人教版高中数学选修4-5教案

选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 01 课时 不等式的基本性质 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 不等关系是自然界中存在着的基本数学关系。 列子汤问中脍炙人口的“两小儿辩日”： “远者小而近者大” 、 “近者热而远者凉” ，就从侧面表明了现实世界中不等关系的广泛存在；日常 生活中息息相关的问题，如“自来水管的直截面为什么做成圆的，而不做成方的呢?” 、 “电灯挂在 写字台上方怎样的高度最亮？” 、 “用一块正方形白铁皮，在它的四个角各剪去一个小正方形，制成 一个无盖的盒子。要使制成的盒子的容积最大，应当剪去多大的小正方形？”等，都属于不等关系 的问题，需要借助不等式的相关知识才能得到解决。而且，不等式在数学研究中也起着相当重要的 作用。 本专题将介绍一些重要的不等式（含有绝对值的不等式、柯西不等式、贝努利不等式、排序不等式 等）和它们的证明，数学归纳法和它的简单应用等。 人与人的年龄大小、高矮胖瘦，物与物的形状结构，事与事成因与结果的不同等等都表现出不 等的关系，这表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的。还可从 引言中实际问题出发，说明本章知识的地位和作用。 生活中为什么糖水加糖甜更甜呢?转化为数学问题：a 克糖水中含有 b 克糖(ab0)，若再加 m(m0)克糖，则糖水更甜了，为什么? 分析：起初的糖水浓度为，加入 m 克糖 后的糖水浓度为，只要证即可。 a b ma mb ma mb a b 怎么证呢? 二、不等式的基本性质二、不等式的基本性质： 1、实数的运算性质与大小顺序的关系： 数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法在数轴上的表示可知： 0baba 0baba 0baba 得出结论：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可。 2、不等式的基本性质： 、如果 ab，那么 bb。(对称性) 、如果 ab，且 bc，那么 ac，即 ab，bcac。 、如果 ab，那么 a+cb+c，即 aba+cb+c。 推论：如果 ab，且 cd，那么 a+cb+d即 ab， cd a+cb+d 、如果 ab，且 c0，那么 acbc；如果 ab，且 cb 0，那么 (n N，且 n1) nn ba 、如果 ab 0，那么 (n N，且 n1)。 nn ba 三、典型例题三、典型例题： 例 1、已知 ab，cb-d 例 2 已知 ab0，c，对一切实数都成立，求实数的取值范围。31xxaxa 三、小结三、小结： 四、练习四、练习：解不等式 1、 2、 . 1 122x01314 x 3、 . 4、 . 423xxxx21 5、 6、 .142 2 xx21 2 xx 7、 8、 42 xx . 6 31xx 9、 10、 21 xx . 2 4 xx 五、作业五、作业： 选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 03 课时 含有绝对值的不等式的证明 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关 于绝对值的和、差、积、商的性质： （1） （2）babababa （3） （4）baba)0( b b a b a 请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质和可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；baba)0( b b a b a 而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明对于任意实数都baba 成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。 现在请同学们讨论一个问题：设为实数，和哪个大？aaa 显然，当且仅当时等号成立（即在时，等号成立。在时，等号不成立）aa 0a0a0a 。同样，当且仅当时，等号成立。. aa0a 含有绝对值的不等式的证明中，常常利用、及绝对值的和的性质。aaaa 二、典型例题二、典型例题： 例 1、证明 （1）， （2）。babababa 证明（1）如果那么所以, 0ba. baba.bababa 如果那么所以, 0ba).(babababababa)()( （2）根据（1）的结果，有，就是，。bbabbaabba 所以，。baba 例 2、证明 。bababa 例 3、证明 。cbcaba 思考：思考：如何利用数轴给出例 3 的几何解释？ （设 A，B，C 为数轴上的 3 个点，分别表示数 a，b，c，则线段当且仅当 C.CBACAB 在 A，B 之间时，等号成立。这就是上面的例 3。特别的，取 c0（即 C 为原点） ，就得到例 2 的 后半部分。 ） 探究探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式的几何解释？baba 含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例 1，例 2 和例 3 的 结果来证明。 例 4、已知 ，求证 2 , 2 c by c ax.)