垂直于弦的直径（人教新课标九年级上）2ppt初中数学

24.1.2 垂直于弦的直径 问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我 国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度( 弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州桥 拱的半径吗? 问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我 国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度( 弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州桥 拱的半径吗? 探究 用纸剪一个圆,沿着圆的任意一条直径对 折,重复做几次,你发现了什么?由此你能得到 什么结论?(课件:探究圆的性质) 圆是轴对称图形,过圆心的任一条直线 (或直径所在的直线)都是它的对称轴. 如图1,AB是O的一条弦,作直径CD, 使CD AB,垂足为E. (1)这个图形是轴对称图形吗? 若是,那么它的对称轴是什么? (2)你能发现图中有哪些相 等的线段和弧?请说明理由. C . O A E B D 动动脑筋 已知：在O中，CD是直径，AB 是弦，CDAB，垂足为E。求证： AEBE，ACBC，ADBD。 C . O A E B D 叠 合 法 证明：连结OA、OB，则OAOB 。因为垂直于弦AB的直径CD所在 的直线既是等腰三角形OAB的对称 轴又是 O的对称轴。所以，当把圆 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，A点和B点重合，AE 和BE重合，AC、AD分别和BC、 BD重合。因此 AEBE，ACBC，ADBD 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的两条弧。 题设结论 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 垂径定理:垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两条弧。 符号语言 : CD是直径,AB为O的弦,且CD AB, 垂足为E AE=BE, AC=BC,AD=BD AB D E O C 图 文字语言 ： 图形语言 如图，当直径平分弦时，与垂直 吗？ AC=BC,AD=BD吗？如果弦也是直径，上述 结论是否成立？ AB D E O C 图 推论:平分弦(不是直径)的直 径垂直于弦,并且平分弦所对的两 条弧. 符号语言: CD是直径,AB为O的弦（不是直径） ,且 AC=BC,AD=BD 根据垂径定理与推论可知对于一个 圆和一条直线来说。如果具备 （1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4） 平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧 上述五个条件中的任何两个条件都 可以推出其他三个结论 注意 判断 （1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的 弧( ) （2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且 经过圆心( ) （3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平 分.( ) （4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的 两条弧( ) （5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ） 练习： 1.如图2,在O中,直径MN AB于C,则下列结 论错误的是( ) A.AC=BC B.AN=BN C.OC=CN D.AM=BM 2.如图3,在O中,弦AB的长为8CM,圆心O到AB 的距离OD=3CM,则O的半径为 CM C 5 讲解 问题:你知道赵州桥吗?它是1300多年前我 国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与 智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,它的跨度( 弧所对的弦的长)为37.4m,你能求出赵州桥 拱的半径吗? 讲解 O D C 解:如图,用AB 表示主桥拱 设所在圆的圆心为O, 半径为R. 经过圆心O作AB的垂 线OC,D为垂足,OC与AB相 交于点C,根据前面的结论 ,D是AB的中点,C是AB的中 点,CD就是拱高. O AB=37.4,CD=7.2, AD= AB= 37.4=18.7, OD=OC-CD=R-7.2. 在RTOAD中,由勾股定理,得 即 解得 R27.9(M) 因此,赵州桥的主桥拱半径 约为27.9M O D C 小结