2011 年广州一模文科数学答案.pdf

1 2011 年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（文科）试题参考答案及评分标准 数学（文科）试题参考答案及评分标准 说明：说明：1参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数 参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解 法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照 评分标准给以相应的分数 2对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改 变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部 分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分只给整数分数，选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算共 10 小题，每小题 5 分，满分 50 分. 二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算本大题共 5 小题，考生作答小题，考生作答 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 20 分其中分其中 1415 题是选做题，考生只能选做一题415 题是选做题，考生只能选做一题 11. 300 12. 3 13. 32 14. 15. 2 3 三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） (本小题主要考查三角函数性质, 同角三角函数的基本关系、 两倍角公式等知识, 考查化归与转化 的数学思想方法和运算求解能力) (1) 解: 解: 2sin coscos2f xxxx sin2cos2xx 2 分 22 2sin2cos2 22 xx 3 分 2sin 2 4 x . 4 分 f x的最小正周期为 2 2 , 最大值为2. 6 分 (2) 解: 解: 2 83 f , 2 2sin 2 23 . 7 分 1 cos2 3 . 8 分 为锐角，即0 2 , 02. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 a a b c c c b d d c 2 2 2 2 sin21 cos 2 3 . 10 分 sin2 tan22 2 cos2 . 12 分 17（本小题满分（本小题满分 12 分）分） (本小题主要考查茎叶图、样本均值、样本方差、概率等知识, 考查或然与必然的数学思想方法， 以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解： 解： 1 107111 111 113 114122113 6 x 甲 1 107111 111 113 114122113 6 x 甲 , 1 分 1 108109110112115124113 6 x 乙 , 2 分 222222 2 1 107113111 113111 113113 113114113122113 6 s 甲 =21, 3 分 222222 2 1 108 113109113110113112113115 113124113 6 s 乙 88 3 , 4 分 x 甲 x乙, 22 ss 甲乙 , 5 分 甲车间的产品的重量相对较稳定. 6 分 (2) 解: 解: 从乙车间 6 件样品中随机抽取两件,共有 15 种不同的取法: 1089108110，10 ， 108112108115， 108124109110， 109112109115， 109124110112， 110115110124， 112115112124，,115124，. 8 分 设a表示随机事件“所抽取的两件样品的重量之差不超过 2 克”,则a的基本事件有 4 种: 1089108110，10 ，,109110，110112，. 10 分 故所求概率为 4 15 p a . 12分 18. （本小题满分（本小题满分 14 分）分） (本小题主要考查空间线面关系、锥体的体积等知识, 考查数形结合、化归与转化的数学思想方 法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力) （1）证明:证明:连接 1 bc,设 1 bc与 1 bc相交于点o,连接od, 四边形 11 bcc b是平行四边形, 3 e o d c1 a1 b1 c b a e o d c1 a1 b1 c b a 点o为 1 bc的中点. d为ac的中点， od为 1 abc的中位线, 1 /odab. 3 分 od平面 1 bc d, 1 ab平面 1 bc d, 1/ ab平面 1 bc d. 6 分 (2)解法 1解法 1: 1 aa平面abc, 1 aa 平面 11 aac c, 平面abc平面 11 aac c，且平面abc平面 11 aac cac. 作beac，垂足为e，则be 平面 11 aac c， 8 分 1 2abbb，3bc ， 在 rtabc中， 22 4913acabbc， 6 13 ab bc be ac ， 10 分 四棱锥 11 baac d的体积 111 11 32 vacad aa be 12 分 136 132 62 13 3. 四棱锥 11 baac d的体积为3. 14 分 解法 2: 解法 2: 1 aa平面abc,ab 平面abc, 1 aaab. 11 /bbaa, 1 bb ab. 1 ,abbc bcbbb, ab平面 11 bbc c. 8 分 4 取bc的中点e,连接de,则 1 /, 2 deab deab, de 平面 11 bbc c. 