 22x+ ） 将函数 f（ x）的图象向右平移 个单位后得到函数 g（ x） = 22x + ）= 22x ）的图象， 若函数 g（ x）在区间 （ ）上， 2x ， 2 ， 由于 g（ x）的值域为 1， 2，故 22x ）的最小值为 1， 此时， 2 ） = ，则 2 = ，求得 = ， 故选： B 11已知椭圆 C： （ a b 0）的右焦点为 O 为坐标原点， M 为 A 是直线 椭圆 C 的一个交点，且 |2|则椭圆 C 的离心率为（ ） A B C D 【考点】 圆的简单性质 【分析】 取椭圆的左焦点为 接 题意可得 ，由 即可求解 【解答】 解：如图，取椭圆的左焦点为 接 依题意： |2|c，可得 ， a， 由 ， 则椭圆 C 的离心率为： ， 故选： D 12如图，矩形 ， E 为边 中点，将 直线 面 若 M、 O 分别为线段 中点，则在 转过程中，下列说法错误的是（ ） A与平面 直的直线必与直线 直 B过 E 作 G 平面 定值 C一定存在某个位置，使 三棱锥 接球半径与棱 长之比为定值 【考点】 2K：命题的真假判断与应用 【分析】 对于 A，延长 于 H，连接 用中位线定理和线面平行的判定定理，可得 平面 可判断 A； 对于 B，运用平行线的性质和解三角形的余弦定理，以及异面直线所成角的定义，即可判断 B； 对于 C，连接 用线面垂直的判定定理和性质定理，可得 直，即可判断 C； 对于 D，由直角三角形的性质，可得三棱锥 接球球心为 O，即可判断 D 【解答】 解：对于 A，延长 于 H，连接 E 为 中点， 可得 B 为 中点，又 M 为 中点，可得 面 面 平面 与平面 直的直线必与直线直，则 A 正确； 对于 B，设 a，过 E 作 G 平面 则 在 ， a， E= a， = a，则 定值，即 定值，则 B 正确； 对于 C，连接 得 有 平面 即有 平面 的射影为 可得 直，但 垂直 则不存在某个位置，使 C 不正确； 对于 D，连接 直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得 三棱锥 接球球心为 O，半径为 a， 即有三棱锥 接球半径与棱 长之比为定值则 D 正确 故选： C 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13一个袋中装有 1 红， 2 白和 2 黑共 5 个小球，这 5 个小球除颜色外其它都相同，现从袋中任取 2 个球，则至少取到 1 个白球的概率为 【考点】 举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】 记 1 个红球为 A， 2 个白球为 2 个黑球为 中任取 2个，利用列举法能求出至少取到 1 个白球的概率 【解答】 解：记 1 个红球为 A， 2 个白球为 2 个黑球为 从中任取 2 个的基本事件有 10 个，分别为： （ A， （ A， （ A， （ A， （ （ （ （ （ （ 其中至少取到 1 个白球的基本事件有 7 个， 故至少取到 1 个白球的概率为： p= 故答案为： 14已知实 数 x， y 满足条件 则 z= y+1） 2 的最小值为 5 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 先根据条件画出可行域， z= y+1） 2，再利用几何意义求最值，只需求出可行域内的点到点 B（ 0， 1）距离的最值，从而得到 z 最值即可 【解答】 解：先根据实数 x， y 满足条件 画出可行域， z= y+1） 2， 表示可行域内点 B 到 A（ 0， 1）距离的平方， 当 z 是点 A 到直线 2x+y 4=0 的距离的平方时， z 最小， 最小值为 =5， 给答案为： 5 15在 ， a、 b、 c 分别是角 A、 B、 C 的对边， 面积为 S，（ a2+b2）S，则 = 2 【考点】 弦定理 【分析】 由已知，利用三角形面积公式，余弦定理可得 a2+用正弦定理化简所求即可计算得解 【解答】 解：由于：（ a2+S， 可得： a2+， 可得： a2+ 则： = =2 故答案为： 2 16若函数 f（ x） =（ ax+a+1） a N）在区间（ 1， 3）只有 1 个极值点，则曲线 f（ x）在点（ 0， f（ 0）处切线的方程 为 x y+6=0 【考点】 6D：利用导数研究函数的极值； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 求出函数的导数，根据 f（ 1） f（ 3） 0，得到关于 a 的不等式，求出 a 的值，从而计算 f（ 0）， f（ 0）的值，求出切线方程即可 【解答】 解： f（ x） =ex 2 a） x+1， 若 f（ x）在（ 1， 3）只有 1 个极值点， 则 f（ 1） f（ 3） 0， 即（ a 4）（ 3a 16） 0， 解得： 4 a ， a N， 故 a=5； 故 f（ x） =5x+6）， f（ x） =3x+1）， 故 f（ 0） =6， f（ 0） =1， 故切线方程是： y 6=x， 故答案为： x y+6=0 三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分 明过程或演算步骤 .） 