()(cbayx 证明 （1）)()()()(byaxbayxbyax ， 2 , 2 c by c ax （2）c cc byax 22 由（1） ， （2）得：cbayx)()( 例 5、已知 求证：。. 6 , 4 a y a xayx32 证明 ， 6 , 4 a y a x 2 3, 2 2 a y a x 由例 1 及上式，。a aa yxyx 22 3232 注意注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等 号方向相同的不等式。 三、小结三、小结： 四、练习四、练习： 1、已知求证：。. 2 , 2 c bB c aAcbaBA)()( 2、已知求证：。. 6 , 4 c by c axcbayx3232 五、作业五、作业： 链接：不等式的图形链接：不等式的图形 借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和 绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速 而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效 地解决问题。我们再来通过几个具体问题体会不等式图形的作用。 1解不等式。121xxx 题意即是在数轴上找出到与的距离之和不大于到点的距离的所有流动点1 1 2 2 1 3 。x 首先在数轴上找到点，（如图） 。1 1 2 2 1 3 3 1 x 1 2 2 xx -1 0 1 2 3 从图上判断，在与之间的一切点显示都合乎要求。事实上，这种点到与的距离和正 1 2 1 2 好是 1，而到的距离是。 3 )21 (1) 1(2xxx 现在让流动点由点向左移动，这样它到点的距离变，而到点与的距离增大，显然，x 1 3 1 2 合乎要求的点只能是介于与之间的某一个点。1 3 1 1 1 x 由可得),1()2()1 ( 111 xxx. 3 2 1 x 再让流动点由点向右移动，虽然这种点到与的距离的和及到的距离和都在增加，x 2 1 2 3 但两相比较，到与的距离的和增加的要快。所以，要使这种点合乎要求，也只能流动到某一 1 2 点而止。 2 x 由可得从而不等式的解为),1()2() 1( 222 xxx. 4 2 x . 4 3 2 x 2画出不等式的图形，并指出其解的范围。1 yx 先考虑不等式在平面直角坐标系内第一象限的情况。在第一象限内不等式等价于： ，.0x0y1 yx 其图形是由第一象限中直线下方的点所组成。xy1 同样可画出二、三、四象限的情况。从而得到不等式 的图形是以原点 O 为中心，四个等点分别在坐标轴1 yx 上的正方形。不等式解的范围一目了然。 探究：探究：利用不等式的图形解不等式 1. ; 2111xx. 12yx A 组组 1解下列不等式： （1） （2） 1 2 1 32 x743x （3） （4） 142xxxxx 2 1 2 2 2解不等式： （1） （2）112xx1 1 2 x x 3解不等式： （1） （2）321xx . 0 312xx 4利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式1 )1(332 22 2 xxx 整理得：) 1(332 2 xxx06 2 xx 解之，不等式的解集为x|-32 或 3 2 log3x 不等式的解集为x|x2 或 3 2 log3x 例 3、解不等式：) 10( , 42 2 aaaa xxx 且 (当 a1 时 当 01 时有2 2 1 23 41 2 1 ) 12(234 034 012 2 2 x x x x xxx xx x （其实中间一个不等式可省） 当 01 时不等式的解集为； 2 2 1 xx 当 01 时有 0a 原不等式的解集为x|01或x|xa, 01 时原不等式化为：2log 2 9 )(log 2 xx aa 0) 1log2)(4(logxx aa 2 1 log4logxx aa 或axax0 4或 原不等式的解集为 或1 0 , | 4 aaxax1,0| 4 aaxaxx或 三、小结三、小结： 四、练习四、练习： 解下列不等式 1 (-21 ，ax a x1 1 0或 若 01 时 m x 2 21mx 2 log 2 1 0 当 m=1 时 x0) 12( 22 x 当 02 或 x1 时 B=1,a 当 a2 时 AB 当 1a2 时 AB 当 a1 时 AB 仅含一个元素 例 6、方程有相异两实根，求 a 的取值范)0 , 10( , 0 2 1 cos 2 1 sin 2 xaaxxa 围。 解：原不等式可化为，令： 则01coscos2 2 xxaxtcos 1 , 1t 设 又a012)( 2 tattf 1 4 1 4 1 1 0 8 1 1 4 1 1 022) 1 ( 02) 1( 081 a aa a a a a af af a 或 三、小结三、小结： 四、练习四、练习： 五、作业五、作业： 1 01log) 1 (log 2 1 2 2 1 x a ax xa xaaa xaa a a a a 时 时或当 时或当 1, ) 2 1 () 2 1 (110 ) 2 1 () 2 1 (011 1 1 2 若13|xxxA0,|1|aaxxB BA 求 a 的取值范围 (a1) 3 )0( ,3 22 aaxxa)0 2 (x a 4)0( , 21log axax x a )01,10( 2222 axaxaaxaa或时当时当 5当 a 在什么范围内方程：有两个01log 4 1 )4(log 2 22 2 axax 不同的负根 )24 , 4() 4 1 , 0( 6若方程的两根都对于 2，求实数 m 的范围。 