2017年5月云南省昆明市高考数学模拟试卷（文）含答案解析

2017 年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 一、选择题 1设集合 A=x Z|x 2， B=x|0 x 6，则 A B=（ ） A x|2 x 6 B x|0 x 6 C 0， 1， 2， 3， 4， 5 D 2， 3，4， 5 2 =（ ） A i B i C 1 D 1 3一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ） A 25 B 50 C 100 D 200 4 空气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度 分六级，从一级优（ 0 50），二级良（ 51100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于 300）下面是昆明市 2017 年 4 月份随机抽取的 10 天的 叶图，利用该样本估计昆明市 2018 年 4 月份质量优的天数（按这个月共 30 天计算）为（ ） A 3 B 4 C 12 D 21 5已知非零向量 ，满足 =0， |=3，且与 +的夹角为，则 |=（ ） A 6 B 3 C 2 D 3 6若 2，则 ） A B C D 7已知 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，点 P 在 C 的渐进线上， x 轴，若 等腰直角三角形，则 C 的离心率为（ ） A B C +1 D 8在 ，已知 3，则 上的高等于（ ） A 1 B C D 2 9定义 n!=1 2 3 n，例如 1!=1， 2!=1 2=2，执行右边的程序框图，若输入 =输出的 e 精确到 e 的近似值为 （ ） A 0我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于 5 世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）： “幂势既同，则积不容异 ” “势 ”是几何体的高， “幂 ”是截面面积意思是，若两等高的几何体在同高处截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现有一旋转体 D，它是由抛物线 y=x 0），直线 y=4 及 y 轴围成的封闭图形如图 1 所示绕 y 轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图 2 所示）则旋转体D 的体积 是（ ） A B 6 C 8 D 16 11已知函数 f（ x） =，若方程 f（ x） 恰有两个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0，） B ，） C（， D（ ， 0 ， + ） 12设 F 为抛物线 C： x，曲线 y=（ k 0）与 C 交于点 A，直线 与曲线 y=（ k 0）相切于点 A，直线 C 的准线交于点 B，则等于（ ） A B C D 二、填空题 13已知实数 x， y 满足，则 z=x+y 的最大值为 14已知函数 f（ x） =x+）（ 0）， A、 B 是函数 y=f（ x）图象上相邻的最高点和最低点，若 |2，则 f（ 1） = 15已知数列 前 n 项和为 n，若不等式 n 对任意的 nN*都成立，则实数 的取值范围为 16若关于 x 的不等式 a 3x+4 b 的解集恰好为 a， b，那么 b a= 三、解答题 17已知数列 足 ， =2n+1 （ ）证明数列 是等差数列； （ ）求数列 的前 n 项和 18某校为了解高一学生周末的 “阅读时间 ”，从高一年级中随机 调查了 100 名学生进行调查，获得了每人的周末 “阅读时间 ”（单位：小时），按照 0， ）， ， 4， 成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示 （ ）求图中 a 的值； （ ）估计该校高一学生周末 “阅读时间 ”的中位数； （ ）在 1， 2）这两组中采用分层抽样抽取 7 人，再从 7 人中随机抽取 2 人，求抽取的两人恰好都在一组的概率 19如图，已知三棱锥 P C=2， B，平面 平面 D、 E、 F 