2017年江苏省高考数学预测卷（1）含答案解析

2017 年江苏省高考数学预测卷（ 1） 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 1已知全集为 R，集合 M= 1， 1， 2， 3， 4， N=x|x 3，则 M N= 2已知复数 z 满足 iz=3 4i（其中 i 为虚数单位），则 |z|= 3某校为了解 800 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 50 名同学进行检查，将学生从 1 800 进行编号，现已知第 17 组抽取的号码为 263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 4函 数 f（ x） =x+1） + 的定义域是 5袋中有 2 个黄球 3 个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得 1 分，取得白球得 2 分，两人总分和为 X，则 X=3 的概率是 6已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为 7将函数 的图象向右平移 m（ m 0）个单位长度，所得函数图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为 8已知双曲线 x2+（ n R）与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 9公差不为零的等差数列 前 n，若 0，则 于 10若 x， y 满足不等式 则 的最大值是 11已知椭圆 的左、右焦点分别为 与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，直线 椭圆的另一个交点为 C，若=0，则椭圆的离心率为 12已知 f（ x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（ x），若 2f（ x） f（ x） 2， f（ 0） =2018，则不等式 f（ x） 2017（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 13在平面内， ，动点 P， M 满足 ， ，则 的最大值是 14已知函数 ，关于 x 的方程 f（ x） =m（ m R）有四个不同的实数解 取值范围为 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 面积为 S， （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 ， ，求 b+c 的值 16在正三棱柱 ， D 是 中点，点 M 在 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 17由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据经验，潜水员下潜的平均速度为 v（米 /单位时间），每单位时间消耗氧气 （升），在水底作业 10 个单位时间，每单位时间消耗氧气 ），返回水面的平均速度为 （米 /单位时间），每单位时间消耗氧气 ），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为 y（升） （ 1）求 y 关于 v 的函数关系式； （ 2）若 c v 15（ c 0），求当下潜速度 v 取什么值时，消耗氧气的总量最少 18已知过点 且离心率为 的椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设点 P 是椭圆的左准线与 x 轴的交点，过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记椭圆 C 的左，右焦点分别为 下两个顶点分别为 线段 中点落在四边形 （包括边界）时，求直线 l 斜率的取值范围 19已知数列 前 n 项和为 n N*满足 ，且 ，正项数列 足 2 =n N*），其前 7 项和为 42 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 ，数列 前 n 项和为 对任意正整数 n，都有 n+a，求实数 a 的取值范围； （ 3）将数列 项按照 “当 n 为奇数时， 在前面；当 n 为偶数时，在前面 ”的要求进行排列，得到一个新的数列： b4， ，求这个新数列的前 n 项和 20已知函数 f（ x） = （ 1）求曲线 y=f（ x）与直线 2x+y=0 垂直的切线方程； （ 2）求 f（ x）的单调递减区间； （ 3）若存在 e， + ），使函数 g（ x） =f（ x） a 成立，求实数 a 的取值范围 数学 （理科加试） 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4何证明选讲 （本小题满分 0 分） 21如图， A， B， E 是 O 上的点，过 E 点的 O 的切线与直线 于点 P， 平分线和 别交于点 C， D求证： （ 1） E； （ 2） B 选修 4阵与变换 （本小题满分 0 分） 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵 1， 3）变换为（ 4， 16），求矩阵 M C 选修 4标系与参数方程 （本小题满分 0 分） 