广东省惠州市2017中考数学复习中考综合题的分析与教学策略

中考综合题的分析与教学策略 以 2011 年至 2016 年广东省中考数学试题为例 一、如何看待中考综合题 1、 中考综合题是 体现 中考试题选拔性的重要载体 。 在试题中集中在第 23，题型分别为代数综合、几何综合、代数几何综合。是中考试题中得分率最低的题目，体现为难度大，耗时长，难教学。 在平时的教学 中花费了教师极大的心力，在中考考场上耗费了学生众多的 脑 力 ， 但往往事倍功半 。 2、综合题是对数学核心素养的综合考查。 六大数学素养中， 逻辑推理、数学建模、数学运算 这三种素养更多的在综合题中体现 ，直观想象、数据分析、数学 抽象 也有体现 。 3、 综合题的解答是学生综合学力的体现；综合题的训练是教师执教能力的综合体现。 对于学生而言，需要 想得到做得出写得对算得准完得成 。 而对于老师来说，则需要能 想得通做得准析得清讲得透练得巧。 高屋建瓴、深入浅出等词语都是对老师的素质要求。 4、 综合题是长期训练的结果。 它 不可能通过突击训练来达到效果；不可能通过模式化训练来达到效果；不可能通过猜题来达到效果。 尽管综合题难做难教，但也 它 的考查形式与突破口也是有章可循的，下面笔者以近 6 年广东省卷的综合题为例，谈谈综合题的教学策略。 二 、近六 年广东省中考 综合题分析 (一 )代数综合题 (第 23 题 ) 1、试题 共性特点 ： 近六年的代数综合题都是以函数为背景， 11考查二次函数， 14则考查反比例函数。它们的共同点是都考查函数解析式的求法；而且每年的第二、三两问都 具有关联性，只有在正确解决第二问的基础上才能解答第三问，所以每次 的得分也并不算高。 2、试题考查的知识点 ： 常见考查方法有：求解析式、求交点、求顶点、求最值、求面积、求范围 、比较大小等。近六年中考了两次 求最短距离，包括求直线异侧两点和同侧两点的最短距离； 2016 年则考到了关于直线 y=x 对 称的两点坐标。这给了我们一个启示，就是教学中需要适当拓展。 关于某条斜向直线对称在 2016 年广东茂名中考中也考查到了，它考查的知识点是根据两端点求中点坐标，若适当拓展，则可引申到互相垂直的两直线 k11. (二 )几何综合题 (第 24 题 ) 1、试题共性特点： (1)近四年都是考查圆，而且试题都属原创 。 其中 2013 年中考题在 2016 年被自贡市原题引用。 2015 年中考试题的研究则发表在 中学数学杂志 2015 年 8 月下第 34 页 。 (2)试题的解答都需要排除干扰 。 2014、 2015 年 的图形都比较复杂，解答时需要排 除图形干扰；而 2016年的试题中因为多了 30 度角这个条件，所以解题时需要排除已知条件的干扰，思路简单但书写麻烦。 (3)四年中有三年都需要证明切线。证切线的过程中证角相等往往是题目突破的关键。在圆中证角相等的方法主要有三种：利用圆周角定理或圆心角定理 ； 通过全等 (或相似 )证角相等； 通过基本图形证角相等：双垂直三角形、角平分线 +平行线、对顶三角形、燕尾形、弦切角定理图形等。 2、试题解答思路分析： (1)2013 和 2014 年证明切线的题目都是弦切角定理的基本图形，分别借助圆周角定理和全等开展进一步的证明。 (2)2015 和 2016 年的试题都是通过全等的方法予以解答。 (3)2016 年试题包含许多基本图形，现有试题未 能 充分发掘。 (三 )代数几何综合题 (第 25 题 ) 1、试题共性特点： (1)除 2011 和 2012 年外，其它几年都是以三角形和四边形为背景载体。 (2)从 2011年至 2016 年每年的最后一题都考查平移，且 12都考查的是平移过程中形成的三角形的面积。 2、试题解答思路分析： 关键点都是求线段长度。求线段长度常见的有四种方法，分别是： (1)用勾股定理求线段长度。例如 2012 年第 21 题。 (2)利用相似求线段长度 。例如 2012 年第 22 题 ； 2014 年第 25 题。(3)利用三角函数求线段长度。 例如 2013、 2015、 2016 年第 25 题。 (4)利用坐标平面两点间距离求线段长度。例如 2011 年第 22 题。 