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）若 M 为 点，且 平面 三棱锥 P 体积 20已知动点 M（ x， y）满足： +=2， M 的轨迹为曲线 E （ ）求 E 的方程； （ ）过点 F（ 1， 0）作直线 l 交曲线 E 于 P， Q 两点，交 y 轴于 R 点，若 =1， =2，求证： 1+2 为定值 21已知函数 f（ x） =（ 2x2+x） 2a+1） a+1） x+b（ a， b R） （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 0 恒成立，求 b a 的最小值 请考生在 22、 23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 选修 4标系与参数方程 22在平面直角坐标系 ，曲线 C 的方程为（ x 2） 2+，直线 l 的方程为 x+y 12=0，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 （ ）分别写出曲线 C 与直线 l 的极坐标方程； （ ）在极坐标中，极角为 （ （ 0，）的射线 m 与曲线 C，直线 l 分别交于A、 B 两点（ A 异于极点 O），求的最大值 选修 4等式选讲 23已知 a， b， c， m， n， p 都是实数，且 a2+b2+， m2+n2+ （ ）证明 |am+bn+ 1； （ ）若 0，证明 + 1 2017 年云南省昆明市高考数学模拟试卷（文科）（ 5 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题 1设集合 A=x Z|x 2， B=x|0 x 6，则 A B=（ ） A x|2 x 6 B x|0 x 6 C 0， 1， 2， 3， 4， 5 D 2， 3，4， 5 【考点】 1E：交集及其运算 【分析】 由 A 与 B，求出两集合的交集即可 【解答】 解： 集合 A=x Z|x 2， B=x|0 x 6， A B=2， 3， 4， 5， 故选： D 2 =（ ） A i B i C 1 D 1 【考点】 数代数形式的乘除运算 【分析】 直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】 解： =， 故选： A 3一个四棱柱的三视图如图所示，若该四棱柱的所有顶点都在同一球面上，则这个球的表面积为（ ） A 25 B 50 C 100 D 200 【考点】 内接多面体； 的体积和表面积 【分析】 由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为 =5，可得球的半径为，即可求出这个球的表面积 【解答】 解：由题意，四棱柱为长方体，其对角线长为 =5 ， 球的半径为 ， 这个球的表面积为 =50， 故选： B 4 气质量指数）是报告每日空气质量的参数，描述了空气清洁或者污染的程度 分六级，从一级优（ 0 50），二级良（ 51100，），三级轻度污染，四级重度污染，直至无极重度污染，六级严重污染（大于 300）下面是昆明市 2017 年 4 月份随机抽取的 10 天的 叶图，利用该样本估计昆明市 2018 年 4 月份质量优的天数（按这个月共 30 天 计算）为（ ） A 3 B 4 C 12 D 21 【考点】 叶图 【分析】 通过读茎叶图求出空气质量是优的概率，从而求出 30 天空气质量是优的天数即可 【解答】 解：由茎叶图 10 天中有 4 天空气质量是优， 即空气优的概率是 p= = ， 故 30 天中有 30=12 天是优， 故选： C 5已知非零向量 ， 满足 =0， | |=3，且 与 + 的夹角为 ，则 | |=（ ） A 6 B 3 C 2 D 3 【考点】 9V：向量在几何中的应用； 9S：数量积表示两个向量的夹角 【分析】 利用向量 的加法的平行四边形法则，判断四边形的形状，推出结果即可 【解答】 解：非零向量 ， 满足 =0，可知两个向量垂直， | |=3，且 与 +的夹角为 ， 说明以向量 ， 为邻边， + 为对角线的平行四边形是正方形，所以则 | |=3 故选： D 6若 2，则 ） A B C D 【考点】 角函数的化简求值 【分析】 利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值 【解答】 解：= = = ， 故选 ： D 7已知 