05)2( 2 mxmx4 , 5 选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 07 课时 不等式的证明方法之一：比较法 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质： 0baba 0baba 0baba 二、典型例题二、典型例题： 例 1、设，求证：。ba )(23 22 babba 例 2、若实数，求证：1x.)1 ()1 (3 2242 xxxx 证明：采用差值比较法： 2242 )1 ()1 (3xxxx = 324242 2221333xxxxxxx =) 1(2 34 xxx =) 1() 1(2 22 xxx =. 4 3 ) 2 1 () 1(2 22 xx , 0 4 3 ) 2 1 (, 0) 1(, 1 22 xxx且从而 , 0 4 3 ) 2 1 () 1(2 22 xx .)1 ()1 (3 2242 xxxx 讨论讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？1x 例 3、已知求证, Rba. abba baba 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。 证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设ba, . 0 ba ，从而原不等式得证。 0)( 0 bababbabba babababa ba 2）商值比较法：设, 0 ba 故原不等式得证。, 0, 1ba b a . 1 )( ba ab ba b a ba ba 注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作差 （或作商） 、变形、判断符号。 例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时m 间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙nmnnm 两人谁先到达指定地点。 分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为S 。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。 21,t t 21,t t 解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，S 21,t t 根据题意有，可得，Sn t m t 22 11 2 22 t n S m S nm S t 2 1 mn nmS t 2 )( 2 从而， mn nmS nm S tt 2 )(2 21 mnnm nmmnS )(2 )(4 2 mnnm nmS )(2 )( 2 其中都是正数，且。于是，即。nmS,nm 0 21 tt 21 tt 从而知甲比乙首先到达指定地点。 讨论讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？nm 例 5、设求证；对任意实数，恒有 . 1 , 0, 12)( 2 qppqxxfba, （1）).()()(qbpafbqfapf 证明 考虑（1）式两边的差。 ).()()(qbpafbqfapf 1)(2) 12() 12( 222 qbpabqap （2） . 1 4)1 (2)1 (2 22 qppqabbqqapp , 0, 1pqqp pqabpqbpqa422)2( 22 . 0 )(2 2 bapq 即（1）成立。 三、小结三、小结： 四、练习四、练习： 五、作业五、作业： 1比较下面各题中两个代数式值的大小： （1）与；（2）与. 2 x1 2 xx1 2 xx 2 ) 1( x 2已知 求证：（1） （2）. 1a; 12 2 aa . 1 1 2 2 a a 3若，求证0cba.)( 3 cba cba abccba 4比较 a4-b4与 4a3(a-b)的大小 解： a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3) = (a-b)(a2b-a3)+(ab3-a3)+(b3-a3)= - (a-b)2(3a3+2ab+b2) = - (a-b)2 (当且仅当 db 时取等号)0 3 2 3 3 2 2 bb a a4-b44a3(a-b)。 5比较(a+3)(a-5)与(a+2)(a-4)的大小 6已知 x0，比较(x2+1)2与 x4+x2+1 的大小 7如果 x0，比较与的大小 2 1x 2 1x 8已知 a0，比较与的大小 1212 22 aaaa11 22 aaaa 9设 x1，比较 x3与 x2-x+1 的大小 说明：“变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形” 的常用方法。 阅读材料：琴生不等式阅读材料：琴生不等式 例 5 中的不等式有着重要的数学背景，它与高等数学中的一类凸)()()(qbpafbqfapf 函数有着密切的关系，也是琴生（Jensen）不等式的特例。 琴生在 1905 年给出了一个定义： 设函数的定义域为a,b，如果对于a,b内任意两数，都有)(xf 21,x x （1）. 2 )()( 2 2121 xfxfxx f 则称为a,b上的凸函数。)(xf 若把（1）式的不等号反向，则称这样的为a,b上的凹函数。)