三 、综合题的教学策略 1、 抓纲务本，变式拓展 . (1)注意课本中隐含的知识点。 2016 年省卷第 23 题曾考查关于某条直线对称，当年的茂名市中考题也曾考查这一直线，其中解决的关键知识点是中点坐标特征。这一内容在人教版教材 (以下简称教材 )七下 86页第 10 题中有体现。同时八下第 91一次函数内容中，所举例的两幅函数图形分别是平 行两直线与垂直两直线，对于“垂直两直线的斜率之 积 为 一知识隐晦的体现了出来。 (2)注意课本例题与习题的变式。 教材九上第 60 页课本例题 (如图 1)，经改编后成为 2015 年中考第 21题。这一题目在初二时常用作截长补短的典型例题。教材九上第 87 页课本例题 (如图 2)则被改编为 2016年广州中考题， 2016 年江苏淮安也考到此题。 也有许多课本习题被改编为中考题，如教材九下 58 页第 11 题中有三角形中截正方形的题目，教学中可以拓展到截矩形， 2014 年第 25 题就是该图形的拓展应用。 教材八上第 79 页有矩形纸片沿对角线 折叠的题目， 2012 年第 21 题就改编自本题，其中的基本图形与基本结论依然存在。 还有许多课本原题也被全国各地改编为中考试题。详见课件中的附录部分。 图 1 图 2 图 3 图 4 2、 基本图形，分解化难 . 任何复杂的图形都由若干的基本图形组成，综合题的解决很多都是依赖于对基本图形的解 读。例如：2013 年中考第 25 题的模型来自于解直角三角形一节 (图 3)，解含 45 度和 120 度角的钝角三角形，平时我们的训练是已知钝角三角形中的最短边，求该边上的高，现在则是设这条最短边为 x，要将该边上的高用含 此外 ， 2012 年矩形折叠题包含角平分线 +平行线的基本图形； 2008 年中考题中可利用对顶三角形去解决； 2014 年第 25 题第 (3)问则是相似中的 A 型与 M 型的应用 (图 4)。 基本图形大多是从初一初二开始一点一滴积累而来，在初一初二的课堂教学中，对于经典例题、经典习题、经典图形就要讲透练透，基本图 形的基本结论要形成了种本能，要培养学生读图识图分解图形的能力。 3、一题一课， 腾挪时间 . 中考复习最痛苦的是总觉得时间不够，时间都去哪儿啦？都被没有思维量的大量重复劳动所吞噬了，所以复习课一定要知道哪些基础内容是学生清楚的，是不用复习的，哪些则是要重点复习的。 要想提高课堂效率，建议一题一课 ，知识融通 。 (1)基础知识的复习要注意综合与拓展，而不能是反复低效演练。 例如：中考题的第 1 题是类似于这样的题目“ 相反数是 _.”这样的题目有必要训练吗？训练再多有用吗？如果作如下改编： 相反 数是 _； 相反数是 _； 已知 a3，则 |_； 分解因式： 3x2(=_； 已知 a3，化简： 226 9 33a a=_. 以上这一组问题都与相反数有关，一定有学生对其中的某一部分内容感 受出思维量。这样的 复习，才会让每一节复习课都令学生感到新鲜，感受到知识的融合 。 (2)解答题的训练要用好用透，八方联系，一题多变。 例如： 在格点中作三角形是一道很平常的中考作图题 (图 5)，我们在讲解的时候能否利用这道题目复 习更多的知识呢？ 作图： 将 上平移 5 个单位再向左平移 4 个单位； 作图 ： 作出 于 作图 ： 以点 O 为旋转中心，将 逆时针方向旋转 90 度； 作图 ： 以点 O 为位似中心，将 大到原来的两倍 . 计算 ： 在 y 轴上找一点 E，使 E 的和最小； 计算 ： 求 面积； 计算 ： 在平面上找一点 D，使 A、 B、 C、 D 四点形成平行四边形； 计算 ： 将 点 A 沿逆时针方向旋转 90 度，求线段 过区 域的周长和面积 . 这样改编后四道作图题是复习基础，四道计算题中的每一个都可以成为综合题的一小问来考查。 图 5 图 6 4、 讲 透 用够 ， 举一反三 . 每一道综合题都是出题者智慧的结晶，都是对学生的综合素养的考查，都是学生学习能力的具体体现，如果一道综合题只是讲清楚答案，就太浪费了。所以每道综合题都要讲透用够 ，关注应用同类型思想方法的题型， 举一反三 ，练好练透 。 例如： 2011 年第 21 题 (图 6)第一小问“ (1)始终与 似的三角形有 _和 _.”