北师大版九年级数学上册教案汇总课件

1 北师大九年级数学上册教案汇总北师大九年级数学上册教案汇总 第一章 证明（二）3 三角形有关性质、定理及反证法3 知识要点3 易错易混点4 典型例题4 学习自评5 线段的垂直平分线与角平分线7 知识要点7 易错易混点7 典型例题8 学习自评9 第二章 一元二次方程13 一元二次方程13 知识要点13 易错易混点13 典型例题13 学习自评14 解一元二次方程的方法17 知识要点17 易错易混点18 典型例题18 2 学习自评19 一元二次方程的应用21 知识要点21 易错易混点21 典型例题21 学习自评22 第三章 证明（三）.25 平行四边形25 知识要点25 易错易混点25 典型例题25 学习自评26 特殊平行四边形28 知识要点28 易错易混点28 典型例题28 学习自评30 第四章 试图与投影.33 视图的特点与画法错误！未定义书签。错误！未定义书签。 知识要点33 易错易混点33 典型例题34 3 学习自评35 平行投影与中心投影 知识要点 。 易错易混点 。 典型例题 。 学习自评 。 第五章 反比例函数.39 反比例函数及其图像与性质39 知识要点39 易错易混点40 典型例题40 学习自评40 反比例函数的应用44 知识要点44 易错易混点44 典型例题44 学习自评44 第六章 频率与概率.49 频率与概率的关系49 知识要点49 易错易混点49 典型例题49 4 学习自评49 用试验的方法求概率50 知识要点50 易错易混点50 典型例题50 学习自评50 5 第一章第一章 证明（二）证明（二） 三角形有关性质、定理及反证法三角形有关性质、定理及反证法知识要点知识要点 三角形的性质与判定： 序 号 必记 项目 必记知识必记内容巧记方法 1公理 三角形全等的判 定公理 三边对应相等的两个三角形全等 两边及夹角对应相等的两个三角 形全等；两角及其夹边对应相等 的两个三角形全等 SSS SAS ASA 2定理 三角形全等的判 定定理 两角及其中一角的对边对应相等 的两个三角形全等 AAS 3公理 三角形全等的性 质 全等三角形的对应边相等、对应 角相等 4定理 等腰三角形的性 质的推论 等腰三角形的两个底角相等 等边对等 角 5定理 等腰三角形的判 定定理 等腰三角形顶角的平分线、底边 上的中线底边上的高互相重合 “三线合 一” 6 定 理 等边三角形的判 定定理 有一个角等于 60的等腰三角形 是等边三角形 7定理 有一个角等于 30的直角三角 在直角三角形中，如果有一个锐 角等于 30，那么它所对的直角 6 形的性质边等于斜边的一半 8定理 等边三角形的判 定定理 三个角都相等的三角形是等边三 角形 等角对等 边 9定理勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方 符号语言： 若 C=90， 则 c2=a2+b2 10概念互逆定理 如果一个定理的逆命题经过证明 是真命题，那么它也是一个定理， 这两个定理称为互逆定理 11定理 勾股定理的逆定 理 如果三角形的两边的平方和等于 第三边的平方，那么这个三角形 为直角三角形 符号语言 若，则 a2+b2=c2， C=90。 12定理 直角三角形全等 的判定定理 斜边和直角边对应相等的两个直 角三角形全等 HL 证明方法：综合法、反证法 综合法：审题：找出已知、求证的各量之间的关系；分析解题思路： 一般采用逆向思考，即从结论入手，追溯结论成立的理由。书写推理过 程，从已知入手，将分析过程倒着写出来 反证法：在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、 7 已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立的方法 称为反证法。 （步骤：提假设：假设命题的结论不成立，推矛盾：从假设出发，应 用正确的推论方法，得出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结 果；得结论：从而肯定命题的结论） 几种常见的结论和它的否定形式： “ab” “ab” “a=b” “ab”或“ab，ab” “ab” “a 与 b 相交” “点在直线上” “点在直线外” “至少有一个” “一个都没有” “至少有两个” “至多有一个” 互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件， 那么这两个命题称为互逆命题。（“条件”与“结论”交换） 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定 理，这两个定理称为互逆定理。 易错易混点易错易混点 1.如图 Z01，ABC 为 AD 为中线，BAD=DAC，求证：AB=AC。 ZM01ZM02 8 2.如图 Z02 所示，在ABC 中，AD 是它的角平分线，且 AB=AC，DE、DF 分别是垂直于 AB、AC，垂足为 E、F，求证 BE=CF。 典型例题典型例题 1.在ABC 中，AB=2，AC=，B=30，则BAC 的度数是2 _。 2.已 知： 如 图 Z03 所示，ABC 中 AB=AC，D 是 AB 上一点，过 D 作 DEBC 于 E，并与 CA 的延长线相交于 F。求证：AD=AF。 3.