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点，点 P 在C 的渐进线上， x 轴，若 等腰直角三角形，则 C 的离心率为（ ） A B C +1 D 【考点】 曲线的简单性质 【分析】 利用双曲线的简单性质，通过三角形是等腰直角三角形，列出方程求解即可 【解答】 解： 双曲线 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦点， 点 P 在 C 的渐近线上， x 轴，若 等腰直角三角形， 可得： ，即： b=2a，可得 即 ， e 1， 解得 e= ， 则 C 的离心率为 故选： A 8在 ，已知 ， ， 3，则 上的高等于（ ） A 1 B C D 2 【考点】 弦定理的应用； 角形中的几何计算 【分析】 求出 余弦函数值，然后求解 距离，通过求解三角形求解即可 【解答】 解：在 ，已知 ， ， 3， 可得 = ， 由余弦定理可得：= =3， 设 上的高为 h， 三角形面积为： = BCh， h= =1 故选： A 9定义 n!=1 2 3 n，例如 1!=1， 2!=1 2=2，执行右边的程序框图，若输入 =输出的 e 精确到 e 的近似值为（ ） A 考点】 序框图 【分析】 模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的 e， n 的值，当 n=5 时满足条件退出循环，输出 e 的值即可得解 【解答】 解：模拟程序的运行，可得 =e=1， n=1 执行循环体， e=2， n=2 不满足条件 ，执行循环体， e=2+n=3 不满足条件 ，执行循环体， e=， n=4 不满足条件 ，执行循环体， e=+ ， n=5 由于 =足条件 ，退出循环，输出 e + = 故选： C 10我国南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上，于 5 世纪末提出了下面的体积计算的原理（祖暅原理）： “幂势既同，则积不容异 ” “势 ”是几何体的高， “幂 ”是截面面积意思是，若两等高的几何体在同高处 截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等现有一旋转体 D，它是由抛物线 y=x 0），直线 y=4 及 y 轴围成的封闭图形如图 1 所示绕 y 轴旋转一周形成的几何体，利用祖暅原理，以长方体的一半为参照体（如图 2 所示）则旋转体D 的 体 积 是 （ ）A B 6 C 8 D 16 【考点】 转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】 由题意， 4x=22，求出 x=，再求出长方体的一半的体积即可 【解答】 解：由题意， 4x=22， x=， 旋转体 D 的体积是 =8， 故选 C 11已知函数 f（ x） = ，若方程 f（ x） 恰有两个不同的根，则实数 a 的取值范围是（ ） A（ 0， ） B ， ） C（ ， D（ ， 0 ， + ） 【考点】 6H：利用导数研究曲线上某点切线方程； 54：根的存在性及根的个数判断 【分析】 由题意，方程 f（ x） =有两个不同实数根，等价于 y=f（ x）与 y= 个交点，又 a 表示直线 y=斜率，求出 a 的取值范围 【解答】 解： 方程 f（ x） 恰有两个不同实数根， y=f（ x）与 y= 2 个交点， 又 a 表示直线 y=斜率， x 1 时， y= ， 设切点为（ k= ， 切线方程为 y （ x 而切线过原点， ， x0=e， k= ， 直线 斜率为 ， 又 直线 y= x+1 平行， 直线 斜率为 ， 实数 a 的取值范围是 ， ） 故选： B 12设 F 为抛物线 C： x，曲线 y= （ k 0）与 C 交于点 A，直线 与曲线 y= （ k 0）相切于点 A，直线 C 的准线交于点 B，则 等于（ ） A B C D 【考点】 物线的简单性质 【分析】 先根据抛物 线的定义求出焦点坐标和准线方程，设 A（ 根据题意可求出 A（ 1， 2 ），继而求出答案 【解答】 解： F 为抛物线 C： x 的焦点，则 F（ 2， 0），其准线方程为 x= 2， 设 A（ y= ， k= y= ， 直线 斜率为 = =， = ， 解得 ， A（ 1， 2 ）， +2=3， ， = = ， = ， ， = ， 故选： B 二、填空题 13已知实数 