自动控制原理第五章频率响应法

5-6 频域稳定判据（奈氏判据） （1）根据闭环系统的开环频率特性判断闭环系统 稳定性的一种判据，当系统含某些非最小相 位环节(如延迟环节)也能判据。 （2）该判据可以通过实验法获得系统开环频率特性 来判断闭环系统的稳定性，使用方便。 （3）该判据能指出提高和改善系统动态性能的途径 (环节类型和参数变化)，因而这种方法在工程上 获得广泛的应用。 奈氏判据特点： 1 幅角原理 设n阶特征多项式 其中是特征多项式n个根。 用代替s，则 若D(s)有P个根位于s平面的右半平面，n-P个根位于s左半平面 当频率由变化到 时 ， 复数 的幅角增量为 ： 5.6.1 基于幅相特性曲线的稳定性判据 逆时针旋转为正 顺时针旋转为负 2 曲线对原点的包围，恰等于 曲线对(-1,j0)点的包围 图形向左平移1 0 0 3 直线 曲线 大园原点 小园大园 4 奈奎斯特稳定性判据 图5.41 典型反馈控制系统 开环传递函数 开环系统的特征方程为 其中开环传递函数的极点。 闭环传递函数 闭环系统的特征方程为 其中闭环传递函数的极点。5 引入辅助函数F(s),其定义为 辅助函数F(s)是闭环（分母）特征多项式和开环（分母 ）特征多项式之比 由幅角原理可得 6 （1）开环传递函数和闭环传递函数均不存在右半平面的极点 由幅角原理: （2）开环传递函数在s右半平面有P个极点 闭环传递函数在s右半平面有Z个极点 上式表明 ， 曲线绕坐标原点逆时针旋转 圈 。 由于 即曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转 圈 。 (0,j0)点 7 曲线对原点的包围，恰等于 曲线对(-1,j0)点的包围 当时，则有由 令则 时 曲线绕(-1,j0)点逆时针旋转 圈 。 所以，当由 小结： 把闭环传递函 数的极点Z用 开环传递函数 的极点P和曲 线绕(-1,j0) 点逆时针旋转 圈数N表示。 图形向左平移1 8 基于幅相特性的奈奎斯特稳定性判据 在幅相曲线图上，绘制由 的开环幅相曲线(奈氏曲线)， 闭环系统位于s右半平面上的极点个数为Z，则 P开环传递函数位于s右半平面的极点个数。 N开环幅相曲线包围(-1,j0)点的圈数， 逆时针包围为正，顺时针包围为负。 Z闭环系统位于s右半平面上的极点个数。 时，则闭环系统是稳定的 。 表明时闭环系统在s右半平面上无极点，则系统稳定。9 闭合曲线GH包围(-1,j0)点的圈数，仅仅与幅相曲线 R的确定方法 穿越实轴区间(-,-1)的次数有关。 把自上向下(逆时针)穿越这个区间的次数表示为 把自下向上(顺时针)穿越这个区间的次数表示为 幅相曲线在负实轴(-.-1) 区间的正负穿越如图所示 右图中 则 注意：若穿越时从这个区间的实轴上开始时 记为半次正(半次负)穿越。 10 稳定性分析举例 (1)开环传递函数不含积分环节（0型系统） 直接采用Z=P-2N的稳定性判据 例1 给出来三个开环传递函数不含有积分环节的 奈氏曲线，试判断系统的稳定性。 P=0, N=0 Z=P-2N=0 该闭环系统稳定。 （a）P0 奈氏曲线 11 (b ) P=0, Z=P-2N=2 闭环不系统稳定。 (c) P=1, Z=P-2N=0 闭环系统稳定。 奈氏曲线图 12 (2)开环传递函数含 个积分环节 型系统 绘制开环幅相曲线后，应从频率0+对应的点 开始，逆时针补画/4个半径无穷大的圆。 (a)=1,从 补画半径为无穷大的1/4园。 P=0, N=0，Z=0， 所以，闭环系统稳定。 例2.1 给出含有1个积分环节的开环系统幅相曲线 ，试判断系统的稳定性。 点逆时针 奈氏曲线图 13 P=0, N=0，Z=0， (b)由于2，从 点逆时针 补画半径为无穷大的半园。 所以，闭环系统稳定。 奈氏曲线图 例2.2 给出含有两个积分环节的开环系统 幅相曲线，试判断系统的稳定性。 14 P=0, N=-1，Z=2 该闭环不系统稳定。 P=1, N=-1/2， Z=1-2(-1/2)=2 虚线的终端落在负实轴上 该闭环系统不稳定。 (c)由于2，从 点逆时针 补画半径为无穷大的半园。 奈氏曲线图 (d)=1,从 点逆时针 补画半径为无穷大的1/4园。 15 (3) 开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析 例3 已知具有延迟环节的控制系统结构图如图5.47所 示，其中Gp(s)传递函数为 试分析其稳定性。 图（a） 系统结构图 图（b） 开环奈奎斯特曲线 解：分别取 的奈奎斯特曲线，如图5.47（b） 所示，其中 当 和 时系统是稳定的， 时系统临界稳定的， 时系统不稳定。 实际螺旋线 16 例4 已知最小相位系统的幅相频特性曲线，该曲 线与实轴的交点为A、B、C点，相应三点的频率为 试确定开环增益K的稳定范围。 