已知：如图 Z04，在 RtABC 中，C=90，BAC=30，求证： AB=2BC。 变形题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条 直角边所对的锐角等于 30. 已知： 求证： 4.如图 Z05 所示，在ABC 中，1=2，ABC=2C。求证： AB+BD=AC。 ZM03ZM04 9 5.如图 Z06，在ABC 中，CAB=90，C=30，AD 是 BC 边上 的高，BE 是ABC 的平分线，AD 与 BE 交于点 F，求证：AEF 是 等边三角形。 6.折叠矩形纸 ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使 AD 边与对 角线 BD 重合，得折痕 DG，如图 Z07，若 AB=2，BC=1，求 AG 的 长。 学习自评学习自评 1.ABC 中，AD、BE 分别是边 BC、AC 上的高，若EBC=BAD， 则ABC 一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三 角形 2.一个三角形三边之比为 3：4：5，则此三角形三边上的高之比为（ ） A. 3：4：5 B. 5：4：3 C. 20：15：12 D. 9：8：7 3.三角形三边长分别为 6，8，10，那么它的最短边上的高为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 4.直角三角形的斜边长为 13cm，面积为 30cm2，另两边分别为（ ） A. 5cm， 6cm B. 7.5cm，8cm C. 5cm，12cm D. cm，34 ZM05ZM06 ZM07 10 cm35 5.两个直角三角形中，如果有一条直角边对应相等，则（ ） 若斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若直角的平分线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 若斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等； 两个直角三角形都有一个锐角是 30，那么这两个直角三角形全等。 其中正确的命题有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6.已知直角三角形一锐角是 30，斜边长是 1，那么这个三角形的周长是（ ） A. B. 3C. D. 2 5 2 23 2 33 7.已知直角三角形两直角边之和是，斜边长为 2，则这个三角形的面6 积等于（ ） A. B. 1 C. D. 32 2 1 4 1 8.一个等腰三角形的顶角是 150，面积是 4cm，则它的腰长是 _cm。 9.等腰三角形的两条边长分别为 6cm 和 8cm，那么这个三角形的周长是 _cm。 10. 等腰ABC 中，腰 AB 上的中垂线与 AC 所在直线相交所得锐角为 50，则底角 B 的大小是_。 11. 在 RtABC 中，C=90，A=30，AB+BC=12cm，则 AB=_cm。 11 12. “正方形是矩形” ，它的逆命题是_。 13. 等腰三角形底边长 6cm，腰为 5，则它的面积为_。 14. 一个三角形的三条边长分别是 20，15，25，那么它的最长边上的高是 _。 15. 命题“一个三角形中至少有一个角大于 60” ，用反证法证时，应假设 “_” 。 16. 已知 a，b，c 为三角形 ABC 的三边，且满足 a2c2-b2c2=a4-b4,则三角形 ABC 的形状为_。 17. 命题“对顶角的平分线成一直线”的题设是_，结论 是_。 18. 已知直角三角形斜边上的中线为 1，周长为，求三角形的面积。62 19. 用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角。 20. 在ABC 中，a，b，c 分别是A、B、C 的对边，c- a=b，c+a=2b，判断ABC 的形状。 2 1 21. 如图 ZM08，在等边三角形 ABC 中，点 D、E 分别在边 BC、AB 上， 且 BD=AE，AD 与 CE 交于点 F。(1) 求证：AD=CE；(2) 求DFC 的 度数。 22. 如图 ZM09，AOB 是一钢梁，且AOB=10，为了使钢架更加牢 ZM08 ZM10ZM09 12 固，需在其内部添加一些钢管 EF、FG、GH添加的钢管长度都与 OE 相等，则最多能加多少根？ 23. 已知如图 ZM10，在 RtABC 中，AB=AC，A=90，点 D 为 BC 上任意一点，DFAB 于 F，DEAC 于 E，M 为 BC 的中点，试判断 MEF 的形状，并证明你的结论。 24. 求证：以 m2+n2，m2-n2，2mn 为边的三角形为直角三角形。 25. 已知等边ABC 和点 P，设点 P 到ABC 的三边的距离为 h1、h2、h3，ABC 的高为 h。 “若点 P 在ABC 的一边 BC 上（图 ZM11） ，此时 h3=0，可得结论 h1+h2+h3=h”请直接应用上述信息 解决下列问题。 当 P 点在ABC 内（图 ZM11） ，P 点在ABC 外（图 ZM 11）这两种情况时，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明，若 不成立，h1、h2、h3与 h 之间有怎样的关系，请写出你的猜想，不需证 明。 