(xf 凸函数的几何意义是：过曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在)(xfy 曲线上。 其推广形式是：若函数的是a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数，都有)(xf n xxx, 21 （2） . )()()( 2121 n xfxfxf n xxx f nn 当且仅当时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。 n xxx 21 更为一般的情况是：设是定义在区间a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点，)(xf 21,x x 有),()()( 2121 qxpxfxqfxpf 其中，则称是区间a,b上的凸函数。如果不等式反向，即有1, qpRqp)(xf 则称是a,b上的凹函数。),()()( 2121 qxpxfxqfxpf)(xf 其推广形式 ，设，是a,b上的凸函数，则对任1, 2121 nn qqqRqqq)(xf 意有，, 21 baxxx n )()()()( 22112211nnnn xfqxfqxfqxqxqxqf 当且仅当时等号成立。 n xxx 21 若是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen）不等式。把琴生不等式应用)(xf 于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。 选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 08 课时 不等式的证明方法之二：综合法与分析法 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法。由于两者 在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路 方法的特点。 所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等 式。而分析法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中。前一种是 “由因及果” ，后一种是“执果索因” 。打一个比方：张三在山里迷了路，救援人员从驻地出发，逐 步寻找，直至找到他，这是“综合法” ；而张三自己找路，直至回到驻地，这是“分析法” 。 以前得到的结论，可以作为证明的根据。特别的，是常常要用到的一个重要不等ABBA2 22 式。 二、典型例题二、典型例题： 例 1、都是正数。求证：ba, . 2 a b b a 证明：由重要不等式可得ABBA2 22 . 2 2 a b b a a b b a 本例的证明是综合法。 例 2、设，求证0, 0ba. 2233 abbaba 证法一 分析法 要证成立. 2233 abbaba 只需证成立，)()( 22 baabbababa 又因，0ba 只需证成立，abbaba 22 又需证成立，02 22 baba 即需证成立.0)( 2 ba 而显然成立. 由此命题得证。0)( 2 ba 证法二 综合法 abbababababa 22222 020)( 注意到，即，0, 0ba0ba 由上式即得，)()( 22 baabbababa 从而成立。 2233 abbaba 议一议：议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？ 例 3、已知 a，b，m 都是正数，并且求证： （1）. ba . b a mb ma 证法一 要证（1） ，只需证 （2）)()(mbamab 要证（2） ，只需证 （3）ambm 要证（3） ，只需证 （4）ab 已知（4）成立，所以（1）成立。 上面的证明用的是分析法。下面的证法二采用综合法。 证法二 因为 是正数，所以 mab,ambm 两边同时加上得ab)()(mbamab 两边同时除以正数得（1） 。)(mbb 读一读：读一读：如果用或表示命题 P 可以推出命题 Q（命题 Q 可以由命题 P 推出） ，QP PQ 那么采用分析法的证法一就是 （1）).4()3()2( 而采用综合法的证法二就是 ).1 ()2()3()4( 如果命题 P 可以推出命题 Q，命题 Q 也可以推出命题 P，即同时有，那么我PQQP, 们就说命题 P 与命题 Q 等价，并记为在例 2 中，由于都是正数，实际上.QP mbmb, ).4()3()2() 1 ( 例 4、证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小。设截面的周长为，则L 周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为。所以L 2 L 2 2 L L 4 L 2 4 L 本题只需证明。 22 42 LL 证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面面积为，截面是正方形的水管L 2 2 L 的截面面积为。只需证明：。 2 4 L 22 42 LL 为了证明上式成立，只需证明。 164 2 2 2 LL 两边同乘以正数，得：。 2 4 L4 11 因此，只需证明。4 上式显然成立，所以 。 22 42 LL 这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的 水管比横截面是正方形的水管流量大。 