K减小 解： 稳定范围： 17 例5 开环传递函数串联延迟环节的稳定性分析 临界稳定条件： 求得： 18 5.6.2 在对数坐标图上应用奈奎斯特稳定性 19 题题 号 开 环环 极点 穿越负实轴负实轴 次数 奈氏判据 闭环闭环 极点 闭环闭环 系统统 (1)P=0Z=P-2N=2 不稳稳定 (2)P=0Z=P-2N=0 稳稳定 (3)P=0Z=P-2N=2 不稳稳定 (4)P=0Z=P-2N=0 稳稳定 (5)P=0Z=P-2N=2 不稳稳定 (6)P=0Z=P-2N=0 稳稳定 (7)P=0Z=P-2N=0 稳稳定 (8)P=1Z=P-2N=0 稳稳定 (9)P=1Z=P-2N=1 不稳稳定 (10 ) P=1Z=P-2N=2 不稳稳定 P178 5.12 20 P179 5.13（1 ） 临界稳定条件： 试探法求得： 21 P179 5.13（2 ） 临界稳定条件1： 试探法求得： 幅相曲线穿越负实轴（1，0j）点 ： 临界稳定条件2： 22 P179 5.14 解 ： 稳定范围 ： 23 5.7 频域稳定裕度（量）相对稳定性 相对稳定性反映出系统稳定程度的好坏。闭环控 制系统相对稳定性（时域中，超调量 % ，根与虚轴 距离）可以通过开环频率特性加以描述。奈氏（幅相 ）曲线与临界点（1，0j）的靠近程度，可以用 来度量稳定裕度，在实际工程系统（控制、电子、通 信系统）中常用相角（位）裕度（量）和幅值裕度 （量）Kg=h表示。 一般来说，相角裕度和幅值裕度概念只适用于 最小相位控制系统(但可含滞后环节)。 24 举例 说明 a系统不稳定 (a)(b) b系统临界稳定 (-1,j0)为临界点 (c)(d) c、d系统稳定 幅相曲线越远离临界点， 系统的稳定程度越好 25 幅值裕度又称增益裕度(Gain Margin) 相角为-180点频率为相角交界频率 定义幅值裕度为 幅值裕度h的物理意义： 对于闭环稳定系统，如果系统开环幅频特性 再增大h倍，则系统将变为临界稳定状态。 h值越 大，保证系统稳定工作的前提下，允许开环增益 变化值特大。 若以分贝表示，则有 26 相角裕度又称相位裕度(Phase Margin) 设系统的截止频率为 定义相角裕度为 相位裕度的物理意义： 对于闭环稳定系统，如果开环相频特性再滞后 度，则系统将变为临界稳定。 为了使最小相位系统稳定，相角裕度必须为正 。在对数坐标图上的临界稳定点为0分贝和1800 27 系统临界稳定，见右图： G(j)曲线过(-1,j0)点时 G(j) =1 同时成立！ G(j) = -180o 0 j 1 -1 G(j) =0 =0+ 28 j 0 1 c x G(jc) G(jx) G(jc) G(jc) -？ = 180o G(jx) ？=1 幅值裕度h= G(jx) 1 相角裕度 =180o +G(jc) 稳定裕度的定义续1 -1 G(j) 稳定裕度的定义图示法 =0 =0+ 29 0dB -180o c xc G(jc) 20lg =1800+ G(jc)相角裕度: 幅值裕度:hdB=20lg 稳定裕度的定义续2 30 （a）稳定系统 -1 -1 （b）不稳定系统 31 0 dB 正幅值裕度 正相角裕度 0 dB 负相角裕度 负幅值裕度 (a)稳定系统 （b）不稳定系统 h h x x 32 相角裕度和幅值裕度小结： 相角裕度和幅值裕度是系统的极坐标图对(-1,j0)点 靠近程度的度量。这两个裕度可以作为设计准则。 最小相位系统的相位裕度和增益裕度都是正值时， 系统才是稳定的。负的裕度表示系统不稳定。 适当的相角裕度和幅值裕度可以防止系统参数变化 造成的影响，并且指明了频率值。 工程（实践）上满足 相角裕度: 控制系统的性能要求: 幅值裕度: 33 例： 已知系统的开环传递函数， 试计算K=4、10的稳定裕度。 34 35 P162 例5.15 已知单位负反馈二阶系统的开环传递函数为 试计算其相位裕量与阻尼比 的关系。 解： 36 P163 例5.16（图法、精确计算、近似计算 ） 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试计算K=2、20的相位裕量和幅值裕量。 解： 计算K=2：画出Bode图，由图读出相位裕量和幅值裕量;辅助计算 37 P163 例5.17 已知单位负反馈系统的开环传递 函数，试计算相位裕量和幅值裕量。 解：画出Bode图，由图读出相位裕量和幅值裕量;辅助计算 转角频率处900 38 例 一单位反馈系统的开环传递函数为 K=1时系统的相位裕度和增益裕度。要求通过增益K的调 整，使系统的增益裕度20lgKg=20dB，相位裕度 解： 即 相位穿越频率增益裕度 特