x， y 满足 ，则 z=x+y 的最大值为 3 【考点】 7C：简单线性规划 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案 【解答】 解：由约束条件 作出可行域如图， A（ 0， 3）， 化目标函数 z=x+y 为 y= x+z， 由图可知，当直线 y= x+z 过 A 时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最大值为 3 故答案为： 3 14已知函数 f（ x） =x+ ）（ 0）， A、 B 是函数 y=f（ x）图象上相邻的最高点和最低点，若 |2 ，则 f（ 1） = 【考点】 角函数的最值 【分析】 由图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为 2 求出 ，可得函数的解析式，即可求出 f（ 1） 【解答】 解：由题意可得 =2 ， = ， 函数 f（ x） =x+ ）， f（ 1） = ， 故答案为： 15已知数列 前 n 项和为 n，若不等式 n 对任意的 nN*都成立，则实数 的取值范围为 （ ， 10 【考点】 8I：数列与函数的综合 【分析】 先根据 n 得到数列 以 4 为首项，以 4 为公差的等差 数列，再根据等差数列的求和公式得到 n+2不等式转化为 2（ n+ ） +2，根据基本不等式即可求出答案 【解答】 解： 数列 前 n 项和为 n， 当 n=1 时， ， 1=4n 4（ n 1） =4， 数列 以 4 为首项，以 4 为公差的等差数列， =2n+2 不等式 n 对任意的 n N*都成立， 2n+2 n 对任意的 n N*都成立， 即 2（ n+ ） +2， n+ 2 =4，当且仅当 n=2 时取等号， 2 4+2=10， 故实数 的取值范围为（ ， 10， 故答案为：（ ， 10 16若关于 x 的不等式 a 3x+4 b 的解集恰好为 a， b，那么 b a= 4 【考点】 74：一元二次不等式的解法 【分析】 画出函数 f（ x） = 3x+4 的图象，可知 f（ x） ；分类讨论： a 1 时，不等式 a 3x+4 b 的解集分为两段区域，不符合题意； 有 a 1 b，再利用 f（ a） =f（ b） =b，解得 a， b 的值 【解答】 解：画出函数 f（ x） = 3x+4= （ x 2） 2+1 的图象， 可得 f（ x） f（ 2） =1， 由图象可知：若 a 1，则不等式 a 3x+4 b 的解集分两段区域，不符合已知条件， 因此 a 1，此时 a 3x+4 恒成立； 又 不等式 a 3x+4 b 的解集为 a， b， a 1 b， f（ a） =f（ b） =b，可得 ， 由 3b+4=b，化为 316b+16=0，解得 b= 或 b=4； 当 b= 时，由 3a+4 =0，解得 a= 或 a= ，不符合题意，舍去； b=4，此时 a=0； b a=4 故答案为： 4 三、解答题 17已知 数列 足 ， =2n+1 （ ）证明数列 是等差数列； （ ）求数列 的前 n 项和 【考点】 8H：数列递推式； 8E：数列的求和 【分析】 （ ）根据数列的递推公式可得数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， （ ）由（ ）可得数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，再根据求和公式计算即可 【解答】 解：（ 1） ， =2n+1， = = +1 =1， =1， 数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， （ ）由（ ）可得 =n， =2n， 数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 故数列 的前 n 项和 =2n+1 2 18某校为了解高一学生周末的 “阅读时间 ”，从高一年级中随机调查了 100 名学生进行调查，获得了每人的周末 “阅读时间 ”（单位：小时），按照 0， ）， ， 4， 成 9 组，制成样本的频率分布直方图如图所示 （ ）求图中 a 的值； （ ）估计该校高一学生周末 “阅读时间 ”的中位数； （ ）在 1， 2）这两组中采用分层抽样抽取 7 人，再从 7 人中随机抽取 2 人，求 抽取的两人恰好都在一组的概率 【考点】 层抽样方法； 