17已知等差数列 前 n（ n N*）项和为 ，且 Sn=，在等比数列 ， ， b3= （ ）求数列 通项公式； （ ）设数列 前 n（ n N*）项和为 ，求 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】 （ I）分别令 n=1， 2 列方程，再根据等差数列的性质即可求出 出 算 出公比得出 （ 出 据裂项法计算 【解答】 解：（ ） Sn=， ， a1= （ a1+= ， a1+a2=， 数列 等差数列， a1+ 2， 由 得 ， ， an=n， =2， ， 6， 公比 q= = 2， 或 2） n+1 （ ）由（ I）知 ， = ， =1+ = 18某校 100 名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是： 50， 60）， 60， 70）， 70， 80）， 80， 90）， 90， 100 （ 1）求图中 a 的值； （ 2）根据频率分布直方图，估计这 100 名学生语文成绩的平均分； （ 3）若这 100 名学生语文成绩某些分数段的人数（ x）与数学成绩相应分数段的人数（ y）之比如表所示，求数学成绩在 50， 90）之外的人数 分数段 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） x： y 1： 1 2： 1 3： 4 4： 5 【考点】 样本的频率分布估计总体分布； 率分布直方图； 数、中位数、平均数 【分析】 （ 1）由频率分布直方图的性质可 10（ 2a+=1，解方程即可得到 a 的值； （ 2）由平均数加权公式可得平均数为 55 5 5 5 5算出结果即得； （ 3）按表中所给的数据分别计算出数学成绩在分数段的人数，从总人数中减去这些段内的人数即可得出数学成绩在 50， 90）之外的人数 【解 答】 解：（ 1）依题意得， 10（ 2a+=1，解得 a= （ 2）这 100 名学生语文成绩的平均分为： 55 5 5 5 5 3（分）； （ 3）数学成绩在 50， 60）的人数为： 100 ， 数学成绩在 60， 70）的人数为： ， 数学成绩在 70， 80）的人数为： ， 数学成绩在 80， 90）的人数为： ， 所以数学成绩在 50， 90）之外的人数为： 100 5 20 40 25=10 19如图，四棱锥 P ， 底面 面 直角梯形， 0， C= ，点 E 在 ，且 （ ）已知点 F 在 ，且 证：平面 平面 （ ）若 面积是梯形 积的 ，求点 E 到平面 距离 【考点】 、线、面间的距离计算； 面与平面垂直的判定 【分析】 （ ）已知点 F 在 ，且 明 平面 可证明：平面 平面 （ ） E 到平面 距离即时 A 到平面 距离，利用 P 点 E 到平面 距离 【解答】 （ ）证明： C， 5， 底面 直角梯形， 0， 5，即 D， ， ， 四边形 平行四边形，则 底面 ， 平面 面 平面 平面 （ ）解： 底面 C， C， 取 中点为 G，连接 D=1 设 PA=x，连接 ， 侧面 面积是底面 倍， ，即 ，求得 ， E 到平面 距离即时 A 到平面 距离， P S S E 到平面 距离为 20已知 A 是抛物线 x 上的一点，以点 A 和点 B（ 2， 0）为直径的圆 C 交直线 x=1 于 M， N 两点直线 l 与 行，且直线 l 交抛物线于 P， Q 两点 （ ）求线段 长； （ ）若 = 3，且直线 圆 C 相交所得弦长与 |等，求直线 【考点】 物线的简单性质 【分析】 （ ） C 的方程为（ x 2）（ x +y（ y =0，令 x=1，得 1=0，利用韦达定理及弦长公式求线段 长； （ ）设直线 l 的方程为 x=my+n，代入抛物线方程，利用 = 3，求出 n，直线 圆 C 相交所得弦长与 |等，求出 m，即可求直线 l 的方程 【解答】 解：（ ）设 A（ ， 则 C 的方程为（ x 2）（ x +y（ y=0， 令 x=1， 得 1=0， | =2； （ ）设直线 l 的方程为 x=my+n，代入抛物线方程得 44n=0， y1+m， 4n = 3， + 3， 4n+3=0， n=1 或 3，此时 B（ 2， 0）到直线 l 的距离 d= 由题意，圆心 C 到直线 l 的距离等于到直线 x=1 的距离， = m= ， =64， =8， m=0， 直线 l 的方程为 x=3， 综上，直线 l 的方程为 x=1 或 x=3 21 已知函数 f（ x） =a（ a R）与函数 有公共切线 （ ）求 a 的取值范围； （ ）若不等式 x） +e 2 a 对于 x 0 的一切值恒成立，求 a 的取值范围 【考点】 6E：利用导数求闭区间上函数的最值； 6B：利用导数研究函数的单调性； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ ） ， 由函数 f（ x）与 F（ x）有公共切线，知函数 f（ x）与 F（ x）的图象相切或无交点由此能求出 a 的取值范围 （ ）等价于 a+e 2 0 在 x （ 0， + ）上恒成立，令 g（ x） =a+e 2 g（ x） = a，令 g（ x） =0，得 ，从而求出 g（ x）的最小值，令 ，由 =0，得 x=1，由此能求出 a 的取值范围 【解答】 解：（ ） ， 函数 f（ x）与 F（ x）有公共切线， 函数 f（ x）与 F（ x）的图象相切或无交点 当 两 函 数 图 象 相 切 时 ， 设 切 点 的 横 坐 标 为 0 ）， 则， 解得 或 1（舍去）， 则 f（ 2） =F（ 2），得 a=3， 由此求出 a 3，即 a 的取值范围为 3， + ） （ ）等价于 a+e 2 0 在 x （ 0， + ）上 恒成立， 令 g（ x） =a+e 2 因为 g（ x） = a，令 g（ x） =0，得 ， x g（ x） 0 + g（ x） 极小值 所以 g（ x）的最小值为 ， 令 ，因为 ， 令 t（ x） =0，得 x=1，且 x （ 0， 1） 1 （ 1， + ） t（ x） + 0 t（ x） 极大值 所以当 a （ 0， 1）时， g（ x）的最小值 ， 当 a 1， + ）时， g（ x）的最小值为 =t（