三棱柱 111 abcabc的体积为 1 1 6 2 vab bc aa, 10 分 则 1 1 111 326 d bcc vbc cc dev 1, 11 1 11111 111 2 323 abbc vbc bb abv . 12 分 而v 1 d bcc v 11 1 abb c v 1 1 b aac d v , 61 2 1 1 b aac d v . 1 1 3 b aac d v . 四棱锥 11 baac d的体积为3. 14 分 19（本小题满分（本小题满分 14 分）分） (本小题主要考查求曲线的轨迹方程、直线、圆、抛物线等知识, 考查数形结合、化归与转化、 函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解法 1:解法 1: 设动点p的坐标为, x y,依题意,得1pfx, 即 2 2 11xyx, 2 分 化简得: 2 4yx, 曲线 1 c的方程为 2 4yx. 4 分 解法 2:解法 2:由于动点p与点(1,0)f的距离和它到直线: l1x 的距离相等， 根据抛物线的定义可知, 动点p的轨迹是以点(1,0)f为焦点,直线l为准线的抛物线. 2 分 曲线 1 c的方程为 2 4yx. 4 分 （2）解:解: 设点t的坐标为 00 (,)xy,圆 2 c的半径为r， 点t是抛物线 2 1: 4cyx上的动点, 2 00 4yx( 0 0x ). 22 00 0atxay 6 分 22 000 24xaxax 5 2 0 244xaa . 2a ,20a,则当 0 2xa时,at取得最小值为21a, 8 分 依题意得 21a1a, 两边平方得 2 650aa, 解得5a 或1a (不合题意,舍去). 10 分 0 23xa, 2 00 412yx,即 0 2 3y . 圆 2 c的圆心t的坐标为 3,2 3. 圆 2 c与y轴交于,m n两点，且| 4mn , 22 0 | 24mnrx. 2 0 413rx. 12 分 点t到直线l的距离 0 1413dx, 直线l与圆 2 c相离. 14 分 20（本小题满分（本小题满分 14 分）分） (本小题主要考查数列、不等式等知识, 考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽 象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) （1）解：解：数列 n s是首项为1,公差为1的等差数列， 11 n snn . 2 n sn. 2 分 当1n时， 11 1as； 当n2时， 1nnn ass 2 2 1nn21n. 又 1 1a 适合上式. 21 n an. 4 分 （2）解：解： 21121 1 n nnnn b a sas 21121 1 n nnnn b a sas 1 21212121nnnn 1 21212121nnnn 6 1 21 212121nnnn 2121 22121 nn nn 111 22121nn . 6 分 1 n i i b 12n bbb 11111111 1 2223352121nn 11 1 221n 21 1 2 21 n n . 8 分 故要使不等式 1 n i i b 211 l n 对任意nn * n * 都成立， 即 21 1 2 21 n n 211 l n 对任意nn * n * 都成立， 得 211211 2 2121 nn n l nn 对任意nn * n * 都成立. 10 分 令 21 n n c n ，则 32 1 32 1212541 1 23 23 n n nncnnn cnn nn . 1nn cc . 11 3 3 nn ccc . 12 分 3 3 l . 实数l的取值范围为 3 , 3 . 14 分 另法另法: 1 1 2321 nn nn cc nn 12123 2123 nnnn nn 7 3233 254123 0 2123 nnnnn nn . 1nn cc . 11 3 3 nn ccc . 12 分 3 3 l . 实数l的取值范围为 3 , 3 . 14 分 21（本小题满分（本小题满分 14 分）分） (本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识, 考查函数与方程、分 类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识) (1) 解： 解： 00f，0c. 1 分 对于任意xr r 都有 11 22 fxfx , 函数 f x的对称轴为 1 2 x ，即 1 22 b a ，得ab. 2 分 又 f xx，即 2 10axbx对于任意xr r 都成立， 0a ,且 2 10b 2 10b， 1,1ba 2 f xxx 4 分 (2) 解： 解： 1g xf xx1g xf xx 2 2 1 11, 1 11,. xxx xxx 2 2 1 11, 1 11,. xxx xxx 5 分 当 1 x 时，函数 2 11g xxx的对称轴为 1 2 x ， 若 11 2 ，即02，函数 g x在 1 , 上单调递增； 6 分 若 11 2 ， 即2， 函数 g x在 1, 2 上单调递增， 在 11 , 2 上单调递减 7 分 8 当 1 x 时，函数 2 11g xxx的对称轴为 11 2 x ， 则函数 g x在 11 , 2 上单调递增，在 1 , 2 上单调递减 8 分 综上所述，当02时，函数 g x单调递增区间为 1 , 2 ，单调递减区间为 1 , 2 ； 9 分 当2时，函数 g x单调递增区间为 11 , 2 和 1, 2 ，单调递减区间为 1 , 2 和 11 , 2 10 分 (3)解：解： 当02时，由(2)知函数 g x在区间0,1上单调递增，