例 5、证明：。cabcabcba 222 证法一 因为 （2）abba2 22 （3）bccb2 22 （4）caac2 22 所以三式相加得 （5）)(2)(2 222 cabcabcba 两边同时除以 2 即得（1） 。 证法二 因为, 0)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 222222 accbbacabcabcba 所以（1）成立。 例 6、证明： （1）.)()( 22222 bdacdcba 证明 （1） （2）0)()( 22222 bdacdcba （3）0)2( 222222222222 dbabcdcadbdacbca （4）02 2222 abcddacb （5）0)( 2 adbc （5）显然成立。因此（1）成立。 例 7、已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？cba,.3 333 abccba 分析：本题可以考虑利用因式分解公式 )(3 222333 cabcabcbacbaabccba 着手。 证明： abccba3 333 =)( 222 cabcabcbacba =.)()()( 2 1 222 accbbacba 由于都是正数，所以而，cba,. 0cba0)()()( 222 accbba 可知03 333 abccba 即（等号在时成立）abccba3 333 cba 探究探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除abccba3 333 333 ,cbacba, 以 3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中是互不相等的正数，且.27)1)(1)(1 (accbbacba,1abc 三、小结三、小结： 解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上（或减去）一个数 或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以（或除以）一个正数或一个正的代数式，得到的不等式 都和原来的不等式等价。这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧。 四、练习四、练习： 1、已知求证：, 0x . 2 1 x x 2、已知求证, 0, 0yxyx. 411 yxyx 3、已知求证, 0 ba.baba 4、已知求证： . 0 , 0ba （1） . 4 )( 11 baba （2） .8)()( 333322 babababa 5、已知都是正数。求证：dcba, （1） （2）; 2 cdab dcba . 4 4 abcd dcba 6、已知都是互不相等的正数，求证cba,.9)(abccabcabcba 五、作业五、作业： 选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 09 课时 不等式的证明方法之三：反证法 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 前面所讲的几种方法，属于不等式的直接证法。也就是说，直接从题设出发，经过一系列的逻 辑推理，证明不等式成立。但对于一些较复杂的不等式，有时很难直接入手求证，这时可考虑采用 间接证明的方法。所谓间接证明即是指不直接从正面确定论题的真实性，而是证明它的反论题为假， 或转而证明它的等价命题为真，以间接地达到目的。其中，反证法是间接证明的一种基本方法。 反证法在于表明：若肯定命题的条件而否定其结论，就会导致矛盾。具体地说，反证法不直接 证明命题“若 p 则 q” ，而是先肯定命题的条件 p，并否定命题的结论 q，然后通过合理的逻辑推理， 而得到矛盾，从而断定原来的结论是正确的。 利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤： 第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论； 第二步 作出与所证不等式相反的假定； 第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果； 第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等式成立。 二、典型例题二、典型例题： 例 1、已知，求证：（且）0 ba nn ba Nn1n 例 1、设，求证2 33 ba . 2 ba 证明：假设，则有，从而2baba 2 . 2 ) 1(68126 ,6128 2233 323 bbbba bbba 因为，所以，这与题设条件矛盾，所以，原不22) 1(6 2 b2 33 ba2 33 ba 等式成立。2ba 例 2、设二次函数，求证：中至少有一个不小于.qpxxxf 2 )()3(, )2(, ) 1 (fff 2 1 证明：假设都小于，则)3(, )2(, ) 1 (fff 2 1 （1） . 2 )3()2(2) 1 (fff 另一方面，由绝对值不等式的性质，有 （2） 2)39()24(2)1 ( )3()2(2) 1 ()3()2(2) 1 ( qpqpqp ffffff （1） 、 （2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用 反证法进行。 