23以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度已知直线 l 的参数方程是 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程是 （ 1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，点 M 为 中点，点 P 的极坐标为 ，求 |值 D 选修 4等式选讲 （本小题满分 0 分） 24若实数 x， y， z 满足 4x+3y+12z=1，求 x2+y2+最小值 必做题 第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤 25底面是正方形的四棱锥中 P ，侧面 底面 中 D， E， F 分别为线段 中点，问在线段是否存在点 G，使得二面角 C G 的余弦值为 ，若存在，请求出点 G 的位置；若不存在，请说明理由 26设 i 为虚数单位， n 为正整数， 0， 2） （ 1）用数学归纳法证明：（ n= （ 2）已知 ，试利用（ 1）的结论计算 2017 年江苏省高考数学预测卷（ 1） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 1已知全集为 R，集合 M= 1， 1， 2， 3， 4， N=x|x 3，则 M N= 2， 3， 4 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 根据题意，分化简集合 B，进 而求其交集可得答案 【解答】 解：全集为 R，集合 M= 1， 1， 2， 3， 4， N=x|x 3=（ ， 3） （ 1， + ）， 则 M N=2， 3， 4， 故答案为： 2， 3， 4 2已知复数 z 满足 iz=3 4i（其中 i 为虚数单位），则 |z|= 5 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 【解答】 解：复数 z 满足 iz=3 4i（其中 i 为虚数单位）， iiz= i（ 3 4i）， z= 3i 4 则 |z|= =5 故答案为 ： 5 3某校为了解 800 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 50 名同学进行检查，将学生从 1 800 进行编号，现已知第 17 组抽取的号码为 263，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为 7 【考点】 单随机抽样 【分析】 根据系统抽样的特征，从 800 名学生从中抽取一个容量为 50 的样本，抽样的分段间隔为 16，结合从第 17 组抽取的号码为 263，可得第一组用简单随机抽样抽取的号码 【解答】 解： 从 800 名学生从中抽取一个容量为 50 的样本， 系统抽样的分段间隔为 16， 设第一部分 随机抽取一个号码为 x， 则抽取的第 17 编号为 x+16 16=263， x=7 故答案为： 7 4函数 f（ x） =x+1） + 的定义域是 （ 1， ） 【考点】 33：函数的定义域及其求法 【分析】 根据对数的真数大于 0，二次根式被开方数大于或等于 0，分母不为 0，列出不等式组求解集即可 【解答】 解：函数 f（ x） =x+1） + ， ， 解得 ， 即 1 x ； f（ x）的定义域为（ 1， ） 故答案为：（ 1， ） 5袋中有 2 个黄球 3 个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄 球得 1 分，取得白球得 2 分，两人总分和为 X，则 X=3 的概率是 【考点】 散型随机变量的期望与方差 【分析】 利用相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式求解 【解答】 解：当 X=3 时，甲取到黄球，乙取到白球或甲取到白球，乙取到黄球， 故 P（ X=3） = = 故答案为： 6已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为 【考点】 计程序框图解决实际问题 【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输 出 A 值模拟程序的运行过程，用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到最终的输出结果 【解答】 解：程序在运行过程中各变量的值如下表示： 是否继续循环 A n 循环前 / 1 第一圈 是 2 第二圈 是 3 第三圈 是 4 第四圈 是 5 第五圈 是 6 第 4n 圈 是 第 4n+1 圈 是 第 4n+2 圈 是 第 4n+3 圈 是 第 2007 圈 是 2008 第 2008 圈 是 2009 第 2009 圈 否 故最终的输出结果为： 答案为： 将函数 的图象向右平移 m（ m 0）个单位长度，所得函数图象关于 y 轴对称，则 m 的最小值为 【考点】 数 y=x+）的图象变换 【分析】 本题主要考查函数 y=x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题 【解答】 解：将函数 的图象向右平移 m（ m 0）个单位长度， 所得图象对应的函数为 y=2x 2m ）， 再根据所得图象关于 y 轴对称，可得 2m+ =， k Z，即 m= + ，则m 的最小值为 ， 故答案为： 8已知双曲线 x2+（ n R）与椭圆 