2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（文科）含答案解析

2017年四川省自贡市高考数学三诊试卷（文科） 一、选择题 1设集合 A=x N|， 0 x 2， B=x N|1 x 3，则 A B=（ ） A 1， 2 B 0， 1， 2， 3 C x|1 x 2 D x|0 x 3 2若从 2个滨海城市和 2个内陆城市中随机选取 1个取旅游，那么恰好选 1个滨海城市的概率是（ ） A B C D 3已知复数 z=1+i，则 等于（ ） A 2i B 2i C 2 D 2 4设变量 x， 目标函数 z=2x+4值是（ ） A 6 B 2 C 4 D 6 5阅读右边程序框图，当输入的值为 3时，运行相应程序，则输出 ） A 7 B 15 C 31 D 63 6已知数列 等差数列， 差为 d，若 =100，则 ） A B C 10 D 20 7设 m、 、 、 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 ， m ，则 m B若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 ， ，则 8设 内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c若 ，则 ） A B C D 9给出下列命题： 函数 y= 2x）是偶函数； 函数 y=x+ ）在闭区间上是增函数； 直线 x= 是函数 y=2x+ ）图象的一条对称轴； 将函数 y=2x ）的图象向左平移 单位，得到函数 y=中正确的命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何 体的表面积为（ ） A B C D +2 11已知函数 f（ x） = 27x+2，若 f（ +f（ a 2） 4，则实数 ） A（ ， 1） B（ ， 3） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 12已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0），过双曲线右焦点 直线与该双曲线的渐近线分别交于 M、 N若 |2|则该双曲线的离心率等于（ ） A B C 或 D 或 二、填空题 13设等比数列 公比 q= ，前 n，则 = 14已知向量 ， ，其中 | |= ， | |=2，且（ + ） ，则向量 ， 的夹角是 15关于函数 f（ x） =有下列三个命题： f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， + ）； f（ x）为奇函数； f（ x）在定义域上是增函数； 对任意 （ 1， 1），都有 f（ +f（ =f（ ） 其中真命题有 （写出所有真命题的番号） 16如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为 3米，宽为 通过断面上部为抛物线形，下部为矩形 隧 道已知拱口宽 F 的 4倍， 米若设拱口宽度为 能使载重卡车通过隧道时 三、解答题 17已知函数 f（ x） =4x ） +1 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求函数 f（ x）在区间上的最大值 18如图，圆锥的横截面为等边三角形 （ ）如果 ， 证： 平面 （ ）如果 0 ， ，求该圆锥的体积 19某超市计划每天购进某商品 若干件，该超市每销售一件该商品可获利润 80 元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 20 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 40元 （ ）若商店一天购进该商品 10 件，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：件， n N）的函数解析式； （ ）商店记录了 50 天该商品的日需求量 n（单位：件， n N），整理得下表： 日需求量 7 8 9 10 11 12 频数 5 7 10 14 10 4 若商店一天购进 10件该商品，以 50 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的 利润在区间内的概率 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 e= ，它的一个顶点的坐标为（ 0， 1） （ ）求椭圆 （ ）若椭圆 C 上存在两个不同的点 A、 B 关于直线 y= x+ 对称，求 面积的最大值（ 21已知函数 f（ x） = a+2） x+b（ a 0） （ 1）若函数 f（ x）在 x=1处的切线方程为 y=x 1，求实数 a， （ 2）在（ 1）的 a 2时，讨论函数 f（ x）的零点的个数 请考生在 22、 23二题中任选一题作答，如果多做 ，则按所做的第一题计分 22在直角坐标系 ，直线 l 过点 M（ 3， 4），其倾斜角为 45 ，以原点为极点，以 使得它与直角坐标系 =4 （ ）求直线 的普通方程； （ ）设圆 、 B，求 |值 23已知函数 f（ x） =|2x+1| |x| 2 （ ）解不等式 f（ x） 0 （ ）若存在实数 x，使得 f（ x） |x|+a，求实数 2017年四川省自贡市高考数 学三诊试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 A=x N|， 0 x 2， B=x N|1 x 3，则 A B=（ ） A 1， 2 B 0， 1， 2， 3 C x|1 x 2 D x|0 x 3 【考点】 1D：并集及其运算 【分析】化简集合 A、 B，根据并集的定义写出 A B 【解答】解：集合 A=x N|， 0 x 2=0， 1， 2， B=x N|1 x 3=1， 2， 3， 则 A B=0， 1， 2， 3 故选： B 2若从 2个滨海城市和 2个内陆城市中随机 选取 1个取旅游，那么恰好选 1个滨海城市的概率是（ ） A B C D 【考点】 典概型及其概率计算公式 【分析】先求出基本事件总数 n=4，再求出恰好选 1 个海滨城市包含的基本事件个数 m=2，由此能求出恰好选 1个海滨城市的概率 【解答】解：从 2个海滨城市和 2个内陆城市中随机选 1个去旅游， 基本事件总数 n=4 恰好选 1个海滨城市包含的基本事件个数 m=2， 恰好选 1个海滨城市的概率是 p= = 故选： D 3已知复数 z=1+i，则 等于（ ） A 2i B 2i C 2 D 2 【考点】 数代数形式的混合运算 【分析】复数代入表达式，利用复数乘除运算化简复数为 a+形式即可 【解答】解：因为复数 z=1+i， 所以 = = = =2i 故选 A 4设变量 x， 目标函数 z=2x+4 ） A 6 B 2 C 4 D 6 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 联立 ，解得 A（ 3， 3）， 化目标函数 z=2x+4y为 y= x+ ， 由图可知，当直线 y= x+ 过点 线在 12=6， 故选： D 5阅读右边程序框图，当输入的值为 3时，运行相应程序，则输出 ） A 7 B 15 C 31 D 63 【考点】 序框图 【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 x， n=4时不满足条件 n 3，退出循环，输出 1 【解答】解：模拟程序的运行，可得 x=3， n=1 满足条件 n 3，执行循环体， x=7， n=2 满足条件 n 3，执行循环体， x=15， n=3 满足条件 n 3，执行循环体， x=31， n=4 不满足条件 n 3，退出循环，输出 1 故选： C 6已知数列 等差数列， 差为 d，若 =100，则 ） A B C 10 D 20 【考点】 85：等差数列的前 【分析】由等差数列 得： = d= n+ 为等差数列，即可得出 【解答】解：由等差数列 得： = d= n+ 为等差数列， =100， + =100， 10d=1，解得 d= 故选： B 7设 m、 、 、 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A若 ， m ，则 m B若 m ， n ，则 m n C若 m ， n ，则 m n D若 ， ，则 【考点】 间中直线与平面之间的位置关系 【分析】 A：漏掉了 m B：根据线线垂直的判定可得结论是正确的 C：漏掉了 m 与 面的情况 D：可以举出墙角的例子 【解答】解： A：直线 内 B： 根据线线垂直的判定可得结论是正确的 C： m与 D： 与 也可以相交可以举出墙角的例子 故选 B 8设 内角 A， B， C 所对边的长分别为 a， b， c若 ，则 ） A B C D 【考点】 弦定理； 弦定理 【分析】根据题意，由正弦定理可得 a=2b，进而由余弦定理可得 a2+216，解可得 b 的值，进而可得 三角形面积公式计算可得答案 【解 答】解：根据题意， 有 a=2b， c2=a2+2416， 解可得 b= ，则 a=2b= ， 则 S ， 故选： A 9给出下列命题： 函数 y= 2x）是偶函数； 函数 y=x+ ）在闭区间上是增函数； 直线 x= 是函数 y=2x+ ）图象的一条对称轴； 将函数 y=2x ）的图象向左平移 单位，得到函数 y=中正确的命题的个数为（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考点】 数 y=x + ）的图象变换 【分析】利用诱导公式化简 ，然后判断奇偶性；求出函数 y=x+ ）的增区间，判断 的正误； 直线 x= 代入函数 y=2x+ ）是否取得最值，判断 的正误；利用平移求出解析式判断 的正误即可 【解答】解： 函数 y= 2x） =是奇函数，不正确； 函数 y=x+ ）的单调增区间是， k Z，在闭区间上是增函数，正确； 直线 x= 代入函数 y=2x+ ） = 1，所以 x= 图象的一条对称轴 ，正确； 将函数 y=2x ）的图象向左平移 单位，得到函数 y=2x+ ）的图象，所以 不正确 故选： B 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A B C D +2 【考点】 L!