ZM11 13 线段的垂直平分线与角平分线线段的垂直平分线与角平分线 知识要点知识要点 序 号 必记 项目 必记知识必记内容巧记方法 1定理 线段垂直平分线 的性质 线段垂直平分线上的点到线段两 端点的距离相等 有了中垂 线，就有 了相等的 线段 2定理 线段垂直平分线 的判定 到线段两端点的距离相等的点在 线段的垂直平分线上 联想等腰 三角形的 “三线合 一” 3定理 三角形的三条边 上的垂直平分线 的性质 三角形的三边的垂直平分线相交 于一点，并且这一点到三个顶点 的距离相等 三边中垂 线共点 提示 有线段垂直平分线时，通常把垂直平分线上的点与 线段的两端点连接起来，利用等腰三角形的性质来 解决问题 4定理角平分线的性质 角平分线上的点到这个角两边的 距离相等 图形与符 号结合记 忆 14 5定理角平分线的判断 在一个角的内部，且到角两边距 离相等的点，在这个角的平分线 上 6定理 三角形的三条角 平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一 点，且这一点到三条边的距离相 等 三条角平 分线共点 易错易混点易错易混点 1.已知：如图 ZM12，DEAB，DFAC，垂足分别为 E、F，DE=DF，求证：AD 垂直平分 EF。 2.如图 ZM13，P 是AOB 的平分线上的一点，OC=OD，PC=2cm，求 PD 的长。 3.现有不在一条直线上的 A、B、C 三城. ZM13ZM12ZM14 15 （1）在 A、B 城间建一果品批发市场，使其到 A、B 两城距离相等，此 市场位置惟一么？它们的位置有什么关系？ （2）在 B、C 两城间建一水果仓库，使其到 B、C 两城距离相等.仓库 位置惟一么？它们的位置有什么关系？ （3）为减少运费，现将果品批发市场与仓库建在同一位置，并分别到 两城距离相等.应如何选址？画图说明. 典型例题典型例题 1.已知，如图 ZM14，在ABC 中，B=70，DE 是 AC 的垂直平分 线，且BAD：BAC=1：3，则C=_。 2.到三角形三个顶点距离相等的点是（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高线的交点 D. 三条中垂线的交点 3.如图 ZM15，已知ABC 中，AD 平分BAC，EF 垂直平分线 AD 交 BC 的延长线于 E，求证：(1) EAC=B； (2) DE2=CEBE. 16 4.如图 ZM16，已知ABC 中，A 的平分线与 BC 的垂直平分线 MD 交于点 D，DEAB 于 E，DFAC 交 AC 的延长线于 F。 求证：CF=(ABAC). 2 1 5.如图 ZM17 所示，在ABC 中，B=22.5，C=60，AB 的垂 直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 F，BD=，AEBC 于 E，求 EC 的26 长。 学习自评学习自评 1. 等腰三角形顶角为 100，两腰的垂直平分线交于 P，则 P 点在（ ） A. 在三角形内 B. 在三角形的底边上 C. 在三角形外 D. 与三角 形的边长有关 2. 在ABC 中，AB=AC，BC=5cm，作 AB 的 垂直平分线交另一腰 AC 于点 D，连接 BD， 若BCD 的周长是 17cm，则腰长为（ ZM17ZM15ZM16 ZM18 17 ） A. 12cm B. 6cm C. 7cm D. 5cm 3. 如图所示 ZM18，ABC 中，BAC=118，若 DE、FG 分别垂直平 分 AB 和 AC，则EAF 等于（ ） A. 68 B. 56 C. 48 D. 34 4. 如图 ZM19，直线 l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货 物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选 择的地址有（ ） A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处 5. 在ABC 中，O 是 A 的平分线与 B 的平分线的交点， 有如下结论：点 O 到 AC 边，AB 边的距离相等； 点 O 到 AB 边，BC 边距离相等；点 O 到 AC 边，BC 边的距离相 等；点 O 到 AB，AC，BC 边的距离都相等。 其中正确的结论有（ ） A. 一个 B. 二个 C. 三个 D. 四个 6. 如图 ZM20 所示，在等腰直角三角形 ABC 中，C=90， AC=6，D 是 AC 上一点，DEAB 于 E，5DE=BE，则 AD 的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 2222 7. 等腰三角形底边长为 5cm，一腰上的中线把其周 长分为两部分，其差为 3cm，则腰长为（ ） ZM19 ZM20 18 A. 2cm B. 8cm C. 8cm 或 2cm D. 7cm 8. 