这一问是解决第二、三问的基础，我们可以借助它复习相似的四种常见图形类别： A 型、 X 型、母子型和 M 型，通过基本图形分析可以看出只能应用母子型，都有一个公共角，只要找到一个 45 度角即可，这样就可以轻松解决。 如果能够用动态的观点来理解，效果更好。 本题的第 (3)问“ 设 CG=x， 当 x 为何值时， 等腰三角形 .”本题需要利用相似，将“ 转化为“ 等腰三角 形 .”这样就可以解决问题了。 2010 年 广东省卷的 第 22 题也是应用这种方法来解决的，这种转化思想的应用 对于解决问题有决定性的影响，所以应该有些针对性训练。可以选择 2015 年山东泰安的对应中考题。 5、 夯实基础，计算过关 . 我们观察发现， 2012的最后一题， 答案的数字与计算都非常复杂 ， 2015 年的第 23 题出现了解无理系数的二元一次方程组，第 25 题的计算更是复杂到不愿动笔。 计算题的训练是一个长期的过程，初一 主要训练学生定准结果的符号 ，初二 则主要训练学生的变形技巧 (因式分解 )，初三 则 是综合训练。考纲 将分母有理化的内容纳入考核后，更要注意二次根式的运算。 6、分解训练，水滴石穿 . 综合题的解答是一项综合的工程，需要长期分解训练，绝不能在考前一段时间集中训练。具体而言，可以做到： 知识点分解到课堂；能力点分解到作业；训练时间分解到每周；钻研对象分解到个人；考查时间分解到每月 。 7、 思想方法，能力习惯 . 从历年中考综合题来看，分类讨论思想呈现隔年出现的趋势，其它思想方法也都体现在综合题中。影响综合题解答的因素很多，学生的读题能力、分解图形能力、计算能力、书写能力、心理素质等制约着学生的解答情况。能力培养首先从 学生的学习习惯入手，包括 刻苦钻研的习惯、认真作业习惯、课后反思习惯、时间分配习惯、自主归纳习惯等 ，具备这些良好学习习惯的学生综合题的解答能力会更突出一些。 8、 趋势研究， 关注变迁 . 从历年的中考试题来看，广东省卷每 3题型会有一些变化，所以在今年的复习中不应该死抱着往年的题型训练，可以多了解其它省市中考试题的类型，以作参考。以代数综合题为例。可以是代数阅读理解题 (2013珠海 )，可以是应用题的综合 (近几年深圳 )，可以是一元二次方程与二次函数的综合 (2016 广州 )，可以是一元二次方程的综合，也 可以是纯一次函数的应用。 而代数综合题的题型全国各地仍以二次函数背景为主，以 形成等腰三角形、形成平行四边形、形成相似、形成直角三角形、形成线段 (周长 )和最小、形成最小面积 等类型为主体。纯几何题则多会与运动变换、分类讨论等综合考查。 综上所述，综合题解答能力的培养是一项系统工程，它对学生的要求很高，对教师也提出了很高的要求。教师要增强自己对教材的解读能力、对试题的钻研能力、对知识的融通能力、对题目的讲解能力，只要坚持不懈，必会水到渠成！ 附： 抓纲务本的中山特色 从以上的分析中可以看来，综合题解答能力的培养是 一项系统工程，它要求教师在课堂教学中抓纲务本，深入研究教材，只要坚持不懈，最终必能水到渠成。中山市每学期的期末考试都能体现这一特点。我们分析中山市初一初二期末测试题就能发现，每一年的 9 分题都来自于课本中熟悉的图形，或是对课本例题、习题的研究变式。以 2013 年上学期初一数学试题第 25 题为例： 从甲地到乙地，先下山后走平路，某人骑自行车从甲地以每小时 24速度下山，以每小时 18速度通过平路，到乙地用时 55 分钟。回程时以每小时 16速度通过平路，以每小时 8速度上山，回到甲地用 时，求甲乙 两地的距离 . 这本是上世纪 80 年代一道竞赛试题，最容易想到的方法是列方程组来解，但初一上学期只学了一元一次方程，所以有些老师认为本题超过了范围，实际上本题是对课本“球赛积分表”问题的变式。 “球赛积分表” 的常见的解决思路有以下四种：(1)根据钢铁队的积分可知负一场得一分。这也是课本的思路。但如果没有钢铁队的数据呢？ (2)可以根据远大队的积分发现胜一场与负一场一共可积 3 分，可得胜一场 x 分，负一场 (3； (3)或对比东方与光明两队，发现多胜一场比多负一场一共可多得 1 分，则胜一场为 x 分，负一场 ( 。 (4)如果只知道光明队和卫星队的积分呢？根据光明