：由三视图求面积、体积 【分析】如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的，利用三角形面积计算公式即可得出 【解答】解：如图所示，该几何体由两个三棱锥组成的， 该几何体的表面积 S= +1 1+ + + = 故选： A 11已知函数 f（ x） = 27x+2，若 f（ +f（ a 2） 4，则实数 ） A（ ， 1） B（ ， 3） C（ 1， 2） D（ 2， 1） 【考点】 3N：奇偶性与单调性的综合 【分析】根据题意，令 g（ x） =f（ x） 2，则 g（ x） =f（ x） 2= 27x，分析可得g（ x）的奇偶性与单调性，则 f（ +f（ a 2） 4，可以转化为 g（ g（ a 2），结合函数的奇偶性与单调性分析可得 2 a，解可得 可得答案 【解答】解：根据题意，令 g（ x） =f（ x） 2， 则 g（ x） =f（ x） 2= 27x， g（ x） = 2（ x） 5（ x） 3 7（ x） =（ 27x），则 g（ x）为奇函数， 而 g（ x） = 27x，则 g （ x） = 1027 0，则 g（ x）为减函数， 若 f（ +f（ a 2） 4，则有 f（ 2 ， 即 g（ g（ a 2）， 即 g（ g（ 2 a）， 则有 2 a， 解可得 2 a 1， 即 2， 1）； 故选： D 12已知双曲线 C： =1（ a 0， b 0），过 双曲线右焦点 直线与该双曲线的渐近线分别交于 M、 N若 |2|则该双曲线的离心率等于（ ） A B C 或 D 或 【考点】 曲线的简单性质 【分析】求出双曲线的渐近线方程，讨论 b a 0，可得 N 为 中点当 a b 0 时，可得 = 2 ，求出直线 立渐近线方程可得 M， 得 b=3a或 a=3b，再由离心率公式即可得到所求值 【解答】解：双曲线 C： =1的渐近线方程为 y= x， 当 b a 0时，如右图 若 |2| 可得 由直线 y=x c，联立 y= x，可得 M（ ， ）， 由直线 y=x c，联立 y= x，可得 N（ ， ）， 由 F（ c， 0），可得 = ， 化简为 b=3a， 即有 e= = = = ； 当 a b 0时，如右图 若 |2|可得 = 2 ， 由直线 y=x c，联立 y= x，可得 M（ ， ）， 由直线 y=x c，联立 y= x，可得 N（ ， ）， 由 F（ c， 0），可得 = 2（ ）， 化简为 a=3b， 即有 e= = = = 则该双曲线的离心率等 于 或 故选： D 二、填空题 13设等比数列 公比 q= ，前 n，则 = 【考点】 8G：等比数列的性质 【分析】利用等比数列的通项与求和公式，即可求出 【解答】解： 等比数列 公比 q= ， = = = 故答案为： 14已知向量 ， ，其中 | |= ， | |=2，且（ + ） ，则向量 ， 的夹角是 【考点】 9R：平面向量数量积的运算 【分析】利用向量垂直的条件，结合向量数量积公式，即可求向 量 ， 的夹角 【解答】解：设向量 ， 的夹角为 ， | |= ， | |=2，且（ + ） ， （ + ） = + = +| | | +2 ， 解得 ， 0 ， = ， 故答案为： 15关于函数 f（ x） =有下列三个命题： f（ x）的定义域为（ ， 1） （ 1， + ）； f（ x）为奇函数； f（ x）在定义域上是增函数； 对任意 （ 1， 1），都有 f（ +f（ =f（ ） 其中真命题有 （写出所有真命题 的番号） 【考点】 4N：对数函数的图象与性质 【分析】由函数 f（ x） =），根据函数的各性质依次判断各选项即可 【解答】解：函数 f（ x） =）， 其定义域满足：（ 1 x）（ 1+x） 0，解得： 1 x 1， 定义域为 x| 1 x 1 不对 由 f（ x） =） 1= f（ x），是奇函数， 对 定义域为 x| 1 x 1函数 y= 在定义内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， f（ x）在定义域上是减函数； 不对 f（ +f（ = ） =f（ ） 对 故答案为 16如图所示，一辆装载集装箱的载重卡车高为 3米，宽为 通过断面上部为抛物线形，下部为矩形 隧道已知拱口宽 F 的 4倍， 米若设拱口宽度为 能使载重卡车通过隧道时 9 【考点】 物线的应用 【分析】建立如图所示的坐标系，求出抛物线的方程，即可求出求出能使载重卡车通过隧道时 【解答】解：建立如图所示的坐标系，则 B（ ， ）， 设抛物线 方程为 x2= ， a= t， 由题意， x=y= + 2， t=8， + 2， t=9， + 2， 能使载重卡车通过隧道时 故答案为 9 三、解答题 17已知函数 f（ x） =4x ） +1 （ ）求函数 f（ x）的最小正周期； （ ）求函数 f（ x）在区间上的最大值 【考点】 角函数的最值； 角函数的周期性及其求法 【分析】（ ）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=x + ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期 （ ） x 上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出 f（ x）的最大值 【解答】解：函数 f（ x） =4x ） +1 化简可得： f（ x） =441 = =22x ） +2 （ ） 函数 f（ x）的最小正周期 T= （ ） x 上时， 2x 当 2x = 时，函数 f（ x）取得最大值为 2 = 函数 f（ x）在区间上的最大值为 18如图，圆锥的横截面为等边三角形 （ ）如果 ， 证： 平面 （ ）如果 0 ， ，求该圆锥的体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面垂直的判定 【分析】（ ）连接 已知可得 由 得 平面 线面垂直的判定可得 平面 一步得到平面 平面面面垂直的性质可 平面 （ ）由 已知求解三角形可得 A=2， ，则 由已知体积公式求得圆锥的体积 【解答】（ ）证明：连接 ， 0 ， 平面 又 ， 平面 则平面 平面 又平面 平面 C， 平面 （ ）解： 0 ， ， ， A=2， ， 则 圆锥的体积 V= 19某超市计划每天购进某商品若干件，该超市每销售一件该商品可获利润 80 元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件商品亏损 20 元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获利 40元 （ ）若商店一天购进该商品 10 件，求当天的利润 y（单位：元）关于当天需求量 n（单位：件， n N）的函数解析式； （ ）商店记录了 50 天该商品的日需求量 n（单位：件， n N），整理得下表： 日需求量 7 8 9 10 11 12 频数 5 7 10 14 10 4 若商店一天购进 10件该商品，以 50 天记录 的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润在区间内的概率 【考点】 5D：函数模型的选择与应用 【分析】（ ）分类求出函数解析式，即可得出利润 （ ）利润在区间内，日需求量为 10、 11、 12，其对应的频数分别为 14、 10、 4，即可求出概率 【解答】解：（ ）当日需求量 n 10时， 利润为 y=80 10+（ n 10） 40=40n+400； 当日需求量 n 10时，利润为 y=80n（ 10 n） 20=100n 200 所以利润 y= （ ） 50 天内有 5天获得的利润为 500元，有 7 天获得的利润为 600元，有 10 天获得的利润为 700元，有 14天获得的利润为 800元，有 10天获得的利润为 840元，有 4天获得的利润为 880元 若利润在区间内，日需求量为 10、 11、 12，其对应的频数分别为 14、 10、 4 则利润在区间内的概率为 = 20已知椭圆 C： + =1（ a b 0）的离心率为 e= ，它的一个顶点的坐标为（ 0， 1） （ ）求椭圆 （ ）若椭圆 C 上存在两个不同的点 A、 B 关于直线 y= x+ 对称，求 面积的最大值（ 【考点】 线与椭圆的位置关系； 圆的标准方程 【分析】（ I）由题意可得： = ， b=1， a2=b2+立解得 a， b， （ 线 方程为： y=mx+n与椭圆方程联立化为：（ 1+22=0， 0，可得 1+2 A（ B（ 利用根与系数的关系可得线段 中点G ， 代 入 直 线 y= x+ ， 可 得 ： n= 利用| d= ，可得 S |d，再利用二次函数的单调性即可得出 【解答】解：（ I）由题意可得： = ， b=1， a2=b2+ 联立解得 a= ， b=c=1 椭圆 + （ 线 y=mx+n联立 ，化为：（ 1+22=0， =164（ 1+2 22） 0， 1+2 设 A（ B（ x1+， x1， 线段 ，代入直线 y= x+ ，可得： n= x1+m， x1， | = = d= = S |d= （ 1+2 令 1+2m2=t 1，则 S =f（ t），（ 1 t 4） 当 t=1+2 时，即 时， S 21已知函数 f（ x） = a+2） x+b（ a 0） （ 1）若函数 f（ x）在 x=1处的切线方程为 y=x 1，求实数 a， （ 2）在（ 1）的 a 2时，讨论函数 f（ x）的零点的个数 【考点】 6H：利用导数研究曲线上 某点切线方程； 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】（ 1）求出函数 f（ x）的导数，由已知切线的方程可得 f（ 1） =0， f （ 1） =1，解方程可得 a， （ 2）求出 f（ x）的导数，并分解因式，讨论 a=2， a 2，判断导数的符号，求得单调区间，由 f（ 1） =0，运用构造函数法，求出导数，判断单调性，即可得到所求结论 【解答】解：（ 1）函数 f（ x） = a+2） x+f （ x） =2 a+2） + ， 可得函数 f（ x）在 x=1处的切线斜率为 k=2a a 2+1=a 1， 由切线方程 y=x 1，可得 a 1=1，解得 a=2； 由 f（ 1） =a a 2+0+b=0，解得 b=2 （ 2） f（ x） = a+2） x+（ x 0， a 2）， 导数为 f （ x） =2 a+2） + = = ， 当 a=2时， f （ x） 0在（ 0， + ）恒成立， f（ x）在（ 0， + ）递增，由 f（ 1） =a a 2+0+2=0， 可得 f（ x）此时有一个零点； 当 a 2，即 0 时，由 f （ x） 0可得 x 或 0 x ；由 f （ x） 0可得 x 即有 f（ x）的增区间为（ 0， ），（ ， + ），减区间 为（ ， ）， 由 f（ 1） =0，可得 f（ x）在（ ， + ）有且只有一个零点，且 f（ ） 0