下列命题中真命题的个数是（ ） (1) 如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶 点的直线必垂直于底边. (2) 如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线 段的两个点与顶点的距离相等 (3) 等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等 (4) 等腰三角形高上一点到底边的两端点的距离相等 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9. 等腰三角形的底边长为 a，顶角是底角的 4 倍， 其腰上的高是（ ） A. B. C. D. a 2 3 a 3 3 a 6 3 a 2 1 10. 如图 ZM21，已知在ABC 中，ACB=90， 点 O 为ABC 的三条角平分线的交点， ODBC，OEAC，OFAB，点 D、E、F 是垂足，且 AB=10，BC=8，则点 O 到三边 AB、AC 和 BC 的距离分别是（ ） A. 2，2，2 B. 3，3，3 C. 4，4，4 D. 2，3，4 11. 如图 ZM22，已知 BD 是ABC 的平分线，DEAB 于 E，S ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，则 DE 的长为_。 ZM21 19 12. 如图 ZM23，在ABC 中，B=115，AC 边的垂直平分线 DE 与 AB 边交于点 D，且ACD：BCD=5：3，则 ACB=_。 13. 如图 ZM24，在ABC 中，C=90， AC=BC，AD 平分BAC 交 BC 于 D，DEAB 于 E，且 AB=10cm，则DEB 的周长是 _cm。 14. 在ABC 中，AB=AC，A=90，斜边 BC 的中线与 AB 的垂直平分 线交于点 P，若 BC=16cm，则点 P 的三个顶点的距离之和为 _。 15. 如图 ZM25 所示，点 B 是线段 AC 的中点，过点 C 的直线 l 与 AC 成 60的角，在直线 l 上取一点 P，使得APB=30，则满足条件的 点 P 有（ ） A. 3 个 B. 2 个 C. 1 个 D. 不存在 16. 命题“线段垂直平分线上的点，到这条线段两个端点的距离相等”的逆 命题是_。 17. 如图 ZM26，在四边形 ABCD 中，A=135，B=D=90， BC=，AD=2，则四边形 ABCD 的面积是32 ZM22ZM24ZM23 ZM26 ZM25 20 _。 18. 点 P 是AOB 内一点，作 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接 P1P2 交 OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2=5cm，则PMN 的周长是 _。 19. 已知在ABC 中，A=40，B、C 的平分线 BE、CF，交于点 O，则BOF=_。 20. 如图 ZM27，在ABC 中，C=90，B=15，AB 的垂直平分线交 BC 于 D，交 AB 于 E，DB=10，则 AC=_。 21. 如图 ZM28，BAC=30，P 为BAC 的平分线上任意一点， PDAC 于 D，PEAC 交 AB 于 E，求的值。 AE PD 22. 如图 ZM29，在ABC 中，AB、AC 的垂直平分线交 BC 于 E、F， 垂足分别为 M、N， (1) 若ABC 的周长为 18cm，且 AB:CA=2:3，求AEF 的周长； (2) 若BAC+EAF=150，求BAC。 23. 已知 ZM30：如图所示，E，D 分别是 AB，AC 上的点，EBC 与 BCD 的平分线交于点 M，BED，DEC 的平分线交于点 N，那么 A、M、N 三点能否在同一条直线上？给出判断并证明你的结论。 ZM27ZM28ZM29 21 24. 已知：如图 ZM31，在ABC 中，ACB=90，BAC=30， ABD 和ACE 都是等边三角形，F 是 AB 的中点，DE 交 AB 于点 M， 求证: (1) DF=AC；(2) MD=ME。 25. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成 气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市 A 的正南方向 220 千米 B 处有一台风中心，其中心最大风为 12 级，每远离台风中心 20 千米，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以 15 千米/时的速度沿 北偏东 30方向往 C 移动，且台风中心，风力不变，若城市所受风力 达到或超过 4 级，则称为受台风影响。 (1) 该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由。 (2) 若会受到影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3) 该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 26. 如图 ZM32，ABC 中， ZM31ZM30 ZM33ZM32ZM34 ZM35 ZM36 22 B=2C，ADBC 于 D，求证：CD=AB+BD。 