议一议议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果 与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述 两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？ 例 3、设 0 , (1 b)c , (1 c)a , 4 1 4 1 4 1 则三式相乘：ab 0，ab + bc + ca 0，abc 0，求证：a, b, c 0 证：设 a 0, bc 0, 则 b + c = a 0 ab + bc + ca = a(b + c) + bc 0 矛盾， 必有 a 0 同理可证：b 0, c 0 三、小结三、小结： 四、练习四、练习： 1、利用反证法证明：若已知 a，b，m 都是正数，并且，则 ba . b a mb ma 2、设 0 0，且 x + y 2，则和中至少有一个小于 2。 x y1 y x1 提示：反设2，2 x, y 0，可得 x + y 2 与 x + y 2 矛盾。 x y1 y x1 五、作业五、作业： 选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 10 课时 不等式的证明方法之四：放缩法与贝努利不等式 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地放大（或缩小） ，使之得出明显的不等量关系后， 再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法。这种方法是证明不等式中的常用方 法，尤其在今后学习高等数学时用处更为广泛。 下面我们通过一些简单例证体会这种方法的基本思想。 二、典型例题二、典型例题： 例 1、若是自然数，求证n . 2 1 3 1 2 1 1 1 2222 n 证明：., 4 , 3 , 2, 1 1 1 ) 1( 11 2 nk kkkkk nnn ) 1( 1 32 1 21 1 1 11 3 1 2 1 1 1 2222 =) 1 1 1 () 3 1 2 1 () 2 1 1 1 ( 1 1 nn =. 2 1 2 n 注意注意：实际上，我们在证明的过程中，已经得到一个更强的结论2 1 3 1 2 1 1 1 2222 n ，这恰恰在一定程度上体现了放缩法的基本思想。 nn 1 2 1 3 1 2 1 1 1 2222 例 2、求证： . 3 321 1 321 1 21 1 1 1 1 n 证明：由（是大于 2 的自然数）, 2 1 2221 1 321 1 1 k k k 得 n 321 1 321 1 21 1 1 1 1 . 3 2 1 3 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 11 1132 n n n 例 3、若 a, b, c, dR+，求证：21 cad d bdc c acb b dba a 证：记 m = cad d bdc c acb b dba a a, b, c, dR+ 1 cbad d badc c acba b dcba a m 2 cd d dc c ba b ba a m 1 2 时，求证：1) 1(log) 1(lognn nn 证：n 2 0) 1(log, 0) 1(lognn nn 2 2 2 2 ) 1(log 2 ) 1(log) 1(log ) 1(log) 1(log nnn nn nnn nn 1 2 log 2 2 n n n 2 时, 1) 1(log) 1(lognn nn 三、小结三、小结： 四、练习四、练习： 1、设为大于 1 的自然数，求证n. 2 1 2 1 3 1 2 1 1 1 nnnn 2、设为自然数，求证n. ! 1 ) 12 2() 5 2)( 3 2)( 1 2( nn n nnn 五、作业五、作业： A 组组 1、对于任何实数，求证：x （1）；（2） 4 3 1 2 xx. 4 1 11 2 xx 2、设，求证：ba （1）；（2）)(23 22 babba).(46 224224 baabbbaa 3、证明不等式. 3344 abbaba 4、若都是正数，求证：cba,.)()( 2222333 cbacbacba 5、若 求证 , 0cba. 222bacacbcba cbacba 6、如果同号，且均不为 0. 求证：，并指出等号成立的条件.ba,2 a b b a 7、设是互不相等的正数，求证：cba, . 3 c cba b bac a acb 8、已知三个正数的和是 1，求证这三个正数的倒数的和必不小于 9.cba, 9、若，则. 2 0 2cossin1 10、设，且求证： Ryx, 1 yx . 9 ) 1 1)( 1 1 ( yx 11、已知，求证：（1）；（2）.0x1 1 1 2 2 x x2 2 3 2 2 x x 12、设是互不相等的正数，求证：ba, . 8 11 22 bab a a b b a a b 13、已知都是正数，求证：ba, （1）（2）;9)1)(1 ( 22 abbaba.9)( 222222 babaabbaba 14、已知求证：, 1, 1 222222 zyxcba . 1 czbyax 15、已知求证：, 1, 1 2222 yxba . 