典概型及其概率计算公式 【分析】 （ ）求出高一学生周末 “阅读时间 ”在 0， 1）， ， 4， 概率，即可求图中 a 的值； （ ）确定 2 m m 2） = m 的值，即可估计该校高一学生周末 “阅读时间 ”的中位数； （ ）确定基本事件的个数，即可得出结论 【解答】 解：（ ）由题意，高一学生周末 “阅读时间 ”在 0， 1）， ，4， 概率分别为 由 1（ = a= （ ）设该校高一学生周末 “阅读时间 ”的中位数为 m 小时， 因为前 5 组频率和为 4 组频率和为 所以 2 m 由 m 2） = m= （ ）在 1， 2）这两组中的人分别有 15 人、 20 人，采用分层 抽样抽取 7 人，分别为 3 人、 4 人，再从 7 人中随机抽取 2 人，有 =21 种，抽取的两人恰好都在一组，有 =9 种，故所求概率为 19如图，已知三棱锥 P C=2， B，平面 平面 D、 E、 F 分别是 中点 （ ）证明： 平面 （ ）若 M 为 点，且 平面 三棱锥 P 体积 【考点】 柱、棱锥、棱台的体积； 线与平面垂直的判定 【分析】 （ ）由 B， D 为 点，可得 由面面垂直 的性质可得 平面 （ ）设 N，连接 线面垂直的性质得到 已知可得 直平分 M，求出 一步求得 三棱锥P 高，然后由三棱锥体积公式求得三棱锥 P 体积 【解答】 （ ）证明： B， D 为 点， 又平面 平面 线为 平面 平面 （ ）解：设 N，连接 平面 面 又 E， F 分别是 中点， N 为 中点，也是 中点， 直平分 M， 又 中位线，则 =1， 三棱锥 P 体积 20已知动点 M（ x， y）满足： + =2 ， M 的轨迹为曲线 E （ ）求 E 的方程； （ ）过点 F（ 1， 0）作直线 l 交曲线 E 于 P， Q 两点，交 y 轴于 R 点，若 =1 ，=2 ，求证： 1+2 为定值 【考点】 锥曲线的定值问题； 迹方程 【分析】 （ ）由已知，可得动点 N 的轨迹是以 C（ 1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆，根据定义可得， a、 c，可得曲线 E 的方程； （ ）设 P（ Q（ R（ 0， 由 =1 ， ，点 P 在 曲 线 E 上可得 ， 同 理 可 得 ： 由 可得 1、 2 是方程 x+2 2 的两个根， 1+2 为定值 4 【解答】 解：（ ）由 + =2 ，可得点 M（ x， y）到定点 A（ 1， 0）， B（ 1， 0）的距离等于之和等于 2 且 所以动点 N 的轨迹是以 C（ 1， 0）， A（ 1， 0）为焦点的椭圆， 且长轴长为 2 ，焦距 2c=2，所以， c=1， b=1， 曲线 E 的方程为： ； （ ）设 P（ Q（ R（ 0， 由 =1 ，（ =1（ 1 ， 过点 F（ 1， 0）作直线 l 交曲线 E 于 P， ， 同理可得： 由 可得 1、 2 是方程 x+2 2 的两个根， 1+2 为定值 4 21已知函数 f（ x） =（ 2x2+x） 2a+1） a+1） x+b（ a， b R） （ ）当 a=1 时，求函数 f（ x）的单调区间； （ ）若 f（ x） 0 恒成立，求 b a 的最小值 【考点】 6B：利用导数研究函数的单调性； 6D：利用导数研究函数的极值 【分析】 （ ）当 a=1 时， f（ x） =（ 4x+1）（ 1） =0，得 x=e x （ 0， e）时， f（ x） 0， （ e， + ）时， f（ x） 0即可得函数 f（ x）的单调区间； （ ）由题意得 f（ x） =（ 4x+1）（ a），（ x 0）可得函数 f（ x）的单调增区间为（ + ），减区间为（ 0， f（ x） 0 恒成立， b b a a，构造函数 g（ t） =t2+t t 0）， g（ t） = 可得 g（ t） g（ ） = 即可得 b a 的最小值 【解答】 解：（ ）当 a=1 时， f（ x） =（ 2x2+x） 32x+b（ x 0） f（ x） =（ 4x+1）（ 1），令 f（ x） =0，得 x=e x （ 0， e）时， f（ x） 0， （ e， + ）时， f（ x） 0 函数 f（ x）的单调增区间为（ e， + ），减区间为（ 0， e）； （ ）由题意得 f（ x） =（ 4x+1）（ a），（ x 0） 令 f（ x） =0，得 x= x （ 0， e a）时， f（ x） 0， （ + ）时， f（ x） 0 函数 f（ x）的单调