一变：ABC 中，ABC=2C，ADBC 于 D，延长 CB 到 N，使 BN=AB，连接 AN，如图 ZM33，求证：CD=AB+BD。 二变：ABC 中，B=2C，ADBC 于 D，作 AC 的中垂线分别交 AC 于 G，交 CD 于 H，连接 AH，如图 ZM34 求证：CD=AB+BD。 27. (1)如图 ZM35，在 ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分 别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你写出 FE 与 FD 之间的数量关系，并证明。 (2) 如图 ZM36，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而以上中其他 条件不变，请问，你在(1)中所的结论是否仍然成立？若成立，请证明； 若不成立，请说明理由。 28. 如图 ZM37 所示，ABC 中， AC=BC=2，ACB=90，D 是 BC 边的中点，E 是 AB 边上一动点，则 EC+ED 的最小值是_。 ZM23 ZM37 23 第二章第二章 一元二次方程一元二次方程 一元二次方程一元二次方程 知识要点知识要点 一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是 2 的整式方 程。 经过整理后，一个一元二次方程可化简为 ax2+bx+c=0(a0)，即它的一般形 式：ax2+bx+c=0(a0)。 应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若 ax2+bx+c=0 是一元二次方 程，则有 a0； (2) 若 a0(b、c 可以为零)，则 ax2+bx+c=0 是一元二次 方程。 判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：含有一个未知数并 且未知数的最高次数是 2;必须是整式方程；二次项系数不能为零。简 而言之是指经化简后，若符合 ax2+bx+c=0(a0) ，则为一元二次方程，否 则不是。 估计一元二次方程的解：能使一元二次方程两边相等的 x 的值是一元二次 方程的解，估计一元二次方程的解，只是估计“解”的取值范围，比如在 哪两个数之间。 方法：当相邻两个整数，一个使 ax2+bx+c0 ，一个使 ax2+bx+c0，则一 元二次方程的解就介于这两个数之间。认真观察代数式的特点和取值走向， 才能很快找到这样的两个相邻整数。 24 易错易混点易错易混点 1. 下列关于 x 的方程：(1) ax2+bx+c=0 ；(2)；(3)；(4)5 3 2 a a032 2 xx 中，一元二次方程的个数是（ ）02 23 xxx A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 2. 判断方程 m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1 是不是关于 x 的一元二次方程。 (1)一变：若方程 m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1 是关于 x 的一元二次方程，则 m 应满足_。 (2) 二变：若方程 m2(x2+m)+2x=x(x+2m)-1 是关于 x 的一元一次方程， 则 m 的值为_。 3. m 为何值时，关于 x 的方程是一元二次方程？0231 1 2 mxxm m 典型例题典型例题 1. 下列方程是关于 x 的一元二次方程的是（ ） A. ax2+bx+c=0 B. k2x+5k+6=0 C. D. (m2+3)x2+2x-2=00 2 1 4 2 3 3 3 xx 2. 若下列方程是关于 x 的一元二次方程，求出 m 的取值范围。 (1) ； (2) 5112 2 xmxm03271 24 mxxm m 3. 某城市 2003 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐 25 年增加，到 2005 年底增加到 363 公顷，设绿化面积平均每年的增长率 为 x，由题意，所列方程正确的是（ ） A. 300(1+x)=363 B. 300(1+x)2=363 C. 300(1+2x)=363 D. 363 (1- x)2=300 4. 某种产品，原来每件产品成本是 700 元，由于连续两次降价，现在成本 为 448 元，如果每次降低成本的百分数相同，求每次降低成本百分之多 少？若设每次降低成本的百分数为 x，则第一次降低成本后的成本为 _，第二次降低成本后的成本为_，这样可列方 程得_。 5. 已知：直角三角形的周长为，斜边上的中线长为 1，试求这个直62 角三角形的面积。 6. 如图 Y201所示，用一块长 80cm，宽 60cm 的薄钢片，在四个角上 截去四个相同的小正方形，然后做成 如图 Y201所示的底面积为 1500cm2的没盖的长方体盒子。想一 想：应怎样求出截去的小正方形的边 长？ 若设小正方形的边长为 x cm，那么这个盒子的底部的长及宽分别为 _cm 和_cm，根据题意，可得方程 _整理成一般形式得_。 