1 byax 16、已知都是正数，且有dcba, 2222 ,dcybax 求证：)(bcadbdacxy 17、已知都是正数，且， n aaaa, 321 1 321 n aaaa 求证： n n aaaa2)1 ()1)(1)(1 ( 321 18、设的三条边为求证.ABC,cba)(2 222 cabcabcbacabcab 19、已知都是正数，设 求证：yxba,., 1aybxvbyaxuba.xyuv 20、设是自然数，利用放缩法证明不等式n . 2 3 1 3 1 2 1 1 1 nnnn 21、若是大于 1 的自然数，试证n. 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 222 nnn B 组组 22、已知都是正数，且求证：zyxcba, c z b y a x . c z cba zyx a x 23、设，试用反证法证明不能介于与之间。0 ba bxa bxa sin sin ba ba ba ba 24、若是自然数，求证n. 4 71 3 1 2 1 1 1 2222 n 链接：放缩法与贝努利不等式链接：放缩法与贝努利不等式 在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式 里都是正数，可以舍掉，从而得到一个明显成立的不等式edcbaed和ed和 .cbaedcba 例如，对于任何和任何正整数，由牛顿二项式定理可得0xn . 321 )2)(1( 21 ) 1( 1)1 ( 22nn xx nnn x nn nxx 舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式： .nxx n 1)1 ( 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当是n 正整数的时候成立，而且当是任何大于 1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式贝努利不等式。n 在今后的学习中，可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设，则在或时，1x10 ，在时，xx 1)1 (10.1)1 (xx 阅读材料：贝努利家族小史阅读材料：贝努利家族小史 在数学发展史上，17-18 世纪出现了一个著名的数学世家贝努利（Bernoulli）家族（瑞士） ， 这个家族中的三代人中共出现了 8 位数学家，它们几乎对当时数学的各个分支都做出了杰出的贡献。 其中，又以第一代的雅各布贝努利（Jacob Bernoulli，1654.12-1705.8） 、约翰贝努利（Johann Bernoulli，1667.8-1748.1）兄弟和第二代的丹尼尔贝努利（Danial Bernoulli，1700.2-1782.3，约翰 贝努利的儿子）最为著名。 在数学的多个分支中，以“贝努利”命名的定义、定理、公式数不胜数。除了我们前面提到的 “贝努利不等式”之外，将来会有机会学习到微积分中的“贝努利方程” 、 “贝努利级数判别法” ， 解析几何中的“贝努利双纽线” ，概率论中的“贝努利定理” （即“大数定律”的早期形式） 、 “贝努 利数” 、 “贝努利多项式”等等。特别是，丹尼尔贝努利创造性地将数学方法应用到物理学的研究 中，取得了卓著的成就，被推崇为数学物理方法的奠基人。 贝努利家族之所以取得如此大的数学成就，至少有以下几个方面的主要原因： （1）对数学的真挚热爱。考察贝努利家族的 8 位数学家，可以发现一个共同的特点：都是从 父辈不同意他们研究数学，而要求他们经商、从医或做律师开始，到最终走上从事数学的生涯。这 一过程中，个人对数学的极大热情和兴趣起到了决定性的作用。当然，家族的数学传统和学习精神 的影响也是不容忽视的重要因素。 （2）广泛的学术交流。贝努利家族的成员们，都注重与当时的数学家和科学家进行广泛的学 术交流和争辩，以此互相促进和提高。如雅各布贝努利、约翰贝努利与他们那个时代的大数学家、 微积分的创始人莱布尼茨之间，丹尼尔贝努利与当时欧洲数学界的中心人物欧拉的频繁通信 交流成为数学史上的美谈。 （3）继承基础上的大胆创新。在继承已有数学研究成果的基础上大胆开拓、创新，是贝努利 家族成员从事研究的又一个共同特点。贝努利家族的主要成员正处于数学思想方法的两次大转变时 期：一是从常量数学到变量数学的转折；二是从确定性数学到可能性数学的转折。他们不仅善于接 纳新思想、新方法，更是进行了大胆地改进、突破，取得了许多开创性的成就。 亲爱的同学们，你能从贝努利家族的成功中得到哪些启示呢？ 选修选修 4_54_5 不等式选讲不等式选讲 课课 题：题： 第 11 课时 几个著名的不等式之一：柯西不等式 目的要求目的要求： 重点难点重点难点： 教学过程教学过程： 一、引入一、引入： 除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等 著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。 1、什么是柯西不等式： 定理定理 1：（柯西不等式的代数形式）设均为实数，则dcba, ， 22222 )()(bdacdcba 其中等号当且仅当时成立。bcad 证明： 几何意义：设，为平面上以原点 O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为 A（） ，ba, B（） ，那么它们的数量积为，dc,bdac 而， 22 |ba 22 |dc 所以柯西不等式的几何意义就是：，| 其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。 2、定理定理 2：（柯西不等式的向量形式）（柯西不等式的向量形式）设，