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 y= x 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 根据 题意，由椭圆的方程可得其椭圆的焦点坐标，再由双曲线的几何性质可得 n 0，且 1+（ ） =4，解可得 n 的值，即可得双曲线的方程，由双曲线的几何性质，即可得答案 【解答】 解：根据题意，椭圆的方程为 ，其焦点在 x 轴上， 且 c= =2，即焦点在坐标为（ 2， 0）， 若双曲线 x2+ 的焦点在坐标为（ 2， 0）， 则有 n 0，且 1+（ ） =4， 则 n= ， 则双曲线的标准方程为： =1， 则其渐近线方程为： y= x； 故答案为： y= x 9公差不为零的等差数列 前 n，若 0，则 于 104 【考点】 85：等差数列的前 n 项和 【分析】 利用等差数列通项公式、前 n 项和公式和等比中项定义，列出方程组，求出 ， d=2，由此能求出 【解答】 解： 公差不为零的等差数列 前 n 项和为 等比中项， 0， ， 解得 ， d=2， =104 故答案为： 104 10若 x， y 满足不等式 则 的最大值是 2 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 画出满足条件的平面区域，求出 A 的 坐标，结合 的几何意义，求出其最大值即可 【解答】 解：画出 x， y 满足不等式 的平面区域，如图示： 由 ，解得 A（ 2， 4）， 而 的几何意义表示过平面区域内的点与原点的直线的斜率， 由图象得直线过 斜率最大， （ ） =2 故答案为： 2 11已知椭圆 的左、右焦点分别为 与 x 轴垂直的直线交椭圆于 A、 B 两点，直线 椭圆的另一个交点为 C，若=0，则椭圆的离心率为 【考点】 圆的简单性质 【分析】 由题意画出图形，求出 A 的坐标，结合向量加法的坐标 运算，求得 入椭圆方程可解 e 的值 【解答】 解：如图， 由题意， A（ c， ）， c， 0）， C（ x， y）， +2 =0，（ 2c， ） +2（ x+c， y） =0， y= ， x=2c C（ 2c， ），代入椭圆 ， + =1，由 b2= 整理得： 5c2=得 e= = 椭圆的离心率 故答案为： 12已知 f（ x）是定义在 R 上的函数，其导函数为 f（ x），若 2f（ x） f（ x） 2， f（ 0） =2018，则不等式 f（ x） 2017（其中 e 为自然 对数的底数）的解集为 【考点】 6A：函数的单调性与导数的关系 【分析】 构造函数 g（ x） =e 2x） e 2x，则 g（ x） 0， g（ x）单调递增，不等式 f（ x） 2017 两边同乘 e 2x 得出 g（ x） 2017，从而得出 x 的范围 【解答】 解：设 g（ x） =e 2x） e 2x， 则 g（ x） = 2e 2x） +e 2 x） +2e 2x= e 2x2f（ x） f（ x） 2， 2f（ x） f（ x） 2， g（ x） 0， g（ x）在 R 上单调递增 f（ x） 2017， e 2x） 2017+e 2x，即 g（ x） 2017， g（ 0） =f（ 0） 1=2017， x 2017 故答案为 13在平面内， ，动点 P， M 满足 ， ，则 的最大值是 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】 由 可知 边长为 2 的等边三角形， 为圆心的圆上，建立坐标系，设出 P 点坐标，求出 的坐标，根据模长公式即可得出 | |2 关于 的函数，利用三角恒等变换求出此函数的最大值即可 【解答】 解： ， =0， =0， =0， 等边三角形，设 边长为 a， = =6， a=2 | |=2， P 在以 A 为圆心，以 2 为半径的圆上， ， M 是 中点， 以 x 轴，以 中垂线为 y 轴建立坐标系， 则 B（ ， 0）， C（ ， 0）， A（ 0， 3）， 设 P（ 3+则 M（ ， + =（ + + | |2=（ + 2+（ + 2= =3+ ） + ， 当 + ） =1 时， | |2 取得最大值 故答案为 14已知函数 ，关于 x 的方程 f（ x） =m（ m R）有四个不同的实数解 取值范围为 （ 0， 1） 【考点】 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 作函数 的图象，从而可得 ，推出 范围即可求解结果 【解答】 解：作函数 的图象如下， 结合图象可知， 故 ， 令 2x=0 得， x=0 或 x= 2， 令 2x=1 得， x= 1； 故 （ 0， 1）， 故 （ 0， 1） 故答案为：（ 0， 1） 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15在 ，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c， 面积为 S， （ 1）求角 A 的大小； （ 2）若 ， ，求 b+c 的值 【考点】 角形中的几何计算 【分析】 （ 1）利用正弦定理化简已知条件，通过三角形内角求解 A 的大小即可 （ 2）由三角形的面积公式求出 ，再根据余弦定理即可求出 b+c 的值 【解答】 解：（ 1） 正弦定理可得 B 是三角形内角， 0， ， A 是三角形内角， A= （ 2） S= ， ， 由余弦定理 a2=b2+2得 3=b2+ b+c） 2 3 b+c） 2 6， b+c=3 16在正三棱柱 ， D 是 中点，点 M 在 （ 1）求证： 平面 （ 2）求证：平面 平面 【考点】 面与平面垂直的判定； 线与平面平行的判定 【分析】 如图以 A 为原点，以 y、 z 轴建立空间直角坐标系设 ，则 ， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2 ， 2， 0）， C（ 0， 4， 0） 0， 0， 8）， 2 ， 2， 8）， 0， 4， 8）， D（ ， 3， 0）， M（ 0， 4，1），利用向量法求解 【解答】 解：如图以 A 为原点，以 y、 z 轴建立空间直角坐标系 设 ，则 ， 则 A（ 0， 0， 0）， B（ 2 ， 2， 0） ， C（ 0， 4， 0） 0， 0， 8）， 2 ， 2， 8）， 0， 4， 8）， D（ ， 3， 0）， M（ 0， 4，1） （ 1）设面 法向量为 由 可取 ， ，则 平面 （ 2）设面 法向量为 ， 由 ，可取 由（ 1）得面 法向量为 ， = +（ 1） （ 3） +12 =0 ， 平面 平面 7由于渤海海域水污染严重，为了获得第一手的水文资料，潜水员需要潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据经 验，潜水员下潜的平均速度为 v（米 /单位时间），每单位时间消耗氧气 （升），在水底作业 10 个单位时间，每单位时间消耗氧气 ），返回水面的平均速度为 （米 /单位时间），每单位时间消耗氧气 ），记该潜水员完成此次任务的消耗氧气总量为 y（升） （ 1）求 y 关于 v 的函数关系式； （ 2）若 c v 15（ c 0），求当下潜速度 v 取什么值时，消耗氧气的总量最少 【考点】 36：函数解析式的求解及常用方法 【分析】 （ 1）分别计算潜入水底用时用氧量，水底作业时用氧量和返回水面用时用氧量，即可得到总用氧量的函数 y； （ 2）求导数 y，判断函数 y 的单调性，讨论 c 的取值，求出下潜速度 v 取什么值时消耗氧气的总量最少 【解答】 解：（ 1）由题意，下潜用时 单位时间， 用氧量为 +1 = +（升）， 水底作业时的用氧量为 10 （升）， 返回水面用时 =单位时间， 用氧量为 升）， 总用氧量为 y=+9（ v 0）； （ 2）求导数 y= =， 令 y=0，解得 v=10， 在 0 v 10 时， y 0，函数 y 单调递减， 在 v 10 时， y 0，函数 y 单调递增； 当 c 10 时，函数 y 在（ 0， 10）上递减， 在（ 10， 15）上递增， 此时 v=10 时用氧量最少； 当 c 10 时，函数 y 在 c， 15上递增， 此时 v=c 时，总用氧量最少 18已知过点且离心率为的椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2）设点 P 是椭圆的左准线与 x 轴的交点，过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M，N 两点，记椭圆 C 的左，右焦点分别为 下两个顶点分别为 线段 中点落在四边形 （包括边界）时，求直线 l 斜率的取值范围 【考点】 线与椭圆的位置关系 【分析】 （ 1）由过点 且离心率为的椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，列出方程组，求出 a=2， b=4，由此能求出椭圆 C 的方程 （ 2）设出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程联立，利用二次方程的韦达定理得到弦中点的坐标，根据中点在正方形的内部，得到中点的坐标满足的不等关系，求出 k 的范围 【解答】 解：（ 1） 过点且离心率为的椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上 设椭圆方程为 =1（ a b 0）， 则，解得 a=2， b=4， 椭圆 C 的方程为 =1 （ 2）椭圆 C 的左准线方程为 x= 4，所以点 P 的坐标为（ 4， 0）， 由题意知直线 l 的斜率存 在，所以设直线 l 的方程为 y=k（ x+4） 如图，设点 M， N 的坐标分别为（ （ 线段 中点为 G（ x0， 由，得（ 1+2628=0 由 =（ 162 4（ 1+2 328） 0，解得 k 因为 方程 的两根， 所以 x1+，于是 ， y0=k（ ） = 因为 0，所以点 G 不可能在 y 轴的右边， 又直线 程分别为 y=x+2， y= x 2 所以点 G 在正方形 Q 内（包括边界）的充 要条件为， 即，即， 解得 k ， 由 得： k 故直线 l 斜率的取值范围是 ， 19已知数列 前 n 项和为 n N*满足 ，且 ，正项数列 足 2 =n N*），其前 7 项和为 42 （ 1）求数列 通项公式； （ 2）令 ，数列 前 n 项和为 对任意正整数 n，都有 n+a，求实数 a 的取值范围； （ 3）将数列 项按照 “当 n 为奇数时， 在前面；当 n 为偶数时，在前面 ”的要求进行排 列，得到一个新的数列： b4， ，求这个新数列的前 n 项和 【考点】 8E：数列的求和； 8H：数列递推式 【分析】 （ 1）数列 前 n 项和为 n N*满足 ，且 ，可得数列 是等差数列，首项为 1，公差为 利用通项公式可得 用递推关系即可得出 项数列 足 2 =n N*），化为：（ + =+得 再利用等差数列的求和公式即可 得出 （ 2） =2+2 ，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出 （ 3） n=2k 时， 2k=（ a1+ +（ b1+ + n=2k 1 时， 2k 被 2 整除而不能被 4 整除时， 2k 2k 被 4 整除时， 2k 【解答】 解：（ 1）数列 前 n 项和为 n N*满足 ，且 ， 数列 是等差数列，首项为 1，公差为 =1+ （ n 1），解得 n 2 时， n 1= =n， n=1 时也成立 an=n 正项数列 足 2 =n N*），化为：（ + =+ 数列 等差数列，公差为 1 其前 7 项和为 42， 7 1=42，解得 +n 1=n+2 （ 2） =2+2 ， 数列 的前 n 项和n+2 + + + =2n+2 =2n+2 ， 2n+a，化为： 2 a， a 实数 a 的取值范围是 （ 3） n=2k 时， 2k=（ a1+ +（ b1+ + = + =k= +3 = n=2k 1 时， 2k 被 2 整除而不能被 4 整除时， 2k （ k+2）=k 2 2k 被 4 整除时， 2k k=k 20已知函数 f（ x） = （ 1）求曲线 y=f（ x）与直线 2x+y=0 垂直的切线方程； （ 2）求 f（ x）的单调递减区间； （ 3）若存在 e， + ），使函数 g（ x） =f（ x） a 成立，求实数 a 的取值范围 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性； 6E：利 用导数求闭区间上函数的最值； 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 （ 1）设出切点坐标，求出切线方程即可； （ 2）求出函数的导数，由 f（ x） 0 得 0 x 1 或 1 x e，即可求出单调递减区间； （ 3）由已知，若存在 e， + ），使函数 g（ x） a 成立，则只需满足当 x e， + ）， g（ x） a 即可 【解答】 解：（ 1） f（ x） = ， f（ x） = ， 设出切点坐标（ a， ）， 而曲线 y=f（ x）与直线 2x+y=0 垂直的切线的斜率 k= ， 故 = ，解得： a= 故切点坐标是：（ 故切线方程是： y （ x 即 x y+ ； （ 2） f（ x） = ， 由 f（ x） 0，得 0 x 1 或 1 x e， 所以函数 f（ x）的单调递减区间为（ 0， 1）和（ 1， e）； （ 3）因为 g（ x） = a+e） x， 由已知，若存在 e， + ），使函数 g（ x） =f（ x） 则只需满足当 x e， + ）， g（ x） a 即可， 又 g（ x） = a+e） x， 则 g（ x） = ， a e，则 g（ x） 0 在 x e， + ）上恒成立， g（ x）在 e， + ）上单调递增， g（ x） g（ e） = ， a ， a e， a e， a e，则 g（ x）在 e， a）上单调递减，在 a， + ）上单调递增， g（ x）在 e， + ）上的最小值是 g（ a）， g（ a） g（ e）， a e， 满足题意， 综上所述， a 数学 （理科加试） 选做题 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4何证明选讲 （本小题满分 0 分） 21如图， A， B， E 是 O 上的点，过 E 点的 O 的切线与直线 于点 P， 平分线和 别交于点 C， D求证： （ 1） E； （ 2） 【考点】 圆有关的比例线段 【分析】 （ 1）证明 得 可证明结论； （ 2）证明 = ， 平分线，得 = ，即可证明结论 【解答】 证明：（ 1） O 的切线， 平分线， E； （ 2） = ， 平分线， = ， B 选修 4阵与变换 （本小题满分 0 分） 22已知二阶矩阵 M 有特征值 =8及对应的一个特征向量 = ，并且矩阵 1， 3）变换为（ 4， 16），求矩阵 M 【考点】 征值与特征向量的计算 【分析】 设出矩阵，利用特征向量 的定义，即二阶变换矩阵的概念，建立方程组，即可得到结论 【解答】 解：设 ， 特征值 =8及对应的一个特征向量 = ，矩阵 M 将点（ 1， 3）变换为（ 4，16）， ，解得 ， M= C 选修 4标系与参数方程 （本小题满分 0 分） 23以直角坐标系的原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度已知直线 l 的参数方程是 （ t 为参数），曲线 C 的极坐标方程是 （ 1）写出直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）设直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点， 点 M 为 中点，点 P 的极坐标为 ，求 |值 【考点】 单曲线的极坐标方程 【分析】 （ 1）消去参数 t 得直线 l 的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化方法求曲线 C 的直角坐标方程； （ 2）求出 M， P 的直角坐标，即可求 |值 【解答】 解：（ 1）已知直线 l 的参数方程是 （ t 为参数），普通方程为y= +3， 曲线 C 的极坐标方程是 为 2 y （ 2）由直线与抛物线方程，消去 y 得 4 x 12=0 设 A（ B（ 则 中点 M（ 2 ， 9） 又点 P 的直角坐标为（ 2 ， 6）， 所以 |3 D 选修 4等式选讲 （本小题满分 0 分） 24若实数 x， y， z 满足 4x+3y+12z=1，求 x2+y2+