Y201 26 学习自评学习自评 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） ax2=bx； ； 3 1 2 2 3 2 xx0122xx02 1 2 x x ；11 2 yy813 2 xxx A. B. C. D. 2. 某学校计划在一块长 8 米，宽 6 米的矩形草坪的中央划出面积为 16 平 方米的矩形地块栽花，使矩形四周的草地的宽度都一样，求四周草地的 宽度应为多少？设矩形四周留下草地的宽为 x 米，根据题意下列方程不 正确的是（ ） A. 48-(16x+12x-4x2)=16 B. 16x+2x(6-2x)=32 C. (8-x)(6-x)=16 D. (8-2x)(6-2x)=16 3. 若关于 x 的一元二次方程的一个根是 0，则 a 的值为011 22 axxa （ ） A. 1 B. -1 C. 1 或-1 D. 2 1 4. 某地 2004 年外贸收入为 2.5 亿元，2006 年外贸收入达到了 4 亿元，若 平均每年的增长率为 x，则可列出方程为（ ） A. 2.5(1+x)2=4 B. (2.5+x%)2=4 C. 2.5(1+x)(1+2x)=4 D. 2.5(1+x%)2=4 5. 若关于 x 的方程是一元二次方程，则0322xxm m m=_。 6. 方程 x2-2x-1=0 的近似解是_.(结果精确到十分位) 7. 当 x_时，代数式 x2-4x+3 的值等于 0. 27 8. 某高新技术生产的生产总值，两年内由 50 万元增加到 75 万元。若每年 产值的增长率相同，设增长率为 x，则可列方程为_。 9. 已知 a0，ab，且 x=1 是方程 ax2+bx-10=0 的一个解，则的值 ba ba 22 22 是_。 10. 已知：方程，当 m_时，它是一元043264 22 mxmxm 二次方程，当 m_时，它是一元一次方程。 11. 一口井直径为 1.5 米，用一根竹竿直 插入井底，竹竿高出井口半米，如 果把竹竿斜插入井口，竹竿刚好与 井口平。 （如图 Y202 所示）求竹 竿的长度，设竹竿长 x 米，则井深 为_米，可列方程为_。 12. 如图 Y203，相框长为 10cm，宽为 6cm，内有宽度相同的边缘木板， 里面用来夹照片的面积为 32cm，则相框的边缘宽为多少 cm？ (1) 若设相框的边缘宽为 x cm，可得方程_(一般形式)； (2) 分析 x 的取值范围； (3) 完成表格 x01234 (1)中 ax2+bx+c (4) 根据上表判断相框的边缘宽是多少厘米？ 13. 已知 x=1 是关于 x 的方程 x2-ax+1=0 的根，化简： Y202Y203 28 。 22 6912aaaa 14. 一个长方形的周长是 30cm，面积是 54cm2，求这个长方形的长和宽。 15. 若是关于 x 的一元二次方程，则 a、b 的值各是多少？032 2 baba xx 甲同学的解答结果是： 由题意，得：，解得 1 22 ba ba 0 1 b a 乙同学的解答结果是： 由题意，得：或 2 12 ba ba 1 22 ba ba 解得或 1 1 b a 0 1 b a 你认为他们的解答正确吗？如果不正确，请说明理由，并给出正确答案。 16. 在宽 20m，长 32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路。 （如图 Y2 04 所示）把耕地分成大小相等的六块试验地，要使试验地总面积变为 570m2，那么道路的宽应为多少米？（道路宽取整数） 17. 如图 Y205，在ABC 中，B=90，AB=6cm，点 P 从 A 点开始沿 AB 边向 B 点以 1cm/s 的速度 移动，点 Q 从 B 点开始沿 BC 边向 C 点以 2cm/s 的速度移动， 设 P、Q 到各边端点处即停止 运动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，经过几秒钟，PBQ 的面积等于 8cm2?根据这一问题 列出方程。 Y204Y205 29 30 解一元二次方程的方法解一元二次方程的方法 知识要点知识要点 直接开平方法：对于形式如（n0）的方程，根据平方根的意nmx 2 义，即两边同时开平方，变形为，得到两个一次方程，解一次方nmx 程得到未知数的值。 配方法：把一元二次方程通过配成完全平方式的方法转化为的nmx 2 形式，从而得到这个一元二次方程的根。步骤如下： (1)把常数项移到方程的右边； (2) 把二次项系数化为 1，(如果二次项系数不是 1，给方程两边同除以二次 项系数) (3) 给方程两边都加上一次项系数的一半的平方 (4) 方程左边是一个完全平方式，将方程变形为的形式nmx 2 在中，当时，方程有两个不相等的实数根nmx 2 0n 。nmxnmx 21 , 当时，方程有两个相等的实数根。0nmxx 21 当时，方程有两个相等的实数根。0n 公式法：一元二次方程的求根公式：(b2-4ac0)，步骤 a acbb x 2 4 2 如下： (1) 把方程化为一般形式，进而确定 a、b、c 的值（注意符号） (2) 求出 b2-4ac 的值， （先判别方程是否有根） (3)在 b2-4ac0 的前提下，把 a、b、c 的值代入求根公式，求出 31 的值，最后写出方程的根。 a acbb 2 4 2 分解因式法：当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个因式 的乘积时，令每个因式分别为 0，得到两个一元一次方程，分别解之，得到 的解就是原方程的解，这种解方程的方法称为分解因式法。一般步骤如下： (1) 把方程整理使其右边化为 0； (2) 把方程左边分解成两个一次因式的乘积； (3) 令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程； (4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 提示：分解因式法应用面广，它不仅可以解一元二次方程，对高次的求解 更有独到之处。 根的判别式： b2-4ac=，当 b2-4ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b2-4ac0 时， 方程有两个相等的实数根；当 b2-4ac0 时，方程无实数根。即不解方程就 可判断方程解的情况。 根与系数的关系: 由求根公式可知，即不解方程可知方程的两根之和 a c xx a b xx 2121 , 与两根之积，利用此可解决一些关于两根之和、之积、两根的倒数和、两 根平方和等一类的问题。 利用一元二次方程解决实际问题时，一元二次方程有两个根，这些根虽 然满足所列的一元二次方程，但未必符合实际问题，因此，解完一元二次 方程，要按题意检验这些根是不是符合实际问题的解。 32 易错易混点易错易混点 (1) 用配方法解一元二次方程时，二次项系数化 1 时易错；(2) 不能确定 a、b、c 的值，代入公式时，代入不准确； (3) 方程两边同除以一个含有 未知数的式子。 1.用配方法解方程：2x2-4x-10=0 2.解方程：8x2+10x=3 3.用分解因式法解一元二次方程：222 2 xx 典型例题典型例题 1. 当 x 取_时，x2-5x+7 有最小值，最小值是_。 2. 已知是方程 2x2-x-7=0 的两根，则=_。 3. 已知一三角形的两边长分别为 1 和 2，第三边的长是方程 2x2-5x+3=0 的 根，则该三角形的周长为_。 4. 已知方程有两个实数根，化简：。012 22 aaaxxaaa212 2 5. 已知 a2-3a=1，b2-3b=1，并且 ab，那么=_。 22 11 ba 6. 一元二次方程 x2-px+q=0 的两个根为 3，-4，那么二次三项式 x2-px+q 可 分解为（ ） A. (x-3)(x+4) B. (x+3)(x-4) C. (x-3)(x-4) D. (x+3)(x+4) 7. 若方程有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是（ 012 2 xkx ） A. k-1 B.k-1 C. k1 D. k0 8. 用适当的方法解方程： 33 (1) ； (2) ；2519 2 x01263 2 xx (3) ; (4) x2-4x-6=0 22 524329xx 9. 按要求解下列方程： (1) x2-3x=5 (用公式法解) (2) 8x2+10x=3 (用公式法解) (3) 2(x-2)2=x2-4 (用因式分解法解) (4) (2x-1)(x+3)=4 (用因式分解法 解) 学习自评学习自评 1. 方程 4x2+5=0 的根是（ ） A. B. C. D. 无实根 2 5 2 5 2 5 2. 用配方法将方程变形得（ ）054 2 aa A. B. C. D. 92 2 a92 2 a92 2 a92 2 a 3. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 2x2-8x+7=0 的两个 根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A. B. 3 C. 6 D. 93 4. 三角形的两边长分别是 8 和 6，第三边的长是一元二次方程 x2-16x+60=0 的一个实数根，则该三角形的面积是（ ） A. 24 B. 24 或 C. 48 D. 5858 5. 已知，则 x+y 的值为（ ）152 yxyx A. 3 或 5 B. 3 或-5 C. -3 或 5 D. -3 或-5 6. x2-_+9=(x-_)2；x2-5x+6=(_)(_). 34 7. 若 x2+4x+m2是一个完全平方式，则 m 的值为_。 8. 把方程化成一般形式为_。 22 2312yy 9. 若 a+b+c=0，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 必有一根为_。 10. 完成下列配方过程：x2+2px+1= x2+2px+(_)+(_) =(x+_)2+(_). 11. 已知实数 a、b、c 满足等式，则方程0221 2 cbaba ax2+bx+c=0 的根是_。 12. 若 x1，x2是方程 x2-3x-2=0 的两个根，则 x1+x2=_，x1+x2=_，x12+x22=_，_ 21 11 xx _。 13. 用适当的方法解方程： (1) x2+2x=2； (2) 4x2-7x+2=0; (3) x2+3x-4=0 (5) 2x2-3x+ =0; (5) 2x(x+1)=3(x+1); (6) 8 1 2 2 2 2 181xxxx 14. (1)用配方法证明-10x2+7x-4 的值恒小于 0； (2) 由第(1)题，你能否得到启发而写出三个值恒大于 0 的二次三项式。 15. 三角形两边长分别是 2 和 3，第三边是方程的解，求这个6323xxx 三角形的周长 16. 在宽为 20m，长为 32m 的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的 道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为 540m2，道路的宽为多 少？ 17. 某电脑公司今年每个月的销售量都比上个月增长相同的百分数，已知该 35 公司今年 4 月份的电脑销售量为 500 台，6 月份比 5 月份多售出 120 台， 求该公司今年销售量的月增长率是多少? 36 一元二次方程的应用一元二次方程的应用 知识要点知识要点 黄金分割点：线段上一个点将线段分成两部分，如果较长线段是较短线段 和原线段的比例中项，那么该点叫做线段的黄金分割点。 （一条线段有两个 黄金分割点） 黄金比：如果一条线段与另一条线段的比等于 0.618，那么称这两条线段的 比为黄金比。 如图 Y218 点 C、D 分别是线段 AB 的黄金分割点，则 ，因此较长线段、较短618 . 0 2 15 AC BC AB AC 线段、原线段有如下关系： ABCDABADBCABBDAC25 2 53 2 15 列一元二次方程解应用题： 一元二次方程是刻画现实问题的有效数学模型。列一元二次方程解应 用题的关键在于审题，要善于理解题意，分析题目中的数量关系，可采用 列表、画图等分析方法，恰当地设出未知数，准确找出已知量与未知量之 间的等量关系，正确列出方程，求得问题的正确答案，同时要注意根据具 体问题的实际意义检验结果的合理性。一般步骤为：| (1) 审题；(2)设元；(3)列方程；(4) 解方程；(5) 检验；(6)写出答案。 注意：寻找等量关系是列方程的关键也是难点；一元二次方程不仅能解决 实际应用题，也可用来解决一些理论应用题，比如几何中的计算问题、数 Y218 37 字问题等。 易错易混点易错易混点 不检验方程的解 1.某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，若每件商品的售价为 x 元，则每天可卖出(350-10x)，但物价局限定每件商品加价不能超过 20%，商店要想每天赚 400 元，需要卖出多少件商品，每件商品的售 价应是多少？ 2.某水果批发商经销一种高档水果，如果每千克盈利 10 元，每天可售出 500 千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1 元，日销售量将减少 20 千克。现该批发商要保证每天盈利 6000 元， 同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 典型例题典型例题 1.两个连续偶数的积为 440，那么这两个数的和等于（ ） A. 42 B. -42 C. 42 或-42 D. 43 或-43 2.某种药品的零售价经过两次降价后的价格为降价前的 81%，则平均每 次降价的百分率为（ ） A. 10% B. 19% C. 9.5% D. 20% 3.设点 C 是长为 10cm 的线段 AB 的黄金分割点，且 ACBC，则 AC 与 BC 的长分别是（ ） 38 A. B. cmcm 2 15 , 2 15 cmcm555,5515 C. D. 以上均不对cmcm5515,555 4.一个两位数两个数字之和是 9，把个位数字与十位数字互换后得数与 原数相乘，积为 1458，求这个两位数。 5.某商场有一批名牌衬衣，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元，为扩大销售、增加盈利，尽快 减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经 调查发现，如果每件衬衣降价 1 元，商场平均 每天可多售出 2 件，若使商场每天盈利 1200 元，每件衬衣应降价多少 元？ 6.如图，在宽为 20m，长为 32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路 （一条横向，两条纵向，且横向与纵向垂直） ，把耕地分成大小不等的 方块作为水稻试验田，假如试验田的总面积为 570m2，道路的宽应为 多少？ 7.汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司 2005 年 盈利 1500 万元，到 2007 年盈利 2160 万元，且从 2005 年到 2007 年， 每年盈利的年增长率相同。 (1) 该公司 2006 年盈利多少万元？ (2) 若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计 2008 年盈利多少万 元？ Y2D1 39 学习自评学习自评 1.两数差是 3，这两数的平方和是 117，那么这两个数分别为（ ） A. 9、6 B. 9、6 或-6、-9 C. -6、-9 D. 不存在 2.两个连续奇数的积为 255， 则这两个数的和为（ ） A